3. Расчет переходного процесса методом кусочно-линейной аппроксимации

Метод основан на аппроксимации характеристики нелинейного элемента отрезками прямой. При такой аппроксимации дифференциальные уравнения цепи на отдельных участ­ках будут линейными и могут быть решены извест­ными методами (классическим или опера­торным). При переходе от одного уча­стка к другому в дифференциальных уравнениях будут скачком изменяться по­стоянные коэффициенты, что повлечет скачкообразное изменение ко­эффициен­тов в их решении. Решения для отдельных участков сопрягаются между собой на стыках участков на основе законов коммутации.

Рассмотрим применение данного метода к расчету переходного процесса при включе­нии нелинейной катушки к источнику постоянной ЭДС Е (рис. 245а). Нелинейную вебер-ам­перную характеристику катушки (i) заменим отрезками прямой линии (ломаной линией 0-1-2-3) (рис. 246):

Аппроксимируем отдельные отрезки ломаной линии уравнениями пря­мой:

1) для отрезка 0-1 , где;

2) для отрезка 1-2 , где;

3. для отрезка 2-3 , где.

Коэффициенты аппроксимации ₂₀, ₃₀ определяются из графической диаграммы, а коэффициенты L₁, L₂, L₃  через координаты точек стыка отрезков (0,1, 2, 3):

, ,.

Дифференциальные уравнения для отдельных участков будут иметь вид:

, где 0, 0,

, где ,,

, где ,

Решения уравнений для отдельных участков, найденные классическим методом, будут отличаться только постоянными коэффициентами:

1), 2), 3),

где

Постоянные интегрирования находятся из начальных условий и законов коммутации:

1. при t = 0, i₁(0) = 0, из решения (1) следует A₁= I_y,

2. при t = t₁, i₂(t₁) = I₁, из решения (2) следует A₂= I₁I_y,

3. при t = t₂, i₃(t₂) = I₂, из решения (3) следует A₃= I₂I_y.

Моменты времени t₁, t₂, соответствующие переходу процесса с одного участка харак­теристики на другой, определяются из совместного решения урав­нений для смежных участ­ков в точке стыка:

1. для точки 1: , откуда следует,

2. для точки 2: , откуда следует.

Графическая диаграмма переходного процесса показана на рис. 247. Нали­чие изломов на графической диаграмме искомой функции i(t) объясняется по­грешностями аппроксимации характеристики нелинейного элемента возле точек стыка отдельных участков. Достоинство данного метода состоит в том, что он позволяет применить к расчету переходных процессов в нелинейных цепях из­вестные методы расчета переходных процессов в линейных цепях.

4. Расчет переходного процесса методом линеаризации дифференциального уравнения

Сущность данного метода заключается в том, что в нелинейном диффе­ренциальном уравнении, описывающем переходной процесс, пренебрегают не­линейностью второстепен­ных членов этого уравнения, при этом функциональ­ные коэффициенты в этих членах заме­няются постоянными. После такой за­мены нелинейное дифференциальное уравнение пре­вращается в линейное и ре­шается известными методами (классическим или операторным).

Рассмотрим применение данного метода на примере расчета переходного тока в трансформаторе при его включении на холостом ходу к источнику сину­соидального напря­жения (рис. 245а).

Дифференциальное уравнение цепи имеет вид:

Так как активное сопротивление R обмотки трансформатора незначи­тельно, то и второе слагаемоеiR можно считать второстепенным чле­ном этого уравнения.

Выразим , гдеL = f (i,) – функциональный коэффициент, тогда дифференци­альное уравнение цепи получит вид:

.

Заменим функциональный коэффициент L = f(i,) в последним уравнении некоторым постоянным значением L = L= const, после чего дифференциаль­ное уравнение цепи стано­вится линейным относительно переменной ψ. Решение этого уравнения может быть получено классическим методом:

,

где ,.

Рис. 248

В момент включения трансформатора (0)=0 и, следовательно, постоян­ная интегриро­вания будет равна . Таким образом амплитуда сво­бодной составляющейА зависит от начальной фазы напряжения источника. При    = 90 она имеет максималь­ные значения, переходной процесс при этом протекает с максимальной интенсивностью. Пусть    = 90, тогда А = Ψ_m и решение для функции _(t) получит вид:

.

Графическая диаграмма расчетной функции (t) показана на рис. 248а.

Графическую диаграмму искомой функции i(t) можно построить методом проекции расчетной функции (t) на вебер-амперную характеристику i() (рис. 248а, б). Эта диаграмма представлена на рис. 249:

Как показывает анализ полученного решения, амплитуда первой волны потокосцепле­ния практически равна удвоенному номинальному значению: . Эта точка 1 на ве­бер-амперной характеристикеi() находится да­леко в области насыщения и ей соответствует ток I_max, значительно превышаю­щий амплитуду тока установившегося режима (), что при­мерно в 10 раз больше амплитуды номинального тока. Такой импульс пуско­вого тока совершенно не опасен для динамической или термической устойчи­вости транс­форматора, однако он может вызвать ложное срабатывание его ре­лейной за­щиты. По этой причине мощные силовые трансформаторы запреща­ется вклю­чать в сеть в режиме холостого хода. При включении в сеть нагру­женного трансформатора переходной процесс быстро затухает, при этом ампли­туда им­пульса пускового тока незначительна.