Обобщение отношений на основе предварительного анализа формулы числа десятичной системы

В третьей серии экспериментов испытуемый должен был проанализировать отношения между известным ему способом обозначения и найденной закономерностью: нужно было раскрыть значение каждого основного отно­шения формулы для действия обозначения числа.

Как позиционный принцип, так и действие обозначе­ния числа на его основе возникают из необходимости вы­ражения количественных отношений с помощью ограни­ченного числа цифр. Поэтому после нахождения формулы числа мы ставили перед испытуемым задачу раскрыть воз­можность обозначения любого числа с помощью ограни­ченного количества цифр. Эта задача требовала от испыту­емого соотнесения формулы числа с действием обозначе­ния.

Приведем один из типичных протоколов этого экспе­римента.

Протокол№37от 15.01.1957г. ' Исп.С.Б.

Эксп. В школе Вы учили десятичную систему счисления, в которой любое число обозначается с помощью десяти цифр. Как можно с по­мощью лишь десяти цифр обозначать любые числа? Напишите формулу числа

в десятичной системе, если буквы а, Ь, с, «/обозначают любые цифры, а я указывает на любое количество цифр в числе.

Исп. Я возьму, например, число 333. Оно равно 3 • 100 + 3 • 10 + 3... А у нас есть только 10, тогда можно написать так:

3 • 10³¹ + 3 • 10²¹ + 3 • 10¹¹. В формуле будет

а ■ 10^' + * • 10"² + ... + с ■ 10 + d • 10^е.

Эксп. Разъясните формулу.

Исп. В десятичной системе есть различные комбинации цифр, кото­рые обозначают число, в формуле их нужно выразить через 10.

Эксп. Почему?

Исп. Для того чтобы написать формулу, у нас есть только такие пока­затели: а, Ь, с, d— это цифры, потом их число — пи 10. Начнем справа: d— означает единицы, а по отношению к 10 это будет 10 в нулевой степени; потом идут десятки, а по отношению к 10 — это 10 в первой степени; даль­ше 100 = 100² и т. д.

Эксп. Что означает показатель степени?

Исп. Показатель степени означает разряд (числи. — А. М.)

143

Эксп. Почему показатель степени указывает на разряд?

Исп. А формулу я правильно написал? Я сейчас еще раз проверю (обращается к числу 333 и его формуле). Формула правильна. Число со­стоит из «я» цифр, но цифры в числе связаны с десяткой, единицы отно­сительно 10—10°, сотни относительно 10—10². А все число... получается как сумма из десятичных величин. Формула — это краткая запись любого числа. В формуле у нас первый показатель степени — это п — 1. Так полу­чается потому, что единицы это 10°.

Эксп. Почему число «и» вы ставите в показателе степени?

Исп. Потому что нужно найти общий вид числа в десятичной систе­ме. ., чтобы определить «л»-й член в зависимости от «и». Ну... как сказать... Чтобы член суммы был определен в зависимости от его порядка, т. е. от его места в числе. Мы пишем в числе высший разряд слева, а низший справа, например, разные числа 311 и 113.

Эксп. Чем определяется необходимость в самой десятичной системе?

Исп. Возможно раньше этого и не было, а потом стали так писать.

Эксп. Зачем нужна такая формула для обозначения числа в десятич­ной системе? Ведь первые числа мы обозначаем без всякой формулы, просто цифрами 2, 3, S.

Исп. С помощью одной цифры мы можем обозначить только отдель­ные числа, а чисел очень много, поэтому мы используем повторяемость цифр, их различные комбинации. Так мы можем обозначить любое число.

Эксп. Теперь мы будем писать числа в пятеричной системе. Здесь для обозначения любого числа есть только пять цифр: 1,2, 3,4,0. Напишите число 17.

Исп. Мы найдем, сколько здесь пятерок... 17 : 5 = 3 и остается 2. Разряд пятерок будет здесь также стоять на втором месте... Здесь будут разряды 1, 5,25... 17 = 32.

Эксп. Почему?

Исп. 32 = 3 • 5 + 2 • 1... Мы можем здесь обобщить ту формулу, которую нашли для десятичной системы, но здесь нужно заменить 10 на 5... Тогда формула будет

В пятеричной системе 32 это значит, что справа стоят единицы, на втором место стоят пятерки...

Эксп. Напишите число 138.

Исп. Это будет 523.

Эксп. Пятерок нет.

