Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Численные методы в задачах математического моделирования движения небесных тел в Солнечной системе. Монография
.pdf
dt
(
)
(
)
(
)
R
n
R
ГЛАВА 4
СХОДИМОСТЬ И УСТОЙЧИВОСТЬ ЧИСЛЕННЫХ
МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
4.1. ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ И УСТОЙЧИВОСТЬ
В ЗАДАЧАХ НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ
В разное время понятию «решение дифференциальных уравнений»
придавалось разное значение. Лагранж и Лаплас полагали, что задача
считается интегрируемой, если она выражается в квадратурах [1].
Позднее стали считать, что задачу можно отнести к интегрируемым задачам, если возможно найти решение дифференциальных
уравнений в виде рядов, сходящихся для определенных заданных
параметров. В задачах небесной механики этими параметрами могут быть массы тел, элементы орбит и т.д.
Пуанкаре ввел понятие практической интегрируемости задач
небесной механики [1, 40]. Под этим понятием он понимал нахождение решения, удовлетворительно представляющего наблюдения и
охватывающего приемлемый промежуток времени.
Понятие устойчивости решения в разное время трактовалось поразному. Первым, по-видимому, появилось понятие устойчивости по
Лагранжу, затем, устойчивости по Пуассону, устойчивости по Хиллу,
устойчивости по Ляпунову, устойчивость по Далквисту [1, 75].
Рассмотрим дифференциальное уравнение
dx
( )
txf
,= , (4.1)
где
n -мерной области
ласть в n-мерном пространстве
txf ,
– n-мерная вектор-функция, которая определена в
1+
+1
IGG
×=
,
tnn
n
.
∞=∈ ,
aIt
,
Gx
t
∈
n
Определение устойчивости по Лагранжу дается следующим образом [1].
Пусть
-мерному евклидову пространству
G
– область конечных размеров, принадлежащая
n
n
. Будем считать, что
имеет конечные размеры, если для любых
Gx
∈
,
Gy
∈
n
: cyx <− ,
n
где c – некоторая постоянная.
101
,
G – об-
n
G
n
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
>
ε
(
)
(
)
(
)
(
)
()(
)
()(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
∞
→
t
(
)
(
)
(
)
()(
)
()(
)
Частное решение уравнения (4.1)
по Лагранжу, если выполняются условия
Условие (4.2) означает ограниченность решения
значений
Понятия устойчивости по Хиллу и Якоби специально сформулированы для исследования поведения решений ограниченной задачи трех тел.
Формулировка устойчивости решения дифференциальных уравнений, данная Ляпуновым [1, 59], получила наибольшее признание, а методы исследования, созданные им, оказались самыми эффективными.
Пусть уравнение (4.1) имеет частное решение
будем называть невозмущенным.
Определение 4.1 [1]. Частное решение (невозмущенное движение)
вектору x, если для любого 0
εδδ
1) все решения
tt ≥
.
0
txx =
называется устойчивым по Ляпунову по отношению к
0,
>= t
такое, что выполняются следующие условия:
0
Gtx ∈
,
n
0
tx (в том числе и
tx
называется устойчивым
Gtx ∈
,
tt ≥
n
и
. (4.2)
0
∞∈
,
at существует
0
tx ), удовлетворяющие
tx
для всех
txx =
, которое
условию
∞<≤ tt
0
при всех ∞<≤ tt
модулей компонент
полняются остальные условия определения 4.1, то решение
называется равномерно устойчивым в области T.
ски устойчивым при
любого
tx , удовлетворяющие начальному условию
дают свойством
;
2) для этих решений справедливо неравенство
0
Определение 4.2 [1]. Если
Определение 4.3 [1]. Решение
∞∈
,
at существует
0
δ
<−00txtx определены в бесконечном интервале
(здесь норма вектора
n
( ) ( )
=
t
txtx
∑
=
k
, если оно устойчиво и к тому же для
∞→
.
k
1
εδδ
≡ (не зависит от Tt ∈
102
tx понимается как сумма
0
tx называется асимптотиче-
0
>∆=∆ t такое, что все решения
0
0lim =−
txtx
.
