Обобщение отношений на основе предварительного выделения формулы числа в десятичной системе

В первой серии экспериментов перед испытуемым вна­чале ставилась задача найти формулу любого числа в деся­тичной системе.

В процессе решения этой задачи (включающей ряд частных задач) испытуемый раскрывал отношения, со­ставляющие закономерность построения числа в десяти­чной системе и включающие принцип построения числа в любой позиционной системе счисления.

Перед испытуемым ставилось задание обозначать чис­ла в пятеричной системе счисления, т. е. с помощью пяти цифр (1,2,3,4,0).

Новое задание требовало от испытуемого использова­ния той закономерности, которая была им выделена в про­цессе анализа десятичной системы и выражена в формуле любого числа десятичной системы.

Можно было ожидать, что испытуемый использует вы­деленную закономерность построения числа в новых усло­виях.

Рассмотрим типичный протокол экспериментов.

123

Протокол №30 от 3.01.1957 г.

Эксп. В школе Вы учили десятичную систему счисления. Сейчас да­вайте проверим, как хорошо Вы ее знаете. Напишите число 1 233 489.

Исп. (Пишет).

Эксп. Очень хорошо. Напишите формулу числа JLJJ, т. е. числа, вы­раженного с помощью единиц, где «л» обозначает любое количество еди­ниц в числе.

Исп. Никак не могу понять, как можно написать такую формулу. Ведь это не сумма «я» единиц?.. Или, если взять единицу «л» раз, тогда опять только сумма единиц... Нет, ничего не получается. Если я так буду решать задачи, то у меня ничего не выйдет. Может быть мне лучше уже не начи­нать?

Эксп. Давайте сначала найдем формулу для числа JOJLj}, где «т»обозначает любое количество нулей. *

Исп. Так это не легче. Вся трудность в том, что нулей может быть лю­бое число.

Эксп. Решите эту задачу для случая, где т = 5.

Исп. Значит, пять нулей — 100.000.

Ага, посмотрим — 10,100... Так... Когда я прибавляю один нуль, тогда число увеличивается в 10 раз. Здесь будет 10^s, a.lOO...OQ = 10".

т

Но с единицами так не пойдет. Возьмем 11,111,1111... Какаяжездесь соблюдается последовательность? Никакой последовательности не вижу. Как же здесь разобрать?

Эксп. Допустим, что л = 5. Напишите, чему равна каждая единица в этом числе.

Исп. 11 111 = 10 000 + 1 000 + 100 + 10 + 1... Ну, теперь просто. 1L;1J = Г = Г"¹... Нет, опять не получается. Понятно, ведь здесь нужно

л

брать 10, а не единицу... 10"+ 10"-' + 10"-² + 10+1. Но это ведь для данного числа, а п как же для любого? Здесь есть одна ошибка: л = 5, а нулей-то только четыре... Ю"-¹ + 10^²... Для любого числа нужно обозначить точка­ми, потому что показатель степени будет постоянно уменьшаться. 10^я"¹ +

Эксп. Теперь напишите формулу для любого числа десятичной систе-мыpb...cd, гдеа,й, с, J—любые цифры, а «л» указываетналюбоеколичес-

л

тво цифр.

4, -²

Исп. Пусть л = 4, тогда будет оООО + 600 + сО + d, значит,

Ь-W

Эксп. Проверьте эту формулу.

70 000 + 4 000 + 800 +30 +2 = 7-10⁴ + 410³+8 10²+3 10 +2 = 74 832.

Эксп. Теперь будем решать новую задачу. Кроме десятичной системы счисления существуют еще и другие, недесятичные. Сейчас нам нужно бу­дет писать числа в пятеричной системе счисления. Для обозначения любо­го числа здесь достаточно пяти цифр— 1,2, 3,4,0... Напишите число 17.

Исп. А можно ли складывать или умножать?

Эксп. Нет, знаками действия пользоваться нельзя.