Исп. Я поделю на 25, будет 4 и остается еще 38... Нет, так нельзя. Нужно взять 53 = 125, тогда останется 13 = 2... и 3, это 23,138 = 123.

Эксп. Вы проверьте.

Исп. Третий разряд — это 25... Нет, здесь неправильно, это будет чет­вертый разряд, т. е. 1 023,125 — это на четвертом месте.

Эксп. Найдите число 43 212ц).

Исп. Мы будем пользоваться формулой, по которой строится всякое число... 43 212 = 4 -5⁴ + 3-5³ + 2-5² + 1 • 5 + 2... Теперь нужно только вы­числить (производит вычисление)... Это будет 2 932.

Эксп. Напишите число 49 в двоичной системе счисления, т. е. с по­мощью знаков 1 и 0.

Исп. Мы будем 49 делить на 2... Получается 24,1 в остатке... 24:2 = 12(0); 12:2 = 6(0); 6:2 = 3(3); 3:2=1(1)... Нет, такие получится, я буду делать без всякой системы... Возьму сразу самое большое число, составляющее сте-

144

пень двух, заключенное в 49... Это будет 32, остается 17. Следующая сте­пень — 16, остается 1... 49 - 32 + 16 + 1 = 25 + 24■+ 1, значит, это будет 100 000, затем прибавим остальное... 110 001.

Эксп. Найдите число 1111000<2>.

Исп. Здесь всего семь знаков, значит, первая единица будет 2^s...

Я напишу так:

1

1 1

10 0 0

= 64 + 32+16 + 8 = 120.

1

64 32 16 8

Эксп. Сейчас мы будем писать числа в тринадцатеричной системе, где для обозначения числа используем знаки: 1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8,9, а, Ь, с, о. Найдите число 532.

Исп. Так, значит здесь разряды будут являться степенью 13... 13°, 13, 169... Дальше 169 х 13. Это уже очень большое число, оно сейчас нам не нужно. Возьмем 169 х 3 — 507...

532 -507-3

25 —13 — 1

12-с

Это будет 31 с. Эксп. Найдите число lob_(m.

Исп. ...1вй(13)... Ага, понятно... Мы будем делать так: 1 это 13², в= 10 и разряд 13 и * = 11... 169 + 130 + 11 = 310.

Протокол эксперимента показывает, что анализ фор­мулы числа десятичной системы счисления позволяет ис­пытуемому использовать выделенный позиционный при­нцип при обозначении числа в пятеричной системе счис­ления.

Рассмотрим процесс анализа формулы числа десяти­чной системы подробнее. Используя число, составленное из одинакового количества единиц различных разрядов, испытуемый быстро выделяет отношения, составляющие позиционный принцип, и находит формулу любого числа в десятичной системе: «Я возьму, например, число 333. Оно равноЗ-100+3-10 + 3... Аунас есть только 10(т.е. нет 100 и т. д. — А. М.), тогда можно написать так:

3 • 10³¹ + 3 • 10²¹ + 3 -10'-'.

А в формуле будет

а ■ 10^я1 + Ъ ■ 10"-² + ...+ с-10 + d».

Мы видим, что использование «конкретного» числа (333) в качестве средства анализа позволяет испытуемому

145

выделить в любом числе ab...cdero существенные отноше­ния, составляющие закономерность его построения. Таким образом, вычленение закономерности построения числа является результатом процесса анализа, результатом разложения числа на элементы и выделения 10 как элемен­та любого числа. Соотнося выделенные в числе 333 отно­шения с любым числом ab.. .cd на. основе требования зада­чи (найти формулу числа), испытуемый как бы распрос­траняет найденные им отношения как закономерные на любое число.

Далее мы требовали от испытуемого проанализировать формулу числа: выделить значение каждого основного элемента формулы по отношению к другим его элементам, и через них к действию обозначения числа.

Анализируя эту формулу, испытуемый вычленяет пре­жде всего «основные показатели» числа: а, Ь, с, d — это цифры, «л» — их количество и 10. Причем 10 как элемент формулы числа вычленяется в особом значении такой еди­ницы числа, через которую нужно выразить каждый его разряд. Соотнося различные разряды числа с числом 10 (как единицей счета в десятичной системе), испытуемый раскрывает значение 10 в образовании различных разрядов числа, т. е. собственно устанавливает некоторую связь рас­крываемой закономерности с действием обозначения:

«Начнем справа: d — означает единицы, а по отноше­нию к 10 это будет 10 в нулевой степени; потом идут десят­ки, а по отношению к 10 — это 10 в первой степени; дальше 100 = 10² и т. д.

