5. Заказ 1*3539.

анализ можно произвести только на конкретном числе: не­известное, выраженное в требованиях задачи, может лишь направлять этот процесс анализа. Поэтому задача найти содержание каждой единицы в числе требует расчленить число, разложить его на разряды, образование которых из­вестно. Это позволяет испытуемому перейти к более глубо­кому анализу числа, определяемому требованием — напи­сать его формулу. Испытуемый находит формулу построе­ния числа, в котором каждый разряд обозначен единицей, выделяя отношения между разрядами внутри числа.

Решая следующую задачу, которая включает различные показатели разрядов в числе, испытуемый использует для анализа как ранее выделенные отношения, составляющие принцип построения числа, так и способ анализа, выра­женный в соотнесении неизвестного «любого» числа а^Ы с конкретным числом, в котором л = 4.

П

В процессе соотнесения испытуемый разлагает неиз­вестное «любое» число при « = 4 на его разряды, показате­лями которых теперь являются буквы а,Ь,сн d. На основе этого опосредования, представляющего собой разложение числа, произведенного в решении предыдущей задачи, ис­пытуемый находит общую формулу любого числа в десяти­чной системе.

Мы видим, таким образом, что нахождение формулы числа в десятичной системе является результатом анализа и синтеза, последовательно раскрывающих закономерные отношения в числе. Решая поставленные задачи, испытуе­мый выделил позиционный принцип построения числа в десятичной системе, выразил эти закономерные отноше­ния в общей формуле и использовал их для обозначения конкретного числа.

После того, как испытуемый вычленил закономерность построения числа в десятичной системе счисления, ему было предложено обозначить число 17 в пятеричной сис­теме счисления с помощью цифр 1, 2, 3,4, 0. Как мы уже указывали, нас интересовала роль, которую будет играть выделенная испытуемым закономерность в процессе усво­ения новой системы счисления, основанной на том же са­мом (позиционном) принципе.

Как видно из протокола, выполняя задание (обозна­чить число 17), испытуемый в условиях новой задачи не'

130

может выделить тех закономерностей, которые им были раскрыты для десятичной системы счисления, поэтому он и не может сразу найти способ обозначения числа в новых условиях. Несоответствие старого способа новым услови­ям вызывает процесс анализа условий задачи: «Здесь долж­на быть какая-то система, какой-то принцип. Если я напи­шу так же, как в десятичной системе, например, один и два (12), то это будет двенадцать?.. А зачем здесь дан нуль? Ведь 4 и 0 — это все равно не будет сорок. «0» в десятичной сис­теме показывает место цифры, а здесь он зачем?»

Анализируя новые условия, испытуемый соотносит как числа, выраженные с помощью цифр пятеричной системы (22), так и отдельные ее элементы (например, количество цифр) с соответствующими числами (12) и элементами де­сятичной системы. Но, как видно из протокола, соотнесе­ние с десятичной системой не ведет к какому-либо продук­тивному результату. Испытуемый устанавливает лишь раз­личие систем счисления с различным основанием, не раскрывая общего принципа обозначения чисел в различ­ных позиционных системах. «Ведь это отдельные цифры, которые не имеют никакой системы», — заявляет испытуе­мый, не обнаруживая здесь закономерности, на основе ко­торой строится число в десятичной системе. Испытуемый не видит того, что здесь нужно использовать общую зако­номерность, заключенную в десятичной системе.

Задание написать число 17 в пятеричной системе может быть выполнено сразу, лишь когда уже выделена общая за­кономерность построения чисел в этой системе. Испытуе­мый не выполняет этого задания, поэтому мы ставим перед ним более простое задание — написать число 5. Это задание может быть выполнено без помощи общей формулы путем продолжения числового ряда. Для числа 5 нет соответствующей цифры в пятеричной системе, его нужно обозначить другим способом. Потребность в спосо­бе обозначения числа вызывает процесс анализа, который, как мы видим из протокола, осуществляется и здесь через акт синтеза. Этот синтез выражается в соотнесении числа, требующего своего обозначения, с соответствующим ему (по месту, занимаемому в числовом ряду) по форме числом десятичной системы. Испытуемый говорит: «Здесь, когда дальше нет цифр, должен начинаться второй ряд: 1, 2, 3.4, 0; 1, 2, 3, 4, 0... Это второй ряд. Посмотрим, как обознача­ется вторая единица в десятичной системе? Там единица

« 131

и нуль — это десять. Выходит, что здесь единица с нулем — это будет 5... Когда я пишу 1 — это 1. Когда один с нулем — это 10. Здесь, когда 1 — это 1. В десятичной дальше две еди­ницы (11) — это 11. А здесь тогда 11 — это — 6... Вот и все. Я строю по десятичной системе... 21 = 11,22 = 12...»

