Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Численные методы в задачах математического моделирования движения небесных тел в Солнечной системе. Монография
.pdf
∆
z
∆
ɺ
∆
ɺ
∆
zɺ∆
T
∆
T
∆
y
,
– погрешности в координатах, x
, y
,
– погрешности
в компонентах скоростей.
Таблица 5.5
Величины максимальных ошибок в прямоугольных координатах
на конце интервала в 10 дней
Планета
Солнце 5
Меркурий 5
Венера 5
Земля 5
Луна 5
Марс 5
Юпитер 5
Сатурн 5
Уран 5
Нептун 5
Плутон 5
Величины максимальных ошибок в компонентах скоростей
на конце интервала в 10 дней
Планета
Солнце 5
Меркурий 5
Венера 5
Земля 5
Луна 5
Марс 5
Юпитер 5
Сатурн 5
Уран 5
Нептун 5
Плутон 5
(сут.)
(сут.)
r∆
V∆
(а.е./сут.)
max
(а.е.)
-12
10,951 ⋅
-9
10,331 ⋅
-11
10,761 ⋅
-8
10,102 ⋅
-6
10,671 ⋅
-12
10,112 ⋅
-12
10,712 ⋅
-13
10,487 ⋅
-12
10,731 ⋅
-12
10,601 ⋅
-12
10,977 ⋅
Таблица 5.6
-13
10,187 ⋅
-9
10,512 ⋅
-11
10,003 ⋅
-8
10,613 ⋅
-6
10,932 ⋅
-13
10,838 ⋅
-13
10,028 ⋅
-13
10,276 ⋅
-13
10,636 ⋅
-13
10,126 ⋅
-13
10,807 ⋅
131
≤
()(
)
=
=
(
)
()(
)
()()()(
)
x
arccos
=
ϕ
()()(
)
n
1
≥
Из сопоставления отклонений, приведенных в табл. 5.3 и 5.5,
следует, что координаты планет и Луны по данному алгоритму получаются более чем на порядок точнее по сравнению с координатами, вычисленными с использованием оскулирующих элементов.
5.6. ВЫЧИСЛЕНИЕ ЭФЕМЕРИД БОЛЬШИХ ПЛАНЕТ
И ЛУНЫ НА ОСНОВАНИИ РАЗЛОЖЕНИЙ
ПО ПОЛИНОМАМ ЧЕБЫШЕВА
Ранее нами был рассмотрен способ хранения положений больших планет в форме оскулирующих элементов орбит с шагом один
и десять дней, а также в виде коэффициентов полиномов Эверхарта
[41]. Внутри каждого промежутка координаты и скорости для каждой планеты (Меркурий – Плутон) вычислялись по формулам невозмущенного движения с помощью оскулирующих элементов или
с помощью полиномов Эверхарта. Использование оскулирующих
элементов с шагом один день увеличивает точность вычисления
координат и скоростей больших планет и Луны более чем на порядок по сравнению с использованием банка данных оскулирующих
элементов с шагом десять дней. Однако улучшение точности достигалось путем увеличения в десять раз объема банка данных.
Уменьшения объема банка данных одновременно с улучшением
точности вычисления координат и скоростей больших планет и Луны удается достичь методом интерполяции полиномами Чебышева.
5.6.1. ПОЛИНОМЫ ЧЕБЫШЕВА
Полином Чебышева порядка n (для 1
ношением [61]
Покажем, что
(
10=T
) и
линомом n-ной степени, воспользуемся равенством
откуда следует, что
1
n
(
1
n
)(xT
– полином. Это очевидно лишь для
n
xT =
). Для доказательства, что
arccoscos=
x ) определяется соот-
xnxT
. (5.17)
βαβαβα
coscos2coscos =−++
ϕϕϕ
Если положить
при
.