Соотнося далее показатель степени «п» с разрядом чис­ла и затем с местом цифры в числе, испытуемый устанав­ливает связь между выделенной закономерностью и ее конкретным выражением в числе, теми признаками числа, на основе которых строится действие обозначения: «Пока­затель степени? — говорит испытуемый, — означает раз­ряд» (числи.—А. М.). И далее на вопрос экспериментатора: «Почему число «я» вы ставите в показателе степени?» ис­пытуемый отвечает: «...Чтобы определить «л»-й член в за­висимости от «и». Ну... как сказать... Чтобы член суммы был определен в зависимости от его порядка, то есть от его места в числе».

При обозначении числа мы пользуемся для выражения разрядов числа непосредственно не показателем степени, а местом, занимаемым цифрой в числе. Поэтому для осу-

146

_а

ществления действия обозначения необходимо установле­ние связи между разрядом, показателем степени и местом цифры в числе, вообще между закономерностью, лежащей в основе формулы числа, и закономерностью обозначения конкретных чисел. Установление связи формулы числа с действием обозначения заключается в связи формулы или лежащей в ее основе закономерности и теми призна­ками числа, на основе которых строится действие обозна­чения. Установив закономерность, на которой основыва­ется действие обозначения, испытуемый может использо­вать ее для выполнения задания в новых условиях, т. е. может обозначать число в другой системе счисления. Задание, поставленное перед испытуемым, воспринимает­ся им не как совершенно новое, а как известное ему, но данное в несколько измененных условиях. Поэтому для его выполнения испытуемый анализирует лишь те различия, которые вносятся новыми условиями в известную ему за­кономерность и выделяет значение 5, как основного эле­мента, определяющего эти различия: «Мы найдем, сколь­ко здесь пятерок... 17:5 = 3 и остается 2. Разряд пятерок бу­дет здесь также стоять на втором месте... Здесь будут разряды 1, 5, 25 и т. д... 17 = 32».

В соответствии с найденной ранее закономерностью образования разрядных единиц в числе и их значением в обозначении числа испытуемый сразу находит содержа­ние разрядов в новой системе счисления. Это позволяет ему также сразу найти форму обозначения числа 17 в новых условиях. На основе выделения значения 5 как основания системы в образовании разрядов числа испытуемый видо­изменяет и формулу числа: «Мы можем здесь обобщить ту формулу, которую нашли для десятичной системы, но здесь нужно заменить 10 на 5... Тогда формула будет

Таким — образом, как показали эксперименты, испы­туемый, найдя формулу построения числа в десятичной позиционной системе счисления, оказывается не в состоя­нии обозначать числа в недесятичных позиционных систе­мах счисления (пятеричной и др.); для того чтобы это было возможно, испытуемый должен проделать еще одно звено анализа — выделить соотношения между элементами фор­мулы числа и способом обозначения.

147

В ходе наших экспериментов перед испытуемым стави­лась задача: найти общую формулу (включающую законо­мерные отношения) выражения любого числа в позицион­ной системе счисления. Испытуемые (знакомые лишь с формой написания чисел в десятичной системе) прихо­дили к этому обобщению, лишь проанализировав отноше­ния, лежащие в основе позиционных систем счисления, и выделив (абстрагировав) их из конкретных условий, за­данных в эксперименте (десятичной, пятеричной и других позиционных систем). Анализ отчетливо выступает здесь как условие обобщения, обобщение как результат анализа и условие «переноса» принципа в другие условия.

Ход экспериментов показал, что и уже найденная обоб­щенная формула не всегда обеспечивает возможность об­означения конкретных чисел в соответствующих системах счисления. Рассмотрение затруднений, на которые натал­киваются при этом испытуемые, показывает, что не только обобщение, приводящее от обозначения конкретных чи­сел к формуле их построения, но и обратный процесс кон­кретизации общей формулы, необходимый для написания определенного числа, требует анализа, в данном случае анализа соотношений между разрядом числа, выражен­ным в общей формуле показателем степени основания системы, и местом цифры в числе, которым выражается разряд при написании числа.

Применение достигнутого обобщения (общей форму­лы) на практике, при выполнении действия, требует его конкретизации, выражающейся в анализе конкретных условий выполнения задания посредством соотнесения обобщения с этими условиями.

