Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Численные методы в задачах математического моделирования движения небесных тел в Солнечной системе. Монография
.pdf
Ω
Ω
(
)
(
)
(
)
(
)
P
p, i
Ω
c
Ω
ω
ω
υ
−
=
u
=
σ
()(
)
Из сферических треугольников
так как
izn =,
,
izn cos,cos =
.
nx и
Ω= sinsin,cos ixn
ny , находим
,
Ω−= cossin,cos iyn
,
На основании (2.8), (2.11) и (2.36) имеем
dy
dx
z
y
dx
z
dt
dy
x
dt
dt
dt
dz
x
dt
dx
y
dt
*
*
+=−
1
0
*
*
1
0
*
*
1
0
.cos
ipcc
Ω+=Ω=−
,sinsinsinsin
ipccic
Ω+−=Ω−=−
,cossincossin
ipccic
Формулы (2.50) устанавливают связь между координатами тела
и их производными и величинами
,
, а также c постоян-
(2.50)
ными
c
,
c
,
2
c и
1
.
3
На рис. 2.2 точкой P отмечено положение небесного тела на
его орбите, точкой П – направление на перигелий. Тогда угол u
обозначает угол ,SPΩ υ обозначает угол ПSP ,
.SP
Угол u называется аргументом широты тела, υ – истинной
аномалией его, а
c – аргументом перигелия и обозначается
6
c обозначает угол
6
. Из
рис. 2.2 следует, что
. (2.51)
Аргумент перигелия ω может принимать любые значения от
0 до 360 в направлении движения тела.
2.5. ЭЛЕМЕНТЫ ОРБИТ
Для определения постоянной
ния тела через перигелий через T, тогда в этот момент 0
c обозначим момент прохожде-
4
и,
следовательно,
cTc −=
4
, (2.52)
поэтому соотношение (2.13) запишется в виде
*
2
σ
*
1
0
TtpccTtc −+=−=
. (2.53)
41
i
Ω
ω
a
e
T
y
(
)
=
−
(
)
cos
1
e
ω
υ
+
=
u
(
)
(
)
=
(
)
E
υ
u
Все постоянные интегрирования выражены через шесть постоян-
ных элементов орбит, которые обозначаются следующим образом:
– наклонение орбиты к эклиптике,
–долгота восходящего узла,
– аргумент перигелия.
Эти элементы определяют расположение плоскости орбиты в
пространстве и направление большой оси орбиты. Они зависят от
выбора координатной системы. Далее
– большая полуось,
– эксцентриситет.
Эти элементы определяют размеры и форму орбиты.
– момент прохождения через перигелий, который определяет
положение тела на орбите в определенный момент.
2.6. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ
И СКОРОСТЕЙ ПО ЭЛЕМЕНТАМ ОРБИТ
Для эллиптического движения прямоугольные координаты x,
,
z по элементам орбит вычисляются с помощью следующих
формул [40]:
MEeE
iurz sinsin
Здесь M – средняя аномалия
t – начальный момент времени (эпоха);
0
M – средняя аномалия в эпоху;
0
– эксцентрическая аномалия;
– истинная аномалия;
– аргумент широты.
