Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Численные методы в задачах математического моделирования движения небесных тел в Солнечной системе. Монография
.pdf
плотности материального тела, т.е. для всякого материального тела
3
34343
3
существует предельная плотность, для которой можно рассчитать
вытесняемый этим телом объем. Для сферически симметричных тел
этот объем можно вычислить по формуле
4
где
r
назовем эффективным радиусом материального тела, кото-
0
3
rVπ= ,
00
рый равен радиусу этого тела, сжатого до предельной плотности.
На произвольном расстоянии r от центра материального тела
пространство будет сжиматься на величину объема, равного
4
3
3
=− , (1.5)
1
3
rrr
πππ
0
или, сокращая соотношение (1.5) на постоянный множитель
получим
где
r – неизвестное расстояние, подлежащее определению.
1
3
rrr =− , (1.6)
0
1
3
3
Из соотношений (1.5) и (1.6) следует, что величина объема, заключенного между сферическими радиусами r и
материального тела с эффективным радиусом
Из выражения (1.6) найдем
r по формуле
1
3
3
1
3
rrr −= . (1.7)
0
r , равна объему
1
r .
0
Из соотношения (1.6) находим величину сжатия на произвольном расстоянии r:
3
r
rr
=−
1
0
. (1.8)
2
2
rrrr
++
11
Из соотношения (1.8) следует, что величина сжатия пространства на расстоянии r от центра материального тела при
r
ратно пропорциональна квадрату этого расстояния.
С учетом (1.6) выражение (1.7) запишем в виде
3
r
rr
=−
1`
3
0
3
32
0
3
3
( )
. (1.9)
2
3
rrrrrr
−+−+
0
01=
4
π
об-
,
21
На поверхности материального тела
r
(
)
2
r
r
(
)
=
dt
rtdt
2
3
01=r
, поэтому радиус-
вектор изменяется согласно формуле (1.8):
3
r
0
r = . (1.10)
2
Из формулы (1.10) следует, что изменение радиус-вектора происходит неравномерно, обратно пропорционально квадрату этого
расстояния, т. е.
3
r
0
= . (1.11)
2
2
tra
Если разбить величину радиус-вектора r на участки таким образом, что сжатие пространства для каждого из участков будет происходить за одинаковое время, то с учетом (1.11) полагаем
где
µ
Определим теперь
0
r . Для нахождения 0T используем соотношение
rar=
.
0020
T – время сжатия пространства от 0rr = до
0
( )
raµ= , (1.12)
2
dr
( )
. (1.13)
tra
=
Представим выражение (1.13) в виде
dr ⋅
µ
. (1.14)
=
2
Разделяя переменные, уравнение (1.14) запишем в виде
2
. (1.15)
tdtdrr ⋅=
µ
Интегрируя уравнение (1.15)
r T
0 0
2
=
∫ ∫
0 0
µ
, (1.16)
tdtdrr
получим
2
Tr
µ
0
(1.17)
=
2
.
3
r
2
0
. (1.18)
µ
3
Выразив
T
из (1.17), находим
0
3
0
T =
0
22
Полагая, что время сжатия пространства от
=
(
)
r
∆
=
r
произвольного расстояния от центра материального тела r до
rr =
до 0
0
r и от
rr =
1
одинаковым, из выражения (1.9) получим
3
r
3
0
3
3
32
0
3
( )
=
2
3
rrrrrr
−+−+
0
2
Tra
0
(1.19)
.
2
Из выражений (1.18) и (1.19) находим
3
)(
ra
=
3
µ
3
32
0
3
3
( )
. (1.20)
2
3
rrrrrr
−+−+
0
Таким образом, получено соотношение для нахождения ускорения на произвольном расстоянии от сферически симметричного с
равномерно распределенной плотностью материального тела. Сле-
дует отметить, что при
0
→r
, а также для
0
rr >>
,
( )
raµ≈
0
, т.е.
2
ускорение обратно пропорционально квадрату расстояния от центра
материального тела. В общем случае, как следует из формулы
(1.20), величина ускорения не является обратно пропорциональной
квадрату расстояния от центра материального тела.
Дифференциальные уравнения движения в классической ньютоновой задаче n тел в прямоугольных координатах с началом в
центре масс всей системы n материальных точек представлено в
виде (1.1).
Для получения дифференциальных уравнений движения, основанного на новом принципе взаимодействия в барицентрической
системе координат, достаточно умножить ускорение возмущаемого
тела на направляющие косинусы данного ускорения.