Возможность обозначения чисел в новых позиционных системах счисления так же, как и возможность выполне­ния любого действия в новых условиях, зависит от того, насколько проанализированы и обобщены условия, регу­лирующие эти действия. Чем менее глубок анализ и широ­ко обобщение, тем более действие фиксировано, прикова­но к исходным условиям; чем глубже анализ, тем шире об­общение и возможность использования регулируемых им действий в новых условиях.

В излагаемых экспериментах мы использовали такой сопоставимый материал, который не требовал выделения формул и был менее связан со словесной системой нумера­ции. Мы взяли обычные русские счеты (счетный прибор),

148

но количество косточек на их рядах изменялось в экспери­менте с помощью картонной коробки, которая одевалась на счеты и закрывала сдвинутые влево «лишние» косточки. Таким образом получались счеты, отвечающие различным системам. Например, для того чтобы получить счеты пяте­ричной системы, в каждом их ряду пять косточек сдвига­лись влево и закрывались коробкой, а открытыми остава­лись остальные пять косточек; для того чтобы получить счеты двоичной системы, сдвигались влево и закрывались коробкой восемь косточек — открытыми оставались две косточки, и т. д.

На счетах числовое содержание разрядов выражается рядами косточек, а единица каждого разряда обозначается одной косточкой соответствующего ряда. Число на счетах обозначается косточками, имеющими одинаковую внеш­нюю форму и различающимися по своему числовому со­держанию в зависимости от основания системы счисления и ряда, на котором расположены косточки. Сумма косто­чек первого ряда счетов составляет единицу второго разря­да и является основанием той системы счисления, на кото­рой основаны счеты.

В наших экспериментах испытуемые последовательно решали систему задач, требующих выделения отношений, необходимых для обозначения числа на тех или иных сче­тах. В излагаемых опытах участвовало 10 взрослых испыту­емых со средним и высшим образованием, не знакомых с другими системами счисления, кроме десятичной.

В экспериментах от испытуемого вначале требовалось выделить на счетах десятичной системы отношения между разрядами, достаточные для обозначения числа на этих счетах. Второе задание требовало от испытуемого приме­нения выделенных отношений в новых условиях. Необхо­димо было обозначать числа на других счетах, также осно­ванных на позиционном принципе, но отличающихся от первых другим количеством косточек на каждом ряду (пять, три и т. п.).

Второе задание было контрольным. Оно позволяло проверить применение испытуемым известного ему при­нципа обозначения числа. Естественно, что умение при­менять известные отношения и основанные на них де­йствия в новых условиях означает наличие обобщения. Таким образом, для нас показателем обобщения являлось

149

умение испытуемого использовать в новых условиях рас­крытые ранее отношения.

Если же обобщение отсутствовало (испытуемый не мог сразу выполнить задания на «пятеричных счетах»), эта сис­тема заданий требовала выделения новых отношении и служила формированию обобщения. В этом случае кон­трольным являлось задание, требующее обозначения чи­сел на новых счетах.

Результаты. Анализируя условия обозначения числа на счетах десятичной системы, испытуемые раскрывали основное правило обозначения числа на этих счетах («де­сять косточек нижнего ряда равны одной косточке сосед­него высшего»). Иногда испытуемые формулировали это положение в более общей форме («все косточки нижнего ряда равны одной косточке высшего»). Однако и сформу­лировав правило обозначения, испытуемые не могли ис­пользовать этот принцип в новых условиях. Для обозначе­ния числа на пятеричных счетах им приходилось вновь раскрывать принцип позиционного построения счетов. Только после анализа условий обозначения на пятеричных счетах испытуемые достигали такого уровня обобщения отношений, на основе которого могли сразу обозначать числа и на других счетах.

Рассмотрим этот процесс подробнее на основе одного типичного протокола с исп. Ф. Т.

При переходе от обозначения числа на счетах десятич­ной системы к пятеричным счетам этот испытуемый не ис­пользовал позиционного способа обозначения чисел. Затруднение заключалось в том, что известный испытуе­мому способ обозначения чисел основывается на исполь­зовании числовых значений косточек десятичных счетов (1, 10, 100, 1000); на новых счетах с помощью этих значе­ний выразить числа нельзя.

Перед испытуемым возникала задача раскрыть отно­шения, на основе которых стало бы возможным обозначе­ние чисел на новых счетах. Решая эту задачу, испытуемый пытался преобразовать счеты пятеричной системы в счеты десятичной системы (например, предлагал считать второй ряд счетов также за единицы, т. е. принимал второй ряд за продолжение первого). Такое решение не удовлетворяло условию задачи.

