Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Численные методы в задачах математического моделирования движения небесных тел в Солнечной системе. Монография
.pdf
M
a
e
ω
Ω
M
a
e
ω
Ω
Таблица 7.15
Элементы орбит Апофиса (2004 MN4 Apophis) при использовании возмущенных начальных данных
в эпоху JD 2457200,5 (27.06.2015)
Элементы орбиты на 27.06.2015 и на 14.05.2031.
Дифференциальные уравнения (1.21) (шаг 0,005, порядок 15). Метод Эверхарта
Дата
, град.
, а.е.
, град.
, град.
i
, град.
27.06.2015 45,932747 0,92211700 0,19121500 126,456907 204,203501 3,330617
14.05.2031 215,9599 1,132912 0,198922 64,8315 203,5249 1,8955
27.06.2015 45,932746 0,92211710 0,19121500 126,456907 204,203501 3,330617
14.05.2031 221,31892 1,124397 0,195968 66,6188 203,5332 1,9923
27.06.2015 45,932746 0,92211700 0,19121510 126,456907 204,203501 3,330617
201
14.05.2031 216,0645 1,132745 0,19886 64,8662 203,5251 1,8973
Таблица 7.16
Элементы орбит астероида 1999 AN10 при использовании начальных данных
в эпоху JD 2457200,5 (27.06.2015)
Элементы орбиты на 27.06.2015, на 05.04.2027 и на 12.05.2100.
Дифференциальные уравнения (1.21) (шаг 0,005, порядок 15). Метод Эверхарта
Дата
, град.
, а.е.
, град.
, град.
i
, град.
27.06.2015 74,802851 1,45879600 0,56204100 268,302840 314,409724 39,932619
05.04.2027 320,6075 1,458636 0,562056 268,3266 314,3218 39,9322
12.05.2100 301,8377 1,447845 0,560531 268,0228 313,7699 39,9990
27.06.2015 74,802851 1,45879600 0,56204100 268,302840 314,409724 39,932619
05.04.2027 320,6075 1,458636 0,562056 268,3266 314,3218 39,9322
12.05.2100 301,8676 1,447845 0,560531 268,0228 313,7699 39,9990
M
a
e
ω
Ω
M
a
e
ω
Ω
Таблица 7.17
Элементы орбит астероида 2001 WN5 при использовании начальных данных
в эпоху JD 2457200,5 (27.06.2015)
Элементы орбиты на 27.06.2015, на 25.11.2028 и на 12.05.2100.
Дифференциальные уравнения (1.21) (шаг 0,005, порядок 15). Метод Эверхарта
Дата
27.06.2015 54,283368 1,71158200 0,46757100 44,420377 277,613492 1,921689
25.11.2028 51,3777 1,682983 0,459597 46,3737 276,6926 2,3885
12.05.2100 311,0821 1,683096 0,459689 47,8199 275,4555 2,3719
202
Дата
27.06.2015 54,283368 1,71158200 0,46757100 44,420377 277,613492 1,921689
25.11.2028 51,3773 1,682993 0,459600 46,3733 276,6926 2,3885
12.05.2100 311,1122 1,683088 0,459687 47,8213 275,4536 2,3720
, град.
Элементы орбиты на 27.06.2015, на 25.11.2028 и на 12.05.2100.
Дифференциальные уравнения (1.21) (шаг 0,05, порядок 10). Метод Коуэлла
, град.
, а.е.
, а.е.
, град.
, град.
, град.
, град.
i
, град.
i
, град.
=
7.2. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ
ДВИЖЕНИЯ АСТЕРОИДОВ 2006UQ17, 2005DD, 2000CX127
Наряду с астероидами, представляющими потенциальную
опасность для Земли, исследовалась эволюция орбит трех астероидов, не имеющих в ближайшем будущем тесных сближений с Землёй – это астероиды: 2006UQ17, 2005DD, 2000CX127. Начальные
данные астероидов на три момента времени: 22 августа 2008, 23 мая
2014 и 27 июня 2015 приведены в табл. 7.18 – 7.20.
В табл. 7.21 представлены расхождения в элементах орбит, полученных путем численного интегрирования уравнений движения астероида 2005 DD, с данными табл. 7.18. Начальные данные для численного
интегрирования соответствуют эпохе JD 2457200,5 (27 июня 2015).
Из табл. 7.18 следует, что элементы орбит, найденные с помощью численного интегрирования уравнений движения астероида
2005 DD и с использованием новых наблюдений, имеют существенные различия. Следовательно, элементы орбит астероида
2005 DD в период с 2008 по 2015 гг. в результате новых наблюдений были значительно улучшены.
В табл. 7.22 представлены результаты численного интегрирования уравнений движения астероида 2005 DD. Астероид 2005 DD
принадлежит к группе Аполлона, он на исследуемом интервале
времени не имеет тесных сближений с большими планетами. Абсолютная звездная величина астероида 2005 DD
H
38,20
. Прибли-
зительный диаметр составляет около 220 м. Вследствие отсутствия
тесных сближений с большими планетами он не относится к числу
потенциально опасных астероидов.
