Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Численные методы в задачах математического моделирования движения небесных тел в Солнечной системе. Монография
.pdf
=
=
(
)
=
=
(
)
=
=
(
)
=
=
(
)
=
=
(
)
=
=
(
)
12. 1
m , 5
n .
1
1
+
x
6
1
3
6
1
5
1
12
Область устойчивости:
13.
2
m
,
5
n
.
1
2
1
5
5
1
21
7
7
21
++
42
1
Область устойчивости:
14.
5
1
8
3
m
,
5
n
.
3
3
1
5
28
56
8
5
168
Область устойчивости:
15.
5
1
9
4
m
,
5
n
.
1
4
1
9
5
36
12
126
5
252
Область устойчивости:
16.
0
m
,
6
n
.
1
1
1
1
6
2
1
24
Область устойчивости:
17. 1
m , 6
6
1
7
14
n .
1
+
5
2
21
Область устойчивости:
1
72
168
+++
1
56
xx
1
336
336
3024
1
x
7
1
2
1
1
−+−+−
++++
5
1
120
1
720
0Re <x
−+−+−
0Re <x
32
xxx
−+−+−
0Re <x
3024
0Re <x
0Re <x .
420
0Re <x .
5432
xxxxx
.
1
2520
.
1
6720
.
1
−+−+−
15120
.
1
.
432
xxxx
1
1
720
5432
xxxxx
+−+−+−
.
5432
xxxxx
xxxxxx +−+−+−
5040
.
.
5432
xxxxx
.
65432
.
1
65432
xxxxxx
111
=
=
(
)
=
=
(
)
=
=
(
)
=
=
(
)
18. 2
m , 6
3
1
4
Область устойчивости:
19.
m
2
1
3
Область устойчивости:
20.
m
3
1
4
Область устойчивости:
21.
m
1
11
6
1
11
Область устойчивости:
15
56
5
24
1
1
6
5
3
22
3
4
2
5
5
n .
5
84
,
n
1
126
,
n
1
36
,
n
8
33
5
2
99
1
6
1
6
1
15
6
1
1
4
1
112
2
xx
++
56
1
1120
0Re <x
.
+−+−+−
20160
1
.
65432
xxxxxx
.
1
24
3
1008
1
32
xxx
+++
504
+−+−+−
60480
1
5
1
2520
0Re <x
.
.
65432
xxxxxx
.
++++
5040
1
5040
0Re <x
.
1
432
xxxx
+−+−+−
151200
1
.
65432
xxxxxx
1
180
1
336
.
1
99
1
528
1
1584
0Re <x
1
9240
.
+++++
55440
1
+−+−+−
332640
5432
xxxxx
1
.
65432
xxxxxx
На основании проведенных вычислений, проводя сопоставление полиномов в числителе и знаменателе, можно сделать следующие выводы:
а) размеры областей устойчивости неявных методов превосходят размеры областей явных методов;
б) если степень полинома числителя больше степени полинома
знаменателя, то такой класс методов Рунге – Кутты, представляю-
щий в виде отношения полиномов функцию
x
e , имеет ограничен-
ную область устойчивости;
в) если степень полинома числителя меньше степени полинома
знаменателя, то такой класс методов Рунге – Кутты, представляю-
щий в виде отношения полиномов функцию
x
e , А-устойчив.
112
−
=
Как показано в монографии Лапидуса и Шенфилда [98], неявные методы Рунге – Кутты, в основе которых лежит квадратурная
формула Лобатто, обладают свойством А-устойчивости.
На основании вышеизложенных утверждений можно сформулировать следующую теорему.
Теорема. Метод Эверхатра, использующий квадратурную
формулу Лобатто, А-устойчив.
Методы, обладающие А-устойчивостью, особенно полезны при
решении жестких задач. Жесткие задачи – это задачи с большой
константой Липшица [75]. В небесной механике к таким относятся
задачи, связанные с исследованием движения небесных тел, имеющих тесные сближения с большими планетами.