Использовав различные значения косточек счетов де­сятичной системы, испытуемый произвольно придавал

150

*■-

косточкам в новых условиях различные значения — «2», «3» и т. п. (лишь бы выполнить данное задание, например обозначить число 7). Но такое «выполнение» задания не позволяло решить сколько-нибудь более сложную задачу (например, обозначить число 26). Тогда испытуемый начи­нал поиски нового способа образования значений косто­чек второго ряда счетов. Отложив пять косточек первого ряда, он только теперь обнаруживал, что их можно заме­нить одной косточкой второго ряда, которая получает зна­чение «5». Такое решение позволяло ему обозначать числа до 30, но не больше. Например, в задании 26+6, прибавив 4 (т. е. получив 30), он должен найти способ образования следующего разряда (найти значения косточек третьего ряда). Решая эту задачу, испытуемый опять обращался к счетам десятичной системы и использовал отношения между ее разрядами как принцип образования значений косточек третьего ряда на новых счетах. Косточки третьего ряда обозначались как равные «50». Но в этом случае не­льзя выполнить задания по обозначению требуемого числа (32). И вот здесь испытуемый «замечал», что на каждом ряду пять косточек, что он уже использовал принцип уве­личения в 5 раз.

Выделение значения косточек третьего разряда (25) привело испытуемого к выделению принципа образования следующих высших разрядов (125, 625 и т. д.), так как при этом им была раскрыта новая зависимость — зависимость отношений между разрядами от количества косточек на рядах счетов.

Переход к обозначению на счетах новых систем счисле­ния (с основаниями 2, 3, 4, 7 и т. д.) не вызывал труднос­тей — испытуемый сразу находил новые значения косточек разрядов и правильно обозначал числа на этих счетах.

Результаты проведенных экспериментов показывают, что большая простота материала (по-сравнению с система­ми нумерации) при обозначении чисел на счетах облегчала испытуемым процесс обобщения отношений и естествен­но приводила к сокращению этапов анализа, необходимых для достижения обобщения. Можно выделить два этапа анализа, в результате которых испытуемые приходили к обобщению отношений на счетах. Эти этапы характери­зуются последовательным решением следующих двух за­дач:

151

а) выделения числового значения косточек второгоразряда на счетах пятеричной системы,

б) выделения отношений между соседними разряда­ми («в 5 раз больше») и их зависимости от коли­чества косточек на ряду счетов.

Кроме того, большая простота материала позволяет расчленить каждый этап анализа на отдельные звенья. Решая первую задачу, испытуемые вначале пытались ис­пользовать действия, основанные на числовых значениях разрядных косточек счетов десятичной системы. Однако эти действия не соответствовали новым условиям обозна­чения. Попытки использовать известные действия в новых условиях составляют начальное (первое) звено процесса анализа, в результате которого испытуемые раскрывали несоответствие известных действий требованиям новых условий и переходили к их анализу¹, т. е. переходили к ана­лизу условий обозначения на счетах пятеричной системы.

Второе звено первого этапа анализа выражалось в по­пытках² определения испытуемыми числового содержа­ния косточек на новых счетах. В результате этого звена анализа испытуемые раскрывали условия новой задачи: они обнаруживали, что на каждой проволоке новых сче­тов — по пять косточек.

Завершающее (третье) звено первого этапа анализа со­стояло в выделении нового отношения («в пять раз боль­ше»), на основе которого испытуемые раскрывали новые числовые значения косточек второго ряда.

На основе выделенных значений испытуемые могли обозначать числа на новых счетах в пределах двух первых разрядов, но не могли обозначить большего числа, требую-щего перехода в следующий разряд.

¹ В психологической литературе этот факт обозначается как «фиксация»(fixedness) [R. F. Maier N (1930); Н. G. Birch (1945); Н. G. Birch,Н. G. Rabinovich (1951); R. E. Adamson (1952) и др.)

Звено «фиксаций» не представляет самостоятельного этапа'анализа, в результате которого раскрывались бы какие-то новые зависимости. Наличие этого звена характеризует в большинстве случаев уровень ис­ходных знаний испытуемого по отношениию к требованиям поставлен­ной перед ним задачи и всегда свидетельствует о том, что данную задачу испытуемый может решить только «продуктивным» путем. Это звено анализа описано в психологической литературе как мышле­ние в форме «проб и ошибок».

² Это звено анализа описано в психологической литературе как мышле­ние в форме «проб и ошибок».