) и вы-
∆<−0txtx , обла-
ε
<−0txtx
tx
(
)
≤
≤
(){
}
(){
}
(){
}
RL⊂
(
)
(
)
(
)
[
)
∞
→
t
>
ε
(
)
()(
)
(
)
(
)
(){
}
(
)
(
)
(
)
(
)
′
[
]
(
)
y
−≤≤
(
)
<
≤
(
)
(
)
−
=
Рассмотрим теперь понятие орбитальной устойчивости.
Определение 4.4 [1]. Если решение
bta
, то множество точек
екторией.
Определение 4.5 [1]. Положительной полутраекторией называется множество точек
множество точек
Определение 4.6 [1]. Расстоянием точки
множества
Lx,
ρ
называется орбитально устойчивым при
выполняется неравенство
ние асимптотически устойчиво.
значений
интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.
Пусть необходимо численно решить следующую задачу Коши:
0 ,
шений
решению, nhax
тодов, таких как линейные многошаговые методы; предсказывающе-исправляющие методы; методы Рунге – Кутты, как явные, так и
неявные.
– расстояние точки x до ближайшей точки множества L.
Определение 4.7 [1]. Решение
0
существует
+
Условие (4.2) означает ограниченность решения
Перейдем теперь к понятию устойчивости методов численного
Рассмотрим следующий класс общих k-шаговых методов [75]:
Метод (4.4) порождает последовательность приближенных ре-
Формула (4.4) включает в себя достаточно широкий набор ме-
tttxL
: . Если к тому же
0
tt ≥ .
0
kNn
n
n
−
n
называется величина
∞<≤=
yxfy ,=
,
k
∑
=
i
0
hSyrr= , kr
Nny
,,1,0|…= , где ny – приближение к
+= и abNh
+
: tttxL <≤∞−=
>= t
εδδ
0
=
ϕα
0 (начальные значения).
: , отрицательной –
0
.
0
tx уравнения (4.1) при
0,
такое, что при
+
<
Ltx , при ∞<≤ tt
bax ,∈ ;
( )
++
.
103
t
tttxL
ρ
ερ
∞→
yay = ;
tx
существует при
btatxL
≤≤= ,
называется тра-
∞<≤=
n
Rx ∈ до некоторого
inf,
Ly−=∈
, если для любого
0
+
0,lim =
ρ
0
Ltx
tx для всех
,
hyyxhy
,...,,,
, (4.4)
nknnfini
S
Rf ∈ . (4.3)
xy – точному
n
yxLx
, где
∞∈ ,
tt
0
δ
<−
txtx
00
, где
, то реше-
(
)
(
)
(
)
≤
≤
(
)
→
≤
≤
(
)
→
(
)
→
≤
≤
Введем два характеристических полинома
θρ
и
θσ
ством формул
k
∑
i
i
θαθρ
,
i
==0
( )
( )
∑
i
==0
k
i
θβθσ
.
i
Полная погрешность метода (4.4) при применении его к задаче
(4.3) определяется как
xyy − , Nn
0 .
nn
Определение 4.8 [75]. Метод из класса (4.4) сходится, если для
каждой задачи из класса (4.3) выполняется
при .0
h
0→−≤≤nnNn
0max
xyy
Рассмотрим, каким условиям должен удовлетворять метод из
класса (4.4) для того, чтобы он сходился.
Определение 9.9 [75]. Локальная погрешность дискретизации
d
метода (4.4) в точке
n
где
d
xy
– точное решение задачи (4.3),
– невязка, получаемая при подстановке точного решения
knd+
1
=
′
( )
1
ρ
h
x
определяется следующим образом:
n
)()( hSxyd
−=
k
( ) ( ) ( )( )
∑
=
i
0
,
0
rrr
−
ϕα
kr
,
hxyxyxhxy
…
+++
,,,,
nknnfinikn
в формулу (4.4).
Теперь определим допустимый уровень локальной точности.
Определение 4.10 [75]. Метод из класса (4.4) является согласованным, если
при
если
d
0→≤≤nNn
0
h
и имеет порядок согласованности (аппроксимации) p,
p
max
≤≤0
Nn
hOd =
n
.
