Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Численные методы в задачах математического моделирования движения небесных тел в Солнечной системе. Монография
.pdf
=
Что касается шага h, то он выбирается заранее.
В результате описанного процесса получим начальную таблицу
интегрирования в виде табл. 3.5.
Таблица 3.5
20−
f ,
1
−
f
1
−
Таблица интегрирования
f
,
f
,
5−
2
f
4−
3−
,
f
f
,
f
,
f
f
,
f
,
f
,
f
2−
1−
0
1
2
3
4
5
3.5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ С УЧЕТОМ
ДЕСЯТЫХ РАЗНОСТЕЙ
Рассмотрим методику интегрирования уравнений движения
небесной механики по методу Коуэлла с учетом разностей десятого
порядка. Основной формулой для интегрирования является (3.25).
Таким образом, чтобы вычислить значения
кроме
2−
f и
k
1
−
f значения правой части уравнения для одиннадцати
1
−k
2
моментов, расположенных симметрично относительно
Поэтому, принимая условно 0
k , получаем таблицу интегри-
x
, необходимо знать
k
t .
k
рования в виде табл. 3.6.
Таблица 3.6
Таблица интегрирования
1
−
20−
f
,
f
,
f
,
f
,
1
5−
−
2
f
4−
,
f
,
f
f
,
f
,
f
,
f
,
f
,
f
3−
2−
1−
0
1
2
3
4
5
Величины, стоящие в сплошной рамке табл. 3.6, являются точными, величина
ми, а значения
вое – для учета
четвертое – для учета
f уточняется последовательными приближения-
0
f , 2f , 3f , 4f и 5f вычисляются приближенно: пер-
1
2
f , второе – для учета
0
8
f , а пятое – для учета
0
4
f , третье – для учета
0
10
f .
0
f ,
0
6
Таблица интегрирования получается путем смещения на одну
строку значений начальной таблицы интегрирования, т.е. индексы в
таблице интегрирования увеличиваются на единицу.
Таким образом, при интегрировании по формуле (3.25) требуется «заглядывать» вперед на пять шагов. Значения
и
x получаем на основании формулы (3.25):
5
x , 1x ,
0
x
2
,
x , 4x
3
71
−
00
17893829
108799709
−
01
1998587
3433391539
3459456000
978321
774918144
−
02
12540301
328749529
164736000
116504251
−
03
119609261
6803477
2
( ) ( )
05811886080
( )
01245404160
−
1
2
1
−
2
( ) ( )
0002615348736
36870059
92427157
++−
−
943488000
6803477
0002615348736
528919
4358914560
01937295360
109551893
1132185600
43103107
002615348736
1
2
29543743
0002615348736
−
2
2
1
−
42871057
01937295360
02179457280
497008231
498161664
167692751
01937295360
106049897
−
1
2
3
1
−
2
002615348736
0002615348736
136989533
002615348736
38229517
2490808320
−
73136947637
01037836800
10438199
02179457280
,
fff
011
6803477
10377427
171689929
29543743
+−+
6635693
47937079
184329877
1981324800
106049897
−+−
+−+=
fffx
−
5
159926447
05811886080
−+++−=
fffffx
−−
4455
002615348736
−+++−
ffff
−−
2233
−+−+=
ffffx
−−
45
002615348736
+++−
fff
−−−
123
01245404160
+−++
fff
210
02179457280
,
fff
543
0002615348736
ffffx
−−
45
05230697470
−−++=
01245404160
++−−
fff
−−−
123
−+++
fff
210
fff
0002615348736
,
543
−+−+
fff
−−−
234
02179457280
92462015461
+++−
fff
101
01245404160
72
−++=
fffx
−
5
01162377216
91347282938
+−+=
fffx
−
5
01937295360
91060596389
197906591
753141709
1797694357
6130492139
+−++
fff
432
05230697472
+−+−
fff
−−−
234
02179457280
73876620466
01245404160
++++
fff
101
−+++
fff
02377589760
432
(3.36)
−+−+
fff
−−−
234
02179457280
13908362395
fff
01245404160
092963966201
002615348736
+++−
101
++++
fff
432
456196373
32203574732
5283532800
02179457280
510378643
+
572021497
−
2
4
04
−
0002615348736
−
1
1
2
,
f
5
510378643
130075191
0002615348736
002615348736
893410123
−
3459456000
,
f
5
4281164477
1786550083
32021112707
01937295360
0002615348736
8336345863
4358914560
4281164477
−
−
2
05
4760318789
01245404160
0002615348736
−
1
5
1
−
2
002615348736
7157910869
−
01245404160
2880245237
494208000
97961406047
+
02179457280
31369577909
002377589760
6457651200
.
f
5
Процесс вычисления по формулам (3.36) производится следующим образом. Сначала по формулам (3.32) вычисляем
20−
f и
1
−
f .
