Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Численные методы в задачах математического моделирования движения небесных тел в Солнечной системе. Монография
.pdf
M
a
e
ω
Ω
M
a
e
ω
Ω
M
a
e
ω
Ω
M
a
e
ω
Ω
Таблица 7.29
Элементы орбит астероида 2006 UQ17 при использовании начальных данных
в эпоху 2457200,5 (27.06.2015)
Элементы орбиты на 27.06.2015 и на 12.05.2100.
Дифференциальные уравнения (1.21) (шаг 0,005, порядок 15). Метод Эверхарта
Дата
, град.
, а.е.
, град.
, град.
i
, град.
27.06.2015 39,116390 1,62366600 0,38093400 10,316427 82,113996 1,743718
12.05.2100 63,4619 1,623505 0,380524 11,5327 81,6214 1,7266
Дата
, град.
, а.е.
, град.
, град.
i
, град.
27.06.2015 39,116390 1,62366600 0,38093400 10,316427 82,113996 1,743718
12.05.2100 63,4856 1,623505 0,380524 11,5327 81,6214 1,7266
211
Таблица 7.30
Элементы орбит астероида 2000 CX127 при использовании начальных данных
в эпоху 2457200,5 (27.06.2015)
Элементы орбиты на 27.06.2015 и на 12.05.2100.
Дифференциальные уравнения (1.21) (шаг 0,005, порядок 15). Метод Эверхарта
Дата
, град.
, а.е.
, град.
, град.
i
, град.
27.06.2015 317,644162 1,14140000 0,36118600 4,700084 44,015519 20,239232
12.05.2100 160,9109 1,142261 0,361957 5,1854 43,6583 20,2134
Элементы орбиты на 27.06.2015 и на 12.05.2100.
Дифференциальные уравнения (1.21) (шаг 0,05, порядок 10). Метод Коуэлла
Дата
, град.
, а.е.
, град.
, град.
i
, град.
27.06.2015 317,644162 1,14140000 0,36118600 4,700084 44,015519 20,239232
12.05.2100 160,9501 1,142261 0,361957 5,1854 43,6583 20,2134
ГЛАВА 8
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ
КОМЕТ ГАЛЛЕЯ, ЭНКЕ И ФАЯ
В настоящее время в связи с развитием численных теорий движения больших планет Солнечной системы возрос интерес к малым телам, способным сближаться с Землей. К этим телам, наряду с астероидами групп Аполлона, Амура и Атона, относятся короткопериодические кометы, а также крупные фрагменты в метеорных роях.
Исследованию короткопериодических комет посвящен ряд работ [20, 21, 28–34, 36–40, 42–44, 54, 60, 71, 78, 89, 90, 96].
Комета представляет собой небесное тело, движущееся по орбите, которое частично испаряется при приближении к Солнцу, в
результате чего улетучивающийся газ образует вокруг ядра диффузную светящуюся сферу, называемую комой, а также один или
несколько хвостов.
Кометы по типам орбит принято условно подразделять на две
группы: короткопериодические и долгопериодические. К первой
группе, как правило, относят кометы, обладающие периодом обращения менее 200 лет. Большинство короткопериодических комет
составляют семейство Юпитера в связи с близостью афелиев их
орбит (афелий – точка орбиты, наиболее удаленная от Солнца) к
орбите Юпитера. Ко второй группе относят почти параболические
кометы и кометы с периодом свыше 200 лет.
При изучении процессов эволюции кометы представляют особый интерес, так как считается, что они являют собой изначальный
тип объектов Солнечной системы. Предполагается, что кометы позволят изучить первичное вещество Солнечной системы в сравнительно неизменном состоянии, поскольку они, в отличие от планет,
не подверглись существенным структурным изменениям в результате действия силы тяжести, тепла и вулканической деятельности.
Выдвигаются гипотезы, что ядра комет образовались еще до формирования планет, около 4,6 миллиардов лет тому назад [9].
Следует отметить, что вопросы физического строения и химического состава ядер по сей день являются до конца не изученными,
так как те данные, которыми мы располагаем, не позволяют выходить за рамки гипотез. Среди гипотез относительно состава ядер
наибольшим признанием пользуется гипотеза американского астронома Ф. Уиппла [109]. Согласно его теории, ядро является конгло-
212
мератом из тугоплавких каменистых частиц и замороженных летучих компонент, в числе которых есть вода, циановодород, углекислый газ, сульфид углерода и др. Ледяные слои из замороженных
газов чередуются с пылевыми слоями. По мере прогревания тела
солнечным теплом газы испаряющегося вещества прорываются
наружу, увлекая за собой облака пыли.