4.4. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ
ДЛЯ ЗАДАЧИ КОШИ. ИСТОЧНИКИ ПОГРЕШНОСТЕЙ
При решении обыкновенных дифференциальных уравнений
численными методами с помощью ЭВМ на результаты расчетов
могут влиять ошибки различных типов. Основными из них являются ошибки округления, дискретизации и аппроксимации. Охарактеризуем каждый из этих типов погрешностей
В результате выполнения арифметических операций может потребоваться бесконечное число цифр. Очевидно, что мы не в состоянии
выполнять арифметические действия на ЭВМ абсолютно точно.
Ошибки, возникающие при выполнении арифметических операций
при использовании конечного числа разрядов на ЭВМ, называются
ошибками округления. Ошибки округления могут существенно влиять
на конечный результат вычислений. Так, при выполнении миллионов
операций, каждая из которых вносит некоторую ошибку, существует
опасность, что суммарная ошибка будет намного больше превышать
требуемую точность в окончательном результате.
Кроме накопления ошибок, связанных с выполнением большого
числа операций, существует опасность катастрофической потери знаков. Например, если два числа a и b отличаются друг от друга лишь в
последнем знаке, то bac
будет иметь только одну значащую
цифру. Дальнейшие вычисления с использованием величины c приводят к тому, что результат имеет только один верный знак.
Другой тип погрешности связан с необходимостью замены не-
прерывных задач дискретными задачами. При решении дифферен-
113
(
)
′
[
]
(
)
()()(
)
[
]
…
()()()(
)
[
]
…
T
−≤≤
=
−
{
}
…
циальных уравнений различными численными методами для вычисления интегралов от правой части уравнения используется вместо бесконечного множества точек, в которых вычисляются значения функции, лишь конечное их число. Ошибки такого типа называют ошибками дискретизации.
Наряду с ошибками дискретизации следует учитывать погрешности при использовании итерационных методов. В основе многих
численных методов при решении дифференциальных уравнений
используются итерационные процессы. В ходе итерационного процесса находятся последовательные приближения к решению. При
использовании ЭВМ можно реализовать только конечное число таких приближений. Ошибку, вносимую конечным завершением итерационного процесса, называют ошибкой сходимости.
Кроме того, для конкретных методов возникают ошибки аппроксимации, связанные с точностью используемой формулы применяемых методов.
В дальнейшем при оценке различного типа погрешностей основное внимание будем уделять погрешностям дискретизации и
аппроксимации.
Источники погрешностей, которые могут возникать при решении обыкновенных дифференциальных уравнений, рассмотрим на
примере системы s уравнений первого порядка
где
= ,
21
= ,
yxfy ,=
,
T
s
xyxyxyy ,,,
21
bax ,∈
,
s
yxfyxfyxfyxf ,,,,,,,
yay =
, (4.20)
0
T
– транспонирование,
y – задано.
0
Пусть общий класс методов в векторной форме представляется
формулой
k
для kNn
0
∑
=
i
0
,
Nhab
данными начальными значениями
( )
=
ϕα
, где
α
y , 1y ,
0
hyyxhy
,,,, …
++
– постоянные, 0≠
i
(4.21)
nknnfini
,
y ,
ϕ
1
−k
α
, с за-
k
– заданная
f
вектор-функция, которая зависит от f . Метод (4.21) является явным, если ϕ не зависит от
, в противном случае – неявным.
kny+
114
−
=
(
)
≤
≤
[
]
(
)
(
)
(
)
≥
−≤≤
(
)
≤
≤
Рассмотрим задачу (4.20) и предположим, что приближенное
решение
y
,
y
, …,
y
0
1
N
, abNh
вычисляется по формуле (4.21).
Определение 1.19 [75]. Величина
xyy
−
называется полной
nn
погрешностью дискретизации (полная погрешность метода) в
точке
xx
=
n
, Nn
0 .