152

Выполнение этого задания составляло второй этап процесса анализа. Испытуемые вначале пытались исполь­зовать для определения числового содержания косточек третьего разряда отношения, выделенные на десятичных счетах («в десять раз больше»). Но так как на предыдущем этапе было выделено количество косточек на каждом ряду новых счетов (пять), то числовое значение косточек третьего ряда определялось как равное пятидесяти. Эта попытка неадекватного использования ранее выде­ленных отношений в новых условиях и составляла первое звено второго этапа анализа. Во втором звене анализа испы­туемые вновь раскрывали отношение («в пять раз больше») между соседними разрядами при определении числового содержания косточек третьего разряда (25).

На втором этапе анализа выделенное отношение отвле­калось от тех конкретных условий (отношения между пер­вым и вторым разрядом), в которых оно было перво­начально выделено, и использовалось испытуемыми при образовании любого следующего разряда на счетах пяте­ричной системы.

При необходимости обозначения чисел на других сче­тах («двоичных», «троичных» и т. д.) большинство испыту­емых сразу использовало выделенное отношение в его об­щей форме («увеличить во столько раз, сколько косточек на каждом ряду новых счетов»), отвлеченное (абстрагиро­ванное) от конкретных условии тех счетов (десятичных и пятеричных), в которых оно было раскрыто. Перед ис­пытуемыми не ставилось задачи найти принцип построе­ния любых позиционных счетов. Обобщение этого отно­шения происходило в самом процессе анализа условий об­означения на пятеричных счетах, где испытуемые, пытаясь использовать отношения, раскрытые на десятичных сче­тах, невольно соотносили условия обозначения на разных счетах, приходя таким образом к выделению общей зави­симости, характерной для различных счетов.

153

^{Два типа обобщения отношений}

Задачей экспериментов, излагаемых в данном сообще­нии, являлось исследование условий анализа и обобщения отношений при постановке перед человеком теоретичес­кой (познавательной) задачи. В этой серии основная экспериментальная трудность заключалась в том, чтобы в пределах счетов одной системы счисления поставить ис­пытуемого в такую проблемную ситуацию, которая требо­вала бы выделения отношений, составляющих позицион­ный принцип построения счетов любой системы счисле­ния.

В предыдущей серии экспериментов [31] испытуемому нужно было раскрыть основание (обобщить отношения) для нового практического действия обозначения. В дан­ной же серии мы требовали от испытуемого обосновать тот способ обозначения, которым он владел. В наших опытах такая ситуация создавалась путем постановки системы вопросов, требовавших теоретического обоснования со­держания известных испытуемым отношений (в десять раз больше) и числового содержания значений косточек на де­сятичных счетах. Соответственно перед испытуемыми ста­вились, например, такие вопросы: «Почему числовое со­держание косточек на соседних рядах счетов изменяется в последовательности 1,10,100,1000 и т. д.?», «Чем опреде­ляется отношение в десять раз больше (меньше), сущес­твующее между единицами соседних разрядов счетов?» Отношения, выделенные в вопросах и требующие обосно­вания, составляют основу действия по обозначению числа на десятичных счетах. Поэтому их обоснование является одновременно обоснованием известного действия.

В качестве контрольного задания, позволявшего судить о достигнутом обобщении отношений, перед испытуемы­ми ставились задачи, требовавшие обозначения чисел на счетах других систем счисления (пятеричных, троичных и т. д.). В опытах участвовали 10 испытуемых с высшим об­разованием, не знакомых со счетами других систем счис­ления, кроме десятичной.

154

Результаты экспериментов показали, что те испытуе­мые, которые успешно решали поставленные перед ними задачи, вместе с тем достигали такого уровня обобщения отношений, который позволял им сразу обозначить числа на счетах любой другой системы счисления. Те же, которые не смогли обосновать известный им способ обозначения чисел на десятичных счетах, вынуждены были раскрывать обобщаемые отношения в процессе последующего прак­тического обозначения чисел на других (недесятичных) счетах. Рассмотрим особенности процесса обобщения по одному из протоколов экспериментов.

Протокол № 9от22/Ш 1957 г. Исп. 3. П.

Анализируя условия обозначения на счетах десятичной системы, испытуемый выделяет числовое содержание единиц различных разрядов и их необходимость для обозначения числа на счетах.

Эксп. Каким образом можно откладывать и оперировать с такими большими числами на счетах? Ведь косточек немного.