С учетом (1.20), полагая
, дифференциальные уравнения
движения возмущаемого тела в барицентрической системе координат примут следующий вид [40, 47]:
2
Xd
dt
2
Yd
2
dt
2
Zd
2
dt
=
∑
2
i
i
=
∑
i
∆
i
=
∑
i
∆
−
i
∆
i
−
i
−
i
3
( ) ( )
3
32
3
( ) ( )
32
3
( )
23
2
raXX
3
ii
00
3
3
3
3
3
( )
3
−∆+−∆∆+∆
−∆+−∆∆+∆
rr
−∆+−∆∆+∆
3
32
0
2
raYY
ii
00
3
0
2
raZZ
3
ii
00
3
0
,
2
3
rr
iiiiii
0
(1.21)
,
2
3
iiiiii
0
,
2
3
rr
jjiiii
0
где
X, Y, Z
нии
– эффективный радиус i-того тела;
ir0
– соответствующее ускорение для i-того тела на расстоя-
ia0
от центра массы;
ir0
– барицентрические координаты возмущаемого тела;
X , iY , iZ – барицентрические координаты возмущающих тел.
i
Сопоставим дифференциальные уравнения движения (1.1) и
(1.21). Эти уравнения имеют как общие свойства, так и существенные
различия. Как следует из уравнений (1.21), закон изменения ускорения
отличен от закона обратной пропорциональности квадрату расстояния
от произвольной точки до центра материального тела. Однако вследствие того, что размеры материальных тел существенно меньше расстояний между телами, для большинства материальных тел отклонения ускорений от закона обратной пропорциональности квадрату расстояний между ними оказывается незначительным.
Наиболее существенные различия дифференциальных уравнений (1.1) и (1.21) заключаются в предпосылках, на основе которых
эти уравнения получены. В основе вывода уравнений (1.1) лежит
закон всемирного тяготения и три аксиомы движения. Вывод уравнений (1.21) основан на более простых и естественных предположениях. В основе вывода уравнений (1.21) лежит принцип сжатия
окружающего пространства относительно движущегося материального тела.
Сравним константы, входящие в уравнения (1.1) и (1.21). По-
2/3
a
2
стоянными в уравнениях (1.1) являются
2
постоянная Гаусса; m – масса Земли и Луны;
mk
, где
i
m – массы возмуща-
i
π
k
–
mT
+=1
ющих тел; T – продолжительность сидерического года в средних
солнечных сутках. Постоянными в уравнениях (1.21) являются
2
ra , где ir
00 ii
– радиусы возмущающих тел;
0
– ускорения на по-
ia0
верхности каждого возмущающего тела.
Таким образом, для нахождения констант, входящих в уравнение (1.1), требуется определить 5 величин для каждого уравнения,
значения которых не могут быть найдены путем прямых измерений.
В то время как для нахождения констант, входящих в уравнения
(1.21),
сы возмущающих тел;
для каждого тела требуется найти две величины:
– ускорения на поверхности каждого
ia0
– радиу-
ir0
возмущающего тела, значения которых могут быть найдены путем
24
прямых измерений. Следует отметить, что размерности постоянных, входящих в уравнения (1.1) и (1.21), совпадают. В системе
СГС
2
mk
и
i
2
ra имеют размерность
00 ii
23
сексм , т.е. изменение
объема в единицу времени является постоянной величиной. Как раз
этот принцип лежит в основе при выводе уравнений (1.21). Если эту
гипотезу взять в качестве основной, возникает вопрос: какие из основных принципов ньютоновой небесной механики необходимо
сохранить, а какие отвергнуть? Рассматриваемая модель движения
небесных тел не нуждается в законе всемирного тяготения и трех
законах движения. Излишними оказываются четыре определения,
связанные с понятиями массы, количества движения и силы.
Понятия времени, пространства и движения, сформулированные в пунктах I-IV, остаются в силе при практическом использовании новой модели, описывающей движение небесных тел. Следует
пояснить необходимость использования данных определений.
Рассуждая о принципах классической механики, А. Пуанкаре
задает вопрос: является ли механика наукой экспериментальной или
наукой более или менее дедуктивной и априорной? Отвечая на него,
А. Пуанкаре пишет: «Трудность решения этих естественно возникающих вопросов происходит главным образом оттого, что руководства по механике не вполне ясно различают, где опыт, где математическое суждение, где условное соглашение, где гипотеза» [68].
Дифференциальные уравнения (1.1), (1.21) описывают движение материальных тел в барицентрической системе координат.
Уравнения (1.1) – обычные дифференциальные уравнения движения
в ньютоновой форме. Вывод дифференциальных уравнений (1.21)
основан на новом принципе взаимодействия материальных тел, в
которых материальные тела имеют определенные размеры, отсутствует явно понятие массы и силы. Понятие ускорения определяется через закон изменения величины радиус-вектора при сжатии
пространства в процессе движения материального тела. При
00→
r
i
т.е. при замене материальных тел конечных размеров материальными телами с бесконечно малыми линейными размерами, уравнения
(1.21) по форме обращаются в уравнения (1.1).