В табл. 7.23 представлены разности значений элементов орбит
астероида 2005 DD, полученных с помощью решения уравнений
(1.21), и данных, представленными на сайте Smallbodies.ru. Как
видно из табл. 7.23, решения на конце интервала интегрирования,
полученные с помощью решения уравнений (1.3) и (1.21), практически совпадают. Однако отсутствует совпадение решений при использовании начальных данных на различные моменты оскуляции,
например, на моменты времени 6 марта 2006 г. и 27 июня 2015 г.
Это можно объяснить тем обстоятельством, что в течение указанного периода времени начальные данные астероида 2005 DD, благодаря дополнительным наблюдениям, были значительно улучшены.
В табл. 7.24 приведены результаты численного интегрирования
уравнений движения астероида 2006 UQ17, который принадлежит к
группе Аполлона. На исследуемом интервале времени он не имеет
тесных сближений с большими планетами Абсолютная звездная
203
=
=
величина астероида 2006 UQ17
H
86,21
. Приблизительный диа-
метр составляет около 110 м. Вследствие отсутствия тесных сближений с большими планетами астероид 2006 UQ17 не относится к
числу потенциально опасных астероидов.
Численное интегрирование уравнений движения астероида
2006 UQ17 проводилось методом Эверхарта 27-го порядка с постоянным шагом 1 день с начальными данными на 22 августа 2008 г.,
23 мая 2014 г. и 27 июня 2015 г. Результаты численного интегрирования представлены в табл. 7.23 на момент времени 12 мая 2100 г.
В табл. 7.25 представлены разности значений элементов орбит
астероида 2006 UQ17, полученных с помощью решения уравнений
(1.21), и данных, представленных на сайте Smallbodies.ru. Как видно из
табл. 7.24, решения на конце интервала интегрирования, взятые на
сайте Smallbodies.ru, и полученные с помощью решения уравнения
(1.21), отличаются друг от друга незначительно. При использовании
начальных данных на различные моменты оскуляции полученные решения также близки друг к другу. Это можно объяснить тем, что в течение указанного периода времени для начальных данных элементов
орбит астероида 2006 UQ17 не проводилось существенных коррекций.
Астероид 2000 GX127 принадлежит к группе Аполлона. На исследуемом интервале времени астероид 2000 GX127 не имеет тесных
сближений с большими планетами Абсолютная звездная величина
астероида 2000 GX127
H
9,17
. Приблизительный диаметр составляет
около 700 м. Вследствие отсутствия тесных сближений с большими
планетами он не относится к числу потенциально опасных астероидов.
Численное интегрирование уравнений движения астероида
2000 GX127 проводилось методом Эверхарта 27 порядка с постоянным шагом 1 день с начальными данными на 14 на 14 мая 2008 г., 8
января 2013 г. и 27 июня 2015 г. Результаты численного интегрирования представлены в табл. 7.26 на момент времени 12 мая 2100 г.
В табл. 7.26 представлены разности значений элементов орбит
астероида 2000 GX127, полученных с помощью решения уравнений
(1.21), и данных сайта Smallbodies.ru. Как видно из табл. 7.27, решения
на конце интервала интегрирования, взятые на сайте Smallbodies.ru и
полученные с помощью решения уравнения (1.21), кроме средней
аномалии, отличаются друг от друга незначительно. При использовании начальных данных на различные моменты оскуляции полученные
решения, кроме средней аномалии, также близки друг к другу.
В табл. 7.28 – 7.30 приведены результаты численного интегрирования уравнений движения астероидов 2005 DD , 2006 UQ17 и 2006 UQ17
на 12 мая 2100 г. с использованием методов Эверхарта и Коуэлла.
204
Астероиды 2005 DD, 2006 UQ17 и 2006 UQ17 на исследуемом
интервале времени не имеют тесных сближений с Землей. Результаты численного интегрирования методами Эверхарта и Коуэла указывают на незначительные расхождения средних аномалий на конце интервала интегрирования, в то время как все остальные элементы орбит полностью совпадают.
Подводя итоги исследования движения астероидов, принадлежащих к группам Аполлона и Атона, можно сделать следующие выводы.
1. Для исследования движения астероидов, имеющих тесные
сближения с большими планетами, численное интегрирование
вблизи моментов сближения следует проводить с постоянным шагом интегрирования. При достаточно малом шаге интегрирования,
менее 0,01 дня, порядок метода может быть понижен, например для
метода Эверхарта – до 15-го.
