Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Численные методы в задачах математического моделирования движения небесных тел в Солнечной системе. Монография
.pdf
X, Y, Z
dt
(
)
()(
)
(
)
…
…
Дифференциальные уравнения движения n материальных тел,
основанных на новом принципе взаимодействия, в барицентрической системе координат имеют следующий вид:
где
нии
2
Xd
2
dt
2
Yd
2
dt
2
Zd
2
dt
– эффективный радиус i-того тела;
ir0
– соответствующее ускорение для i-того тела на расстоя-
ia0
от центра массы;
ir0
=
∑
i
i
=
∑
i
=
∑
i
−
i
∆
i
−
∆
i
−
i
∆
i
3
( ) ( )
3
32
3
( ) ( )
32
3
( )
2
3
raXX
00
ii
3
3
ii
3
( )
3
3
−∆+−∆∆+∆
3
−∆+−∆∆+∆
3
32
0
2
raYY
00
ii
3
0
2
3
raZZ
00
3
0
,
2
3
−∆+−∆∆+∆
rr
0
iiiiii
(3.1)
,
2
3
rr
0
iiiiii
,
2
3
rr
0
jjiiii
– барицентрические координаты возмущаемого тела;
X , iY , iZ – барицентрические координаты возмущающих тел.
i
Уравнения (3.1) представим в виде
2
xd
dt
dt
dt
2
2
2
yd
2
zd
2
=
=
=
( )
1
( )
2
( )
3
,t,z,y,xF
(3.2)
,t,z,y,xF
.t,z,y,xF
Из данных уравнений следует, что члены с первой производной
в уравнении (3.2) отсутствуют. В дальнейшем для изложения сути
метода будем рассматривать более простое скалярное уравнение
2
xd
( )
txF
,
= . (3.3)
2
Введем функцию
Пусть значения функции
моментов
t ,
0
ω
+
t ,
0
tf , заданную соотношением
2
ω
= . (3.4)
txFtf ,
tf заданы на ряде равностоящих
ω
20+
t ,
,
t ,
0
51
−
ω
t ,
ω
20−
. Величина ω –
(
)
(
)
…
…
−−=
…
шаг интегрирования. Значения функции
tf
в различные моменты
времени будем обозначать через
где
k+=0
ω
ktt
,
k . Разности и суммы значений
tff =
,
kk
,2,1,,2,1,0
функции представлены в табл. 3.1.
Таблица сумм и разностей значений непрерывной функции времени
Таблица 3.1
Аргумент
ω
30−t
ω
20−
t
ω
−
t
0
t
0
ω
+
t
0
ω
20+
t
сумма
Вторая
f
−
f
−
f
−
f
f
f
23−
22−
21−
20−
21−
22−
Первая
1
−
f
5
−
1
−
f
3
−
1
−
f
1
−
−
f
1
2
−
f
3
2
сумма
2
2
2
1
1
f
−
f
f
f
0
f
1
f
2
Функция
3
2−
1−
Первая
1
f
5
−
2
1
f
3
−
2
1
f
1
−
2
1
f
1
2
1
f
3
2
Вторая
разность
2
f
2−
2
f
1−
2
f
0
2
f
1
Третья
разность
разность
разность
Четвертая
3
f
3
−
3
f
1
−
3
f
1
2
2
2
f
f
0
4
1−
4
… … … … … … … …
Табл. 3.1 можно продолжать вверх, вниз и вправо. Каждая величина, входящая в табл. 3.1, при любом целом значении k вычисляется по формулам
+
1
1
2
k
+
2
21
,
fff
=−
1
kk
−+
2
k
1
,
fff
=−
11
kk
.
52
2
2
2
2
………………………
…
dt
(
)
dt
(
)
(
)
(
)
(
)
Для нахождения значений столбца сумм минус первого порядка
одно из значений этих сумм может быть взято произвольно, напри-
мер
1
f , тогда другие значения вычисляются по формуле
2/1−−
−
+
−
1
1
fff +=
.
kkk
−
2/1
2/1
Аналогично для нахождения значений столбца сумм минус
второго порядка одно из значений данных сумм может быть взято
произвольно, например
20−
f . Остальные значения этого столбца
находятся по формуле
1
22
−
−−
+=
fff .
1
+
2/1
+
kkk
Таблица сумм и разностей дополняется еще полусуммами двух
соседних величин одного и того же столбца.