Наиболее достоверную информацию о физических характеристиках кометных ядер и составе кометных хвостов можно получить
с помощью космических аппаратов. Кратко остановимся на космических миссиях к кометам.
Космический аппарат International Cometary Explore был первым аппаратом, пролетевшим 12 августа 1978 года сквозь хвост кометы Джакобини – Циннера на расстоянии около 7800 км от ее ядра. Следующей его целью была комета Галлея. Космический аппарат ICE в конце марта 1986 года пролетел сквозь хвост кометы на
расстоянии 28 миллионов километров от ядра.
С помощью космических аппаратов «Вега-1» и «Вега-2» в 1984
году было проведено изучение кометы Галлея: Аппараты Вега-1 и
Вега-2 передали около 1500 снимков внутренних областей кометы
Галлея, её ядра, а также информацию о пылевой обстановке внутри
кометы, характеристиках плазмы, измерили скорость испарения
льдов (40 тонн в секунду в момент пролёта аппаратов) и другие
данные. Изображения ядра кометы были получены впервые в истории. По изображениям были определены размеры ядра (8×8×16 км),
период вращения (53 часа) и примерная ориентация оси вращения, а
так же тот факт, что ядро вращается в ту же сторону, что и комета в
своём обращении вокруг Солнца.
Массы ядер комет заключены в пределах от нескольких тонн до
1013 тонн, однако стоит заметить, что здесь речь идет о вероятном
диапазоне масс. Казалось, что определить массы комет можно по их
гравитационному воздействию на планеты, однако массы комет
оказываются настолько малыми, что их влияние даже на спутники
планет не фиксируется. В 1986 году удалось оценить массу ядра
кометы Галлея по его гравитационному влиянию на космические
аппараты «Вега-1» и «Вега-2» (СССР) и аппарат «Джотто» (Европейское космическое агентство), сближавшихся с кометой. В тот
момент масса ядра кометы была близка к 6×1011 т.
Расчеты, выполненные различными исследователями комет,
показывают, что диаметры кометных ядер лежат в интервале от нескольких сотен метров до нескольких десятков километров. Итоги
213
оптических исследований автоматическими станциями «Вега-1» и
«Вега-2» кометы Галлея в марте 1986 года показали, что ядро – вы-
тянутое монолитное тело неправильной формы. Температура поверхности кометы на ее расстоянии 0,8 а.е. от Солнца была пример-
но равна 360 К или 87 по Цельсию. Поверхность ядра кометы является темной и отражает лишь около 4 % падающего на нее света.
Космический аппарат «Стардаст», предназначенный для исследования кометы Вильда 2, 15 января 2006 года вернул на Землю
капсулу с образцами кометного вещества. Капсула содержала порядка 30 крупных и мелких частиц кометного вещества. В добытых
зондом фрагментах пыли обнаружены химические элементы: магний, алюминий, хром, никель, марганец, медь, галлий и изотоп железа Fe – достаточно «молодое» вещество (поскольку обладает относительно малым периодом полураспада).
Космический аппарат «Дип Импакт» был запущен 12 января
2005 года. Аппарат предназначался для изучения кометы Темпеля 1.
Он впервые в истории сбросил на комету зонд, который повредил её
поверхность и произошел выброс кометного вещества. Анализ состава выброшенного вещества показал, что комета состоит из водяного льда, летучих фракций, карбонатов, полиядерных ароматических углеводородов, сульфидов и других компонентов. Химический
состав оказался не соответствующим ранее принятым моделям.
Следующей кометой, на которую была осуществлена космическая миссия, является комета Чурюмова – Герасименко. Космический аппарат «Розетта», стартовавший 2 марта 2004 года, достиг
кометы летом 2014, став первым космическим аппаратом, вышедшим на орбиту кометы. Отделившийся от «Розетты» спускаемый
аппарат «Филы» совершил посадку на комету 12 ноября 2014 года.
Проведенные исследования показали, что комета имеет пористую структуру, при этом 75–85 % ее объема составляет пустота.
Ядро кометы имеет неправильную форму и состоит из двух скрепленных между собой фрагментов. Размеры этих фрагментов оцениваются как 4,1×3,2×1,3 и 2,5×2,5×2,0 куб. км., объем – 25 куб. км.
