Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Численные методы в задачах математического моделирования движения небесных тел в Солнечной системе. Монография
.pdf
k
*
C
k
i
31 384 184 832 000 62 768 369 664 000
*
B
ki
15 16
M
*
ki
*
B
ki
Окончание табл. 3.7
*
M
ki
1 173 233 498 598 849 8 164 168 737 599 362 555 126 427 073 16 088 129 229 375
2 −960 122 866 404 112 50 770 967 534 864 −2 161 567 671 248 849 105 145 058 757 073
3 3 966 421 670 215 481 −102 885 148 956 217 9 622 096 909 515 337 −230 992 163 723 849
4 −11 643 637 530 577 472 251 724 894 607 936 −30 607 373 860 520 569 612 744 541 065 337
5 25 298 910 337 081 429 −499 547 203 754 837 72 558 117 072 259 733 −1 326 978 663 058 069
6 −41 825 269 932 507 728 781 911 618 071 632 −131 963 191 940 828 581 2 285 168 598 349 733
7 53 471 026 659 940 509 −963 605 400 824 733 187 463 140 112 902 893 −3 129 453 071 993 581
81
8 −53 246 738 660 646 912 934 600 833 490 944 −210 020 588 912 321 949 3 414 941 728 852 893
9 41 280 216 336 284 259 −710 312 834 197 347 186 087 544 263 596 643 −2 966 365 730 265 699
10 −24 704 503 655 607 728 418 551 804 601 264 −129 930 094 104 237 331 2 039 345 879 546 643
11 11 205 849 753 515 179 −187 504 936 597 931 70 724 351 582 843 483 −1 096 355 235 402 331
12 −3 728 807 256 577 472 61 759 426 692 544 −29 417 910 911 251 819 451 403 108 933 483
k
C
i
13
*
k
31 384 184 832 000 62 768 369 664 000
*
B
ki
859 236 476 684 231 −14 110 480 969 927 9 038 571 752 734 087 −137 515 713 789 319
15 16
M
*
ki
*
B
ki
M
*
ki
14 −122 594 813 904 112 1 998 759 236 336 −1 934 443 196 892 599 29 219 384 284 087
15 8 164 168 737 599 −132 282 840 127 257 650 275 915 823 −3 867 689 367 599
16 −16 088 129 229 375 240 208 245 823
(
)
(
)
Неявный метод является более точным, чем явный метод того
же порядка, следовательно, применение метода Адамса – Мултона
на практике оказывается предпочтительнее. Однако его реализация
является более сложной задачей, чем реализация метода Адамса –
Бэшфорта. Как видно из выражения (3.49), искомое значение
y
входит в формулу нелинейно, следовательно отыскание решения
разностного уравнения (3.49) сводится к решению алгебраического
или трансцендентного уравнения.
На практике обычно не решают непосредственно уравнение (3.49),
а используют, например, итерационные методы. Вместо неизвестного
точного значения
некоторое начальное приближение
вычисления
( ) ( )
Итерационный процесс (3.53) сходится к решению
y
в правую часть этого уравнения подставляется
1+n
y может быть представлен в виде
1+n
( )
0
y . Тогда итерационный процесс
1+n
−
γγ
+++
1101
k
1
++=
∑
=
i
1
( )
yxfMhyxfhMyy
,,
−+−+
11
. (3.53)
inininnnn
y уравне-
1+n
ния (3.49), если выполняется условие
где L – константа Липшица функции
1
h < , (3.54)
ML
1
yxf
,
, которая определяется
следующим выражением:
∂
=
Начальное приближение
sup
y
yxfL,
∂
y
0
может быть выбрано различными
1+n
.
∞<
способами. Например, можно взять значение в предыдущей точке
y
. Однако на практике в качестве начального приближения чаще
n
всего используют значение, полученное по явной разностной формуле.
В таком случае явная формула метода Адамса – Бэшфорта
называется предсказывающей или предиктором, неявная формула
метода Адамса – Мултона называется исправляющей или корректором, а весь процесс совместного использования экстраполяционной
и интерполяционной формул называется предсказывающеисправляющим методом или методом прогноза и коррекции.