1
( )
=+
fff ,
2/11
++
kkk
1
1
( )
2/1
1
1
−
( )
2/1
−
1
2
−
( )
+−
+
2
−
1
+
2/1
2/1
=+
11
fff =+
kkk
−−
=+
fff ,
kkk
2
−
fff ,
2/1
+
kkk
,
11
.
Перейдем к решению уравнений (3.2). Эти уравнения не содер-
жат первой производной, и потому можно непосредственно перейти
2
прямо от второй производной
xd
к искомой функции
2
tx
по
формуле двойного интегрирования, используя при этом интерполяционную формулу Стирлинга. Таким образом, можно избежать
двух последовательных интегрирований – одного для нахождения
dx
, а другого для нахождения
tx
.
Начальные данные уравнения (3.3) могут быть заданы или сво-
ими значениями в двух точках, например,
txx =
,
00
− 01
ω
−=
txx
,
или координатами и скоростями, которые в начальный момент принимают следующие значения:
dx
txx =
,
00
dt
53
dx
=
dt
0 tt
.
=
0
(
)
(
)
()(
)
!
41!
31!
2
Начнем рассмотрение с первого случая. Пусть
x
и
x
– задан-
1−
0
ные начальные значения. По заданным начальным данным требуется вычислить значения
x
,
x
, …,
x
1
2
.
1+k
Для решения поставленной задачи необходимо найти способ
для вычисления разностей
∆=−
xx
xx
,
2101
∆=−
,
2/312
(3.5)
........................
∆=−
xx
.
++
2/11
kkk
Введем вторые разности по формуле
Согласно (3.5)
Разлагая
+ kk
1
2
++ 12/1
2
ω
+=
txx
и
∆−∆=∆
.
2/12/1
−+
kkk
xx
−=∆
и
kkk
2
+−=∆
xxx . (3.6)
−+
kkkk
ω
−=
txx
− kk
1
−=∆
xx , поэтому
12/1 −−
kkk
11
по формуле Тейлора,
получим
∞
xx
−
1
∑
kk
xx
+
1
kk
n
−+=
)1(
=
1
n
∞
ω
+=
∑
!
n
=
1
n
nn
ω
xd
!
n
nn
xd
n
dt
dt
,
n
k
.
k
Подставляя полученные разложения в (3.6), находим
22
∞
2
=∆
k
ω
2
∑
( )
=
1
n
nn
xd
!2
dt
n
.
2
n
k
Используя выражение (3.4), последнее соотношение можно
представить в виде
2
xd
22
=∆
ω
k
2
2
+=
f
∑
k
n
+
k
∞
( )
1
=
∞
ω
2
∑
( )
1
=
n
ω
!22
+
n
22
nn
xd
!2
dt
ndt
22
nn
fd
2
n
dt
=
2
n
k
(3.7)
.
k
Для замены производных через разности воспользуемся интер-
поляционной формулой Стирлинга
22
−
zz
+
4
…+
f
.
kkkkkk
( )
ω
2
z
1
zffztf
f
2
−
zz
2
+++=+
3
f
54
=
Дифференцируя данное соотношение по z и полагая 0
лучим
2772
1
479
151200
479
453600
,
…
+−+−=
,
…
1
ffffff
kkkkkk
11632
119753
fffff
kkkkk
1210864
fffff
kkkkk
1197531
−+−+−=
1
560
41
3024
41
7560
139
6048
139
12096
1
630
11975
ffff
kkkk
3150
+−+−=
121086
ffff
kkkk
df
ω
dt
k
2
fd
2
ω
ω
ω
ω
ω
2
dt
3
fd
3
5
6
3
dt
4
fd
4
4
dt
5
fd
5
dt
6
fd
6
dt
1
6
k
k
k
k
k
1
30
1
12
1
4
1
6
1
3
1
4
1
140
1
90
7
120
7
240
13
144
13
240
1
…
−+−+−=
+−+−+−=
…
…
z , по-
,
12108642
+−+−+−=
ffffff
kkkkkk
,
,
…
,
7
fd
7
ω
8
ω
9
ω
10
ω
11
ω
12
ω
7
dt
dt
dt
dt
dt
dt
k
8
fd
8
k
9
fd
9
k
10
fd
10
k
11
fd
11
k
12
fd
12
k
5
12
1
3
1
2
11
−=
f
k
12
−=
f
k
…
…
55
ff
5
12
31
240
31
360
1197
fff
kkk
12108
fff
kkk
−+−=
,
…
−+−=
,
…
119
+−=
,
…
kk
1210
+−=
,
…
ff
kk
(3.8)
,
.