Масса кометы составляет 1013 кг.
На комете обнаружены молекулы 16 органических соединений, а
также и угарный и углекислый газы, в коме обнаружены четыре из
них – метилизоцианат, ацетон, пропаналь и ацетамин, – которые ранее
на кометах не встречались. Также учёные, проанализировав свыше 3
214
тысяч образцов, захваченных в окрестностях кометы, пришли к выводу, что в коме кометы содержится молекулярный кислород.
Изучение движения короткопериодических комет издавна привлекало внимание исследователей. Первые расчеты орбит комет провел Галлей. Результатом этой работы стало издание в 1705 году «Обзора кометной астрономии» [96]. Галлей на основе идей Ньютона вычислил элементы орбит 24 комет, наблюдения которых оказались ему
доступны. В процессе работы Галлеем было отмечено сходство трех
комет, в результате чего он предположил, что это последовательные
возвращения одной и той же кометы, которая впоследствии была
названа его именем. Последующая история кометы Галлея и ее появление в 1759 году связана с именем Клеро. В процессе работы Клеро
разработал первый математический метод численного исследования
движения кометы в поле тяготения Солнца с учетом возмущений от
двух больших планет – Юпитера и Сатурна [9].
Заметный вклад в изучение вопроса сближений комет с большими планетами внесли петербургский академик Лексель, а также
Даламбер и Леверье [93, 99]. Значительные достижения принадлежат Леверье [99]. Он обогащает метод Лапласа, создавая первый
приближенный способ учета возмущений от Солнца в сфере действия Юпитера. Далее Лагранж дает окончательную форму дифференциальным уравнениям, определяющим оскулирующие элементы
эллиптической орбиты – параметры, определяющие мгновенную
строго эллиптическую орбиту тела. Гаусс [95] создает классический
метод квадратур; Энке применяет способ Гаусса к интегрированию
уравнений Лагранжа и содействует широкому внедрению нового
метода вариации произвольных постоянных в вычислительную
практику небесной механики. Этот метод открывает новые возможности для точных исследований движения комет и больших преобразований их орбит. Коуэлл и Кроммелин [15, 92] разрабатывают
метод интегрирования дифференциальных уравнений второго порядка в прямоугольных координатах и успешно применяют его к
предвычислению появления кометы Галлея в 1910 г.
В XX веке в связи с развитием электронно-вычислительной
техники произошло стремительное развитие многих разделов вычислительной математики, а также численных методов решения
обыкновенных дифференциальных уравнений. Дж. Батчером [87]
были построены алгоритмы методов Рунге – Кутты вплоть до десятого порядка. Д.К. Куликовым [59] были получены многошаговые
алгоритмы Коуэлла 8–10-го порядков. Ш. Когеном и Э. Хаббартом
215
r
rkdt
r
(
)
развиты методы Адамса – Мултона до 16-го порядка [2].
В.Ф. Мячиным и О.А. Сизовой разработаны методы тейлоровых
разложений для задачи n тел [63], В.Б. Грэгом, Р. Булиршем,
Ж. Штером созданы алгоритмы рациональной экстраполяции [83],
Э. Эверхартом получен неявный одношаговый метод типа Рунге –
Кутты до 19-го порядка [94].
Большинство короткопериодических комет движется по вытянутым эллиптическим орбитам. Некоторые из них в перигелии
сближаются с Солнцем. При этом может произойти интенсивное
разрушение кометного ядра. Кроме того, лучевое давление может
оказывать существенное воздействие на движение кометных газопылевых хвостов. Вследствие воздействия различных сил негравитационной природы на комету в целом, прогнозировать ее движение лишь небесно-механическими методами в ряде случаев не
представляется возможным. С целью согласования элементов орбит, вычисленных по наблюдениям на различные моменты времени,
в уравнениях движения наряду с гравитационными силами учитываются различные негравитационные эффекты. Строгой теории для
учета негравитационных сил не существует, поскольку процессы,
происходящие в кометных ядрах, носят стохастический характер.
Однако в ряде случаев путем введения негравитационных сил в
уравнения движения кометы удается объединить несколько появлений кометы, а также прогнозировать ее движение в будущем. Первыми исследователями, которые с помощью включения негравитационных сил в уравнения движения комет смогли точно рассчитать
эволюцию орбиты на длительные интервалы времени являются
Б. Марсден и Е.И. Казимирчак-Полонская [55, 56, 100].