124

Исп. Здесь должна быть какая-то система, какой-то принцип. Цели я напишу так же, как в десятичной системе, например, один и два (12), то это будет двенадцать?

Эксп. Нет, это не будет двенадцать.

Исп. А зачем здесь дан нуль? Ведь 4 и 0 — это все равно не будет сорок. «0» в десятичной системе показывает место цифры, а здесь он зачем? Складывать нельзя, вычитать нельзя, что же делать? Ведь это отдельные цифры, которые не имеют никакой системы.

Эксп. Сразу написать 17 трудно... Напишите 5.

Исп. Если я найду пятерку, я уже буду знать систему, тогда уже и делать нечего. Но сочетание двух цифр, вероятно, что-то обозначает? Может быть, цифры повторяются? Здесь, когда дальше нет цифр, должен начи­наться второй ряд: 1,2,3,4,0; 1,2,3,4,0. Это второй ряд. Посмотрим, как обозначается вторая единица в десятичной системе. Там единица и нуль — это десять. Выходит, что здесь единица с нулем — это будет пять. А как же дальше? Нет, к десятичной системе здесь не сведешь. Если на первом месте единица, а на втором два, то... Нет, если 2 просто, то 2 с ну­лем должно быть 6... Я никогда не слышал про пятеричную систему. Да со­бственно и десятичную систему я никогда не изучал, я не думал над ней... Когда я пишу 1 — это 1. Когда один с нулем — это 10. Здесь, когда 1 — это 1, когда 1 с нулем — это 5. В десятичной дальше две единицы — это один­надцать. А здесь тогда 11—это 6. Так, 12=7,13 = 8,14=9...Болыпеуменя цифр нет, значит дальше идет нуль... 100 = 10. Нет, если 14 = 9... напишем как в десятичной системе 10,11,12,13,14,15,16,17,18,19. Дальше цифр нет, мы пишем 20... 10 это 20. Вот и все. Я строю по десятичной системе 21 = 11;22= 12; 23= 13;24= 14; 25 = 15... Нет, 5 нет, значит 30= 15; 31 = 16; 32 = 17.

Эксп. Напишите 38.

Исп. Здесь нужно найти систему, а то Вы, пожалуй, дадите написать какое-либо большое число... 5 = 10; 10 = 20: в два раза больше. А 24 = 14; 32 = 17... Нет, системы я еще не знаю... Возьмем 17 — это 3 пятерки и 2 = 32. 28 — это 7 пятерок и 3 = 73.

Эксп. А разве есть цифра 7?

Исп. Ах, да... Как же здесь? но 7 — это 12, тогда 38 — это 123.

Эксп. Напишите 149.

Исп. Все-таки 38 я нашел неудачно. Где же тут собака зарыта? 100 это 20 пятерок; 40 — это 8 пятерок; 9 — одна пятерка и 4. А что дальше? Нужно написать подряд хотя бы первую сотню. А если взять в пятеричной, на­пример, 21314, то сколько будет здесь? Это тоже задача. Здесь собственно нужно переводить из одной системы в другую. Опять нужна формула. Без нее ничего не сделаешь... Посмотрим, как же тут получается... (Далее испытуемый строит числовой ряд в пятеричной системе, записывая под каждым числом его значение в десятичной системе).

1 2 3 4 10 11 12 13 14 20 21 22 23 24 30 31 32 33 34 35 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Нет, «35 — это 20» неверно: ведь 5 нету... (продолжает строить число­вой ряд).

40 20

41 21

44 45 24 25

42 43 22 23

125

Нет, опять нет 5... Здесь будет так:

100 101 102 103 104 ПО 111 112 113 114 120 121 122 123 124 130 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Теперь посмотрим... 44 и единица — это пять пятерок, т. е. 25. Мы обозначаем это как 100... 100 — это 25 (в четыре раза больше)... Я устал немного. (Перерыв 3 минуты).