0max
(4.6)
Сформулируем теперь необходимые и достаточные условия согласованности метода из класса (4.4).
Теорема 4.1 [75]. Метод из класса (4.4) согласован тогда и
только тогда, когда выполнены условия
yyr→
∑
=
ii0
,
0
h
,
0
k
0
( )
=≡
ρα
kr
, (4.7)
01
, (4.8)
посред-
, (4.5)
104
()()()()()(
)
′
→
(
)
[
]
−≤≤
→
()(
)
′
(
)
[
]
()(
)
(
)
()(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
()(
)
ρϕ
+
Воспроизведем доказательство теоремы. Так как
то, применяя теорему Лагранжа, соотношение (4.5) можно записать
в виде
d
=
+
ρ
=
где kNn
0 .
Из выражения (4.9) следует, что
полняются условия теоремы 4.1. Согласованность допускает мини-
мальный уровень локальной точности и является необходимым
условием для сходимости.
Теорема 4.2 [75]. Сходящийся метод из класса (4.4) с необходимостью является согласованным.
Однако согласованность недостаточна для сходимости методов
из класса (4.4), т.е. обратная теорема неверна.
1
′
( )
ρ
( ) ( )( )
1
h
→
k
1
∑
′
( )
1
h
i
ϕ
k
in
0
i
−
ϕ
( ) ( )
[ ]
0
=
( ) ( )( )
+
k
∑∑
oi
==
( ) ( )( )
+
xyxfhxyxyx ,1,...,,,
, 0
h ,
nnnknnf
′
+
nknnf
nknnf
→
d при
+kn
λα
}
,,...,,
hxyxyxh
=−
,
}
]
,,,...,,
hxyxyx
0
nhax
+=
n
1
∈ ,
ihxyihxy
−+
innikn
(4.9)
ihxyihxfihxy
−++⋅+
λλαα
inini
0
h , когда вы-
.
baCxy ,
4.2. НУЛЬ-УСТОЙЧИВОСТЬ
Одним из важных вопросов при численном решении обыкновенных дифференциальных уравнений является проблема устойчивости как самих дифференциальных уравнений, так и численных
методов.
Рассмотрим класс возмущенных задач
где
возмущения, и пусть
если существует положительная постоянная S такая, что для
любого
δδ
,
x – возмущение, а
Определение 4.11 [75]. Пусть
bax,∈ выполняется
,
+=
xz ,
xzxfz
δ
,
xz – возмущенное решение.
*
xz
– возмущенные решения. Тогда,
*
105
δ
+=0yaz ,
δδ
,
x ,
ε
Sxzxz ≤−
, (4.10)
bax,∈ ,
**
,
δδ
x – некоторые
()(
)
(
)
<
≤
−≤≤
(
)
…
(
)
…
(
)
…
(
)
(
)
(
)
(
]
≤
≤
≤
≤
(
)
(
)
(
)
если
*
εδδ
≤− xx
и
*
εδδ
≤−
, задача Коши (4.4) абсолютно
устойчива.
Класс задач, для которых условие (4.10) не выполняется, является неустойчивым.
Очевидно, что если задача Коши не является абсолютно устойчивой, то нет возможности получить приемлемое решение какимлибо разностным методом. Рассмотрим класс возмущенных методов вида (4.4):
где
k
∑
=
i
0
=
δ
n
( )
Nn
,,1,0|
hSz
δ
+=
, kr
0 ,
rrr
+=
hzzxhz
,,,,
…
– возмущение, а
δϕα
,
0 ,
+++
knnknnfini
n
kNn
Nnz
= – воз-
,,1,0|
мущенное решение.
Определение 4.12 [75]. Пусть
∗
δ
n
n
Nn
,,1,0|…=
– некоторые возмущения, и пусть
Nnz
,,1,0|…= и
∗
n
Тогда, если существуют постоянные
,0 hh∈ выполняется
0
*
ε
Szz
≤−
, Nn
nn
0 ,
=
δ
n
Nnz
,,1,0|…=
– возмущенные решения.
h и S такие, что для любого
0
*
εδδ
≤−
, Nn
nn
0 ,
Nn
,,1,0|
то метод (4.4) нуль-устойчив или D-устойчив (устойчив по Далквисту).