1
−
2
Затем на основании значений таблицы интегрирования и формул
(3.36) вычисляется
уравнения (3.4). В результате получим более точное значение
x
, которое затем подставляется в правую часть
5
f
5
которое засылаем в таблицу интегрирования, образуя предварительно разность между полученным и предыдущим значением
После этого вновь перевычисляем
правую часть уравнения. Перевычисление
x
и вновь подставляем его в
5
f
продолжается до тех
5
f
.
5
,
73
()(
)
dx
[
]
()(
)
пор, пока разность между последующим и предыдущим значениями
f
не будет меньше заданной относительной точности ε, т. е.
5
55
ii
Далее переходим к уточнению
бом, как указано выше для
для уточнения
f , 2f , 1f и 0f .
3
Когда уточнили значения
f . Затем ту же процедуру повторяем
5
f , 4f , 3f , 2f , 1f и 0f , то процесс по-
5
следовательных приближений вычисления
fff
ε
<−
.
1
−
5
f совершенно таким же спосо-
4
f можно считать закон-
0
ченным, и, следовательно, интегрирование продвинулось вперед на
один шаг. Далее нужно таблицу интегрирования сдвинуть на одну
строку, т.е. индексы в таблице интегрирования увеличить на единицу,
и вновь повторить описанный процесс для следующего шага и т.д.
3.6. МЕТОДЫ АДАМСА – БЭШФОРТА
И АДАМСА – МУЛТОНА
3.6.1. ЯВНЫЙ МЕТОД АДАМСА – БЭШФОРТА
Методы Адамса относятся к универсальным численным методам для решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
Широкое применение методов Адамса связано с решением задач
небесной механики. При создании численных теорий движения
больших планет, Луны и Солнца – DE102, DE403, DE405 для решения дифференциальных уравнений движения использовался метод
Адамса с переменным шагом и переменным порядком.
Дальнейшее изложение методов Адамса будем проводить для
простоты на примере решения дифференциальных уравнений первого порядка.
Рассмотрим задачу Коши в виде дифференциального уравнения
dy
( )
yxf
,= ,
bax
,∈
(3.37)
с начальным условием
yayxy
==
. (3.38)
00
При решении задачи (3.37), (3.38) с помощью одношаговых методов значения
мации в предыдущей точке
y на каждой итерации зависят только от инфор-
1+n
x . Идея многошаговых методов осно-
n
74
…
−
=
…
…
=
(
)
(
)
h
вана на предположении, что можно добиться большей точности,
если использовать информацию в нескольких предыдущих точках
x
,
n
x ,
n
,
x
.
1−
n
k
−
Общая форма записи многошаговых методов имеет следующий вид
k
∑ ∑
= =
i
0 0
k
i
( )
βα
yxfhy
,
,
+++
ininiini
0≠
α
. (3.39)
k
=
Разность между наибольшим и наименьшим значениями индекса неизвестной функции
y , входящей в уравнение (3.39), равна k .
n
Поэтому соотношение (3.39) является разностным уравнением k того порядка, общее решение которого зависит от k параметров.
Чтобы выделить единственное решение этого уравнения, необходимо задать k дополнительных условий на функцию
дополнительными условиями являются значения функции
1,,1,0
kn
, которые предполагаются известными. Используя
эти значения, можно найти
kn ,,2,1
, найти
y и т. д. Коэффициенты
k
y , затем, используя значения ny при
k
α
1+
и
i
y . Этими
n
y при
n
β
выбираются
i
таким образом, чтобы разностное уравнение (3.39) аппроксимировало дифференциальное уравнение (3.37) с достаточно гладкой правой частью с некоторым порядком s. После подстановки точного
решения
xy дифференциального уравнения (3.37) в разностное
уравнение (3.39), получаем
где невязка
k
( ) ( )
∑ ∑
= =
i
0 0
ρ
является величиной
kn
+
k
′
−
i
=
xyhxy
ρβα
, (3.40)
+++
kniniini
1+s
hO . Число S называется
порядком аппроксимации или степенью разностного уравнения
(3.39). Величина
ρ
r
+
knkn+
=
(3.41)
называется погрешностью аппроксимации дифференциального
уравнения (3.37) разностным уравнением (3.39).
Широко распространены конечно-разностные формулы, в которых коэффициенты k заданы следующим образом:
α
k
1=
, 1
α
1−=−
k
, 0...
