Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Численное интегрирование и дифференцирование. Учебное пособие
.pdf
11
2. «Указание точки MaxX» – выбор точки, в которой
будет указано максимальное значение по оси , точка также
определяет направление оси .
3. «Указание точки MaxY» – выбор точки, в которой
будет указано максимальное значение по оси , точка также
определяет направление оси .
Окно «Ввод данных» позволяет установить минимальные и максимальные значения для обеих координатных осей.
Результат процедуры задания осей представлен на рис. 1.6.
Рис. 1.6. Задание координатных осей в программе
Когда координатные оси заданы, необходимо вручную
отметить точки графика с помощью инструмента «Указание точек» (рис. 1.7). Отмечать точки можно с произвольным шагом в
количестве до пяти тысяч. Для большей точности присутствует
окно «Лупа», дублирующее увеличенную область изображения
около курсора.
12
Рис. 1.7. Выбор точек графика
Окончательный вид оцифрованного графика представлен на рис. 1.8. В данном случае было отмечено тридцать
точек. Точки лучше всего отмечать так, чтобы соединяющие
их участки графика были достаточно гладкими.
Рис. 1.8. Оцифрованный график исследуемой функции
13
Рис. 1.9. Таблица с данными графика
В процессе выбора точек их координаты будут автоматически добавляться в таблицу с данными в порядке следования
вдоль оси (рис. 1.9). После этого данные таблицы можно
скопировать, например в Excel или другую программу для даль-
нейшей обработки. В том числе, поскольку теперь функция задана таблично, к ней применимы методы численного дифференцирования, описанные ранее.
14
1.4. Реализация методов в Excel
Пусть необходимо найти производную следующей
функции, а также построить график самой функции и график
производной
Чтобы построить график функции, введём в ячейки
числа от 0 до 12 с шагом 0,1, а затем в ячейках
вычислим значения функции в соответствующих точ-
ках (рис. 1.10).
Рис. 1.10. Построение графика функции в Excel
В результате получим график (рис. 1.11).
Для вычисления значений производной функции воспользуемся методом центральных конечных разностей. Для
этого введём в ячейку формулу и распространим её до ячейки .
15
Рис. 1.11. График исходной функции
Поскольку для крайних точек интервала применить
метод центральных конечных разностей нельзя, в ячейку
введём выражение для восходящей конечной разности
, а в ячейку – выражение для нисходящей
конечной разности .
Результат вычислений представлен на рис. 1.12.
Рис. 1.12. Вычисление производной в Excel
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
16
Рис. 1.13. График исходной функции и её производной
Для наглядности изобразим график самой функции и
график её производной на одной координатной плоскости. Результат представлен на (рис. 1.13). Здесь производная изображена пунктирной линией.
Задачи для самостоятельного решения
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
17
18
2. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Численное интегрирование – это процедура вычисления
приближённого значения определённого интеграла на основе
ряда значений подынтегральной функций.
Аналитически значение определённого интеграла вычисляется с помощью формулы Ньютона–Лейбница.
Необходимость в численном интегрировании возникает
в следующих случаях.
1. Подынтегральная функция задана в виде таблицы или
графически
2. Вычисление первообразной подынтегральной функ-
ции затруднительно или невозможно.
Рассмотрим методы, основанные на замене определённого интеграла конечной суммой:
где – некоторые числовые коэффициенты;
– значения
подынтегральной функции в точках ; – число
точек, в которых вычисляется значения подынтегральной функции.
При этом погрешностью численного интегрирования
считается выражение следующего вида:
Полученное значение и погрешность вычислений зависят от выбора точек, в которых вычисляются значения подынтегральной функции. В самом простом случае значения подынтегральной функции вычисляются на равномерной сетке с ша-
гом
, т. е. на множестве точек:
(2.1)
(2.2)
19
Все описанные ниже методы могут быть применены
как к равномерной, так и к неравномерной сетке, однако в последнем случае оценка погрешности может оказаться затруднительной.
2.1. Метод прямоугольников
Метод прямоугольников предполагает замену подынтегральной функции некоторым многочленом нулевой степени,
то есть константой , на каждом отрезке интегрирования. Вы-
бор этой константы может быть осуществлён разными способами. Наиболее распространены следующие варианты.
1. Метод левых прямоугольников (предполагает в каче-
стве константы значение подынтегральной функции в левом
конце отрезка интегрирования).
2. Метод правых прямоугольников (предполагает в ка-
честве константы значение подынтегральной функции в пра-
вом конце отрезка интегрирования).
3. Метод центральных прямоугольников (предполагает
в качестве константы значение подынтегральной функции
в середине отрезка интегрирования).
На рис. 2.1 представлена иллюстрация метода прямо-
угольников для равномерной сетки с шагом . Пунктирная
линия изображает функцию
. Сплошными лини-
ями изображены прямоугольники с шириной и длиной
. За
искомое значения интеграла принимается сумма площадей этих
прямоугольников, откуда и происходит название метода.
Для метода центральных прямоугольников выражение (2.1)
имеет следующий вид:
20
Рис. 2.1. Графическое представление метода прямоугольников
Если на -том отрезке интегрирования вторая производ-
ная подынтегральной функции существует и ограничена,
то оценка погрешности на этом отрезке выражается величиной:
где
.
Поскольку для равномерной сетки
,
то в этом случае выражение (2.1) примет вид:
При этом погрешность на -том отрезке интегрирования
оценивается следующей величиной:
В случае равномерной сетки можно оценить погрешность на всём отрезке интегрирования
следующим
образом:
0
0,15
0,3
0,45
0,6
0,75
0 2 4 6 8 10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]