2. Для исследования движения астероидов, не имеющих тес-
ных сближений с большими планетами, численное интегрирование
следует проводить методом высокого порядка. При использовании
метода Эверхарта можно пользоваться порядком от 27-го до 33-го,
при этом шаг интегрирования может достигать от 1 до 3 дней.
3. Многошаговые методы численного интегрирования уравне-
ний движения астероидов, к которым относятся методы Коуэлла,
Адамса – Бэшфорта и Адамса – Мултона, менее эффективны по
сравнению с методом Эверхарта, так как они имеют меньший порядок точности и уступают в быстродействии.
4. При исследовании эволюции орбит потенциально опасных
астероидов численное интегрирование предпочтительнее проводить
с использованием формул (1.21), поскольку они дают более точные
результаты по сравнению с формулами (1.3).
5. При отсутствии тесных сближений астероида с большими
планетами для исследования эволюции орбит можно использовать
как уравнения (1.21), так и уравнения (1.3).
6. Для повышения эффективности интегрирования уравнений
движения следует использовать предложенный способ оптимизации
расчётов эволюции орбит небесных тел с использованием банка
данных координат возмущающих небесных объектов в форме полиномов Эверхарта. Банк данных может использоваться как с моделью движения (1.21), так и с моделью (1.3). Показано, что использование банка данных позволяет увеличить скорость расчётов в 5–7
раз без значительной потери точности.
205
M
a
e
ω
Ω
M
a
e
ω
Ω
M
a
e
ω
Ω
Таблица 7.18
Начальные данные на различные моменты времени для астероида 2005 DD
Дата
, град.
, а.е.
, град.
, град.
i
, град.
14.05.2008 111,472463 1,93326326 0,56821580 252,040753 157,397789 7,324350
08.01.2013 14,758480 1,93352800 0,56839300 252,103576 157,335217 7,325711
27.06.2015 344,650091 1,93377700 0,56791700 252,145111 157,297887 7,326844
Таблица 7.19
Начальные данные на различные моменты времени для астероида 2006 UQ17
Дата
206
22.08.2008 288,087825 1,62340340 0,38094139 10,306639 82,125340 1,744033
, град.
, а.е.
, град.
, град.
i
, град.
23.05.2014 208,582843 1,62374400 0,38090600 10,297944 82,116220 1,743767
27.06.2015 39,116390 1,62366600 0,38093400 10,316427 82,113996 1,743718
Таблица 7.20
Начальные данные на различные моменты времени для астероида 2000 GX127
Дата
, град.
, а.е.
, град.
, град.
i
, град.
14.05.2008 15,998169 1,14133852 0,36130172 4,684070 44,041859 20,239715
08.01.2013 310,170471 1,14136300 0,36127500 4,706878 44,022839 20,240898
27.06.2015 317,644162 1,14140000 0,36118600 4,700084 44,015519 20,239232
M
∆
∆
∆
ω
∆
∆Ω
∆
M
a
e
ω
Ω
M
a
e
ω
Ω
Таблица 7.21
Расхождения в элементах орбит, полученных путем численного интегрирования уравнений движения
астероида 2005 DD, с данными табл. 7.18 (начальные данные в эпоху 2457200,5 (27.06.2015))
Дата
, град.
a
, а.е.
e
, град.
, град.
i
, град.
27.06.2015 0 0 0 0 0 0
08.01.2013 0,02335 −0,000029 −0,0000068 −0,00021 −0,00013 0,00005
14.05.2008 0,01030 −0,000026 −0,0000061 −0,00038 0,00009 0,00003
Таблица 7.22
Результаты интегрирования уравнений движения астероида 2005 DD
207
Дата
Дифференциальные уравнения (1.21) (шаг 1, порядок 27)
, град.
Элементы орбиты на 12.05.2100.
, а.е.
, град.
, град.
i
, град.
06.03.2006 193,0680 1,932374 0,568291 254,4560 155,4784 7,2926
23.05.2014 193,1715 1,932405 0,568301 254,4584 155,4761 7,2923
27.06.2015 193,1711 1,932405 0,568301 254,4583 155,4761 7,2922
Каталог
Дата
, град.
, а.е.
, град.
, град.
i
, град.
06.03.2006 193,0678 1,932374 0,568291 254,4563 155,4784 7,2926
23.05.2014 193,1717 1,932405 0,568301 254,4586 155,4761 7,2923
27.06.2015 193,1717 1,932405 0,568301 254,4586 155,4761 7,2923
M
∆
∆
∆
ω
∆
∆Ω
∆
M
a
e
ω
Ω
Таблица 7.23
Расхождения в элементах орбит астероида 2005 DD, полученных с помощью решения уравнений (1.21),
Дата
с данными, представленными на сайте Smallbodies.ru
, град.
a
, а.е.
e
, град.