Возьмем основные числа: 5. 25... Дальше должно быть 125 и так да­лее... Это 5 в какой-то степени. И еще 5,10,15 и так до тысячи и дальше. Число 149 должно выгйядеть так... Возьмем 1000 —это 125, а как же про­верить?.. 1—5 (один нуль) — 25 (второй нуль)... Неужели придется писать до тысячи? Да, придется проверить... Еще один нуль (в тысяче — A.M.) — опять в пять раз больше. Ясно:

1000 -это 125.

Найдем 1243 (см. выше. — А. М.).

Это будет 125 + 50 + 20 + 3 = 198. А нам нужно найти 149. Здесь надо идти обратным путем. 125 — это 1 000 и остается еще 24... 24 — это 44... 149 — это 1 044. Теперь я могу найти любое число, но формулы найти не могу.

Эксп. Найдите число 111ед.

йся. 100 = 25; 11 = 6; Illy, = 31.

Эксп. Найдите число 1 111(5)

Исп. 1000=125и31,1 111(5)= 156.

Эксп. Найдите число 111111(5).

Исп. 1 000 - 125; 10 000 = 125 х 5 = 625; 100 000 = 625 х 5 = 3 125;

111 111 = 3125 + 625+156=3 906.

Эксп. Напишите формулу числа 1 L..11^, где «я» обозначает любое

я

количество единиц в числе.

Исп. 1 000 = 125 = 5³; 10 000 = 625 = 5⁴;

1ОО...ОО=5-\

Так здесь почти то же самое, что ив десятичной системе.

А как же в конце? 11 = 6, но это же 5' и 1... Правильно: 10=5'

Эксп. Напишите формулу числа

л

Исп. Это уже нетрудно. Так же, как и в десятичной системе, только вместо 10 здесь 5.

Странно, как же это я сразу не использовал формулу, которую нашел для десятичной системы.

126

Протокол от 4. 01.1957 г.

Эксп. Вчера Вы научились выражать числа в пятеричной системе. Кроме пятеричной системы существуют также другие системы счисле­ния. Например, в четверичной системе счисления числа обозначаются с помощью цифр 1,2,3,0. Найдите число 1232д.

Исп. Это уже совсем нетрудно. Общая формула та же, только основа­ние другое. Здесь будет такая формула:

1232 =

'64 + 32+12 + 2=110

аА-' + ЬЛ-' + .-. ■1х4³+2х4² +12 + 2

Эксп. Данатринадцатеричная система (1,2,3,4,5,6,7,8,9, т, к, I, о). Найдите число

1т1о„_п.

Исп. Теперь я могу находить в любой системе. Формула здесь будет та-

кая:

Только посмотрим начальные числа... 10 = 13,12 =• 15... 13 + 2= 15, правильно. Возьмем 23. Это 13 + 10 = 23. Так же, как и раньше... lm/o = 1 -13'+ 10-3²+ 12-13 + 0 = 2 197+ 1690+ 156=4043. Эксп. Напишите формулу числа в любой позиционной системе счис-

ления

где *к» — любое основание системы счисления. Исп. Это ясно само собой:

Приведенный протокол дает возможность проследить как процесс выделения закономерности, составляющей принцип построения числа в десятичной системе, так и роль этого принципа в дальнейшем анализе при выпол­нении задания: выражать числа в пятеричной системе счисления.

Испытуемые умеют писать числа в десятичной системе и знают основные способы действия с этими числами, но не могут выполнить задания — написать формулу образо­вания числа. Как мы видели в протоколе, выполнение это­го задания требует анализа отношений, составляющих принцип построения числа. От испытуемого требуется на­писание любого числа, т. е. его формулы, для чего указаны все необходимые элементы числа: основание системы и число цифр. Однако для того, чтобы использовать эти элементы, испытуемый должен выделить их значение в по­строении числа. Показатель «л», обозначающий число

127

членов числа, может быть использован в построении числа только тогда, когда испытуемый выделит роль места циф­ры в числе, что определяется именно количеством цифр числа. Но и этого еще недостаточно. Тол ько анализ образо­вания разрядов числа на основе выделения основания сис­темы счисления позволяет соотнести способ образования разряда со способом выражения разряда, т. е. найти под­линное значение «я».