Одной из основных задач в численных методах решения обыкновенных дифференциальных уравнений является получение надежных
оценок полной погрешности дискретизации. При решении уравнений
(4.20) основным требованием является сделать эту погрешность сколь
угодно малой, выбирая достаточно малый шаг h.
Определение 1.20 [75]. Погрешность аппроксимации
мулы (4.21) в точке
k
где
представляет собой количество, которого недостает для того,
knt+
∑
=
i
0
bax
kn,∈+
( ) ( ) ( )( )
определяется по формуле [75]
−=
ϕα
+++
hxyxyxhxyt
,,,, …
, (4.22)
nknnfinikn
фор-
knt+
чтобы точное решение (4.20) удовлетворяло (4.21), и может рассматриваться в качестве предварительной оценки точности формулы.
Если метод (4.21) явный, то из (4.22) следует
( )
1
txyy
=−
knkn
α
. (4.23)
kn
+++
k
Для линейного многошагового метода
Выражение для
k
∑ ∑
= =
i
0 0
имеет вид [75]
knt+
pp
1
++
pkn
k
=
n
fhy
βα
i
p
+=
hOxyhCt , 1
. (4.24)
++
iniini
211
+++
p . (4.25)
Величину главного члена погрешности аппроксимации (4.25)
часто используют в качестве оценки полной погрешности.
Рассмотрим, как связана полная погрешность дискретизации с
полной погрешностью аппроксимации и погрешностью предыдущих значений в
iny+
, 10
ki .
Для упрощения выражений рассмотрим скалярный случай. Полагая
xyye −= , Nn
0 , вычитая из (4.21) выражение (4.22),
nnn
получим
115
≤
≤
…
{
}
…
…
~,,~,~
→
[
]
(
)
(
)
[
]
∈
=
′
В выражении (4.26) допускается предположение, что к
менима теорема о среднем относительно переменных
k
( )
[
∑
0
i
=
ϕ
k
∂
h
=
∑
∂
0
i
=
ϕα
( ) ( )( )
…
ϕ
f
( )
y
in
+
…
+
++
nknn
…
,,,,
,,,,
hyyxhe
−=
nknnfini
]
thxyxyx
=−−
(4.26)
knnknnf
++
.,,,,
tehyyx
−
knin
++
ϕ
при-
f
, ki
0 .
iny+
Из выражения (4.26) следует, что при начальных погрешностях
e , 1e ,
0
проксимации
,
e погрешность ke зависит только от погрешности ап-
1−k
t и от преобразованных начальных погрешностей.
k
При решении практических задач требуется, чтобы погрешность аппроксимации была достаточно мала. При этом метод, определяемый выбором функции
ϕ
и коэффициентами
f
α
, должен
i
быть таким, чтобы преобразованные погрешности росли не слишком быстро. При рассмотрении источников погрешностей не учитывались погрешности округления.
На практике получаются приближенные вычисленные решения
,
yyy
1 knnn
Следует отметить, что величину
угодно малой при
, которые удовлетворяют возмущенному уравнению
++
k
∑
i
=
0
h .
~
ϕα
ini
+
~
( )
,
0
~
,
...,,
tR
−
++
. (4.27)
Rhyyxhy
+=
knnknnf
++
нельзя сделать сколь
knkn
При исследовании алгоритмов важно иметь возможность вычислить погрешность аппроксимации точно. Это требование существенно сужает круг модельных задач, для которых известно точное
аналитическое решение. Для устранения этого затруднения вводится иной вид погрешности, так называемой локальной погрешности.