sin , (2.55)
υ
tg
=
2
r
= , (2.57)
+
MttnM +−=
, (2.54)
00
1
1
E
e
+
tg
, (2.56)
21
e
−
2
ea
−
υ
, (2.58)
iuurx cossinsincoscos Ω−Ω= , (2.59)
iuury coscossinsincos Ω+Ω= , (2.60)
. (2.61)
/ accn += ;
1
3*
*
0
42
y
υ
(
)
(
)
Ω
ω
Радиус-вектор r и прямоугольные координаты x,
,
z можно
вычислить по формулам, не требующим знания истинной аномалии
. Эти формулы имеют вид [1]
ξ
η
Eear cos1−=
, (2.62)
−=
,cos
eEa
2
−=
+=
QPx
+=
QPy
+=
QPz
(2.63)
.sin1
Eea
,
ηξ
xx
,
(2.64)
ηξ
yy
,
ηξ
zz
где ξ и η – орбитальные координаты, а направляющие косинусы
P
,
P
,
P
,
Q
,
Q
,
x
y
z
x
Q определяются через элементы
y
z
,
и i
по формулам
x
y
=
z
x
y
z
isP
ω
Ω=
.sincos
iQ
ωω
Ω−Ω=
,cossinsincoscos
iP
ωω
Ω+Ω=
,coscossinsincos
iP
(2.65)
.sinsin
Ω−Ω−=
,cossincoscossin
ωω
ωω
iQ
Ω+Ω−=
,coscoscossinsin
iQ
(2.66)
Для контроля вычислений используются равенства
Пусть V – скорость,
V – радиальная скорость, nV – трансвер-
r
222
=++
,1
PPP
zyx
222
=++
,1
QQQ
zyx
QPQPQP
(2.67)
=++
.0
zzyyxx
сальная скорость. Тогда
12
*
*
2
V
r
( )
0
*
0
=
ccV
1
*
cc
+
1
p
−+=
, (2.68)
ar
υ
sin
e
, (2.69)
43
ɺ
ɺ
ɺ
y
τ
−=−
(
)
cos
1
e
ω
υ
+
=
u
(
)
y
(
)
(
)
*
*
cc
+
1
0
V
=
n
( )
p
υ
cos1
e
+
. (2.70)
Дифференцируя (2.59) – (2.61) по времени, найдем
x
ɺ
x
ɺ
y
ɺ
z
( )
r
y
( )
r
z
+=
r
.sincos
iVuV
nr
Ω−Ω−+=
Ω+Ω−+=
,cossincoscossin
ViuuV
nr
,coscoscossinsin
ViuuV
(2.71)
nr
Формулы (2.71) позволяют вычислить проекции скорости на
оси координат. Для вычисления V имеем формулу
2222
zyxV
++= , (2.72)
которую можно использовать для контроля.
Для вычисления прямоугольных координат x,
,
z при гипер-
болическом движении могут быть использованы следующие формулы:
*
*
ccn+
1
)(sh
0
= , (2.73)
3
a
tnHHe , (2.74)
12H
e
tg
υ
r
( )
=
+
=
=
tg
, (2.75)
e
ea
+
21
−
2
1
−
, (2.76)
υ
, (2.77)
Ω−Ω=
ω
.sinsin
iurz
Ω+=
Радиус-вектор r и прямоугольные координаты x,
вычислить также по формулам
Hea sh1
ξ
η
2
44
1ch −= Hear
, (2.79)
Hea ch−=
, (2.80)
−=
, (2.81)
,cossinsincoscos
iuurx
,coscossinsincos
iuury
(2.78)
,
z можно
y
2
2
2
ω
υ
+
=
u
(
)
2
3
(
)
(
)
σ
=
ηξ
QPx +=
, (2.82)
xx
ηξ
QPy += , (2.83)
yy
ηξ
QPz += , (2.84)
zz
не требующим знания истинной аномалии υ, значений ξ и η –
орбитальных координат и направляющих косинусов
Q
,
Q
,
x
Q , которые определяются по формулам (2.62), (2.63).
y
z
P
,
P
,
x
P
y
z
Для вычисления проекций скорости на координатные оси можно использовать формулы (2.68) – (2.70), при этом для контроля
можно пользоваться формулой
12
( )
ccV
1
0
*
*
2
Для вычисления прямоугольных координат x,
++=
. (2.85)
ar
,
z при пара-
болическом движении могут служить следующие формулы:
*
*
ccn+
1
0
=
υυ
3
sec
qr = , (2.88)
, (2.86)
3
2q
( )
η
−=+ tntgtg
, (2.87)
υ
2
, (2.89)
Ω−Ω=
ω
,sinsin
iurz
Ω+=
,cossinsincoscos
iuurx
,coscossinsincos
iuury
(2.90)
где
p
q = .