, то после подстановки получим
2
132
xTxxTxT
−=
(5.19)
nnn 11
−+
0
n
xT
является по-
n
,
1coscoscos21cos −−=+ nnn
. (5.18)
[
]
(
)
(
)
()(
)
−
=
…
(
)
[
]
(
)
[
]
′
[
]
′
[
]
[
]
′
212
[
]
[
]
(
)
{
}
{
}
(
)
()(
)
…
=
Рассмотрим поведение полиномов Чебышева на отрезке
Внутри этого интервала
при
π
21cos +=
Пусть функция
аппроксимировать функцию
xT
обращается в нуль в n точках:
n
0=
xT
(5.20)
nkx
, где 1,,1,0
n
xf задана на отрезке
xf на отрезке
nk
.
ba, . Для того чтобы
ba, полиномами Че-
1,1 +−
бышева, заменим независимую переменную x нормированной переменной
x
на отрезке
1,1
+−
, где значения x и
x
связанны
между собой следующими соотношениями:
1
( )
bax
+−
′
x
2
=
1
( )
(5.21)
ab
−
2
при
bax ,∈ ,
1,1 +−∈′x
и
x
( ) ( )
x ++−
=
baab
(5.22)
.
при
С помощью соотношений (5.21) и (5.22) функция
1,1 +−∈′x ,
bax ,∈ .
xf может
быть представлена полиномами Чебышева n-ного порядка в виде
n
=≈
∑
=
j
0
′
jj
. (5.23)
−
cxTcxfxf
2
0
Коэффициенты
( ) ( ) ( )
c в формуле (5.23) вычисляются следующим
*
j
образом:
n
=
c
n
где
1+′n
x – k -тый корень полинома
k
2
+
1
∑
=
k
0
n
( )
kj
T .
С помощью соотношений (5.21) и (5.24) значения
1+′n
xT вычисляются по формулам
jj
12
kab
+−
1
n
+
x
=
k
2
cos
{ }
′
( )
kj
π
+
1
n
+
n
+
=
cos
jxT
133
π
′
( )
xTxf
kj
1+n
ba
+
222
+
k
+
n
{ }
++
n
11
, (5.24)
, nk ,,1,0
12
. (5.26)
22
, (5.25)
x и
k
1+n
(
)
+
(
)
[
]
(
)
Из соотношения (5.24) следует, что для вычисления коэффициентов
c данную функцию
j
чем эти точки не произвольные, а совершенно определенные, так как в
них
T
обращается в нуль. В этом состоит отличие полинома Чебы-
1+n
шева от других полиномов, например полинома Лагранжа, Ньютона,
где функция
ных точках. Поскольку точки интерполяции при построении полиномов Чебышева у границ интервала располагаются теснее, чем в его
центре, общая ошибка аппроксимации сглаживается. Данный выбор
узловых точек позволяет минимизировать максимальную ошибку,
возникающую при замене функции
номами Чебышева. Для широкого класса функций их разложения по
полиномам Чебышева сходится намного быстрее, чем по любой другой системе ортогональных многочленов.
Очевидно, что приближение Чебышева может использоваться,
если возможно вычислить требуемые значения функции для всех
заданных точек.
5.6.2. БАНК ДАННЫХ КООРДИНАТ БОЛЬШИХ ПЛАНЕТ,
Как упоминалось ранее, одной из наиболее точных численных
теорий движения больших планет является численная теория DE405
[102]. Однако использование банка данных DE405 в программе
численного интегрирования уравнений движения небесных тел методом Эверхарта затруднительно, поскольку вычисление координат
и скоростей для Меркурия и Луны производится по различным алгоритмам. Кроме того, коэффициенты полинома Чебышева в DE405
приведены для барицентра «Земля + Луна», а не для каждого объекта в отдельности.
Следует отметить, что программа, составленная Э. Эверхартом
на ФОРТРАНЕ и адаптированная С.В. Тарасевичем для БЭСМ-6,
осуществляет совместное интегрирование возмущаемого тела и
возмущающих планет [14]. В программе не предусматривалось использование банка данных координат и компонент скоростей для
возмущающих тел, поэтому необходимо было ее модифицировать.
Вследствие того, что в процессе интегрирования требуется информация о координатах и скоростях на значительном количестве подшагов, требовалось оперативно получать их, затрачивая при этом
минимальное время. Отсюда возникла необходимость в создании
xf
внутри промежутка
xf
следует оценить в )1(
ba,
xf
интерполяционными поли-
ЛУНЫ И СОЛНЦА
134
n
точках. При-
оценивается в произволь-
∆
z
∆
ɺ
∆
ɺ
∆
zɺ∆
[][
]
r
∆
∆
банка данных координат больших планет на интервале времени с
1600 по 2200 гг., где координаты планет внутри промежутка вычис-
ляются единым алгоритмом на любой момент времени с заданной
точностью. Кроме того, следовало получить координаты и компоненты скоростей для Земли и Луны отдельно.
