Обобщение отношений ил основе предварительного обозначения чисел в пятеричной системе

Во второй серии экспериментов перед испытуемым вначале ставилось задание обозначать числа в пятеричной системе счисления. Так как попытки испытуемого выпол­нить это задание не приводили к успеху, мы ставили перед ним задачу рассмотреть образование числа в десятичной системе. После того как испытуемый находил формулу об­разования числа десятичной системы, мы возвращали его к решению первой задачи.

Рассмотрим результаты экспериментов.

Протокол №35 от 9.01.1957 г. Исп. Г. А.

Эксп. В школе Вы учили десятичную систему счисления. Для обозна­чения любого числа в десятичной системе мы пользуемся десятью цифра­ми 1,2, 3... 8,9,0. Кроме десятичной системы счисления есть другие сис­темы счисления. В пятеричной системе счисления для обозначения лю­бого числа достаточно пяти цифр: 1, 2, 3, 4, 0. Ваша задача заключается и в том, чтобы писать числа в пятеричной системе счисления. Напишите число 17.

Исп. Так... Допустим, что 17-1034(10= 10; 3 = 3;4=4; 10+3 + 4= 17.-А. М.)... Но только как тогда построить другие числа?.. Нет, такое вряд ли по­дойдет... 5,6,7,8,9... Получается, что десять уже есть, а9,8идругие числа об­означить нельзя. Если тогда сделать 01, 02, 03, 04: 01 — это 5, 02 — шесть. Но тогда получается, что 32 тоже равно 5 (путем сложения.—А. М.), 41 также 5. Это неоднозначно, так нельзя. А можно ли здесь складывать или умно­жать?

Эксп. Нет, нельзя.

Исп. Я сейчас посмотрю, как строятся числа в десятичной системе... 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0... Но я не знаю, что выбрать за эти числа (6,7,8,9). Ведь нужно сделать так, чтобы обозначения были однозначны.

Эксп. А Вы хорошенько рассмотрите, как образуются числа в десяти­чной системе.

Исп. Здесь-то просто: присоединяется цифра и получается новый раз­ряд... 10= 10,11 = 11 итак дал ее. Так, нужно извлечь такой метод, который можно было бы перенести и в пятеричную систему. Мне вот понятно, как в начале... (образуются числа в десятичной системе. — А. М.), а как будет дальше, не знаю. 5—10,11 —6,12—7,13—8,14—9... Как же дальше? Пусть будеттяс: 20-10, 21- 11, 22-12,23-13, 24-14,25-15...

Экс». Пяти нет.

Исп. 20.10 будет 15, а 17 тогда будет 20.12.

Эксп. Но ведь так склащвать нельзя.

Исп. Как же по-другому? Если, например, 30 = 20, то тогда не будет семнадцати, восемнадцати.

Эксп. Продолжим анализ десятичной системы. Напишите формулу образования числа в десятичной системе, если

136

любое число, в котором буквы являются любыми цифрами, а «я» указыва­ет на любое их количество в числе.

Исп. Какая же здесь может быть формула построения? Не понимаю.

Эксп. Возьмем другую задачу. Дано число десятичной системы

в котором «/я» обозначает любое количество нулей. Как оно образовано?

Исп. Если число нулей указано, значит ясно, какое число. Например, три нуля — это тысячи.

Эксп. Даны 9,4,5- Напишите все различные числа, состоящие из этих цифр.

Исп. 945,954,495,459,594, 549.

Эксп. Напишпте, что обозначает каждая цифра в этих числах.

Исп. Это значит: 945 = 900+40+5; 954=900 + 50 + 4; 495 = 400 + 90 + 5. Здесь место цифры и сама цифра дают какое-то число. Но опять не только это. В десятичной системе в зависимости от места цифры мы имеем то или иное (ее) значение... Первое место — единицы, второе место — десятки, третье место — сотни...

Эксп. Напишите формулу числа

Эксп. Напишите формулу числа

10...Q, если m = 1221.

Исп. Это число, в котором количество нулей 1 221. Такие большие числа еще обозначают так: 10¹²²¹.

Эксп. Почему?

Исп. Потому что здесь существует равенство, например, 100= 10². Тогда число 1^0 можно записать как 10"¹, а \1Л}

будетравно 10^' + 10"-² + ... + 10 + 1.

Эксп. Продолжим решение задачи в пятеричной системе. Нам нужно было обозначить 17.