( )
=
,
Вместо (2.87) – (2.90) можно воспользоваться другими формулами:
1
3
1σξ−= q ,
( )
ησσ
−=+ tn
, (2.91)
2
1σ+= qr , (2.92)
2
45
qn 2
,
(2.93)
2
ɺ
ɺ
ɺ
(
)
r
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
+=
,
QPx
ηξ
xx
+=
,
QPy
(2.94)
ηξ
yy
+=
,
ηξ
QPz
zz
где ξ и η – орбитальные координаты,
υ
σ
tg= ,
P
,
P
,
P
,
Q
,
Q
,
Q
x
y
z
x
определяются по формулам (2.65),
y
z
(2.66).
Для вычисления проекций скорости на координатные оси можно применять формулы
*
*
cc
2 +
2
V
= . (2.96)
1
0
222222
VVzyxV +=++=
, (2.95)
nr
Формулой (2.96) следует воспользоваться для контроля.
2.7. ВЫЧИСЛЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ОРБИТ
ПО ПОЛОЖЕНИЮ И СКОРОСТИ
Пусть в начальный момент
риальные координаты
z
. По данным координат и скоростей в начальный момент
0
x
,
0
t известны прямоугольные эквато-
0
y , 0z и компоненты скорости 0x
0
,
y
0
t сле-
0
,
дует вычислить элементы орбит. Изложим алгоритм вычисления
элементов орбит, соответствующих этим значениям [1,27].
Вычисляется величина
21
ra +
0
2
V
0
−=
, (2.97)
*
*
cc
1
0
где
2
00
xxxr ++= ,
2
1
2
2
0
2
2
zyxV
++= . (2.98)
0
0
2
2
При положительном значении выражения, стоящего под знаком
модуля, движение происходит по эллипсу, при отрицательном – по
гиперболе, и при нулевом значении движение тела происходит по
параболе.
46
e
a
ɺ
ɺɺɺ
ɺ
a
(
)
ɺ
(
)
(
)
В случае эллиптической орбиты вычисляются эксцентриситет
и эксцентрическая аномалия
где
Ee
sin+= ,
0
( )
zzyyxxrr
++=
0000000
E
на момент
0
rr
0
*
*
0
acc
1
t
из соотношений
0
r
Ee
0
0
1cos −= , (2.99)
.
С помощью уравнения Кеплера
вычисляется средняя аномалия в эпоху
sin
EeEM
−=
(2.100)
000
t .
0
В случае гиперболической орбиты формулы для вычисления
эксцентриситета e, аналога эксцентрической аномалии
H и мо-
0
мента τ прохождения через перигелий используются соотношения
rr
He
sh+=
0
sh taccHHe
00
,
*
*
0
acc
1
−
*
*
1
000
He
0
3
2
( )
−+=−
0
r
1ch
+=
, (2.101)
τ
. (2.102)
Для параболической орбиты достаточно вычислить параметр p
и момент τ прохождения через перигелий. Формулы для вычисле-
ния этих величин имеют следующий вид:
2
rr
2
rp
00
,
−=
0
*
0
τ
*
cc
+
1
0
1
−=
2
. (2.103)
*
*
cct+
1
0
Из соотношений
1
0
*
*
1
0
*
*
0
0
−=+
ɺ
ɺ
−=Ω+
,sinsin
yzzyipcc
0000
ɺ
ɺ
−=Ω+
,cossin
xzzxipcc
(2.104)
0000
ɺɺ
,cos
xyyxipcc
0000
*
*
находятся элементы i, Ω, отнесенные к экватору, а также параметр p.
В случае параболической орбиты значение p совпадает с тем,
которое находится по формулам (2.104). В случае эллиптической
или гиперболической орбит следует для контроля использовать
формулы
2
1 eap −= ,
12−= eap . (2.105)
47
Аргумент перигелия ω находится по формулам
ɺ
rrp
,
*
( )
1
cos
0
00
,
−+
rpcc
0
eciz
yx
00
,
(2.106)
sincos
Ω+Ω
υ
=
tg
0
*
0
tgu
=
0
υω
−=
u
00
причем числители и знаменатели формул имеют знаки синуса и косинуса углов
υ
,
u
соответственно.