000
2615348736
22809600
…
(
)
12
Подставляя найденные выражения для производных в формулу
(3.8), получим основную формулу первого метода Коуэлла:
1
12
1
240
317
Неизвестная координата
31
60480
6803477
x
находится теперь при помощи
1+k
289
3628800
1210
…+−+
ff
kk
86422
+−+−+=∆
fffff
kkkkkk
.
следующих соотношений:
2
,
∆+∆=∆
1
2
+
1
k
−+
kk
2
∆+=
xx
kk
(3.10)
.
11
+
k
2
При практическом использовании метода Коуэлла нужно вы-
полнить следующие действия. Зная
x и 1−x , можем вычислить
0
∆=− xx .
110−−
2
Затем, отбрасывая в формуле (3.9) неизвестные нам пока члены
2
с разностями
Зная величину второй разности
f ,
0
4
f ,
0
, полагаем в первом приближении
2
0
2
0
2
ωω
===∆ .
0
, txFFf
2
∆ , можно вычислить по фор-
00
0
мулам (3.10) значения
2
,
∆+∆=∆
0
1
Имея теперь
x , 0x , 1x , можно вычислить
1−
найти по формуле (3.9) более точное значение
2
0
1
−
2
2
∆+=
xx
(3.11)
.
101
2
1
2
ff +=∆ .
00
2
f и, следовательно,
0
2
∆ из соотношения
0
(3.9)
Затем по формулам (3.11) находим уточненное значение
помощью соотношения (3.10) вычисляем
3
−
1
−
2
2
xx
−−
x :
2−
2
,
∆+∆=∆
1
−
(3.12)
.
∆+=
512
−
2
56
x , и с
1
(
)
12
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
240112
Неизвестная пока вторая разность
2
==∆ txFf
1
1
2
∆ находится по формуле (3.9):
1−
2
ω
,
После этого находим в первом приближении
значение второй разности
1
2
1
2
+=∆ ff .
11
−−−
.
11
−−−−
2
f и уточняем
1−
Затем по формулам (3.12) находим во втором приближении значение
x
и
x
2−
. Теперь можно найти четвертую разность
2
4
f
, как это
0
видно из табл. 3.2.
Таблица 3.2
Таблица разностей значений непрерывной функции времени
Искомое
значение
x
2−
Ускорение
txF
22,−−
Функция
f
2−
x
1−
txF
11,−−
f
1−
x
0
,
txF
00
f
0
x
1
,
txF
11
f
1
x
2
,
txF
22
f
2
Первая
разность
Вторая
разность
Третья
разность
1
f
3
−
1
f
1
−
1
f
1
2
1
f
3
2
2
2
2
f
f
0
f
1
1−
2
2
3
f
1
−
2
3
f
1
2
Четвертая
f
0
разность
4
По формуле (3.9) возвращаемся снова к вычислению разности
1
2
0
2
−+=∆ , (3.13)
00
4
fff
0
20−
∆ :
и затем по формулам (3.11) находим более точное значение
Если интегрирование продвинулось достаточно далеко, то для
вычисления
2
∆ по формуле (3.9) неизвестные разности
k
57
x
.
1
2
и
4
f
k
f
k
=
−
=
−
определяются в первом приближении при помощи экстраполирования с помощью шестых разностей. После этого находятся соответствующие
собом. Затем повторяют вычисление
интегрирования достаточно мал, то значения
x
,
x
, … и разности перевычисляются обычным спо-
1+k
2+k
x
,
x
1+k
, …. Если интервал
2+k
x
,
x
, … не изме-
1+k
2+k
няются, а следовательно не изменяются и разности.
Данный метод был успешно применен Коуэллом (1870–1949) и
Кроммелином (1865–1939) в 1908 г. к движению восьмого спутника
Юпитера и в 1910 г. при изучении движения кометы Галлея за два
оборота 1759–1835–1910 гг. В работе о движении кометы Галлея
Коуэлл указал на возможность некоторого улучшения своего метода. Этот «второй метод» Коуэлла, как выяснилось впоследствии,
совершенно идентичен с методом численного интегрирования, который предложил Гаусс («метод квадратур») [15, 58, 82].
ВТОРОЙ МЕТОД КОУЭЛЛА
Для вывода формул, определяющих второй метод Коуэлла –
метод квадратур, просуммируем равенства (3.10) от 1
1
nk . Получим
1
n
2
xx
n
Просуммируем также формулу (3.9) от 0 до 1
1
n
…+−+=∆
0
1
n
2
k
0
n
1
k
12
0
−−
n
∑
1
1
−
n
2
,
∆+∆=∆
∑
1
2
1
−
0
k
0
(3.14)
.
