Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Численные методы в задачах математического моделирования движения небесных тел в Солнечной системе. Монография
.pdf
+
−
где
x
r
y
r
z
r
( )
=
=
=
,,cos
xr
( )
,,cos
yr
(2.5)
( )
.,cos
zr
Для интегрирования системы (2.4) умножим эти уравнения на
следующие группы множителей:
0
−
0
yz+
xz−
xy+
(2.6)
0
Складывая их почленно, получим
2
zd
y
2
dt
2
xd
z
2
dt
2
yd
x
2
dt
2
yd
=−
z
dt
x
dt
y
dt
,0
2
2
zd
=−
,0
(2.7)
2
2
xd
=−
.0
2
Выполняя преобразование первого уравнения (2.7), имеем
2
zd
y
2
dt
2
d
yd
z
2
dt
dt
y
dz
dt
dy
−=−
z
,
dt
и аналогично преобразовав два других уравнения (2.7), получим
первые интегралы дифференциальных уравнений (2.4):
dy
dz
где
y
dt
dx
c
,
c
и
c
1
– произвольные постоянные.
2
3
z
dt
dy
x
dt
=−
,
z
x
c
1
dt
dz
dt
dx
y
dt
(2.8)
=−
,
c
2
=−
,
c
3
31
x, y
z
+
P
′
+
+
+
x
y
A
n
z
A
′
(
)
′
(
)
(
)
′
(
)
Умножая первое уравнение (2.8) на x, второе – на y, третье –
на z и складывая их, получим
Уравнение (2.9) является уравнением плоскости, проходящей
через начало координат.
Умножая выражение (2.8) на dt , получим
Предположим, что движущееся тело в момент времени t находится в точке P с координатами
точке
Рис. 2.1. Движение тела в пространственной системе координат OXYZ
с координатами dxx
S
, dyy
σ
d
0
=++ zcycxc
.
321
=−
,
dtczdyydz
1
=−
(2.10)
,
dtcxdzzdx
2
=−
.
dtcydxxdy
3
,
, а в момент dtt
, dzz
(рис. 2.1).
dzzdyydxxP +++
,,
zyxP ,,
dyydxxQ ++
,
yxQ ,
(2.9)
– в
32
−
′
′
′
′
′
(
)
(
)
==−
σ
dt
Тогда ydxxdy
QSQ
, являющегося проекцией треугольника
xSy
. Площадь
угла между плоскостью
выражает удвоенную площадь треугольника
QSQ
равна площади
AAS
и плоскостью
PSP
, умноженной на косинус
xSy
Отсюда следует
,cos2
==−
σ
3
и, аналогично,
( )
1
==−
σ
2
Разделив предыдущее соотношение на dt , получим
σ
( )
xn
( )
,cos2
yn
( )
zn
d
=
,,cos2
c
1
dt
σ
d
=
c
(2.11)
dt
d
dt
,2
σ
=
.,cos2
c
3
Соотношения (2.11) представим в виде
d
.2
σ
2
1
2
2
2
cccc
=++=
(2.12)
3
PSP
на плоскость
.
dtcdznydxxdy
,
,,cos2
dtcdxnzdyydz
.,cos2
dtcdynxdzzdx
Интегрируя (2.12), получим
2 cct +=
σ
. (2.13)
4
Мы пришли ко второму закону Кеплера.
Каждое тело, обращающееся вокруг Солнца, движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причем площадь, описываемая радиус-вектором тела, изменяется пропорционально времени.
2.1. ДВИЖЕНИЕ НЕБЕСНОГО ТЕЛА
В ПЛОСКОСТИ НЕИЗМЕННОЙ ОРБИТЫ
Вследствие того, что движение тела P – плоское, совместим координатную плоскость xSy с плоскостью этого движения. Тогда
координата z будет равна нулю, и у нас останутся только два первых уравнения (2.4):
33
(
)
(
)
dt
dt
2
xd
−=
2
32
3
+
2
yd
−=
2
3
+
2
3
ra
11
3
1
3
3
( )
3
32
3
2
3
ra
11
3
32
1
3
3
( )
3
32
3
+
2
3
−+−+
rrrrrr
1
2
ra
00
3
3
( )
0
+
2
3
−+−+
rrrrrr
1
2
ra
00
3
3
( )
0
Упростим выражение (2.14), введя обозначения
∗
2
=
cra . Преобразуем знаменатель в соотношении (2.14), ограни-
0
00
чиваясь начальными членами разложений:
2
3
3
0
32
( ) ( )
0
2
r
3
32
3
3
1
3
13
3
3
3
r
0
−=
3
3
r
=−+−+
rrrrrr
0
2
3
3
=−+−+=
rrrrrr
0
.