Испытуемый не знает значения каждого элемента фор­мулы числа, поэтому он и «не может понять», как написать формулу числа. Испытуемый выделяет значение числа цифр («и»), но при этом цифры числа не осознаются как показатели разрядов.

Поэтому, ставя перед испытуемым следующую задачу (найти формулу числа 100...00 ), мы оставляем лишь одну

т

задачу — раскрыть отношения между местом цифры в чис­ле (выраженным любым количеством нулей — «от») и основанием системы. Но оказывается, что для испытуе­мого и эта задача «не легче». Вся трудность заключается в том, что «нулей» может быть любое число. И это — реаль­ная трудность, преодоление которой требует специального анализа. Число с определенным количеством нулей может написать каждый, формула же требует выразить любое число другим способом, в котором содержание разряда вы­ражалось бы не непосредственно количеством нулей, а не­которым отношением, выражающим способ образования разряда. Предлагая испытуемому решить эту задачу для случая, где от = 5, мы не снимаем этой трудности, а лишь даем испытуемому реальное число, которое содержит определенное количество нулей. Это позволяет испытуе­мому соотнести конкретное число с требованиями зада­чи — найти значение «от», т. е, предоставляет испытуемому возможность проанализировать число в соответствии с требованием задачи — найти формулу числа при любом количестве нулей. Испытуемый может написать число при «от», равном 5 (100 000), но задача требует найти формулу этого числа, в которой количество нулей, поставленных после единицы, было бы заменено соотношением 10⁵. Требования задачи направляют процесс анализа числа, со­отнесение ряда чисел, имеющих различное количество ну­лей: «Значит, пять нулей — 100 000... Ага, посмотрим — 10,

:28

100... Так... Когда я прибавлю один нуль, тогда число уве­личивается в 10 раз. Здесь будет 10⁵, a 100..JQ0=10".

т

Выделяемое испытуемым отношение между соседними разрядами («больше в десять раз») принадлежит к числово­му содержанию, но в соответствии с требованиями задачи оно соотносится испытуемым с формой обозначения чис­ла, где это отношение выражается различным количеством нулей.

Соотнесение чисел с количеством нулей, различаю­щимся на единицу, позволяет испытуемому проникнуть в отношения, которые составляют содержание числа, и установить зависимость между формой числа и его со­держанием.

В результате этого соотнесения испытуемый выделяет значение 10 как основание степени и значение «от» как его показатель. Это есть основное отношение, составляющее принцип образования единицы любого разряда как от­дельного числа. Но, выделив этот принцип, испытуемый не может написать формулы числа, в котором каждый раз­ряд обозначен с помощью единицы. Здесь уже нет нулей, определяющих содержание единицы разряда в зависимос­ти от его места. Место единицы в числе определяется нали­чием других единиц, обозначающих разряды. В данном случае нужно найти второй (аддитивный) принцип обра­зования числа в десятичной системе — с помощью сложе­ния разрядов, заключенных в числе.

Соотнося новую задачу с только что решенной, испы­туемый в решении новой задачи первоначально пытается использовать найденный им способ выделения принципа построения разряда путем соотнесения соседних разрядов: «Но с единицами так не пойдет. Возьмем 11, 111, 1111... Какая же здесь соблюдается последовательность? Никакой последовательности не вижу. Как же здесь разобрать?»

В предыдущей задаче каждый разряд представляет со­бой отдельное число. В новой задаче от испытуемого также требуется написать формулу образования числа, но состоя­щего из различных разрядов. Испытуемый не выделяет это­го внутреннего различия чисел, поэтому он и соотносит их недифференцированное числовое содержание на разряды.

129

Поставленная перед испытуемым задача требует анали­за внутренних отношений в числе, требует выделения раз­рядов, из которых состоит число. Естественно, что такой