Для устранения вышеуказанных трудностей нами было проведено исследование точности вычисления координат планет и Луны
с помощью полиномов Чебышева в зависимости от величины интервала интерполяции и степени полинома. Результаты исследования показали, что наиболее оптимальным интервалом для вычисления координат и скоростей с помощью коэффициентов Чебышева
для всех планет, Луны и Солнца является десятидневный интервал
при максимальной степени полинома, равной также десяти.
Создание банка данных коэффициентов полиномов Чебышева
проводилось нами на основе банка данных DE405. Предварительно
был создан банк данных координат и компонент скоростей Земли,
Луны, Солнца и всех остальных планет с шагом 10 дней на интервале времени с 1660 по 2200 гг. с использованием банка данных
DE405. Затем для каждого 10-дневного интервала находились коэффициенты полинома Чебышева.
Таким образом, на интервале времени с 1600 по 2200 гг. был
создан банк данных на жестком диске, представляющий собой последовательность групп коэффициентов разложений координат и
скоростей больших планет, Луны и Солнца в ряды по полиномам
Чебышева. В каждой группе объединены коэффициенты разложений, соответствующие одному 10-дневному интервалу. Хронологически упорядоченная последовательность этих групп записана на
жестком диске в двоичном формате в виде файла прямого доступа.
В табл. 5.7 и 5.8 указаны величины максимальных отклонений
от данных DE405 в прямоугольных координатах и скоростях на
концах 10 дневных интервалов, где
ɺɺ
x
, y
,
– отклонения в компонентах скоростей, N – точки разбиения отрезка
10 –
концу отрезка. Размерность отклонений
222
ɺ
zyxV
∆+∆+∆=∆ , x
10,0, =ba
, y∆,
– отклонения в координатах,
, где 0 – соответствует началу отрезка,
номических единицах (а.е.), размерность
выражена в астро-
V
выражена (а.е./сутки).
222
zyxr ∆+∆+∆=∆ ,
Эти точки не совпадают с узловыми точками, являющимися корня-
135
{
ми интерполяционного полинома
T
. Узловые точки
1+n
1+n
x вычис-
k
ляются по формуле (5.25) и имеют следующие значения:
1=+n
x
k
823;1,221252123227;0,4518400205953;0,05089279
421;6,408662785,0;5795;3,59133721272;2,29679591
}
;949,94910720677;9,54815997177;8,77874787728;7,70320408
Как видно из табл. 5.7 и 5.8, координаты и скорости всех планет, Луны и Солнца, вычисленные с помощью коэффициентов полиномов Чебышева, незначительно отличаются от данных DE405
внутри каждого десятидневного интервала. Наибольшие отклонения в координатах и скоростях у Меркурия и Луны. Однако, учитывая их малую массу по сравнению с другими планетами, можно заключить, что учет возмущений от этих объектов существенно не
влияет на результаты численного интегрирования уравнений движения небесных тел. Из сопоставления данных, приведенных в
табл. 5.3 – 5.6 и 5.7 – 5.8, следует отметить, что координаты и компоненты скоростей внутренних планет и Луны вычисляются почти
на порядок точнее с использованием банка данных коэффициентов
полиномов Чебышева, чем по данным оскулирующих элементов
или полиномов Эверхарта.
Использование банка данных координат и скоростей больших
планет в программах численного интегрирования уравнений движения небесных тел существенно повышает их эффективность, сокращая расчетное время почти на порядок по сравнению с совместным интегрированием.
Каждый из рассмотренных ранее способов хранения координат
больших планет имеет свои достоинства и недостатки. При исследовании эволюции орбит небесных тел на значительных интервалах времени, порядка нескольких тысячелетий, когда не требуется высокая
точность, целесообразно использовать банк данных координат планет
в форме оскулирующих элементов, предложенный Н.А. Беляевым.
Данный способ хранения координат больших планет, в связи с тем, что
моменты оскуляции для различных планет отстоят друг от друга на
значительное расстояние, является самым экономичным по объему
необходимой информации. Сокращение интервалов между оскулирующими элементами больших планет приводит к существенному повышению точности получения их координат и скоростей. Однако при
этом значительно увеличивается объем банка данных, содержащий
оскулирующие элементы. В этом случае выбор того, какой банк дан-
136
ных оскулирующих элементов использовать – с шагом один или десять дней – зависит от того, что важнее: точность вычислений или
время получения результатов вычисления.