1+n
82
……………………………………………
()(
)
(
)
Количество итераций γ, которое необходимо выполнить, зависит от величины шага интегрирования, степеней явной и неявной
формул и требуемой точности решения неявного уравнения. Если
степень предсказывающей формулы меньше степени исправляющей
формулы, то каждая вновь выполняемая итерация (3.53) увеличивает порядок точности очередного приближения на единицу до тех
пор, пока не будет достигнут заданный порядок исправляющей
формулы. Для того чтобы точность приближенного решения
γ
y
1+n
определялась степенью неявной формулы, число итераций должно
быть не меньше разности степеней неявной и явной формул.
Если через P обозначить вычисление с помощью предсказывающей формулы начального приближения, через E – вычисление
значения правой части дифференциального уравнения (3.1), а через
C – уточнение полученного приближения с помощью исправляю-
щей формулы, то методы прогноза и коррекции можно представить
в символическом виде PEC , если исправляющая формула приме-
няется один раз, или
γ
)(ECP , если исправляющая формула приме-
няется более одного раза. Если полученное после итераций приближение
то метод прогноза и коррекции принимает вид
γ
y к решению
1+n
y
использовать для вычисления значе-
1+n
PEC
или
x
2+n
γ
)(
ECP
Таким образом, весь предсказывающе-исправляющий процесс можно представить в виде следующих формул:
( )
0
1
( ) ( )
0
=
1
( ) ( )
1
1
k
+=
∑
0
=
i
( )
0
yxffE
11
+++
nnn
( )
,,:
k
1
++=
∑
10
=
i
,,:
yxfBhyyP
−−+
inininn
1
( )
yxfMhfhMyyC
11
−+−+++
inininnn
,,:
..
γγ
=
( ) ( )
( )
=
,,:
yxffE
111
+++
nnn
k
γγ
∑
i
.,:
yxffE
111
+++
nnn
1
=
( )
,,:
=++=
yyxfMhfhMyyC
111101
+−+−+++
ninininnn
,
.
83
Существует два способа реализации предсказывающеисправляющего метода. В первом случае итерации продолжаются
до тех пор, пока не будет достигнута сходимость. При этом число
вычислений функции может меняться от точки к точке и может
быть достаточно велико. Этот процесс называется методом исправления до сходимости. В этом случае следует также учитывать, что
сходимость может вообще не быть достигнута, если не выполняется
условие (3.54). Второй способ заключается в применении итерационной формулы (3.53) фиксированное число раз. Однако в данном
случае приемлемые результаты могут быть достигнуты только при
достаточно малом значении шага h .
Формулы для предикторно-корректорных методов Адамса в
форме PEC со 2-го по 16-й порядок имеют следующий вид:
2-й порядок:
h
:
:
yyP
1
0
=
1
yyC
1
( )
2
( )
)0(
yxffE
11
+++
nnn
h
( )
2