Дифференциальные уравнения (1.21) имеют более сложный вид
по сравнению с уравнениями (1.1). Однако они значительно проще
дифференциальных уравнений движения, учитывающих релятивистские эффекты [16, 102].
Под эффективным радиусом материального тела будем понимать
такой радиус сферы, которому соответствует сжатие пространства на
25
,
величину фактического объема. Из физических соображений ясно, что
3
34343
3
тела различной плотности и одинакового размера не могут иметь равные эффективные радиусы. Их значения можно определить путем согласования решения уравнений (1.21) с наблюдениями.
Следует отметить, что система дифференциальных уравнений
(1.21) не содержит явно масс тел и силовых взаимодействий. Дифференциальные уравнения (1.21) сохраняют принцип дальнодействия, так как в уравнениях (1.21) отсутствуют силовые взаимодействия между телами и процесс сжатия пространства относительно
всех материальных тел происходит одновременно.
Вследствие того, что уравнения (1.21) справедливы для материальных тел, имеющих определенные конечные размеры, то в процессе движения взаимные расстояния между ними не могут обратиться в нуль. Следовательно, для материальных тел конечных размеров уравнения (1.21) не являются сингулярными.
1.2. ВЛИЯНИЕ ФИГУРЫ ЗЕМЛИ НА ДВИЖЕНИЕ ЛУНЫ
Ранее нами был рассмотрен вывод дифференциальных уравнений движения (1.21) для сферически симметричных тел. Аналогичную идею можно распространить при выводе дифференциальных
уравнений на тела, имеющие произвольную форму. При выводе
дифференциальных уравнений материального тела необходимо
знать его объем. Для тел, имеющих форму эллипсоида вращения,
этот объем можно вычислить по формуле
4
baVπ= ,
0200
где
a
и
b
– большая и малая полуоси эллипсоида.
0
0
Предполагается, что на произвольном расстоянии r от центра
материального тела пространство будет сжиматься на величину
объема, равного
4
или, сокращая соотношение (1.22) на постоянный множитель
2
=− (1.22)
bababa
πππ
020121
4
π
,
получим
где
a и 1b – неизвестные большая и малая полуоси эллипсоида,
1
2
bababa =− , (1.23)
020121
подлежащие определению. При этом считаем, что эллипсоиды с
26
полуосями
a
,
x
,
y
L
B
B
sin
cos
B
B
sin
cos
α
α
+
a
,
b
и
a
,
b
0
0
вложены в эллипсоид с полуосями a, b .
1
1
Полагаем
b
b
1
α
=
;
=
a
1
b
0
;
α
1
a
. (1.24)
α
=
0
0
Принимая во внимание выражение (1.24), соотношение (1.23)
можно записать в виде
3
ααα
aaa =− . (1.25)
030131
Выразим большую полуось a через расстояние r, где r – расстояние от центра возмущающей планеты до произвольной точки,
лежащей на поверхности эллипсоида. Координаты конца радиусвектора r –
z – определяются по формулам [22]:
=
=
( )
=
22
,coscos
LBNx
,sincos
LBNy
(1.26)
,sin
BNabz
где B – геодезическая широта,
– геодезическая долгота,
2
N
= .
a
2222
BbBa
sincos +
По формулам (1.26) определим величину радиус-вектора r:
242
BB
sincos
+
22
ar
= . (1.27)
α
222
α
+
Из (1.26) найдем зависимость расстояния от малой полуоси эллипса:
242
BB
sincos
α
22
br
= . (1.28)
+
2422
Из выражений (1.27) и (1.28) найдем ba2 по формуле
222
32
rba
=
Аналогично определяем
3
rba
=
0020
3
rba
= . (1.31)
1121
α
+
α
+
2
+
α
2
α
+
2
+
α
2
α
+
BB
sincos
242
BB
sincos
ba
и
ba
020
2
sincos
0
4
sincos
0
2
2
sincos
1
4
2
sincos
1
2
2
27
121
BB
0
BB
0
2
BB
1
2
BB
1
+
+
:
2
2
+
2
2
+
2
+
2
+
2422
αα
αα
BB
sincos
sincos
αα
0
αα
0
4
αα
1
4
αα
1
2422
BB
4
sincos
4
sincos
2
sincos
2
sincos
. (1.29)
2
BB
, (1.30)
2
BB
BB
BB
Полагая, что концентрические эллипсоиды с полуосями
a
b
,
и a , b подобны, получим:
1
1
ααα
==
. (1.32)
10
a ,
0
b
;
0
Из равенства (1.32) следует, что соотношение (1.25) имеет в вид
Из выражения (1.33) найдем
3
1
r по формуле
1
3
3
1
rrr =− . (1.33)
0
3
rrr −=
. (1.34)
0
3
3
Из соотношения (1.34) находим величину сжатия на произвольном расстоянии r:
3
r
rr
=−
1
0
. (1.35)
2
2
++
rrrr
11
Из выражения (1.35) следует, что величина сжатия пространства на расстоянии r от центра материального тела при
0
=r
об-
1
ратно пропорциональна квадрату этого расстояния.