−−
kk
====
ααα
032
. (3.42)
Для соответствующих методов характеристическое уравнение
0
1=−+ nn
zz
75
+=+
(
)
()(
)
имеет единственный корень
11=z
, который является главным и ле-
жит на окружности единичного радиуса, а остальные посторонние
корни равны нулю. Следовательно, разностные методы (3.39) с коэффициентами (3.42) являются сильно устойчивыми. При этом выражение (3.39) будет иметь вид
k
Обозначим 1
=−
∑
mkn , тогда
k
=−
β
∑
=
j
0
( )
β
=
i
0
( )
yxfhyy
,
.
.
yxfhyy
,
−+−+−+
jmjmjkmm
111
Перейдем от m и j соответственно к n и i. Также введем обозначение
β
. После этого получим
iikA=−
k
=
i
0
( )
=−
∑
yxfAhyy
, . (3.43)
−+−++
inininn
111
Соотношение (3.43) является общей формулой записи многошаговых методов Адамса. Если неизвестное значение
y не вхо-
1
+n
дит в правую часть, то выражение (3.43) записывается в виде
k
=
i
0
( )
yxfBhyy
, . (3.44)
−−+
inininn
=−
1
∑
Выражение (3.44) называется явной или экстраполяционной
формулой Адамса, записанной в ординатной форме, а соответствующий ей многошаговый метод численного интегрирования называется методом Адамса – Бэшфорта.
Коэффициенты
3.6.2. НЕЯВНЫЙ МЕТОД АДАМСА – МУЛТОНА
B в формуле (3.44) определяются из выражения
i
=
B
i
( )
1
i
−
1
∫
−
!!
iki
−
i
++
...1
kttt
. (3.45)
+
dt
it
Вернемся к рассмотрению соотношения (3.44), которое является общей формулой записи многошаговых методов Адамса. Заменяя
в формуле (3.43) обозначение коэффициентов
k
=−
∑
Если неизвестное значение
i
=
( )
0
y
содержится в правой части, то
1+n
A
на
M
i
yxfMhyy
,
. (3.46)
inininn
−+−++
111
, получим
i
выражение (3.46) называется неявной или интерполяционной формулой Адамса, записанной в ординатной форме, а соответствующий
76
(
)
()()(
)
(
)
(
)
ей многошаговый метод численного интегрирования называется
методом Адамса – Мултона.
Коэффициенты
M
неявной формулы (3.46) определяются из
i
выражения
1
i
−
M
i
Коэффициенты
1
=
( )
−
!!
iki
M
– вполне определенные числа, не зависящие
i
ни от шага h , ни от узлов
∫
−
i
x . Запишем формулы многошаговых
n
−+
it
−++−
1...11
ktttt
. (3.47)
dt
1
методов Адамса – Бэшфорта (3.45) и Адамса – Мултона (3.47) в ординатной форме соответственно в виде (3.48) и (3.49), изменив
нижний предел суммирования таким образом, чтобы число k соответствовало порядку метода:
k
1
При этом коэффициенты
M
=
B
i
=
i
( )
+=
k
+=
∑
=
i
0
B и iM примут следующий вид
i
i
−
1
( )
!!
1
i
−
1
∫
!!