Исп. Я обозначил 17 как 20.12, но здесь я использовал различные спо­собы обозначения, один вначале (11 = 6) и второй теперь (20.11 *= 16). Нужен какой-то один. Я очень привык к десятичной системе, и это меша­ет. Допустим, мне нужно записать 196. Как же я его запишу? 10—5; 20—10; 30-15. Нет, ЗОне будет 15. А что же будет 30? 20.14-Ш, 30-20.

Эксп. Вы обозначаете различными способами.

Исп. В десятичной системе хорошо, там четкий закон построения числа, а здесь? Здесь... Ну, хорошо... Я боюсь запутаться в этих числах, поэтому воз­ьму по-другому... 10—5; 20—6; 30—7; 40—8, но так не получается 9. Если взять, например, двоичную систему, то там наверное будут две цифры: 1 и 0. Здесь какое-то особое значение имеет 0. Но я этого не могу понять.

Эксп. Вы все-таки напишите 17.

Исп. Я все хочу найти закон.

137

Эксп. Но нам нужно писать числа. Вы написали 14, продолжайте дальше.

Исп. Сейчас соображу... Так, 210 = 15, 211 = 16, 212 = 17. Так а если нужно записать 190, как же здесь записать 90? Кажется, что это неудачный способ.

Эксп. 10 Вы выражали как 20, а теперь выражаете как 200.

Исп. Да, это не годится. Я могу, пожалуй, поставить 30 = 15, тогда 31 = 16,32 = 17. Дальше, очевидно, 40 = 20, 50 = 50,60 = 30.

*Эксп. Нет таких цифр (5,6).

Исп. 40 = 20... А как же записать 100?

Эксп. Напишите 28.

Исп. Я хочу написать сразу 196, а потом 28. В десятичной системе 12 это 10 + 2. На втором место десятки, на третьем — сотни. Знак «+» можно подразумевать также и через две цифры. Число десятков тоже через две цифры: 00-0; 01-1; 02-2; 03-3; 04-4... 10-5; 11-6; 12-7; 13-8; 14—9... Тогда 190 запишется так: 011411. Я нашел все цифры и использо­вал принцип десятичной системы.

Эксп. В условии задачи Вам были даны цифры 1 = 1; 2 = 2; 3 = 3; 4 = 4. Это их значения. Искать их не нужно, а с их помощью нужно обозначать другие числа.

Исп. Значит, все-таки нужно писать в пятеричной системе. Но я ее не знаю. Если бы я знал закон, тогда было бы просто. А если использовать римскую нумерацию?

Эксп. Данных цифр менять нельзя. Напишите числовой ряд до 28.

Исп. До 28, пожалуй, можно, но 90 тогда опять вряд ли получится.

Эксп. Все-таки напишите 28.

Исп. 20 = 10; 30 = 15; 32 = 17; 33 будет 18; 34 = 19; 40 = 20; допустим, что 43 будет 28.

Эксп. Почему?

Исп. Да, а как тогда будет 21?

Как же тут разобраться? Если 40.10—21, то это не годится. Я буду вновь записывать числа... 31—16; 34—19; 40—20, а 41 что будет значить? 41 — это 21... Хорошо, тогда 44—24; 50—25. Нет, так нельзя. Как же запи­сать 25? 40—20 и 10—5, если 40.10, то это не получается. Здесь как бы два различных ряда. Цифры, первые справа, обозначают самих себя, (едини­цы. — Л. М.), а вторые зависят от тех, которые перед ними. Здесь получа­ется какая-то сложная зависимость... 44 это 24. Дальше придется писать на третьем месте. Допустим, я нахожу 110. Тогда противоречие. Нужно на­йти какой-то общий закон, тогда уже писать. Если 101 = 11,300 = 30, то 50 обозначить нельзя.

Эксп. А нет ли в десятичной системе таких случаев, когда число со­ставлено из самых больших значений цифр?

Исп. Есть, это 99, затем следует 100. Тогда здесь также 25—100. Как тогда 26? Это 101,а28—103; 29-104. Но 30? Как же тогда 30? Так, 29-104. 30-110; 31-111; 32-112; 33-113; 34-114; 35... Придется так: 35-120... 39-124; 40 - это 130; 44-134; 45-140... Дальше 150, нельзя... 141-46; 144—49; 50... Придется ставить следующее 50—200. Теперь вот я начинаю немного чувствовать... 100—25, 200—50.300—75,400—100.

Эксп. Напишите 136.

Исп. Какой же все-таки здесь закон? Буду продолжать... 401—101; 404-104; 410-105; 414-109; 420-110; 424-114; 430-115; 434-119; 440-120; 444-124... 1 000-125... Тогда 1 004-129; 1 010-130; 1 014-134; 1020-135; 1024—139; 1030-140; 1034-144; 1040—145; 1044—149;

138

1 100-150; 1 104-154; 1 110-155; 1 120-160; 1 140-170; 1 144-174; 1 200-175; 1 300-200.

