Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Численное интегрирование и дифференцирование. Учебное пособие
.pdf
21
где
.
Можно отметить то достоинство метода, что при небольших объёмах вычислений он имеет относительно высокий
порядок точности –
. Однако есть и значительный недо-
статок – поскольку необходимо вычислять значения функции
в точках
, метод не может быть применён к таблично за-
данным функциям, если их значения в таких промежуточных
точках неизвестны.
Выражение (2.1) для метода левых прямоугольников
имеет следующий вид:
Аналогично, для метода правых прямоугольников:
В обоих случаях погрешность на -том отрезке интегри-
рования выражается величиной:
где
.
Для случая равномерной сетки можно оценить погрешность на всём отрезке интегрирования
:
где
.
Методы правых и левых прямоугольников уступают методу центральных прямоугольников, имея порядок точности
22
. Однако их, в отличие от предыдущего метода, можно
применять к таблично заданным функциям.
Важно также отметить, что несмотря на одинаковую
оценку погрешности обоих методов, найденные значения интеграла в общем случае не равны между собой.
2.2. Метод трапеций
Метод трапеций предполагает замену подынтегральной
функции некоторым многочленом первой степени, т. е. прямой
, на каждом отрезке интегрирования. Прямая для отрезка
выбирается так, чтобы она проходила через точки
и
. Поскольку точек две, то для каждого от-
резка существует единственная такая прямая.
На рис. 2.2 представлена иллюстрация метода трапеций
для равномерной сетки с шагом . Пунктирная линия изоб-
Рис. 2.2. Графическое представление метода трапеций
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 2 4 6 8 10
23
ражает функцию
. Сплошными линиями изобра-
жены трапеции с высотой и основаниями
и
. За искомое
значения интеграла принимается сумма площадей этих трапеций, откуда и происходит название метода.
Для метода трапеций выражение (2.1) имеет следующий
вид:
Оценка погрешности на -том отрезке интегрирования
выражается величиной:
Для случая равномерной сетки выражение (2.1) можно
записать в следующем виде:
При этом погрешность на -том отрезке интегрирования
оценивается следующей величиной:
Соответственно, оценить погрешность на всём отрезке
интегрирования
можно следующим образом:
Можно заметить, что погрешность метода трапеций оценивается вдвое большей величиной, чем погрешность метода
центральных прямоугольников. Это также означает, что эти ме-
тоды имеют одинаковый порядок точности –
. Однако, не-
смотря на меньшую точность, метод трапеций имеет преимущество над методом центральных прямоугольников – он может
применяться к таблично заданным функциям.
24
2.3. Метод Симпсона
Метод трапеций предполагает замену подынтегральной
функции некоторым многочленом второй степени, т. е. парабо-
лой , на каждом отрезке интегрирования.
Отсюда также происходит второе название метода – метод парабол.
Парабола для отрезка
выбирается так, чтобы
она проходила через точки
,
и
. Построить такую параболу можно с помощью интер-
поляционного полинома Лагранжа. Поскольку точек три, то для
каждого отрезка такая парабола единственна.
На рис. 2.3 представлена иллюстрация метода Симпсона
для равномерной сетки с шагом . Пунктирная линия изоб-
ражает функцию
. Сплошными линиями изоб-
ражены криволинейные трапеции, ограниченные осью , прямыми
и
, а также заданными параболами. За ис-
комое значения интеграла принимается сумма площадей этих
криволинейных трапеций.
Рис. 2.3. Графическое представление метода Симпсона
0
0,25
0,5
0,75
1
1,25
1,5
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
25
Построим интерполяционный полином Лагранжа для
искомой параболы на -том отрезке интегрирования:
где
,
.
Проинтегрировав полученное выражение в диапазоне от
до
, получим:
Тогда выражение (2.1) для метода Симпсона будет
иметь следующий вид:
Оценка погрешности на -том отрезке интегрирования
выражается величиной:
где
.
Для случая равномерной сетки выражение (2.1) можно
записать в следующем виде:
26
При этом погрешность на -том отрезке интегрирования
оценивается следующей величиной:
Соответственно, оценить погрешность на всём отрезке
интегрирования
можно следующим образом:
где
.
Метод Симпсона имеет очень высокий порядок точно-
сти –
, а также требует вычисления значений подынте-
гральной функции в промежуточных точках
.
Если нет возможности вычислить значения в промежуточ-
ных точках, но известны значения функции на сетке из
узлов, то можно представить, что отрезок интегрирования раз-
бит только на отрезков. Поскольку порядок точности высок,
то даже при больших длинах отрезков можно достигнуть высокой точности решения. Это отличает данный метод от метода
центральных прямоугольников, для которого аналогичная процедура может не быть рациональной.
Пусть значения функции известны на равномерной
сетке из узлов с шагом
, т. е. на следующем мно-
жестве точек:
.
Тогда выражение (2.1) можно переписать в следующем
виде:
27
Примечательно также то, что решение
, полученное
методом Симпсона, можно представить в виде линейной комбинации решений, полученных методом трапеций и методом
центральных прямоугольников – и
соответственно:
2.4. Реализация методов в Excel
Предположим, что необходимо найти значение следую-
щего интеграла:
Поскольку найти его аналитически для заданной подын-
тегральной функции нельзя, воспользуемся описанными выше
численными методами и оценим погрешность вычислений.
Будем решать задачу на равномерной сетке с шагом
.
Сперва создадим таблицу Excel и введём в ячейки
столбца точки, в которых будем вычислять значения подын-
тегральной функции. Сами значения найдём в соответствую-
щих ячейках столбца .
Некоторые методы требуют вычисления подынтеграль-
ной функции в точках
. Чтобы найти эти значения, вве-
дём в ячейку формулу
и распространив её на ячейки ниже. Результат представлен на
рис. 2.4.
(2.3)
28
Рис. 2.4. Подготовка данных для решения задачи
Решения различными методами получим путём приме-
нения следующих формул:
– метод центральных прямо-
угольников (в ячейке );
– метод левых прямоугольников
(в ячейке );
– метод правых прямоугольни-
ков (в ячейке );
– метод тра-
пеций (в ячейке );
– метод Симпсона (в ячейке ).
Результат применения формул представлен на рис. 2.5.
29
Рис. 2.5. Таблица с полученными значениями интеграла
Чтобы оценить погрешности всех использованных методов, необходимо найти максимумы первой, второй и четвёртой
производных подынтегральной функции на отрезке интегрирования
. В данном случае несложно найти производные ана-
литически:
Используя Excel, построим графики первой, второй и
четвёртой производных на указанном отрезке. Результат представлен на рис. 2.6. Сплошной линией изображена первая производная подынтегральной функции, пунктирной линией – вторая производная, «точка-тире» – четвёртая производная. Для
наглядности графики построены в двух масштабах.
30
Рис. 2.6. Графики производных в Excel
Легко заметить, что первая производная достигает своего максимума в правом конце отрезка интегрирования, тогда
как вторая и четвёртая производные – в левом. Отсюда можно
получить следующие значения для оценки погрешностей:
Введём значения , и в ячейки , и со-
ответственно. Тогда погрешности можно оценить путём применения следующих формул:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]