Опираясь на соотнесение получающегося таким обра­зом числового ряда пятеричной системы с соответствую­щими элементами ряда десятичной системы, испытуемый выделяет форму обозначения числа в пятеричной системе и находит соответствующий выделенным отношениям способ обозначения.

Но этот способ не основан на выделении закономер­ности построения числа в пятеричной системе счисления, поэтому испытуемый продолжает анализ с целью выделе­ния закономерности, необходимой для выполнения по­ставленного задания:

Эксп. Напишите 38 (в пятеричной системе).

Исп. Здесь нужно найти систему, а то Вы, пожалуй, да­дите написать какое-либо большое число... 5 = 10; 10 = 20; в два раза больше. А 24 = 14; 32 = 17... Нет, системыя еще не знаю.

Необходимость анализа новых условий определяется потребностью в выделении общей закономерности. Для этого испытуемый строит числовой ряд в пятеричной системе счисления:

2 3 2-3

4 10 11 4 5 6

и т. д . (См. решение испытуемым Л. Д. задачи написать число 149 в пятеричной системе, с. 125—126).

Анализируя числовой ряд, испытуемый выделяет «основные числа» («Возьмем основные числа: 5,25... Даль­ше должно быть 125м так далее... Это 5 в какой-то степе­ни»), составляющие единицы разрядов усваиваемой новой системы счисления. Соотнося их друг с другом, испытуе­мый выделяет принцип образования разрядов в новой сис­теме счисления, выделяет основание системы счисления (5) как основную единицу образования числа в пятерич­ной системе счисления. На основе его выделения испытуе­мый действительно может найти любое число, хотя он и не раскрыл еще других отношений, составляющих законо­мерность, выражаемую в формуле числа. Для того чтобы

132

найти формулу числа, недостаточно знать принцип обра­зования разрядов. Нужно еще раскрыть способ соедине­ния различных разрядов в числе, форму их выражения не как отдельных чисел, а как таких единиц счета, из которых состоит любое число.

Поэтому мы далее предлагали испытуемому задачу (на­йти число 111(5) которая требовала анализа этих отноше­ний, необходимых для выделения выражаемой в формуле закономерности (см. Протокол № 30: с. 124).

Разлагая число пятеричной системы на составляющие его разряды, испытуемый находит числовое содержание новых разрядов. При этом он использует для анализа ранее выделенный принцип образования разрядов. На этой основе испытуемый выделяет аддитивный принцип обра­зования числа, форму выражения разрядов не как отдель-ных.чисел, а как компонентов числа.

Таким образом, основные отношения, составляющие закономерность образования числа в пятеричной системе счисления, выделены испытуемым до решения задачи, требующей найти формулу числа при решении задачи об­означить число в пятеричной системе. Задача «написать формулу числа» решается испытуемым сразу потому, что им уже выделены те отношения, которые теперь нужно вы­разить и формуле числа.

Необходимость в выделении закономерных отноше­ний в формировании обобщения определяется здесь тем, что вне обобщения испытуемый не смог бы выполнить предлагаемого ему задания.

В качестве контрольного эксперимента, в котором можно было проверить уровень обобщения и его роль при выполнении задания в новых условиях, мы ставили перед испытуемым задания, требующие обозначать числа в двух (новых) позиционных системах счисления и найти форму­лу построения числа для любой позиционной системы счисления.