Определение 1.21 [75]. Локальной погрешностью метода
(4.21) в точке
где
xxu – решение задачи Коши
1,−++ knkn
kn,∈+
( )
bax
называется величина
1
−+
kn
=
.,
yxxu
111
−+−+−+
knknkn
−
,,),,(
bxxuxfu
(4.28)
xxuy ,
1,−+++
knknkn
Исходя из этого определения, можно сравнивать алгоритмы
различных методов на основе оценок погрешности, так как на каж-
116
[
]
<
≤
−≤≤
()(
)
(
)
<
≤
(
)
(
)
−≤≤
()(
)
(
)
≤
≤
()()()()(
)
′
(
)
−
=
()()(
)
(
)
()()()(
)
(
)
()()()(
)
[
]
[
]
(
)
дом шаге тестовой программы можно вычислить локальную погрешность, численно решая задачу Коши на отрезке
xx
с
knkn
+−+,1
достаточно высокой точностью.
4.5. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ
МЕТОДОМ ЭКСТРАПОЛЯЦИИ
Рассмотрим k-шаговый метод в виде
k
( )
ϕα
0∑=
i
++
)(hSynn=
, kn
0 ,
nknnini
0,,,,
=−
hyyxhy …
, kNn
0 . (4.29)
Сформулируем для него ряд простейших теорем.
Теорема 1.6 [75]. Если метод (4.29) нуль-устойчив и имеет порядок согласованности p, то он сходится и имеет порядок сходи-
мости p.
Важность этой теоремы состоит в том, что с помощью разложения в ряд Тейлора можно найти порядок согласованности метода, а
устойчивость проверить с помощью корневого условия, доказав при
этом сходимость метода.
Теорема 1.7 [75]. Если
nnn
=−=
hOxyhSd , kn
p
0 , (4.30)
1+
и
1+
p
ψ
++
kn
kn
p
+=
hOxhd
,
0 , (4.31)
kNn
то
1+
p
nn
n
p
++=
hOxehxyy
,
0 , (4.32)
Nn
где
,
y
xxexyxfxe
ψ
−=−
,
0=ae . (4.33)
Принимая во внимание (4.32), полную погрешность в фиксированной точке c можно оценить, используя приближенные решения,
вычисленные с шагом h и 2h , причем acMh
.
На основании (4.32) имеем
1+
M
2
M
p
22
pp
++=
hOcehcyhy , (4.34)
1
+
p
++=
hOcehcyhy . (4.35)
Из соотношений (4.34) и (4.35) следует
1
+
22
MMM
1222
pp
+−−=−
hOhyhycyhy .
117
2
()(
)
[
]
[
]
+
(
)
+
p
+
(
)
′
(
)
=
θ
Погрешность при шаге 2h приближенно равна разности решений с шагом h и
2
h , умноженной на
p−
. Это дает наиболее удоб-
ный способ выбора подходящего шага интегрирования. Шаг интегрирования уменьшается до тех пор, пока два решения не совпадут
с требуемой точностью.
4.6. ОЦЕНКА ЛОКАЛЬНОЙ ПОГРЕШНОСТИ
ДИСКРЕТИЗАЦИИ ОДНОШАГОВЫХ МЕТОДОВ
Для оценки ошибок дискретизации одношаговых методов
наиболее часто применяются следующие три основных метода.
1. Метод экстраполяции. Интегрирование от точки
x выполняется дважды: один раз с шагом h и другой раз с шагом
1+n
2
h . Тогда
2h , а
y – с шагом h.
1+n
+
n
−
p
211
−−=
yyhd , где
111
++
nn
y получено с шагом
1+n
x до точки
n
2. Вложенные методы. На каждом шаге интегрирование выпол-
няется дважды: методом порядка p и методом порядка 1
ность полученных значений дает оценку
y получено с порядком 1
1+n
p , а
y – с порядком
1+n
p . Раз-
−=
nnn 111 +++
.
hyyd
, где
3. Многошаговые методы оценки погрешности. Многошаговая
формула порядка 1
p преобразуется так, чтобы дать требуемую
оценку
где
1
1
∑
1
+−=
ki
1
ρ
– производная от характеристического полинома
1
.