Определение 4.13 [75]. Считается, что метод (4.4) удовлетворяет корневому условию, если все корни характеристического
полинома
θρ
лежат внутри единичной окружности или на самой
этой окружности, причем те корни, которые лежат на единичной
окружности, являются простыми.
Следует заметить, что если метод (4.4) согласованный, то полином
θρ
обязательно имеет корень 1
+=
θ
.
1
Определение 4.14 [75]. Метод (4.4) удовлетворяет сильному
корневому условию, если его характеристический полином
θρ
имеет простой корень +1, а все остальные корни лежат строго
внутри единичного круга.
Теорема 4.3 [75]. Метод из класса (4.4) нуль-устойчив тогда и
только тогда, когда он удовлетворяет корневому условию.
,
106
(
)
=
θ
→
−
=
(
)
ɺ
λ
=
ɺ
Сформулируем основную теорему сходимости [75].
Теорема 4.4 [75]. Метод из класса (4.4) сходится тогда и
только тогда, когда он является и согласованным, и нульустойчивым.
Следует отметить, что любой согласованный метод является и
нуль – устойчивым, так как единственным корнем полинома
является 1
Теорема 4.5 [75]. Одношаговый метод из класса (4.4) сходится
тогда и только тогда, когда он является согласованным.
Подводя итоги вышеизложенному, подчеркнем, что согласованность определяет величину погрешности аппроксимации, в то
время как нуль-устойчивость определяет характер развития этой и
других погрешностей в пределе при 0
Методы, не являющиеся сходящимися, нельзя рекомендовать
для практического использования. С другой стороны, не все сходящиеся методы одинаково эффективны для решения обыкновенных
дифференциальных уравнений.
Уравнения движения небесных тел описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями второго порядка. Известно, что решение дифференциального уравнения n-ного порядка
можно свести к решению системы дифференциальных уравнений
первого порядка, тогда вопросы, связанные с устойчивостью методов численного интегрирования обыкновенных дифференциальных
уравнений можно рассматривать на примере исследования решения
системы дифференциальных уравнений первого порядка. В скалярном виде дифференциальное уравнение первого порядка представляется следующим образом:
При изучении вопросов, связанных с устойчивостью численных
методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений,
обычно рассматривается простейшее дифференциальное уравнение
первого порядка вида [75, 98]
где λ – любое вещественное или комплексное число.
Уравнение (4.12) имеет точное аналитическое решение
.
h
,
4.3. УСТОЙЧИВОСТЬ МЕТОДА ЭВЕРХАРТА
txFx ,=
. (4.11)
xx
, (4.12)
t
exλ= . (4.13)
107
abNh
.
θρ
[
]
(
)
(
)
(
)
−
=
…
…
=
n
j
>
=
=
>
>
λ
−
=
−
=
−
=
Решение (4.13) обладает важным свойством. Как показано в работе [98], представление правой части (4.13) в виде частного двух
рациональных полиномов позволяет исследовать области устойчивости как для явных, так и для неявных методов Рунге – Кутты.
Кроме этого, в работах [94, 98] показано, что многие неявные методы Рунге – Кутты имеют родственную связь с квадратурными формулами Гаусса – Радо и Лобатто. Установлено, что размеры областей устойчивости различных методов Рунге – Кутты зависят от
способа разбиения отрезка
xx
на подшаги.