Как показывает приведенный протокол, выделение за­кономерности построения числа в пятеричной системе счисления позволяет испытуемому использовать эту зако­номерность для обозначения числа в условиях других по­зиционных систем счисления. Испытуемый теперь уже не анализирует принципов построения числа в новых услови­ях, а использует ранее найденную формулу, учитывая те из­менения, которые произошли в условиях задания: «Общая

133

формула та же, — говорит испытуемый, — только основа­ние системы другое». Испытуемый может теперь написать также формулу числа для любой системы счисления.

Это значит, что в процессе усвоения пятеричной систе­мы счисления испытуемый раскрыл закономерные отно­шения, составляющие содержание обобщения. Наличие обобщения и позволило испытуемому действовать в новых условиях без их предварительного анализа.

В чем же заключаются причины того, что испытуемый не может использовать раскрытой им закономерности после ее выделения в условиях десятичной системы и, на­против, использует ее на основе анализа условий обозначе­ния в пятеричной системе?

Объяснение этого факта мы видим в характере тех эта­пов, которые проходит процесс анализа до достижения требуемого обобщения.

Анализируя условия обозначения в десятичной системе счисления, испытуемый выделяет лишь отношения, необ­ходимые для выполнения задания в данных конкретных условиях. Раскрываемая испытуемым закономерность оказывается слитой с теми конкретными отношениями, которые составляют принцип построения числа в десятич­ной системе. И, пытаясь использовать найденную им фор­мулу целиком, а не ее общей принцип, испытуемый естес­твенно приходит к выводу б невозможности выполнения задания в новых условиях в соответствии с закономернос­тями десятичной системы.

Для выполнения задания в новых условиях требуется более высокий уровень обобщения, содержанием которо­го является закономерность построения любого числа в лю­бой позиционной системе счисления. Путь выделения этой общей закономерности, составляющей новый уровень об­общения, и выражен в процессе анализа пятеричной сис­темы счисления. Раскрывая закономерности обозначения числа в пятеричной системе, испытуемый проходит ряд этапов, характеризующих движение процесса анализа и достигаемые при этом различные уровни обобщения.

1. На первом этапе анализа условий обозначения в новой системе счисления испытуемый, соотнося условия об­означения чисел в новой системе с их обозначением в десятичной системе, раскрывает формулу обозначения отдельного числа. На этой основе он может обозначать

134

числа только путем продолжения числового ряда от из­вестного числа (5 = 10; 6 = 11; 7 = 12 и г д.).

2. На втором этапе, выделяя в полученном числовом рядуединицы разрядов новой системы счисления (5, 25,125) и соотнося их, испытуемый раскрывает принципобразования единиц разрядов. На основе выделенияэтой закономерности испытуемый может обозначатьчисла путем продолжения числового ряда по единицамразрядов (25=100; 125=1 000; 625=10 000; 627=10 002),не используя всего числового ряда.

3. На третьем этапе, разлагая число, обозначенное с по­мощью единиц (111 = 125 + 5 + 1 = 131), испытуемыйраскрывает принцип соединения различных разрядовв числе. Это позволяет ему обозначать числа, разлагаяих на единицы разрядов и не используя при этом число­вого ряда (627 = 10 000 + 2 = 10 002).

4. Используя результаты проделанного анализа, испытуе­мый на четвертом этапе без труда раскрывает формулупостроения любого числа в новой системе счисления.На этой основе он может сразу как обозначить любоечисло в новой системе счисления, так и найти числовоесодержание, выраженное в новой форме (1 023 = 125 +10 + 3 = 138).

5. Соотнося далее закономерность построения числав пятеричной системе с закономерностью построениячисла в десятичной системе, испытуемый дифферен­цирует различия в основаниях систем счисления и вы­деляет общее значение основных отношений для об­означения числа в различных позиционных системах.Это и позволяет испытуемому после анализа условийобозначения числа в пятеричной системе обозначатьчисла в любых позиционных системах счисления.

Этапы движения процесса анализа и достигаемые при этом различные уровни обобщения позволяют объяснить факт использования раскрытой испытуемым закономер­ности в новых условиях в результате анализа условий об­означения пятеричной системы счисления. Однако этапы движения процесса анализа не позволяют полностью объ­яснить второй факт — отсутствие такого использования после .выделения закономерности в условиях одной деся­тичной системы. С целью объяснения этого факта были проведены еще две серии экспериментов (вторая и третья).

135