T3. Магнитное поле постоянных токов

1. Уравнения магнитного поля в интегральной и дифференциальной формах

Магнитное поле характеризуется двумя векторными величинами

–вектор напряженности магнитного поля, создается электрическими токами, явля­ется первопричиной магнитного поля А/м

–вектор индукции магнитного поля или плотность магнитных силовых линий Тл.

Между векторами исуществует связь

,

где ₀ = 410^-7  1,257 10^-6 Гн/м  магнитная проницаемость пустоты,   относитель­ная магнитная проницаемость.

Известный из курса физики закон Био-Савара-Лапласа устанавливает связь между элементар­ным вектором магнитной индукции в произвольной точке про­странства и элементом тока(рис. 274)

На основе закона Био-Савара-Лапласа выполняется расчет магнитного поля слож­ных систем проводников с токами.

Закон Ампера определяет силу взаимодействия магнитного поля на эле­мент провод­ника с током

^,

откуда следует, что сила, действующая на проводник , равна

^.

На прямолинейный проводник с током I в равномерном магнитном поле действует сила , направление которой определяется по правилу левой руки.

1 –й закон Кирхгофа для магнитной цепи, выражающий непрерывность магнитных силовых линий поля, имеет вид

 интегральная форма уравнения непре-

рывности магнитных линий.

Преобразуем это уравнение по теореме Остроградского-Гаусса

• дифференциальная форма уравнения

непрерывности магнитных линий.

Закон полного тока для магнитного поля имеет вид

интегральная форма закона полного тока. Преобразуем левую часть этого уравнения по теореме Стокса , а в пра­вой части получим:. Следовательно:

дифференциальная форма закона полного тока.

Граничные условия в магнитном поле на границе раздела двух сред с раз­личными магнитными проницаемостями ₁ и ₂ выражаются уравнениями

На границе раздела двух сред равны нормальные составляющие вектора В и танген­циальные составляющие вектора Н.

Магнитное поле несет в себе энергию, плотность которой определя­ется уравне­нием

Дж/м³

2. Векторный потенциал магнитного поля

Пусть требуется рассчитать магнитное поле в однородной среде (=const) , в кото­рой протекает электрический ток, плотность которого задана в виде некоторой функции ко­ординат . Для определения векторов поляинеобходимо решить систему уравнений

(1)

(2)

(3)

Введем новую векторную величину , позволяющую исключить из системы урав­нений неизвестныеии получить одно дифференциальное уравнение, решение кото­рого известно в математике.

Пусть вектор , получивший название вектора потенциала магнит­ного поля, удовлетворяет условию

Так как divrot любого вектора тождественно равна нулю, то уравнение (1) выполняется тождественно

Из уравнения (2) следует

Из курса математики известно, что .

В полученном уравнении можно принять , не нарушая равен­ства. Тогда получим

уравнение Пуассона для векторного потенциала магнит­ного поля для областей среды, где протекают токи проводимости. Для областей среды, где токи проводи­мости отсутствуют, уравнение Пуассона превращается в уравнение Лапласа . Каж­дое из этих векторных уравнений в декар­товой системе координат распадается на три ска­лярных в направлении коорди­натных осей

Решения уравнений Пуассона для векторного потенциала имеют вид (без вы­вода)

; ;

Если решение для векторного потенциала найдено, то другие неиз­вестные вели­чины выражаются через векторный потенциал

Если токи протекают по линейным проводникам, поперечные размеры ко­торых весьма малы по сравнению с их длиной, то то выражение для вектор­ного потенциала можно упростить следующим образом

где  ток в проводнике

В последнем уравнении интегрирование по объему заменяется интег­ри­рованием по контурам линейных проводов, что упрощает его решение.