Эксп. Найдите число 11 111₅. Продолжать числовой ряд нельзя.

Исп. Тогда мне остается только находить значение чисел, которые со­ставляют 11 111. Мне собственно нужно найти 10 000... 10 = 5, 100 = 25, 1 000 = 125... Но как же 10 000? Ага, да здесь совсем неплохо... 5 • 5 ** 25; 5-5 • 5 = 125. Получается, что каждое новое число увеличивается в пять раз,тогдаЮ000=125-5 = 625,11 111 = 781.

Эксп. Найдите 100 000.

Исп. 100 000 = 625 х 5 = 3 125.

Эксп. Йайдите формулу числа

10^(5).

т

Исп. Так 10—5; 100—5², здесь тогда будет

Эксп. Найдите формулу числа

1ЫН5)

Л

Исп. Сейчас будем соображать . . . 1—1; 11—6; 111—31; 1 111—156; 11 111 —781... Ничего так не получается. Хотя ... Стоп, нужно рассмот­реть каждое число. 11 = 6 = 5+ 1; Ш = 25 + 5+ 1; 1 111 = 156=125 + 5+1; 11 111=625+125 + 25 + 5+1 = 781,Ага, закон открыт. ЗдесьП 111 = 5⁴+ +5³+5²+5+1.

Эксп. Напишите формулу числа

Исп. Так, а с этим не скоро разберешься. А если взять двойку: 2—2; 22-12; 222-? 100-25; 112-32; 200-50. . . Не совсем понятно. А есть здесь какой-нибудь закон?

Эксп. Найдите число 4 231<5), не пользуясь таблицей.

Исп. Я знаю, что обозначает 1 000; но не знаю, что обозначает 4 000. Меня так и тянет построить таблицу (числового ряда — AM.), чтобы найти 4 000.

Эксп. Строить таблицу нельзя.

Исп. Без этого трудно, нужно руководствоваться каким-то принци­пом. Что, например, здесь означает четверка..? Когда единица, тогда ясно (1 000. — А. М.), а если 4 000? Придется все-таки составлять таблицу, по-другому я не могу... 1 000—125; 1 100—150; 1 200—175.

Эксп. Найдите без таблицы чему равняется 400.

Исп. 100 = 25, а 200 что это?. Что 50, в два раза больше... 300—75; 400-100... Это 4 х 25. Понятно, 4000 = 125 х 4 = 500.

4000-500 200-50 30—15

"5Ж

139

Теперь я могу найти формулу числа.. .4 000 это 4 по 1 000,1 000 — это 5 в третьей степени

=в-5"-' + Ь-5"-² + ... +

Эксп. Найдите число 32 320₍5>.

Исп. Теперь я могу находить любое число... 32 320(5) = 3-5⁴ + 2-5³ + 3-5² + + 2-5 + 0 = 3-625 + 2-125 + 3-25 + 10 = 187 + 250 + 75 + 10 = 2 210

Протокол от 10. 01.1957 г.

Эксп. Теперь мы с Вами будем считать в троичной системе счисления, где для обозначения любого числа достаточно трех цифр: 1,2,0. Найдите

Исп.

1 120_(})=3³+3²+2-3=27+9+6=42.

Эксп. Найдите число 17<ю) в троичной системе счисления.

Исп. 17 можно записать как З² + 3 и остается 5. Как представить 5? Нет, даже не так. 17 = З² + 3. х 2 + 2, что будет равно 122.

Эксп. Выразите число 39₍ю) в троичной системе.

Исп. Это пойдет быстро, потому что у меня есть общая формула... 39=3³ + 3²+ 3 = 111. Странно, почему-то меньше, чем 17. Ясно, здесь же нет единиц... 39 = 1 110.

Эксп. Дана двенадцатиричная система, в которой, кроме 1, 2... 8, 9, есть еще цифры «в» = 10; «6» =11 и 0. Найдите число lab_(li).

Исп. 1 аЬ_т = 1 • 12² + а ■ 12 + Ь = 144 + 120 + 11 = 275.

Эксп. Напишите формулу числа для любой системы счисления (осно­вание системы может быть к).

Исп. ()

я

Эксп. Найдите число 11 100, записанное в двоичной системе счисле­ния.

Исп. 11 100 = ... Но ведьздесь всего один знак(1.—у4.М)... 1+1 + 1... Нет, что-то не то. Здесь в основании 2, тогда 11 100 = 2⁴+2³+2²= 16 + 8 + 4= = 28.