∆+=
10
+
k
2
n
−−−− 1
n
1
2
k
240
4
fff . (3.15)
∑∑∑∑
k
0
k до
Принимая во внимание соотношения
1
1
−
−
mmm
,
−=
fff
10
31
52
1
−
2
2
2
2
1
1
−−
mmm
,
−=
fff
1
2
1
1
−−
mmm
,
−=
fff
3
2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
m
−
n
11
−
n
1
−
m
1
−
m
,
−=
fff
3
−
n
2
2
58
240112
240112
+
240112
суммируя их левые и правые части, получим
1
−
n
∑
0
1
−
m
k
1
−
n
1
−
mm
−=
fff . (3.16)
1
−
2
2
Используя равенства (3.16), мы можем теперь преобразовать
равенство (3.15) следующим образом:
1
−
n
2
∑
k
0
1
240
1
240
1
−
1
−
2
3
−−
1
2
3
1
n
2
1
12
1
nn
1
−
1
−−−
2
1
1
2
1
−
−=∆
1
−
2
3
…
1
2
1
1
−
1
−−
2
12
1
2
12
1
240
1
−+
−
ffff
1
−−
2
1
1
−+=+
ffff
−
nnn
3
ffff
1
−−
1
2
……
++−−+−
2
. (3.17)
.
Формулу (3.14) с учетом (3.17) можно представить в виде
1
1
−
1
1
2
1
−−−
2
−
2
12
1
1
−
1
2
1
1
2
1
240
3
1
−−
3
…
fff
−−
nnnn
.
…
++−−
2
−+−++∆=∆
1
2
(3.18)
1
1
2
fff
Полагая в (3.18)
−
1
1
−
2
1
2
289
1
12
3628800
1
1
2
7
1
1
240
2
22809600
317
6803477
0002615348736
31
3
1
2
60480
ff
11
…
−+
f
1
−
2
5
+−+−∆=
ffff
1
−−−−
2
9
+−+
1
−−
2
(3.19)
(такую замену можно всегда сделать, пользуясь произвольностью
начального значения в столбце первых сумм), получим окончательно
…+−+=∆
−
1
1
1
−−
2
2
1
1
2
3
fff . (3.20)
1
−−
nnnn
2
1
Вернемся теперь ко второму уравнению (3.14). Заменяя в (3.20)
индекс n на 1
k , запишем
−
1
1
1
++
2
1
1
1
2
2
3
…+−+=∆
fff .
1
++
kkkk
2
59
=
−
=
240112
000
2615348736
22809600
000
2615348736
22809600
Просуммировав это выражение от 0
−
1
n
k
0
−
1
n
1
+
2
0
1
−
1
1
+
k
2
12
k до 1
−
1
n
1
1
+
k
2
0
1
240
nk , получим
−
1
n
3
…+−+=∆
fff . (3.21)
∑∑∑∑
1
+
k
2
0
На основании (3.16) имеем
1
−
n
∑
m
1
n
+
k
2
0
1
1
−−
mm
−=
fff ,
0
поэтому равенство (3.21) можем теперь написать в виде
22
1
( )
12
1
0
2
−−
0
( )
240
1
12
2
nnn
1
240
2
…
ffffff
0
=+−−−+−=∆
. (3.22)
2
.
……
++−−+−+
ffffff
00
1
−
n
1
+
k
2
( )
∑
0
1
12
2
1
240
2
−−
0
nnn
Подставляя теперь (3.22) во второе равенство (3.14), получим
0
2
−
0
12
1
1
−
1
240
2
fff
00
22
…
+−++=
fffxx
nnnn
(3.23)
.
…
−+−−
В силу произвольности начального значения в столбце вторых
сумм, положим
2
000
6803477
31
60480
2
−
0
1
12
317
1
240
8
0
4
0
289
3628800
10
++−
ff
0
....
6
−+−+−=
ffffxf
0
(3.24)
Формула (3.23) в окончательном виде запишется так:
1
−
12
1
240
317
31
60480
6803477
289
3628800
108
+−+
ff
nn
....
6422
+−+−+=
fffffx
nnnnnn
(3.25)
Формула (3.25) определяет второй метод Коуэлла. Начальные члены столбца первых сумм и столбца вторых сумм вычисляются с помощью формул (3.19) и (3.24), т.е. уже не являются произвольными.
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]