Марсденом предлагается следующий способ учета влияния негравитационных эффектов на движение кометы [101]. Уравнение
движения кометы с учетом сил притяжения и негравитационных
сил имеет вид
2
F
d
2
2
Rrr
∂
+
+−=
3
∂
, (8.1)
где R – функция, учитывающая возмущения от планет;
2
k – гравитационная постоянная;
– радиус-вектор кометы в гелиоцентрической системе коор-
динат;
zyx ,,
– координаты радиус-вектора;
216
F
()(
)
+
=
r
snt×=
h
r
υ
()()(
)
ɺ
ɺɺɺ
ɺ
ɺ
α
=
=
=
=
α
– вектор негравитационной силы, определяемой следующим
соотношением:
где
s =
, (8.2)
s
r
,
rgtAAF
21
, (8.3)
rnυ×= , (8.4)
– радиус-вектор кометы,
– скорость кометы,
2
−
r
rg
=
α
1)(
r
nm
r
+
r
00
222
xyyxzxxzyzzyh
−+−+−= , (8.5)
k
−
, (8.6)
– нормализующая константа,
r
, m, n, k – постоянные модели кометного ядра,
0
A
,
A – постоянные, характеризующие величину негравитацион-
1
2
ного ускорения вдоль радиус-вектора и перпендикулярно ему.
Постоянные в формуле (8.6) имеют следующие значения [101]:
Таким образом, изменение параметров
15,2
m
,
093,5
n
,
6142,4
k
,
808,20=
r
,
A
и
1
111262,0
A
приводит к из-
2
.
менению суммарного ускорения в уравнении (8.2). Путем подбора
значений параметров
A
и
A
1
для каждой кометы удается согласо-
2
вать численную теорию движения комет с наблюдениями.
Основным параметром при сопоставлении численной теории с
наблюдениями является время прохождения через перигелий, поскольку время прохождения через перигелий определяется наиболее точно. Решение проблемы с учетом формул (8.2) – (8.6) не является единственным. В более ранних работах [27] негравитационные
силы учитывались путем векового изменения среднего движения
или большой полуоси, допускалась также коррекция других элементов орбит.
Параметры
A
и
A
1
для каждой кометы индивидуальны и не
2
могут быть определены однозначно, так как они существенным об-
217
разом зависят от выбора оскулирующей орбиты (мгновенной строго
эллиптической орбиты тела), от точности элементов орбит, от применяемого метода численного интегрирования и т.д. Расхождения
значений параметров
A
и
A
1
у различных исследователей для од-
2
них и тех же комет достигают нескольких порядков.
Однако при всех указанных недостатках отказываться от учета
негравитационных эффектов при построении численной теории
движения на интервалах времени 100 и более лет практически невозможно, но подходить к решению данной задачи следует с большой осторожностью. Предварительно следует оценить возможность
объединения нескольких прохождений кометы через перигелий на
основе гравитационных и негравитационных эффектов.
Для успешного решения этой задачи необходимо использовать
высокоточный численный метод интегрирования уравнений движения кометы с учетом как гравитационных, так и негравитационных
эффектов. Нахождение негравитационных параметров
A
и
A
1
яв-
2
ляется наиболее ответственным и трудным этапом исследования.
Как правило, параметры
A
и
A
1
определяются путем многократ-
2
ных расчетов моментов прохождения кометы через перигелий, вычисленных по программе численного интегрирования и сравнения
полученных моментов времени с моментами, найденными путем
наблюдений.
Сведения об орбитальных элементах и негравитационных параметрах комет размещаются в кометных каталогах. Каталоги короткопериодических комет содержат полезную информацию о распределении комет в Солнечной системе, дают общее представление
об эволюции элементов орбит с течением времени. Кроме того, в
каталогах содержится информация о тесных сближениях с большими планетами, что важно для планирования и организации наблюдений за этими объектами. В настоящее время наиболее полным
кометным каталогом, содержащим элементы орбит всех известных
как периодических, так и непериодических комет на моменты прохождения их через перигелий, является каталог Марсдена [100].
Среди наиболее известных электронных кометных каталогов следует упомянуть каталог Kazuo Kinoshita (amateur astronomer in Japan).