Эксп. Найдите число 37₍ю> в двоичной системе.

#сл.37 = 2⁵ + 2²+1 = 100 101.

Приведенный протокол показывает, что испытуемый Г. А. не использует выделенной в десятичной системе зако­номерности построения числа для обозначения числа в пятеричной системе. Получив задание написать число 17 в пятеричной системе счисления, испытуемый анализиру­ет различные известные ему способы образования числа и отбрасывает эти способы как не удовлетворяющие усло­виям обозначения числа 17 при помощи ограниченного количества цифр. Далее испытуемый, анализируя условия обозначения чисел 6, 7, 8, 9 в соответствии с новыми тре­бованиями, изменяет значение цифр пятеричной системы

140

путем присоединения к ним нуля. Но так как результат та­кого обозначения ведет к многозначности в выражении одного и того же числа, что не соответствует требованиям обозначения, то испытуемый начинает новый процесс анализа: «Я сейчас посмотрю, как строятся числа в десяти­чной системе...».

В процессе анализа способов обозначения числа испы­туемый сам обращается к анализу числа в десятичной сис­теме. Поэтому момент включения анализа десятичной системы в процессе анализа пятеричной системы соотве­тствовал переходу испытуемого к анализу десятичной сис­темы. Испытуемый понимает необходимость в таком ана­лизе и видит его необходимость в том, чтобы «извлечь та­кой метод, который можно было бы перенести на пятеричную систему».

Анализируя число в десятичной системе, испытуемый выделяет основные отношения, на основе которых оно по­строено. «Здесь место цифры и сама цифра даст какое-то число... В десятичной системе в зависимости от места циф­ры мы имеем то или иное значение (значение цифры. — А. М.)... Первое место — единицы, второе место — десят­ки, третье место — сотни...».

Испытуемый выделяет не только значение места циф­ры в числе, но, решая следующую задачу, раскрывает со­держание позиционного принципа построения числа, рас­крывает отношение между основанием системы счисле­ния (10) и местом цифры в числе:

Исп: Такие большие числа еще обозначают так: 10¹²²¹.

Эксп: Почему?

Исп: Потому что здесь существует равенство, например, 100 = 10². Тогда число 10 ...0 можно записать как 10™, а

' т

1L.J1 будет равно Ю⁷"¹ + КГ² + ... + 10 + 1.

Таким образом, испытуемый раскрывает закономер­ность построения числа десятичной системы в процессе анализа, необходимость которого определялась задачей построения числа в пятеричной системе.

На этой основе мы вновь возвращали испытуемого к выполнению ранее поставленного задания (обозначить число 17 в пятеричной системе). Как видно из протокола,

141

испытуемый продолжает выполнять это задание без како­го-либо соотнесения с только что найденной закономер­ностью: «Я обозначил 17 как 20.12, но здесь я использовал разные способы обозначения, один вначале (11—6) и вто­рой — теперь (10. 11—16). Нужен какой-то один. Я очень привык к десятичной системе, и это мешает...».

Испытуемый не только не использует раскрытую им за­кономерность, но, как он сам выражается, она ему «мешает».

Для испытуемого найденная им закономерность — это закономерность, относящаяся лишь к десятичной системе («В десятичной системе хорошо,— говорит испытуемый,— там четкий закон построения числа, а здесь?»). В пятерич­ной системе испытуемый снова ищет закономерность. Лишь выделив закономерность позиционной системы счисления в пятеричной системе счисления, испытуемый использует ее для обозначения числа в любых других пози­ционных системах счисления.

Как в первой, так и во второй серии экспериментов за­дача выделения закономерности построения числа в деся­тичной системе не определяется требованиями в обозначе­нии числа десятичной системы, так как испытуемый уже владеет способом обозначения числа. В этом случае ему надо лишь найти общую формулу любого числа в десяти­чной системе, но нет нужды выделять отношение элемен­тов формулы числа со способом его обозначения посре­дством ограниченного количества цифр.

В пятеричной системе счисления мы ставим перед ис­пытуемыми задание обозначить число. Для этого испытуе­мые должны были выделить соотношение между элемен­тами формулы числа и способом его обозначения, как, например, между обозначением разряда, показателем сте­пени, основанием и местом (позицией) цифры при об­означении числа.

После того как задача на обозначение числа исходя из его формулы была решена в пятеричной системе, испытуе­мые оказались в состоянии решать эту задачу примени­тельно к любой позиционной системе счисления, так как все необходимые для этого отношения были уже выделены анализом.

142