Исп. Это можно узнать потому, что мы суммируем косточки, располо­женные на различных рядах... В зависимости от того, на каком ряду нахо­дится косточка, она будет обозначать 1,10,100 и х д.

(Испытуемый выделяет также и отношения между разрядами на сче­тах десятичной системы).

Исп. Каждая косточка нижнего ряда отличается от соседнего высшего в 10 раз.

Эксп. Это относится только к ряду единиц?

Исп. Нет, такое отношение существует между косточками всех сосед­них рядов.

Однако как показали опыты предыдущей серии экспериментов, вы­деление лишь этих отношений, составляющих закономерность образова­ния разрядов на счетах десятичной системы счисления, не позволяет ис­пытуемому использовать ее в новых условиях без их предварительного анализа. Поэтому далее мы ставили перед испытуемым задачу, требую­щую раскрыть отношения, определяющие способ образования разрядов («Чем определяется отношение между рядами? Чем определяется значе­ние косточек следующего ряда?»). Решая эту задачу, испытуемый выделя­ет тот признак, который указывает на числовое содержание косточек ряда — положение ряда на счетах, т. е. раскрывает признак, на основе ко­торого строится действие по обозначению числа. Однако выделение этого признака, существенного для раскрытия позиционного принципа по­строения счетного прибора, все же не выходит за пределы конкретных условий счетов десятичной системы. Здесь обнаруживается, что в раскры­том признаке, указывающем содержание разрядов на счетах десятичной системы, испытуемый не предполагает (не допускает) никакой законо­мерной зависимости, определяющей числовое содержание различных разрядов. Как содержание единиц разрядов на счетах, так и способ их об­разования пока являются для испытуемого лишь условностями.

Исп. Это условно; 100 находится на третьем месте от единиц. Значе­ние косточки второго ряда получается путем умножения единицы на 10, ' а значение косточки третьего ряда образуется путем умножения десяти на десять — это 100.

155

Для раскрытая этой закономерности испытуемому нужно прежде всего выделить ее необходимость для выполнения действии по обозначе­нию на счетах.

Эксп. Значит, числовое содержание косточек можно назначать произ­вольно?

Исп. Это условно в том отношении, что на первом ряду единицы, а на втором — десятки... Можно же взять, например, 20.

Эксп. Положите число 15 (на счетах).

Исп. Да, так не получается, значит, здесь есть какой-то закон.

(Выделение необходимости еще нераскрытой закономерности вызы­вает дальнейший анализ условий обозначения).

Исп. Первый ряд у нас обозначает единицы. Если в первом ряду у нас десять косточек, то чтобы получить следующий ряд, мы должны его уве­личить во столько же, сколько косточек в первом ряду. Ибо, если мы по-другому будем находить косточки, то тогда мы не сможем обозначать число. Например, единиц больше, чем в первом ряду, у нас нет, и для того чтобы обозначить большое число, каждая косточка второго ряда должна обозначать десять единиц.

Таким образом, анализируя вновь условия обозначения, испытуемый выделяет зависимость числового содержания косточек высшего ряда (и способа его образования) от количества косточек, обозначающих еди­ницы. Выделение этого отношения выражает установление зависимости содержания разрядов и принципа их образования от основания системы счисления, т. е. общей зависимости для всех счетов, основанных на пози­ционных системах счисления. Это позволяет испытуемому использовать раскрытый принцип в новых условиях обозначения без их предваритель­ного анализа.

Эксп. Теперь мы будем считать на других счетах, где для обозначения единиц есть всего 5 косточек. Отложите на этих счетах 7.

Исп. Так, здесь косточки на втором ряду уже будут равняться 5 едини­цам. 7 — это будет (откладывает одну косточку на втором ряду (5) и две косточки на первом).

Эксп. Отложите на счетах число 30.

Исп. Так, на первом ряду — единицы, дальше — 5, затем пять, умно­женное на пять — двадцать пять, 30 будет так (откладывает одну косточку третьего ряда (25) и одну второго (5).

Эксп. Отложите число 7 на этих счетах (на каждом ряду по четыре кос­точки).

Исп. Здесь будут такие ряды: 1,4,16... Мне нужно 7. Это 4 (одна кос­точка второго ряда) и 3. Все разряды здесь образуются путем умножения (единицы предшествующего разряда) на 4.

Из материала протокола видно, что, выполняя задание в новых условиях, испытуемый сразу использует принцип образования разрядов в соответствии с изменившимися условиями обозначения и находит содержание единиц раз­рядов на новых счетах без развернутого анализа условий обозначения.