,,:
)1()1(1
)0(
)1()1(0
,3
−+=
ff
1
−+
nnnn
(3.55)
)0(
;
++=
ff
1
++
nnnn
3-й порядок:
h
:
yyP
( )
+−+=
12
( )
=
:
yyC
,,:
yxffE
111
+++
nnn
h
( )
−++=
fff
12
,51623
fff
211
−−+
nnnnn
(3.56)
;85
211
−−+
nnnnn
4-й порядок:
h
:
yyP
( )
−+−+=
24
( )
=
:
yyC
,,:
yxffE
111
+++
nnn
h
( )
+−++=
ffff
24
,9375955
ffff
3211
−−−+
nnnnnn
(3.57)
;5199
3211
−−−+
nnnnnn
84
5-й порядок:
:
:
6-й порядок:
:
:
7-й порядок:
:
+
:
yyP
=
yyC
( )
=
( )
=
h
(
720
( )
yxffE
111
+++
nnn
h
(
720
1
(
1440
,,:
yxffE
111
+++
nnn
1
(
1440
1
(
60480
,,:
yxffE
111
+++
nnn
1
(
60480
⋅−⋅+
27741901
+−+
,,:
646251
−+−
)
fff
432
−−−
nnn
+−+=
ff
11
−+
nnnn
)
,25112742616
fff
432
−−−
nnn
(3.58)
−++=
ff
11
−+
nnnn
;19106264
998279234277
)
,47528777298
⋅−⋅+⋅−
fff
543
−−−
nnn
−⋅+⋅−⋅+=
fffyyP
211
−+
nn-nnn
(3.59)
7981427475
)
;27173482
⋅+⋅−⋅+
fff
432
−−−
nnn
447288198721
407139688256705549
)
,19087134472
⋅+⋅−
ff
65
−−
nn
6511219087
11
++
202113750446461
)
;8636312
ff
54
−−
nn
ffyyP
fff
ffyyC
nnnn
+⋅−⋅+⋅−
fff
321
−−−
nnn
+⋅−⋅+⋅+=
fffyyC
111
−++
nnnnn
+⋅−⋅+=
11
n-nnn
−⋅+⋅−⋅+
432
−−−
nnn
−⋅+⋅+=
(3.60)
85
8-й порядок:
:
+
=
:
9-й порядок:
:
1
+
=
:
10-й порядок:
:
1
+
=
:
1
120960
( )
yxffE
111
+++
nnn
1
120960
1
3628800
( )
yxffE
111
+++
nnn
1
3628800
1
7257600
( )
yxffE
+++
nnn
1
7257600
(
,,:
(
,,:
,,:
111
(
14097247
91172642137968480
(
1070017
⋅−⋅+
ff
76
−−
nn
(
30277247
(
2082753
1152169434241
210224326644772183877
+⋅−⋅+=
ffyyP
11
n-nnn
−⋅+⋅−⋅+
fff
432
−−−
nnn
)
,367992957671041723
⋅−⋅+⋅−
fff
765
−−−
nnn
(3.61)
13984936799
11
++
88547123133121797
⋅+⋅−⋅+
fff
−−−
nnn
−⋅+=
fyyP
nnn
1398552629547678643125206
+⋅−⋅+
ff
54
−−
nn
−⋅+⋅+=
ffyyC
nnnn
+⋅−⋅+⋅−
fff
321
−−−
nnn
)
;13751135141499
654
+⋅−⋅+⋅−
fff
321
−−
nnn-
)
,1070017966410638833486
⋅+⋅−⋅+
fff
876
−−−
nnn
(3.62)
+⋅+=
fyyC
11
++
nnn
559535846045944467094
129121431463385033120
)
;33953312874
−⋅+=
fyyP
nnn
+⋅+=
fyyC
11
++
nnn
16002320112713049449717
73940321351008217283646
86
−⋅+⋅−⋅+
fff
21
−−
nnn
+⋅−⋅+⋅−
fff
543
−−−
nnn
454661776265932680104995189
252618224444772162538363838
⋅−⋅+⋅−
fff
nnn
fff
21
−−
nnn
fff
−−−
nnn
)
;572815834352687864
⋅+⋅−⋅+
fff
876
−−−
nnn
+⋅−⋅+⋅−
fff
321
−−−
nnn
−⋅+⋅−⋅+
fff
654
−−−
nnn
)
,20827532088481194307320
987
−−−
(3.63)
−⋅+⋅−⋅+
+⋅−⋅+⋅−
543
11-й порядок:
:
1
+
=
:
12-й порядок:
:
1
+
=
:
479001600
( )
yxffE
nnn
479001600
958003200
⋅−
f
( )
yxffE
+++
nnn
958003200
⋅+
f
10
−
n
1
(
2132509567
741790445102232963492
⋅+⋅−
,,:
111
+++
1
(
134211265
890175549656185652
ff
18233115661446205080
11705970421710774528