Наиболее точно координаты и скорости больших планет и Луны вычисляются с помощью полиномов Эверхарта и Чебышева.
Координаты и скорости внешних планет обоими методами вычисляются примерно с одинаковой точностью. Координаты и скорости
внутренних планет и Луны с помощью полиномов Чебышева находятся с большей точностью по сравнению с использованием полиномов Эверхарта. Однако наибольший вклад в эволюцию орбит
вносят внешние планеты, поэтому выбор между банками данных
координат и скоростей, полученных на основе полиномов Чебышева или полиномов Эверхарта, зависит от характера решаемых задач.
Следует отметить, что банк данных координат и скоростей
больших планет с использованием полиномов Эверхарта обладает
преимуществом по сравнению с другими аналогичными банками
данных, так как информация, содержащаяся в нем, занимает относительно небольшой объем, а также обладает простотой применения его в программах численного интегрирования уравнений движения небесных тел.
137
r
∆
Величины максимальных отклонений (
) в прямоугольных барицентрических координатах
от данных DE405 на конце интервала 10 дней
N Солн. Мерк. Вен. Зем. Лун. Марс Юп. Сат. Уран Неп. Плут.
0
1
2
3
4
5
138
6
7
8
9
10
16
102−⋅ 12101−⋅
15
109−⋅ 13108−⋅ 14101−⋅
13
102−⋅ 12107−⋅
13
102−⋅
12
101−⋅
13
108−⋅
13
109−⋅
13
109−⋅ 11109−⋅
12
102−⋅ 10101−⋅
12
101−⋅
12
101−⋅
11
102−⋅
11
103−⋅ 12101−⋅
11
105−⋅
11
107−⋅ 13101−⋅ 12103−⋅ 12106−⋅
10
102−⋅ 12101−⋅ 13108−⋅ 11104−⋅
10
102−⋅ 12101−⋅
14
102−⋅ 13101−⋅ 12105−⋅ 13103−⋅
13
107−⋅ 12104−⋅ 13104−⋅ 13109−⋅
13
107−⋅ 12101−⋅ 12103−⋅ 13107−⋅ 12101−⋅
13
102−⋅
13
104−⋅
13
104−⋅
13
104−⋅
12
102−⋅ 12103−⋅ 12102−⋅ 12101−⋅
12
102−⋅ 12105−⋅ 12102−⋅ 12101−⋅
12
102−⋅ 12104−⋅ 12103−⋅
12
12
102−⋅ 11102−⋅
12
102−⋅ 11102−⋅
13
104−⋅
106−⋅
104−⋅ 12102−⋅ 13105−⋅ 12102−⋅ 13103−⋅ 12103−⋅
12
105−⋅ 12103−⋅
12
107−⋅ 12102−⋅ 13109−⋅ 12104−⋅ 13104−⋅
12
107−⋅ 12103−⋅ 12101−⋅
11
12
109−⋅ 12103−⋅ 12101−⋅
14
106−⋅
12
102−⋅ 13108−⋅ 12102−⋅ 13108−⋅ 12102−⋅
14
102−⋅ 14104−⋅ 14109−⋅ 14102−⋅
13
102−⋅
12
105−⋅ 13101−⋅ 14102−⋅ 12101−⋅
13
109−⋅ 12101−⋅ 13104−⋅
13
102−⋅
13
104−⋅
13
103−⋅
102−⋅ 13104−⋅
103−⋅
104−⋅ 13105−⋅ 12104−⋅
104−⋅ 13102−⋅
12
12
12
12
103−⋅ 12104−⋅
103−⋅ 12103−⋅
Таблица 5.7
14
13
12
102−⋅
12
102−⋅
12
104−⋅
12
105−⋅
∆
Величины максимальных отклонений (
v
)в компонентах скоростей от данных DE405
на конце интервала 10 дней
N Солн. Мерк. Вен. Зем. Лун. Марс Юп. Сат. Уран Неп. Плут.