Аналогично получим
2
3
3
1
32
( ) ( )
1
2
r
3
32
3
3
1
3
13
3
3
3
r
1
−=
3
3
r
=−+−+
rrrrrr
1
2
3
3
=−+−+=
rrrrrr
1
.
x
,
2
3
3
−+−+
3
−+−+
r
rrrrrr
0
(2.14)
y
.
2
3
r
rrrrrr
0
2
=
11
(2.16)
(2.17)
∗
cra ,
1
34
dtddt
dt
dt
dt
С учетом (2.15) – (2.17) выражение (2.14) запишется в виде
dt
dt
2
xd
−=
2
2
yd
−=
2
*
c
1
3
2
1
r
2
1
r
r
1
−
3
3
r
*
c
1
3
r
1
−
3
3
r
c
+
2
−
1
r
c
+
2
−
1
r
*
0
*
0
x
,
3
r
r
0
3
3
r
(2.18)
y
.
3
r
r
0
3
3
r
Уравнения (2.18) опять дают интеграл площадей
c
dy
x ==−
dx
y
σ
2 . (2.19)
Для нахождения дальнейших интегралов умножим первое
уравнение (2.18) на
dx
2 , второе – на
dy
2 и сложим:
dt
2
yddtdy
2
2
dt
xddtdx
+
2
Так как ,
r
c
1
−=
22 . (2.20)
222
yxr += то
dx
+−
x
dt
3
r
1
−
1
3
r
3
dy
y
∗∗
c
0
+
r
0
−
1
r
3
dr
−=
23
rdt
Преобразуя левую часть (2.20), получим
22
dx
d
dt
+
dt
*
c
1
*
( ) ( )
2
+
cc
1
dy
12
*
0
dt
≈
3
r
1
+=
3
3
r
d
rdt
*
c
1
2
1
*
c
0
11
6
35
+
3
r
1
−
3
3
r
3
r
0
1
++
3
3
r
31*
++
0
1
3
3
1
−
30*
rcrc
dx
1
x
3
dt
r
d
=
rdt
*
d
c
0
3
r
0
3
3
r
1
d
rdt
1
d
4
rdt
dy
y
dt
.
1
=
rdt
(2.21)
+
1111
rdt
=
.
()(
)
6
r
r
urx
cos
=
dtddt
()(
)
(
)
61r
(
)
r
(
)
rcdt
dudrrcdtdududrdt
(
)
cccr
Проинтегрировав (2.21), мы найдем
*
*
2
cc
2
V +
+
1
= . (2.22)
1
0
1
+
30*
31*
rcrc
+
0
c
4
5
Введем полярные координаты
, ury sin=. (2.23)
Преобразуем уравнения (2.19) и (2.22) с учетом (2.23) к виду:
du
c
2
r ==σ2
. (2.24)
2
du
dt
*
2 +
0
2
2
=
*
cc
1
*
*
cc
+
0
r
1
1
+
6
31*
1
. В первом приближении выраже-
2
V +
=
dt
r
+
2
dr
В соотношении (2.25) величина
нию с первым членом
ние (2.25) запишется в виде
2
V +
=
dt
r
+
2
dr
2
*
2
du
2
dt
+
0
=
r
Подставляя в (2.26)
du
=
dr
;
2
==
получим
2
2
dr
c
4
du
r
2
2
c
=+
2
r
*
*
cc
+
1
0
r
Проведем следующие преобразования:
2
dr
c
2
du
r
d
=
du
2
c
r
c
0
−−=
r
2
*
*
cc
+
1
c
Введем для сокращения следующие обозначения:
*
*
+
h
c
−
1
0
=
, (2.28)
1
4
r
303
rcrc +
0
мала по сравне-
4
*
cc
1
c
5
,
2
c
+
.
5
*
+
0
+
c
c
. (2.25)
5
. (2.26)
2
*
cc
1
c
+
. (2.27)
5
30*
31*
rcrc
+
0
2
*
*
cc
+
1
0
c
36
2
Ac
=+
. (2.29)
5
A
(
)
cos1e
e
υ
С учетом (2.28) и (2.29), выражение (2.28) запишется в виде
2
dh
du
du−±= . (2.30)
dh
22
hA
−=
,
22
hA
Интегрируя (2.30), получим
arccos c
u +±= , (2.31)
h
6
или
cos cuAh −=
. (2.32)
6
Подставляя в (2.32) h и A, имеем
c
−
r
1
0
c
*
*
cc
+
*
=
cc
+
1
0
c
cos cuc
( )
−+
65
,
(2.33)
2
*
или
2
c
*
*
cc
+
1
++
*
( )
0
0
2
cc
5
*
cc
+
1
2
( )
cos11 cu
. (2.34)
−
6
r
=
Полученное уравнение (2.34) является уравнением конического
сечения с фокусом в начале координат, которое запишется в виде
r+= , (2.35)
p
υ
где p – параметр,
– эксцентриситет,
– угол между радиус-вектором r и полярной осью, направ-
ленной по большой оси в сторону перигелия, причем эти величины
имеют следующие значения:
2
e
c
p
= , (2.36)
1
+= , (2.37)
υ
*
*
cc
+
1
0
2
cc
5
2
*
*
( )
cc
+
1
0
cu −=
. (2.38)
6
37
+
()(
)
(
)
(
)
Таким образом, в первом приближении в обобщенной форме
выполняется первый закон Кеплера.