−=
++
inin
( ) ( )
yfhyd ,
+
′
1
ρβα
ini
θρ
при
Сравнение оценок погрешности для одношаговых методов указывает на то, что многошаговые методы требуют наименьших непосредственных затрат, однако точность оценки невелика. Метод экстраполяции для оценки погрешности является более надежным и
точным по сравнению с вложенным и многошаговым методами,
однако требует больших затрат, чем вышеуказанные методы.
Одной из основных проблем в использовании численных методов при решении обыкновенных дифференциальных уравнений является получение надежных оценок полной погрешности дискретизации.
118
Для метода Коуэлла этот вопрос детально изучался в Институте
теоретической астрономии в работах В.Ф. Мячина [63]. Быстрый
рост ошибок округления на каждом шаге интегрирования является
принципиальным недостатком метода Коуэлла. После того как сделано n шагов численного интегрирования, ошибки в полученном
решении оказываются пропорциональными
23
n , иными словами,
после 100 шагов интегрирования ошибки округления возрастают в
1000 раз, т.е. три значения в последних разрядах в результатах будут ошибочны. Систематическое накопление ошибки в процессе
интегрирования существенно ограничивает возможности использования метода Коуэлла.
Построение метода Адамса – Бэшфорта основано на том же принципе, что и метода Коуэлла, поэтому можно ожидать, что накопление
полной погрешности будет происходить подобным образом.
Метод Адамса – Мултона обладает лучшими свойствами как в отношении устойчивости, так и точности по сравнению с методами
Коуэлла и Адамса – Бэшфорта и может более эффективно использоваться для решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
Метод Эверхарта по точности и быстродействию превосходит
все перечисленные выше методы, однако является специализированным для решения задач небесной механики.
119
ГЛАВА 5
СОЗДАНИЕ БАНКА ДАННЫХ КООРДИНАТ
НЕБЕСНЫХ ТЕЛ (МЕРКУРИЙ – ПЛУТОН) И ЛУНЫ
НА ОСНОВЕ СОВРЕМЕННОЙ
ЧИСЛЕННОЙ ТЕОРИИ DE405
Исследование эволюции орбит малых тел Солнечной системы
проводится путем совместного решения уравнений движения больших планет и исследуемого объекта. При решении задач, связанных
с проблемой астероидной опасности, требуется проводить регулярные исследования движения свыше 13000 астероидов групп Аполлона, Амура, Атона и свыше 250 короткопериодических комет на
интервале времени порядка нескольких столетий. Даже при наличии современных средств вычислительной техники решение данной
задачи вызывает определенные трудности. Создание высокоэффективных алгоритмов и программ численного интегрирования уравнений движения небесных тел является необходимым условием для
своевременного получения результатов проведенных исследований.
Повышение эффективности работы программы при решении уравнений движения небесных тел можно достичь двумя путями: либо
путем создания банка данных координат больших планет, либо путем модификации метода численного интегрирования.
Создание банка данных координат больших планет и использование их в программах численного интегрирования способствует
понижению порядка системы дифференциальных уравнений с 72 до
6, что почти на порядок сокращает расчетное время. Однако эффективность работы программ существенным образом зависит от формы хранения координат возмущающих тел. Обычно координаты
задаются табличным массивом с определенным интервалом. Тогда с
помощью интерполяционных формул можно получить координаты
возмущающей планеты на нужный момент времени. Неудобство
такого способа хранения состоит в том, что координаты внутренних
планет должны быть известны с небольшим интервалом.
Чтобы этого избежать, Б. Марсденом [100] был предложен способ нахождения координат внутренних планет по формулам невозмущенного движения на основе известных элементов орбит. Но при
этом достаточно точные координаты больших планет можно получить только вблизи момента оскуляции. В этом случае для вычисления координат внутренних планет на значительном промежутке
120
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]