5. Расчет переходного процесса методом численного интегрирования дифференциального уравнения

Режим нелинейной цепи любой сложности может быть описан системой нелинейных дифференциальных уравнений, составленных для схемы цепи по законам Кирхгофа. Как из­вестно из математики, система дифференциальных уравнений (как линейных так и нелиней­ных) может быть решена методом чис­ленного интегрирования (методы Эйлера, Рунге-Кутта). Таким образом, режим любой нелинейной цепи может быть рассчитан методом численного интегриро­вания дифференциальных уравнений.

Рассмотрим применение этого метода на примере расчета схемы рис. 250. Пусть на входе схемы источник постоянной ЭДС E_m, а веберамперная характе­ристика нелинейной ка­тушки аппроксимирована уравнением i = a·sh(b·).

Система дифференциальных уравнений, составленых для схемы цепи по законам Ома и Кирхгофа и дополненная нелинейным алгебраи­ческим уравне­нием аппроксимации ха­рактеристики нелинейного элемента будет иметь вид:

Решение этой системы уравнений может быть выполнено методами чис­ленного интег­рирования на ЭВМ (например, методом Эйлера). Суть метода со­стоит в том, что период пе­ременного тока Т разбивается на большое число ша­гов интегрирования, например N=1000, дифференциалы переменных заме­ня­ются конечными приращениями (d, duu, dii, dtt), а произ­вод­ные переменных  отношением приращений (d/dt/t, du/dtu/t). На каждом шаге производится решение системы уравнений и определяются значе­ния переменных величин (токов, напряжений) и их производных, причем в ка­честве ис­ходных данных принимают значения некоторых переменных на пре­дыдущем шаге. В каче­стве таких функций принимают u_С(t), i_L(t), которые опре­деляют запасы энергии в электриче­ском и магнитном поле, вследствие чего они не могут изменяться скачкообразно. Непосред­ственным результатом расчета будут являться массивы значений переменных величин (токов, напря­жений) и их производных в заданном интервале времени (например, в течение времени переходного процесса Т_п). В результате последующей обработки массивов дан­ных могут быть определены все параметры функций.

Один из вариантов решения полученной системы уравнений методом численного ин­тегрирования представлен ниже.

Исходные данные: параметры элементов схемы (E, R₁, R₂, C, a, b); на­чальные условия u_С(0)=0, (0)=0.

Принимаем: Nчисло шагов интегрирования, Т – расчетное время пере­ходного про­цесса, h=t=T/N  шаг интегрирования.

Алгоритм решения системы для произвольного к-го шага:

t_к = h·к;

из (5) i_2к = a·sh(b·_(к-1));

из (2) i_1к = (E -u_C(к-1)) /R₁;

из (1) i_3к = i_1к  i_2к ;

из (3) (d/dt) _к = u_C(к-1)  i_2к R₂;

из (4) (du_С/dt) _к = i_3к / C;

_к= _(к-1) + h · (d/dt) _к;

u_Ск =u_С(к-1) + h · (du_С/dt) _к .

Метод численного интегрирования (численный метод) обладает высокой точностью, так как в нем непосредственно используются физические характе­ристики нелинейных эле­ментов. С появлением ЭВМ и расширением области их применения данный метод является основным при расчете нелинейных цепей как в переходном, так и в установившемся режиме.