Тела движутся вокруг Солнца, описывая конические сечения, в
одном из фокусов которого находится Солнце.
2.2. ЗАКОН ДВИЖЕНИЯ НЕБЕСНЫХ ТЕЛ
В СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЕ
При интегрировании уравнений движения были введены шесть
произвольных постоянных, смысл которых следует установить. Из
уравнения (2.36) имеем
pcccccc
2
1
3
2
+=++= . (2.39)
1
0
*
*
2
2
Подставляя выражение (2.39) в уравнение (2.12), получим
*
2 ctpcc ++=
σ
*
1
0
. (2.40)
4
Допустим, что движение происходит по эллипсу, тогда тело
вернется в исходную точку по истечении периода обращения P. За
это время радиус-вектор опишет всю площадь эллипса, т.е. в момент времени Pt
будет выполняться соотношение
*
2 cPtpccab +++=+
πσ
*
1
0
, (2.41)
4
где a и b – полуоси эллипса. Вычитая из (2.41) выражение (2.40),
имеем
*
Ppccab
2 +=
π
*
1
0
. (2.42)
Выражая b и P через большую полуось a и эксцентриситет e
по формулам
2
1 eab −= ,
2
1 eap −=
и подставляя их в выражение (2.42), получим
Pcca
2/3
2 +=
π
. (2.43)
1
0
*
*
Это уравнение применимо к любому небесному телу в Солнечной системе.
Соотношение (2.43) можно переписать в таком виде:
*
*02
ccP
*02
( )
1
+
ccP
+
3
a
1
=
. (2.44)
3
*
a
1
2
Отсюда в первом приближении можно сформулировать следующий закон движения небесных тел в Солнечной системе: для тел
Солнечной системы квадраты времен обращения каждого тела, относятся как кубы больших полуосей орбит.
38
()()()(
)
(
)
a
r
=
a
Для определения большой полуоси воспользуемся выражением
(2.43). Тогда
*
0
=
a . (2.45)
2
+
Pcc
1
π
2
3
*
2.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФОРМЫ ОРБИТЫ
Из уравнения (2.37) может быть найдена постоянная
*
*
*02
cce
c
−
5
+−
2
c
11 +
1
−=
*02
cce
+−
1
p
−=
*
cc
0
a
c
:
5
*
1
. (2.46)
Подставляя это значение в соотношение (2.26), получим
12
( )
ccV
1
0
*
*
2
−+=
. (2.47)
ar
Соотношение (2.47) позволяет определить форму орбиты:
*
при
при
при
V
V
V
2
<
2
<
2
<
*
+
cc
1
0
r
*
*
( )
+
cc
1
0
r
*
*
( )
+
cc
1
0
r
−>
a
a
a
(0,
(,
(0,
эллипсорбита
−∞=
параболаорбита
−<
гиперболаорбита
,)
,)
.)
(2.48)
Частный случай эллипса есть круг, для него
*
*
cc
+
,
V
Таким образом, две постоянные c и
2
= . (2.49)
1
0
c при помощи формул
5
(2.47) и (2.48) позволяют определить форму и размеры орбиты.
2.4. РАСПОЛОЖЕНИЕ ОРБИТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
Чтобы определить положение плоскости орбиты в пространстве, следует выбрать координатную систему x, y, z. Ось x
направим в точку весеннего равноденствия, а плоскость xSy совместим с плоскостью экватора. Опишем вокруг Солнца небесную
сферу и отметим на ней точки пересечения с осями координат, а
также с нормалью n (рис. 2.2).
39
Ω
Ω
Ω
Ω
γ
i
(
)
x
y
E
n
z
A
A
′
γ
Ω
П
p
E
′
Ω
u
ω
υ
Прямая
небесной сферой называются узлами орбиты; тот из них, в котором
тело пересекает экватор, переходя из южного полушария в северное, называется восходящим узлом и обозначается знаком Ω, другой узел называется нисходящим узлом и имеет знак Θ.
Угол
восходящего узла. Он равен
элементом является наклонение орбиты к плоскости экватора. Угол
равен углу
если
i
S называется линией узлов, а точки ее пересечения с
xs , обозначаемый символом
90
>
, то движение называется обратным.
i
S
i
Рис. 2.2. Элементы орбиты
, изменяется от
zn,
. Если
90
<
i
, то тело имеет прямое движение,
, называется долготой
0 до 360 . Вторым
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]