1,+nn
Алгоритм представления любой непрерывной и дифференцируемой нужное число раз функции
номов
xP
и
xQ
m
имеет следующий вид [98]:
n
n
0=
∑
0
c , если 0<j , 10=b , (4.18)
j
r
=
∑
−
0
−−+
bca
jjrr
( )
( )
( )
=
bc
jjsnm
, mr ,,1,0
xf
m
=
∑
=
j
0
n
=
∑
=
j
0
∞
∑
==0j
0 , 1,,1,0
в виде частного двух поли-
j
, (4.14)
xaxP
jm
j
, (4.15)
xbxQ
jn
j
, (4.16)
xcxf
j
ns
, (4.17)
, 0=
b ,
j
. (4.19)
В монографии Лапидуса и Шенфилда [98] приведена таблица
преставления функции
m
3,2,1,0
и 4,3,2,1,0
n
(4.19). Представление экспоненты
x
e
в виде отношения полиномов для
, найденных с помощью формул (4.13) –
x
e
в виде частного двух полино-
мов называется Паде аппроксимацией.
Используя таблицу Паде аппроксимаций, Эверхарт определяет
области устойчивости для неявных методов Рунге – Кутты 3, 4, 5 и
7-го порядков. Он показывает, что неявный метод 4-го порядка с
разбиениями Лобатто является А-устойчивым, в то время как для
методов 3, 5 и 7-го порядков с разбиениями Радо граница области
устойчивости в комплексной плоскости Sh
S ,
84,11Re
S соответственно.
1,19Re
0 равна 6Re
S ,
108
=
=
(
)
=
=
1
(
)
=
=
1
(
)
=
=
(
)
=
=
(
)
=
=
(
)
Расширив таблицу Паде аппроксимаций до 5
но определить области устойчивости как явных, так и неявных методов Рунге – Кутты для более высокого порядка, чем проводилось
прежде.
Для явных методов Рунге – Кутты значение полинома
Области устойчивости для этих методов ограничены. Приведем
значения областей устойчивости для некоторых конкретных неявных методов Рунге–Кутты.
1.
1
4
m
,
0
n
.
1
1
6
2
1
24
432
xxxx ++++
.
m и 6
n , мож-
10=xQ
.
Область устойчивости:
2. 5
m , 0
1
Область устойчивости:
1
Область устойчивости:
1
Область устойчивости:
1
Область устойчивости:
1
2
3. 4
m , 1
4
10
5
4. 5
m , 1
5
6
5. 4
m , 2
2
3
1
n .
n .
1
15
1
x
5
n .
1
12
1
−
n .
1
30
1
+−
30
1
24
++++
1
x
6
++++
2
xx
1
6
3
1
−
1
3
1
5
1
3
432
120
1
72
1
360
0Re78529,2 <<− x .
1
5
xxxxx +++++
120
1
xxxx
.
0Re21704,3 <<− x
432
xxxx
.
0Re43787,5 <<− x .
1
5432
xxxxx
+++++
720
432
.
.
0Re65037.5 <<− x .
0Re6485,9 <<− x .
109
=
=
(
)
=
=
(
)
=
=
(
)
=
=
(
)
=
=
(
)
=
=
(
)
6. 5
m , 2
5
1
7
5
21
n .
1
1
21
2
7
1
+−
42
Область устойчивости:
7.
4
1
7
1
4
m
,
3
n
.
14
2
++++
105
1
1
−+−
210
1
7
3
7
Область устойчивости:
8.
5
1
8
5
m
,
3
n
.
5
28
1
5
168
3
3
56
8
Область устойчивости:
9.
1
1
2
1
1
2
4
m
,
4
n
.
84
1
84
1
++++
+−+−
3
28
3
28
Область устойчивости:
10.
5
1
9
5
m
,
4
n
.
12
5
252
1
126
5
36
4
1
9
Область устойчивости:
11.
5
m
,
0
n
.
1
1
1
1
6
2
1
24
Область устойчивости:
1
168
xx
1
840
32
xxx
336
−+−
336
1680
1680
3024
1
2
1
1
1
xxxx
1
5
120
432
xxxx
xxxx
+−+−
1
+++++
.
+++++
32
xxx
432
.
432
0Re <x
3024
xxxxx −+−+−
0Re <x .
1
2520
6720
.
+++++
15120
1
.
5432
5432
xxxxx
.
0Re08703,9 <<− x
.
0Re1569,19 <<− x
.
1
5432
xxxxx
.
0Re7297,14 <<− x
.
1
5432
xxxxx
.
432
xxxx
0Re8419,27 <<− x
.
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]