, град.
i
, град.
06.03.2006 0 0 0 0 0 0
23.05.2014 0 0 0 0 0 0
27.06.2015 0 0 0 0 0 0
12.05.2100 0,0002 0 0 0 −0,0003 0
12.05.2100 −0,0002 0 0 0 −0,0002 0
12.05.2100 −0,0006 0 0 0 −0,0003 −0,0001
208
Результаты интегрирования уравнений движения астероида 2006 UQ17
Таблица 7.24
Элементы орбиты на 12.05.2100.
Дифференциальные уравнения (1.21) (шаг 1, порядок 27)
Дата
, град.
, а.е.
, град.
, град.
i
, град.
22.08.2008 63,4547 1,623497 0,380521 11,5313 81,6223 1,7267
23.05.2014 63,4475 1,623488 0,380518 11,5301 81,6232 1,7267
27.06.2015 63,4619 1,623505 0,380524 11,5327 81,6214 1,7266
22.08.2008 63,4545 1,623494 0,380521 11,5317 81,6223 1,7267
23.05.2014 63,4544 1,623496 0,380521 11,5317 81,6223 1,7267
27.06.2015 63,4544 1,623496 0,380521 11,5317 81,6223 1,7267
M
∆
∆
∆
ω
∆
∆Ω
∆
M
a
e
ω
Ω
M
a
e
ω
Ω
Таблица 7.25
Расхождения в элементах орбит астероида 2006 UQ17, полученных с помощью решения уравнений (1.21),
с данными, представленными на сайте Smallbodies.ru
Дата
, град.
a
, а.е.
e
, град.
, град.
i
, град.
22.08.2008 0 0 0 0 0 0
23.05.2014 0 0 0 0 0 0
27.06.2015 0 0 0 0 0 0
12.05.2100 0,0002 0,000003 0 0 −0,0004 0
12.05.2100 0,0031 −0,000008 −0,000003 0,0009 −0,0016 0
12.05.2100 0,0075 0,000009 0,000003 −0,0009 0,0010 −0,0001
209
Таблица 7.26
Результаты интегрирования уравнений движения астероида 2000 CX127
Элементы орбиты на 12.05.2100.
Дифференциальные уравнения (1.21) (шаг 1, порядок 27)
Дата
, град.
, а.е.
, град.
, град.
i
, град.
14.05.2008 161,0428 1,142249 0,361949 5,1847 43,6583 20,2136
08.01.2013 161,1859 1,142237 0,361940 5,1841 43,6583 20,2137
27.06.2015 160,9109 1,142261 0,361957 5,1854 43,6583 20,2134
Каталог
Дата
, град.
, а.е.
, град.
, град.
i
, град.
14.05.2008 161,0749 1,142247 0,361947 5,1852 43,6583 20,2136
08.01.2013 161,0548 1,142248 0,361948 5,1854 43,6583 20,2136
27.06.2015 161,0543 1,142248 0,361948 5,1854 43,6583 20,2136
M
∆
∆
∆
ω
∆
∆Ω
∆
M
a
e
ω
Ω
M
a
e
ω
Ω
Таблица 7.27
Расхождения в элементах орбит астероида 2000 CX127, полученных с помощью решения уравнений
(1.21), с данными, представленными на сайте Smallbodies.ru
Дата
, град.
a
, а.е.
e
, град.
, град.
i
, град.
14.05.2008 0 0 0 0 0 0
08.01.2013 0 0 0 0 0 0
27.06.2015 0 0 0 0 0 0
12.05.2100 −0,0321 0,000002 0 0 −0,0005 0
12.05.2100 0,1311 −0,000011 −0,000003 0 −0,0013 0,0001
12.05.2100 −0,1434 0,000013 0,000003 0 0 −0,0002
210
Элементы орбит астероида 2005 DD при использовании начальных данных
в эпоху 2457200,5 (27.06.2015)
Таблица 7.28
Элементы орбиты на 27.06.2015 и на 12.05.2100.
Дифференциальные уравнения (1.21) (шаг 0,005, порядок 15). Метод Эверхарта
Дата
, град.
, а.е.
, град.
, град.
i
, град.
27.06.2015 344,650091 1,93377700 0,56791700 252,145111 157,297887 7,326844
12.05.2100 193,1711 1,932405 0,568301 254,4583 155,4761 7,2922
Элементы орбиты на 27.06.2015 и на 12.05.2100.
Дифференциальные уравнения (1.21) (шаг 0,05, порядок 10). Метод Коуэлла
Дата
, град.
, а.е.
, град.
, град.
i
, град.
27.06.2015 344,650091 1,93377700 0,56791700 252,145111 157,297887 7,326844
12.05.2100 193,1894 1,932405 0,568301 254,4584 155,4761 7,2923
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]