184776195567450984
⋅−⋅+
ff
98
−−
nn
1
(
4527766399
3158642445711741024827
)
,262747265
11
−
n
,,:
111
1
(
262747265
20924906731374799219
55194605823828828885
49631665146043521486
13059711153007739418
68928781384709327
)
;5675265
ff
98
−−
nn
−⋅+=
fyyP
nnn
523591063808271795124
−⋅+⋅−
ff
21
−
nn-
8637163789564611302901
−⋅+⋅−
ff
43
−−
nn
42448571684326317620147
ff
−−
nn
−⋅+⋅−
ff
65
−−
nn
−⋅+⋅−
ff
87
−−
nn
)
,1342112651479574348
109
(3.64)
+⋅+=
fyyC
11
++
nnn
+⋅−⋅+
1
−
nn
+⋅−⋅+
ff
32
−−
nn
+⋅−⋅+
ff
54
−−
nn
+⋅−⋅+
ff
76
−−
nn
)
;325043336284876
−⋅+=
fyyP
nnn
5616332271831943381016
−⋅++⋅−
ff
21
−−
nn
662141393553571355793567
75818910762901313658672
−⋅+⋅−
ff
43
−−
nn
982111035732742477416393
−⋅+⋅−
ff
65
−−
nn
−⋅+⋅−
ff
87
−−
nn
−⋅+⋅−
ff
109
−−
nn
(3.65)
+⋅+=
fyyC
11
++
nnn
+⋅−⋅+
ff
1
−
nn
+⋅−⋅+
ff
32
−−
nn
+⋅−⋅+
ff
54
−−
nn
+⋅−⋅+
ff
76
−−
nn
+⋅−⋅+
87
13-й порядок:
:
1
+
=
:
14-й порядок:
:
1
+
=
( )
yxffE
nnn
( )
yxffE
111
+++
nnn
1
,,:
111
+++
1
1
⋅−
f
13
−
n
,,:
(
0002615348736
(
0002615348736
(
0005230697472
)
,6211382741929
36271306440652
02612214696591072746149755279
558959328845460051505249245799
12940812264430869417641233589244
284255071403697524449158833871
24125506097466383702023229137
⋅+⋅−
ff
577036042543
42866164209579863917551216
ff
9895218475380365101346577425
5152262043444684362734587069
4985103447117927961905818565
26810920969921704063327863
⋅−⋅+
ff
1110
−−
nn
68752751155497
156625372470525796211409707506
79080528544295716819061445313351
48845248256713233057554246767353
19957727149665995345244204551925
9643050558614111557551393306307
37871938285359819061261749726
−⋅+=
fyyP
nnn
−⋅+⋅−
ff
21
−−
nn
−⋅+⋅−
ff
43
−−
nn
−⋅+⋅−
ff
65
−−
nn
−⋅+⋅−
ff
87
−−
nn
−⋅+⋅−
ff
109
−−
nn
)
,5770360425437349160551085
1211
−−
nn
+⋅+=
fyyC
11
++
nnn
+⋅−⋅+
1
−
nn
+⋅−⋅+
ff
32
−−
nn
+⋅−⋅+
ff
54
−−
nn
+⋅−⋅+
ff
76
−−
nn
+⋅−⋅+
ff
98
−−
nn
)
;31369577909661798428225
−⋅+=
fyyP
nnn
−⋅+⋅−
ff
21
−−
nn
−⋅+⋅−
ff
43
−−
nn
−⋅+⋅−
ff
65
−−
nn
−⋅+⋅−
ff
87
−−
nn
−⋅+⋅−
ff
109
−−
nn
−⋅+⋅−
ff
1211
−−
nn
(3.66)
88
(
)
,,:
111
+++
=
nnn
yxffE
:
15-й порядок:
:
1
+
=
:
⋅+
( )
yxffE
yyC
1
f
12
−
n
111
+++
nnn
(
0005230697472
)
.32446657909
1
(
20003138418483
,,:
1
00083218438431
6211382741929
411015141235081818153167962
1285611886801336183392899013
3892943933386595638618022868
2661521779108891808010102102
134918163560578352562025977
9534545708633862268078814
+⋅+=
fyyC
11
++
nnn
+⋅−⋅+
ff
1
−
nn
+⋅−⋅+
ff
32
−−
nn
ff
54
−−
nn
ff
76
−−
nn
+⋅−⋅+
ff
98
−−
nn
+⋅−⋅+
ff
1110
−−
nn