На основе достигнутого обобщения сам анализ приоб­ретает новую форму, становится действием анализа, в основе которого лежат уже выделенные отношения.

156

Так, например, в одном из опытов (протокол № 10от 23/Ш 1957г., испытуемый Я. Я.) при переходе к новым счетам ис­пытуемый отмечал: «Исходным у наших новых счетов яв­ляется то, что отдельные ряды определяются новым соот­ношением. Если раньше это соотношение было десяти­кратное, то теперь оно равно трем».

Материалы излагаемых экспериментов демонстрируют возможный путь процесса обобщения который выражался в решении испытуемым ряда задач, требующих обоснова­ния известного принципа обозначения на счетах одной (десятичной) позиционной системы счисления. Процесс анализа, идущий по этому пути, проходит два основных этапа.

Первый этап заключается в раскрытии самой необхо­димости выделения обобщаемых отношений для обосно­вания принципа обозначения числа на счетах; второй этап составляет процесс установления зависимости отношений между разрядами от количества косточек на каждом ряду счетов.

Таким образом, как показало наше исследование, воз­можны два пути обобщения отношений. Их различия в са­мых общих чертах определяются различиями двух видов деятельности человека (практической и теоретической), в процессе выполнения которых осуществляется процесс обобщения, и тем исходным (начальным) уровнем обоб­щения, с которого начинается процесс анализа. Так, в двух сериях ранее рассмотренных экспериментов[1], [3], обоб­щение отношений осуществлялось в процессе выполне­ния практического задания по обозначению чисел в новой системе счисления. В одной из ранее рассмотренных, а также и в только что изложенной серии опытов обобще­ние отношений происходило в процессе выполнения тео­ретической деятельности — логического обоснования об­общаемых отношений.

Второй путь анализа возможен на основе такого исход­ного уровня обобщения, который позволяет вне непосре­дственного действия и непосредственного сопоставления различных условий раскрыть новые отношения, лежащие в основе нового уровня обобщения.

Эти общие различия путей процесса обобщения отно­шений выражаются как в условиях процесса, так и в содер­жании (строении) самого этого процесса. Однако было бы неправильно сводить эти различия к так называемым двум

157

2. 3. 4. 5.

видам мышления — «практическому» и «теоретическому». Закономерности мышления остаются общими для одного и другого вида.

Результаты проведенного исследования показывают также роль обобщения в процессе осуществления регули­руемых им действий. Эта зависимость наиболее полно проявляется в особенностях этапов (или уровней) форми­рования обобщения. Эти этапы (уровни) представляют со­бой последовательное углубление процессов мышления в закономерные отношения, составляющие основу требуе­мого от человека действия. Протекание действия, выпол­няемого человеком, полностью определяется тем уровнем, которого достиг человек в процессе анализа отношений, регулирующих действие. Чем более глубокие закономер­ные отношения лежат в основе действия, тем шире воз­можности его использования («переноса») в другие усло­вия и, напротив, чем поверхностнее выделенные отноше­ния, лежащие в основе действия, тем уже возможности его использования в новых условиях и тем шире возможности «фиксаций», т. е. невозможности «выхода» субъекта за рамки сложившегося способа действия.

По мере формирования более высокого уровня обоб­щения отношений действие может не только использо­ваться в чрезвычайно широких условиях, включающих эти отношения, но и выполняться без развернутого анализа новых условий. Этот факт является следствием формиро­вания обобщения. Со стороны изменения формы выпол­няемого действия он выступает как сокращение действия. И это естественно, ибо действие, основанное на обобще­нии, регулируется в процессе своего осуществления лишь существенными признаками и отношениями, выделенны­ми в процессе анализа.

Таким образом, необходимо различать две стороны де­йствия, являющиеся следствием обобщения. Одна сторо­на обобщения связана с осуществлением действий, основан­ных на обобщении, и проявляется как «перенос» или воз­можность использования действий в новых условиях. Другая сторона связана с развитием или становлением де­йствий, основанных на обобщении, т. е. с их изменением в процессе обобщения. Эта сторона выражается в том, что по мере углубления процесса обобщения действия, осно­ванные на обобщенных свойствах и отношениях, приобре­тают новую форму. Там, где вначале было развернутое де-

158

йствие, опирающееся на внешние признаки и отношения, теперь возникает «сокращенное» действие, основывающе­еся на существенных свойствах и отношениях.