0
0
Переход к эклиптическим элементам орбит выполняется по
следующим формулам:
′
′′
′′
′
′
di
′
−=
.
d
ωω
Ω=Ω
,sinsinsinsin
ii
Ω+−=Ω
iii
εε
εε
Ω+=
iii
,cossinsincoscoscos
,coscossinsincoscossin
(2.107)
Ω=
ε
,sinsinsinsin
εε
Ω−=
iidi
,cossincoscossincossin
2.8. ВЫЧИСЛЕНИЕ КООРДИНАТ, СКОРОСТЕЙ
И ЭЛЕМЕНТОВ ОРБИТ НЕБЕСНОГО ТЕЛА
ВО ВТОРОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
Ранее нами были получены дифференциальные уравнения, основанные на гипотезе взаимодействия материальных тел с окружающим
пространством. Получены решения в первом приближении этой задачи.
Предложены алгоритмы для нахождения координат, скоростей и элементов орбит небесного тела на основе решения задачи двух тел.
В дальнейшем займемся уточнением координат и скоростей с
учетом второго приближения данной задачи.
В выражении (2.22) в первом приближении квадрат скорости
вычислялся без учета второго члена в правой части. Во втором приближении выражение (2.22) примет вид
48
()(
)
accr
r
6
где
a
(
)
y
ɺ
ɺ
z
ɺ
c
5
V
*
*
cc
+
1
0
−= .
31*
*
*
cc
2
+
1
0
= , (2.108)
+
30*
12 +
0
rcrc
+
1
−
4
*
*
1
0
Из соотношения (2.47) найдем величину r – радиус-вектор
небесного тела:
*
*
2
r
= . (2.109)
cca
+
1
0
*
*
2
ccaV
++
1
0
Для нахождения координат x,
(2.59) – (2.61). Для нахождения компонент скоростей x
,
z используем формулы
,
y
пользуемся формулами (2.71).
Затем по известным координатам и скоростям по формулам
(2.97) – (2.106) находим элементы орбит небесного тела.
,
вос-
49
...
ГЛАВА 3
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫСОКИХ ПОРЯДКОВ
ДЛЯ РЕШЕНИЯ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ НЕБЕСНОЙ
МЕХАНИКИ
3.1. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
НЕБЕСНЫХ ТЕЛ КВАДРАТУРНЫМ МЕТОДОМ КОУЭЛЛА
Численные методы решения уравнений движения небесных тел в
настоящее время получили широкое применение и развитие. Применению и развитию численных методов способствовало появление
быстродействующих вычислительных машин и запросы практики,
связанные с исследованием эволюции орбит небесных тел, представляющих потенциальную угрозу для земной цивилизации и для реализации космических миссий на другие тела Солнечной системы.
Простейшие численные методы интегрирования обыкновенных
дифференциальных уравнений изложены в ряде учебных пособий [8,
12, 62, 65, 72, 73]. Настоящая глава посвящена специализированным
численным методам для решения уравнений движения небесных тел.
Численные методы интегрирования дифференциальных уравнений можно разделить на две группы – одношаговые и многошаговые [3, 4, 11, 15, 58, 63, 66, 80, 81, 85, 86, 91–93, 98, 104, 105].
Методы первой группы основаны на получении решения в точке
x
по известному решению в точке
1+n
нами главных авторов – Эйлера, Рунге – Кутты, Эверхарта и др.
Методы второй группы состоят в использовании некоторых
предварительно вычисленных значений
чения решения в точке
x
. К этой группе относятся методы Адам-
1+n
са – Бэшфорта, Адамса – Мултона, Коуэлла и др.
Все вышеназванные методы эффективно используются при решении задач небесной механики. Точность полученного решения
уравнений движения небесных тел существенно зависит от применяемого метода. Важно знать, для каких задач применять тот или
иной метод численного интегрирования уравнений движения
небесных тел.
Дальнейшее изложение численных методов интегрирования уравнений движения небесных тел будем излагать применительно к решению уравнений, основанных на новом принципе взаимодействия.
x
. Эти методы называются име-
n
y
,
y
,
,
n
1−n
для полу-
kny−
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]