4. Уравнение Пуассона и Лапласа. Теорема единственности решения

Расчет электростатических полей с использованием уравнений ивозможен только в простейших случаях. Наиболее общим методом является расчет электро­статических полей на основе решения уравнений Пуас­сона и Лапласа. Выве­дем эти уравне­ния.

Ранее было получено . Подставим это выражение в уравнение ди­вергенции:

, откуда следует:

или ― уравнение Пуассона.

Уравнение Пуассона справедливо для тех точек среды, где существуют объемные за­ряды .

В реальных условиях свободные заряды располагаются на поверхности проводников бесконечно тонким слоем. Объемная плотность таких зарядов равна бесконечности и уравне­ние Пуассона применительно к ним теряет свой смысл.

В диэлектриках, которыми разделены заряженные проводники, объемные заряды от­сутствуют (), уравнение Пуассона превращается в уравнение Лапласа:

или ― уравнение Лапласа.

Таким образом, электростатическое поле в диэлектрике описывается уравнением Лап­ласа, внутри проводников поле отсутствует вообще, а на гра­нице раздела диэлектрика с про­водником вступают в силу граничные усло­вия,.

В декартовой системе координат операцию двойного дифференцирова­ниязаписы­вают так:

.

Уравнение Лапласа в электростатике имеет исключительно важное значе­ние.

Уравнения Пуассона и Лапласа, как уравнения в частных производных, допускают множество линейно независимых частных решений. Однако в реаль­ных условиях каждой конкретной задаче соответствует только одно определен­ное решение.

Теорема единственности решения гласит, что найденное любым способом решение уравнений Пуассона или Лапласа, является единственно верным реше­нием, если оно удовле­творяет граничным условиям данной задачи.

Предположим, что существует два решения для вектора напряженности поля и, оба удовлетворяющие граничным условиям задачи. Тогда полу­чим:

.

Если rot и div от вектора равны нулю, то сам вектор тождественно равен нулю, следо­вательно , или, что требовалось доказать.

Из теоремы единственности решения вытекают два следствия, имеющее важное прак­тическое значение:

1. электростатическое поле в некотором объеме, ограниченном экви­потенциаль­ной поверхностью, не изменится, если эту поверхность заменить бесконечно тонким прово­дящим слоем;

2. электростатическое поле по одну сторону некоторой поверхности S не изме­нится, если по другую сторону поверхности изменить параметры среды (например, заменить поводящую среду диэлектриком) и изменить расположе­ние свободных зарядов так, чтобы на этой поверхности сохранились прежние граничные условия.

Второе следствие лежит в основе так называемого метода зеркальных отображений, применяемого на практике для расчета электростатических полей.

5. Электростатическое поле осевых зарядов

Ниже будет рассмотрено несколько примеров электростатических полей, создаваемых осевыми зарядами.

1. Поле уединенной равномерно заряженной оси (рис. 257а).

Pасчет параметров поля в произвольной точке n выполним с помощью теоремы Гаусса в интегральной форме. Окружим ось цилиндром с произволь­ным радиусом r и длиной обра­зующей l =1. Вектор электрического смещения в силу симметрии во всех точках на боковой поверхности цилиндра (r=const) имеет одно и то же значение и направление по ра­диусу, т.е. нормально к этой поверхности.

По теореме Гаусса получим:

.

Откуда следует, что .

Поток вектора через торцевые поверхности цилиндра равен нулю, так как линии вектора здесь направлены по касательной к поверхности.

В цилиндрической системе координат потенциал поля будет зависеть только от ра­диусаr: , откуда

.

Если принять на некоторой поверхности радиуса значение потенциала равным нулю, то и значение потенциала на поверхности произ­вольного радиуса бу­дет равна:

.

2). Поле коаксиального кабеля (рис. 257б).

Конструктивно коаксиальный кабель состоит из внутреннего провода ра­диуса r₁ (прямой провод) и наружного провода в виде трубы или металличе­ского чехла радиуса r₂ (обратный провод), разделенных между собой диэлек­триком с относительной проницаемо­стью .

Реальные заряды в коаксиальном кабеле расположены равномерно по по­верхности внутреннего провода (жиле) и на внутренней поверхности внешней оболочки. В соответствии со вторым следствием из теоремы единственности заменим поверхностные заряды внутрен­него провода осевым зарядом с линей­ной плотностью , после чего к расчету параметров поля можно применить по­ложения и выводы, полученные ранее для заряженной оси:

.

Напряжение между внутренней жилой и оболочкой:

.

Емкость кабеля на единицу длины:

, откуда следует, что .

Наибольшее значение напряженности поля имеет место на поверхности внутреннего провода при :

.

3). Поле двух разноименно заряженных параллельных осей (рис. 258). Две двух разно­именно заряженные оси расположены параллельно на расстоянии 2а в ди­электрическом пространстве.

E₁ E

n E₂

R r₁ r₂

₁= ₂= 

0 1 2

s-a a a

d

Рис. 258

Параметры поля в произвольной точке пространства n могут быть опреде­лены по ме­тоду наложения. Результирующий вектор напряженности поля ра­вен геометрической сумме составляющих, а результирующий потенциал – ал­гебраической сумме составляющих от каж­дого провода:

.

Если принять в точках равноудалённых от обеих осей (), то постоянная интегрирования будет равна нулю (С=0), тогда получим:

.

Эквипотенциальные поверхности должны удовлетворять усло­вию. В геометрии есть малоизвестная теорема Аполония, которая гласит, что гео­метрическим местом точек, отношение расстояний от которых до заданной пары точек по­стоянно, является окружность, центр которой лежит на линии, соединяющей заданную пару точек. Эта окружность должна удовлетво­рять следующему условию:

или .

Анализ геометрии рис. 2 показывает, что треугольник 20n подобен тре­угольнику n01 (общий угол с вершиной 0 и прилежащие к углу стороны про­порциональны). Из подобия треугольников следует:

.

При перемещении точки n вдоль окружности изменяются расстояния и так, что их отношение остается постоянным . При изменении отношенияцентр окружности перемещается вдоль линии, соединяю­щую заданную пару точек 1 и 2. Приk>1, и центр окружности нахо­диться в левой полуобласти, приk<1, и центр ок­ружно­сти находится в правой полуобласти, a приk=1, , центр окружности смещается в беско­нечность, а сама окружность превращается в прямую линию, совпадающую с верти­кальной осью симметрии.

Линии вектора напряженности поля также является дугами окружно­сти, но с цен­трами, расположенными на вертикальной оси симметрии.

Графической диаграммой или сеткой поля называется совокупность сле­дов эквипо­тенциальных поверхностей с заданными значениями потенциалов, построенная совместно с совокупностью следов линии вектора напряженности поля . Графическая диаграмма поля двух разноименно заряженных осей имеет вид рис. 259.

По графической диаграмме поля можно определить его параметры (,) в любой точке.