849598498233173
(3.67)
+⋅−⋅+
+⋅−⋅+
−⋅+=
f yyP
nnn
4812156704219663112404866122960
⋅+⋅−
−⋅+⋅−
f f
21
−
nn-
4290813379102982547257753063764311
5099406590264715372850793226982541
2592843362162804191264666073824653
1795157538492051172860765550370424
2316844762368594725772568077283
)
,5997371681648112904813594122
f f
1413
−−
nn
−⋅+⋅−
f f
43
−−
nn
−⋅+⋅−
f f
65
−−
nn
−⋅+⋅−
f f
87
−−
nn
−⋅+⋅−
f f
109
−−
nn
−⋅+⋅−
f f
1211
−−
nn
(3.68)
(
5997371681648
21795614888510286453496777050
733824400605963632071618911781
931597936504187264601804551418
9279694801101454469242675961
⋅−⋅+
f f
nn
+⋅+=
f
11
++
nnn
+⋅−⋅+
f f
1
−
nn
837754203547499936607894724251
347197834312710944490833600934
1312
−−
+⋅−⋅+
f f
32
−−
nn
+⋅−⋅+
f f
54
−−
nn
+⋅−⋅+
f f
76
−−
nn
+⋅−⋅+
f f
98
−−
nn
+⋅−⋅+
f f
1110
−−
nn
)
;1278402821323362367599981
89
000
664
369
768
62
+⋅−⋅+
16-й порядок:
:
+
1
−
( )
=
:
yyC
1
37522912908816
,,:
yxffE
+++
111
nnn
1
)
;823245208240
⋅+
f
12
−
n
(
40006276836966
)
,f
−
13
n
073427126555362
(
849723163992230073757058145105
0690586639783261337065541744612
319789713515137483933108403451
599367689867308728438421929
f f
−⋅+=
f yyP
nnn
f f
nn
7332590721175587256952086037360730
893902112140463187581828940191963131
643596263544087186949321912588020210
48384358235172470331237104094930129
087734752571038981925191191041729
f f
−−
1413
nn
+⋅+=
f
++
11
nnn
+⋅−⋅+
+⋅−⋅+
54
−−
nn
+⋅−⋅+
76
−−
nn
+⋅−⋅+
98
−−
nn
−⋅+⋅−
−−
21
−⋅+⋅−
f f
−−
43
nn
−⋅+⋅−
f f
−−
65
nn
−⋅+⋅−
f f
−−
87
nn
−⋅+⋅−
f f
−−
109
nn
−⋅+⋅−
f f
−−
1211
nn
−⋅+⋅−
(3.69)
33751590909662298492486715671612
8239152756502575998921964439341
37522912908816
f f
1
−
nn
f f
32
−−
nn
58199307145312937333495981682852
f f
69926573036596628938527289414143
f f
33140223535509616435468793450392
f f
+⋅−⋅+
f f
1110
−−
nn
+⋅−⋅+
1312
−−
nn
Формулы (3.55) – (3.69) предпочтительнее использовать для
практического применения решения обыкновенных дифференциальных уравнений или систем дифференциальных уравнений первого порядка с постоянным шагом интегрирования. Если в процессе
решения уравнения шаг интегрирования переменный, то для методов Адамса существуют специальные приемы для закладки новых
начальных данных при смене шага.
3.7. МЕТОД ЭВЕРХАРТА
Метод Эверхарта относится к числу неявных одношаговых методов, что обеспечивает его сходимость и устойчивость [14, 40, 46,
49, 94]. Основным достоинством одношаговых методов является то
обстоятельство, что для них разработаны надежные оценки локаль-
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]