Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Численное интегрирование и дифференцирование. Учебное пособие
.pdf
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Н.Н. Азимова, А.М. Харахашьян, Д.С. Цымбалов
ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Учебное пособие
Ростов-на-Дону
ДГТУ
2023
2
УДК 519.6
А35
Рецензент
доктор физико-математических наук,
ведущий научный сотрудник НИИ физики ЮФУ О.А. Мальцева
Азимова, Наталья Николаевна.
А35 Численное интегрирование и дифференцирование :
учебное пособие / Н.Н. Азимова, А.М. Харахашьян,
Д.С. Цымбалов ; Донской государственный техниче-
ский университет. – Ростов-на-Дону : ДГТУ, 2023. – 35 с.
ISBN 978-5-7890-2143-9
Рассмотрены методы численного интегрирования и дифферен-
цирования на примере функции одной переменной и методы, основанные на замене определённого интеграла конечной суммой.
Предназначено для обучающихся всех профилей дневной
и заочной форм обучения по направлениям подготовки 11.00.00 Электроника, радиотехника и системы связи, 13.00.00. Электро- и теплоэнергетика, 15.00.00 Машиностроение, 23.00.00 Техника и технологии наземного транспорта.
УДК 519.6
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Донского государственного технического университета
© Азимова Н.Н., Харахашьян А.М.,
Цымбалов Д.С., 2023
© Донской государственный
ISBN 978-5-7890-2143-9 технический университет, 2023
3
1. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Дифференцированием называется операция нахождения
производной некоторой функции . При этом функция
называется дифференцируемой в точке
, если её производная
в этой точке существует и конечна.
Первая производная аналитически заданной функции
определяется следующим выражением:
Численное дифференцирование – это процедура вычис-
ления приближённого значения производной функции на основе ряда значения этой самой функции.
Необходимость в численном дифференцировании воз-
никает в следующих случаях.
1. Функция задана в виде таблицы или графически.
2. Функция задана аналитически, но вычисление её про-
изводной является затруднительным.
Рассмотрим методы численного дифференцирования на
примере функции одной переменной. Но они также могут применяться для нахождения частных производных функции многих переменных. Для этого достаточно значения всех переменных, за исключением той, по которой происходит дифференцирование, считать за константы.
1.1.
Производные первого порядка
Простейшие формулы численного дифференцирования
основаны на приближённом вычислении предела (1.1). Рассмотрим следующую функцию:
(1.1)
(1.2)
4
Найдём приближённое значение её производной в точке
, используя шаг дифференцирования :
Сравним полученное значение с точным значением про-
изводной.
;
На рис. 1.1 дана графическая интерпретация используе-
мого метода (для наглядности используется шаг большего раз-
мера ). Сплошной линией изображена функция (1.2),
Рис. 1.1. Вычисление производной
с помощью восходящей конечной разности
0,8
0,9
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6
5
пунктирной линией – касательная к графику функции в точке
. Известно, что тангенс угла наклона касательной равен про-
изводной функции в соответствующей точке. «Точка-тире»
изображает секущую, пересекающую график функции в точках
и
. Тангенс её угла наклона равен приближённому
значению производной. Легко заметить, что углы наклона
обоих прямых отличаются несильно, и чем меньше шаг , тем
меньше разница между наклоном.
В данном методе приращение аргумента даётся в сто-
рону увеличения значения аргумента, что соответствует выражению для правой односторонней производной:
Полученное при этом выражение
называется восходящей конечной разностью функции
.
Для вычисления приближённого значения производной
можно также использовать нисходящую конечную разность,
определяемую следующим выражением:
.
При этом аргумент получает приращение в сторону
уменьшения своего значения, что соответствует выражению
для левой односторонней производной:
Соответственно, формула для приближённого значения
производной примет следующий вид (здесь полагаем ):
Снова вычислим производную функции (1.2) в точке
, используя шаг
6
Графическая интерпретация описанного метода пред-
ставлена на рис. 1.2 (шаг снова увеличен до ). Анало-
гично предыдущему случаю, «точкой-тире» изображена
секущая, пересекающая график функции (1.2) в точках
и
.
Рис. 1.2. Вычисление производной
с помощью нисходящей конечной разности
На рис. 1.1 и 1.2 видно, что погрешность обоих методов
при одной и той же величине шага примерно одинакова. Оба
метода имеют порядок точности
.
Большей точностью – порядка
– обладает метод,
основанный на центральной (или симметричной) конечной разности. Центральная конечная разность определяется следующим выражением:
0,8
0,9
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6
7
Соответственно формула для приближённого значения
производной примет следующий вид:
Рис. 1.3. Вычисление производной
с помощью центральной конечной разности
Снова вычислим производную функции (1.2) в точке
, используя шаг
Очевидно, точность данного метода значительно пре-
восходит точность двух предыдущих.
0,8
0,9
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6
8
Этот факт также подтверждается графической интерпре-
тацией метода, изображенной на рис. 1.3 (шаг снова увеличен
до ). Аналогично обозначениям предыдущих рисун-
ков, пунктирная линия – касательная к графику функции (1.2)
в точке
, «точка-тире» – секущая, пересекающая график
функции (1.2) в точках
и
. Даже при отно-
сительно большом шаге дифференцирования касательная
и секущая почти параллельны друг другу, что и говорит
о высокой точности метода.
1.2. Производные высших порядков
Пусть необходимо найти значение второй производной
функции в точке
. Введём некоторые вспомогательные
точки (рис. 1.4):
Если известны значения первой производной функции
в точках
и
, то вторую производную можно вычис-
лить методом центральных конечных разностей
Значения
и
, в свою очередь, тоже можно
найти методом центральных конечных разностей следующим
образом:
9
Рис. 1.4. Вычисление второй производной
Отсюда получим формулу для приближённого вычисле-
ния второй производной функции из значений самой функции:
Аналогичным путём можно получить формулы для про-
изводных более высоких порядков, например для третьей производной:
где .
-1
-0,75
-0,5
-0,25
0
0,25
0,5
0,75
1
1,25
10
1.3. Графически заданные функции
Описанные выше методы могут быть применены к
функциям, заданным в виде формулы или таблицы. Однако,
если функция задана в виде графика, никакие из описанных методов применяться к ней не могут. Поэтому задача численного
дифференцирования графически заданной функции сводится к
задаче приведения функции к подходящему виду.
Графически заданные функции можно привести к табличному виду, используя специальное программное обеспечение. В данном параграфе используется программа Grafula,
предназначенная для оцифровки координат точек отсканированных графиков (рис. 1.5).
Рис. 1.5. Общий вид программы
Для начала работы необходимо выбрать изображение
в формате JPG или BMP с графиком исследуемой функции.
Затем на изображение вручную наносятся координатные оси
с помощью соответствующих инструментов верхней панели.
1. «Указание точки 0,0» – выбор начала координат.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]