39. Прогнозирование с помощью параметров,изменяющихся по закону стационарных случайных величин.

В ряде случаев функция К(t) может харак-ся как стационнарный случайный пр-с, т.е. пр-с для кот-ого статистические харак-ки (среднее значение и среднее квадратичное отклонение) во времени остаются постоянными и для кот-ого начало отсчета не сущ-но(рис). К подобного рода процессам можно отнести различные установившиеся колебания, стационарные шумы и т.п. Рассмотрим возможности использования характеристик стационарных случайных функций для решения задач техн. диагн-ки.

Любое сложное колебательное движение,которое мы в состоянии проследить,может быть представлено в виде сосвокупности простых гармонических колебаний, характеризующихся тремя независимыми паратметрами: амплитудой А, частотой f и начальной фазой φ. Функция взаимосвязи этих параметров выглядит следующим образом

К=Asin(ωt+φ) ω-угловая x-та колебаний.

Каждый из членов разложения Фурье представляет собой соответствующую гармонику с амплитудами b₁,b_2, b₃ и частотами ω, 2ω, 3ω и т.д.

На рис. Показан дискретный спектр функции имеющей в своем составе конечное число гармоник с частотами ω₁ ω₂ …, ω_n. Если же разложить в спектр автокорреляционную функцию М_к(t₁,t₂), то можно получить детерминированную связь между дисперсией амплитуд случайной стационарной функции и частотой соответствующей гармоники. Такое разложение называют спектральной плотностью стац случ функции S_k(ω). Рисунок

Спектральная плотность очень чувствительна к дефектам, развивающимся в процессе работы конструкций. О трансформациях спектральной плотности будут свидетельствовать изменения ω_ср и S²_s(ω) относительно исходных (эталонных) значений параметров, присущих объектам перед началом их эксплуатации.

40. Характеристики и построение монотонных случайных ф-ций связи «параметр-наработка»

Важной характеристикой непрерывной случайной ф-ции К(t) является автокорреляционная ф-я или корреляционный момент для значений случайной ф-ции времени t₁ и t₂:

M_K(t₁,t₂). Автокорреляционная ф-ция показывает наличие или отсутствие связей между соседними выборками. Эту связь удобно оценивать с помощью нормированной корреляционной ф-ции ρ_к(t₁,t₂). Если значения К(t₁) и К(t₂) независимые, то нормированная корреляционная ф-я обращается в ноль. Если связаны то стремится к 1.

Построение случайных ф-ций начинается с упорядочения статистических данных. Это упорядочение осуществляется с помощью матриц. Матрица состоит из N горизонтальных строк с равномерными интервалами значений параметра ΔК и n вертикальных столбцов с равномерными интервалами наработки Δt.

Исходная матрица наглядно отражает наличие качественной связи между ф-цией наработки t и аргументом – диагностическим параметром K.если все клетки матрицы заполнены равномерно, то корреляционная связь имеется. Для аппроксимации(сглаживания) изменений во времени математического ожидания m(t) дисперсии S²(t) подбирают многочлен некоторой степени (полином n-ого порядка), который наилучшим образом описывает совокупность точек. Наиболее распространенным методом подбора кривых является метод наименьших квадратов. По этому методу коэф-ты подбирают так, чтобы квадратическая погрешность (отклонение от линии аппроксимирующей ф-ции) имела минимальное значение. Но все же первоначальный выбор степени n при аппроксимации статистических данных полином n- ого порядка осущ-ся на глаз, по виду поля экспериментальных точек или исходя из физических представлений процесса. В дальнейшем эта степень может быть уточнена в зависимости от получаемой погрешности

.