218
8.1. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ
ДВИЖЕНИЯ КОМЕТЫ ГАЛЛЕЯ
В дальнейшем приводятся результаты исследования эволюции
орбит короткопериодических комет Галлея, Энке и Фая с использованием дифференциальных уравнений, основанных на новом принципе взаимодействия. Моделируется движение этих комет с учетом
в формулах (1.21) негравитационных эффектов. Результаты численного интегрирования уравнений движения комет Галлея, Энке и
Фая сравниваются с данными электронного кометного каталога
Kazuo Kinoshita. В каталоге Kazuo Kinoshita наряду с элементами
орбит короткопериодических комет содержатся постоянные
A
. Для рассматриваемых комет Галлея, Энке и Фая значения
2
A
не являются постоянными, а изменяются с течением времени.
2
Для кометы Энке по данным [100] параметр
A
за период с 1786 г.
1
по 1986 г. изменяется в 72 раза, в то время как параметр
A
изменя-
2
A
и
1
A
и
1
ется в 13 раз. От того, насколько точно удается определить негравитационные параметры
A
и
A
1
, зависит успех вычисление движе-
2
ния кометы в прошлом и в будущем. Если при вычислении движения кометы в прошлом движение короткопериодических комет путем численного интегрирования уравнений движения кометы с учетом параметров
A
и
A
1
удается согласовать с наблюдениями, то
2
при прогнозировании ее движения в будущем возникают трудности.
Эти трудности в основном связаны с большой неопределенностью
выбора параметров
A
и
A
1
.
2
Для успешного прогнозирования движения кометы в будущем
важно, чтобы дополнительные члены, входящие в уравнения движения, подчинялись определенным правилам. Изменение свободных параметров, входящих в уравнения движения, должны следовать определенной закономерности.
Далее предлагается простой способ учета влияния негравитационных эффектов на движение короткопериодических комет. В
основе данного способа допускается следующее предположение:
вследствие того, что выброс газопылевого облака из кометного ядра
происходит по направлению радиус-вектора «Солнце – комета»,
можно предположить, что все выброшенное вещество сосредоточено в определенном объеме, которое находится в постоянном взаимодействии с ядром кометы. На каждом шаге интегрирования про-
219
(
)
(
)
(
)
()()(
)
D
D
исходит учет влияния выброшенного вещества на движение ядра
кометы. Математически это влияние можно выразить следующими
формулами:
3
32
3
( )
∆
2
raXX
00
ii
3
0
2
raYY
00
ii
3
0
raZZ
00
3
0
**
− ZZD
3
∗
3
3
3
3
−∆+−∆∆+∆
rr
2
ii
3
3
( )
−∆+−∆∆+∆
– компоненты ускорения,
+
2
3
−∆+−∆∆+∆
rr
0
iiiiii
**
( )
−
+
+
2
3
0
iiiiii
+
+
2
3
rr
0
jjiiii
+
XXD
3
*
( )
∆
**
( )
−
YYD
3
*
( )
∆
**
( )
−
ZZD
3
*
( )
∆
,
(8.7)
,
,
где
2
Xd
2
dt
=
∑
i
−
i
∆
i
3
( ) ( )
2
Yd
2
dt
=
∑
i
−
i
∆
i
3
32
3
( ) ( )
2
Zd
2
dt
=
∑
i
−
i
∆
i
32
3
( )
**
*
( )
∆
− XXD
,
3
**
∗
( )
∆
−YYD
3
сообщаемые выброшенным веществом ядру кометы,
∗
000001,0
∗
,
XXX ⋅+=
000001,0
∗
,
YYY ⋅+=
000001,0
ZZZ ⋅+=
–
координаты выброшенного вещества относительно ядра кометы,
*
2
ZZYYXX −+−+−=∆ ,
3
**
∗
– параметр, подлежащий определению. Значение параметра
2
raD = , где
00*vv
– ускорение на поверхности выброшенного ве-
va0
2
*
щества, r – его линейные размеры.
Принимая во внимание, что
22
mkra
= , где
00
vvv
m – масса вы-
v
брошенного вещества, k – постоянная Гаусса, можно приблизительно оценить массу выбрасываемого из ядра кометы вещества.
Для комет Галлея, Энке и Фая эта масса составляет менее 1 % от
массы каждой из комет в течение их обращения вокруг Солнца.
Значение параметра
∗
определяется посредством численного
интегрирования дифференциальных уравнений (8.7) до моментов
220
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]