С учетом (1.34) выражение (1.35) запишем в виде
3
r
rr
=−
1`
3
0
3
32
0
3
3
( )
. (1.36)
2
3
rrrrrr
−+−+
0
Таким образом, формула (1.36) представляет собой закон сжатия пространства на величину
rr −
при перемещении материально-
1
го тела, имеющего форму эллипсоида вращения. Данная формула
имеет одинаковый вид с формулой, определяющей сжатие пространства, если материальное тело имеет форму сфероида. Это
свойство позволяет упростить оценку влияния несферичности материального тела на сжатие пространства на произвольном расстоянии от данного тела.
Следует напомнить, что в формулах (1.21) значения радиусов взаимодействующих тел сжимаются на величину, которая соответствует
предельной плотности взаимодействующих тел. Радиусы Солнца и
внешних планет при этом уменьшаются в 2,3 раза, а радиусы внутренних планет – в 2 раза. После сжатия небесные тела могут принять произвольную форму. Предположим, что Земля, имеющая форму эллипсоида вращения, после сжатия примет сферическую форму или форму
эллипсоида вращения, подобную эллипсоиду Земли. Проведенные исследования, о которых речь пойдет далее, показали, что в этом случае
уравнения (1.21) будут также применимы для исследования движения
Луны на интервале времени с 1600 по 2200 гг.
28
r
r
ГЛАВА 2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
Движения планет, спутников и малых тел в Солнечной системе
наблюдаются нами как относительные движения: мы относим их к
произвольной инерциальной системе координат. Начальные данные
дифференциальных уравнений движения небесных тел на фиксированные моменты времени приводятся в виде координат, скоростей
или в форме элементов орбит исследуемых тел. Координаты, скорости и элементы орбит вычисляются на основе решения задачи двух
тел путем решения ньютоновых дифференциальных уравнений.
Дифференциальные уравнения движения, полученные на основе
нового принципа взаимодействия [40, 47], отличаются от ньютоновых уравнений, поэтому начальные данные при решении задачи
Коши подлежат коррекции.
Рассмотрим сначала абсолютное движение двух тел относительно произвольной инерциальной системы координат. Пусть первым телом является Солнце S, а вторым – материальное тело P.
Дифференциальные уравнения движения S и P, основанные на
новом принципе взаимодействия, запишутся в виде
2
ra
3
11
3
2
00
3
( )
3
( )
−+−+
rrrrrr
1
3
3
−+−+
rrrrrr
0
3
1
ra
3
3
0
r
, (2.1)
2
3
r
r
−
, (2.2)
2
r
где
2
d
ρ
0
=
2
dt
2
d
ρ
=
2
dt
ρ
и ρ – радиусы-векторы тел S и P,
0
a
,
a
,
r
,
r
0
1
– ускорения и эффективные радиусы тел S и P,
0
1
32
3
32
3
– взаимные расстояния между телами S и P,
r
– направляющие косинусы.
29
x
z
Вычитая из уравнения (2.2) уравнение (2.1), получим уравнение, определяющее движение тела P относительно S.
2
rd
−=
2
dt
+
3
32
3
3
3
32
0
3
1
2
ra
00
3
2
ra
11
3
3
( )
3
( )
rrrrrr
−+−+
+
2
3
3
rrrrrr
−+−+
1
2
3
0
(2.3)
r
.
r
Обозначим декартовы координаты точки P через
, y,
гда проекции ускорения на оси координат будут следующие:
dt
dt
2
xd
−=
2
2
yd
−=
2
32
3
32
3
2
3
ra
11
3
1
3
3
( )
+
3
2
3
ra
11
3
1
3
3
( )
+
2
3
−+−+
rrrrrr
1
2
3
ra
00
+
3
3
( )
3
32
0
2
3
−+−+
rrrrrr
1
x
2
3
r
−+−+
rrrrrr
0
+
32
3
dt
2
zd
−=
2
32
3
2
3
ra
11
3
1
3
3
( )
−+−+
rrrrrr
+
32
3
2
3
ra
00
3
2
ra
00
3
3
( )
3
( )
3
0
+
2
3
1
3
3
0
y
2
3
r
−+−+
rrrrrr
0
z
2
3
r
−+−+
rrrrrr
0
,
,
,
, то-
(2.4)
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]