0
1
2
3
4
139
5
6
7
8
9
10
20
106−⋅
14
104−⋅ 12101−⋅
13
104−⋅ 12101−⋅
13
101−⋅ 12101−⋅ 13105−⋅ 13108−⋅ 13103−⋅ 13105−⋅
13
103−⋅ 13104−⋅ 14103−⋅ 12101−⋅
14
104−⋅ 13109−⋅ 14101−⋅ 12101−⋅
13
102−⋅
13
104−⋅
15
107−⋅ 12102−⋅ 14106−⋅ 12102−⋅ 12106−⋅
13
102−⋅
13
101−⋅
13
105−⋅ 15101−⋅
13
104−⋅ 14109−⋅ 12102−⋅ 12105−⋅
12
102−⋅ 13102−⋅ 12102−⋅ 11101−⋅
12
104−⋅ 13102−⋅ 12102−⋅ 12108−⋅ 13103−⋅ 14103−⋅
12
105−⋅ 13104−⋅ 12102−⋅ 12106−⋅ 14108−⋅
13
104−⋅ 13103−⋅ 12102−⋅
13
102−⋅
14
104−⋅ 12103−⋅ 15102−⋅ 17103−⋅
13
106−⋅
12
105−⋅
12
107−⋅
12
106−⋅
13
102−⋅ 14101−⋅ 13103−⋅ 13102−⋅ 15108−⋅
13
102−⋅ 13102−⋅ 14109−⋅ 13106−⋅ 13108−⋅
13
104−⋅ 13101−⋅
13
102−⋅ 13101−⋅
13
102−⋅ 13106−⋅ 13102−⋅ 14106−⋅ 13105−⋅
13
103−⋅ 13103−⋅
13
104−⋅ 14102−⋅ 13108−⋅ 13103−⋅ 13101−⋅
13
107−⋅ 13103−⋅ 13107−⋅ 14108−⋅ 13101−⋅
14
109−⋅ 13108−⋅ 14108−⋅ 13103−⋅ 13101−⋅
17
105−⋅ 17101−⋅ 18107−⋅
13
104−⋅ 13103−⋅ 14108−⋅
13
102−⋅ 13103−⋅ 13103−⋅
13
105−⋅ 13107−⋅
13
102−⋅ 13102−⋅
14
107−⋅
13
104−⋅
Таблица 5.8
17
102−⋅
13
102−⋅
13
104−⋅
14
109−⋅
13
104−⋅
13
102−⋅
13
106−⋅
14
103−⋅
14
107−⋅
ГЛАВА 6
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ
БОЛЬШИХ ПЛАНЕТ, ЛУНЫ И СОЛНЦА НА ОСНОВЕ
НОВОГО ПРИНЦИПА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
6.1. СРАВНЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ МЕТОДА
АДАМСА – МУЛТОНА И МЕТОДА ЭВЕРХАРТА
ПРИ РЕШЕНИИ ПЛАНЕТНОЙ ЗАДАЧИ
Для решения уравнений движения небесных тел большое значение имеет выбор метода решения данных уравнений. Ранее нами
были рассмотрены многошаговые методы Адамса – Бэшфорта,
Адамса – Мултона, Коуэлла и одношаговый метод Эверхарта. Важно знать, какой из этих методов можно рекомендовать для исследования эволюции орбит больших планет на интервале времени порядка нескольких столетий.
Поскольку высокоэффективные аналитические теории движения небесных тел не разработаны, эффективность многошагового
метода Адамса – Мултона может быть проверена лишь в сравнении
результатов его применения с результатами вычислений, полученными с помощью других численных методов.
В настоящее время одним из наиболее эффективных методов
численного интегрирования дифференциальных уравнений считается метод Эверхарта, являющийся разновидностью методов Рунге –
Кутты, специально разработанный для решения задач небесной механики [94]. Метод Эверхарта относится к числу неявных одношаговых методов. Его преимущество перед другими численными методами состоит в том, что с его помощью приемлемые результаты
решения задач небесной механики могут быть получены при достаточно больших шагах интегрирования и, следовательно, меньших
временных затратах.
Первоначально рост точности метода Эверхарта происходил
при увеличении порядка аппроксимации лишь до 19-го включительно, а дальнейшее увеличение порядка не приводило к повышению его эффективности. Позднее была проведена модификация метода Эверхарта, в результате которой данный численный метод был
развит до 33-го порядка включительно [40].
Высокая эффективность модифицированного метода Эверхарта
была подтверждена [48] путем сопоставления результатов, полу-
140
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]