0
∑
=
i
1
∫
0
0
1
+−
1
−+−
itiki
( )
yxfBhyy
, , (3.48)
−−+
inininn
( )
yxfMhyy
, . (3.49)
−+−++
inininn
111
−
1
k
itiki
∏
1
( )
=
0
l
−
1
k
( )
∏
=
0
l
, (3.50)
+
dtlt
. (3.51)
−+
1
dtlt
В табл. 3.7 приведены значения коэффициентов для методов
Адамса до шестнадцатого порядка включительно, вычисленные по
формулам (3.50) и (3.51). В первой строке указан номер порядка
метода; во второй – значения общего делителя
∗
C для соответ-
k
ствующего порядка k ; в последующих строках – пары коэффициентов
∗
B (левый столбец) и
ki
∗
M (правый столбец) для методов
ki
Адамса – Бэшфорта и Адамса – Мултона соответственно. Тогда, с
учетом данных табл. 3.3, коэффициенты
метода Адамса – Бэшфорта k-того порядка и коэффициенты
∗
B в выражении (3.50) для
ki
∗
M
ki
для метода Адамса – Мултона k-того порядка (3.51) могут быть
найдены из следующих простых соотношений:
∗
B
ki
=
B ,
i
∗
C
k
M . (3.52)
∗
M
ki
=
i
∗
C
k
77
Таблица 3.7
Коэффициенты методов Адамса – Бэшфорта и Адамса – Мултона
k
*
C
k
i
2 3 4 5 6 7
2 12 24 720 1440 60 480
*
B
ki
*
M
ki
*
B
ki
*
M
ki
*
B
ki
M
*
ki
*
B
ki
M
*
ki
*
B
ki
M
*
ki
*
B
ki
M
*
ki
1 3 1 23 5 55 9 1901 251 4277 475 198 721 19087
2 −1 1 −16 8 −59 19 −2 774 646 −7 923 1 427 −447 288 65 112
3 5 −1 37 −5 2 616 −264 9 982 −798 705 549 −46 461
4 −9 1 −1 274 106 −7 298 482 −688 256 37 504
5 251 −19 2 877 −173 407 139 −20 211
78
6 −475 27 −134 472 6 312
7 19 087 −863
k
*
C
k
i
*
B
ki
8 9 10
120 960 3 628 800 7 257 600
M
*
ki
*
B
ki
M
*
ki
*
B
ki
M
*
ki
1 434 241 36 799 14 097 247 1 070 017 30 277 247 2 082 753
2 −1 152 169 139 849 −43 125 206 4 467 094 −104 995 189 9 449 717
3 2 183 877 −121 797 95 476 786 −4 604 594 265 932 680 −11 271 304
4 −2 664 477 123 133 −139 855 262 5 595 358 −454 661 776 16 002 320
5 2 102 243 −88 547 137 968 480 −5 033 120 538 363 838 −17 283 646
6 −1 041 723 41 499 −91 172 642 3 146 338 −444 772 162 13 510 082
k
*
C
k
i
*
B
ki
8 9 10
120 960 3 628 800 7 257 600
M
*
ki
*
B
ki
M
*
ki
Продолжение табл. 3.7
*
B
ki
M
*
ki
7 295 767 −11 351 38 833 486 −1 291 214 252 618 224 −7 394 032
8 −36 799 1 375 −9 664 106 312 874 −94 307 320 2 687 864
9 1 070 017 −33 953 20 884 811 −583 435
10 −2 082 753 57 281
k
*
C
79
k
i
*
B
ki
11 12
479 001 600 958 003 200
M
*
ki
*
B
ki
M
*
ki
1 2 132 509 567 134 211 265 4 527 766 399 262 747 265
2 −8 271 795 124 656 185 652 −19 433 810 163 1 374 799 219
3 23 591 063 805 −890 175 549 61 633 227 185 −2 092 490 673
4 −46 113 029 016 1 446 205 080 −135 579 356 757 3 828 828 885
5 63 716 378 958 −1 823 311 566 214 139 355 366 −5 519 460 582
6 −63 176 201 472 1 710 774 528 −247 741 639 374 6 043 521 486
7 44 857 168 434 −1 170 597 042 211 103 573 298 −4 963 166 514
8 −22 329 634 920 567 450 984 −131 365 867 290 3 007 739 418
9 7 417 904 451 −184 776 195 58 189 107 627 −1 305 971 115
10 −1 479 574 348 36 284 876 −17 410 248 271 384 709 327
k
*
C
k
i
*
B
ki
11 12
479 001 600 958 003 200
M
*
ki
*
B
ki
Продолжение табл. 3.7
*
M
ki
11 134 211 265 −3 250 433 3 158 642 445 −68 928 781
12 −262 747 265 5 675 265
k
*
C
k
i
80
1 13 064 406523 627 703 604 254 357 27 511 554 976 875 1 382 741 929 621
2 −61 497 552 797 274 3 917 551 216 986 −140 970 750 679 621 8 153 167 962 181
2 615 348 736 000 5 230 697 472 000
*
B
ki
13 14
*
M
ki
*
B
ki
M
*
ki
3 214 696 591 002 612 −6 616 420 957 428 537 247 052 515 662 −15 141 235 084 110
4 −524 924 579 905 150 13 465 774 256 510 −1 445 313 351 681 906 33 928 990 133 618
5 932 884 546 055 895 −21 847 538 039 895 2 854 429 571 790 805 −61 188 680 131 285
6 −1 233 589 244 941 764 27 345 870 698 436 −4 246 767 353 305 755 86 180 228 689 563
7 1 226 443 086 129 408 −26 204 344 465 152 4 825 671 323 488 452 −94 393 338 653 892
8 −915 883 387 152 444 19 058 185 652 796 −4 204 551 925 534 524 80 101 021 029 180
9 507 140 369 728 425 −10 344 711 794 985 2 793 869 602 879 077 −52 177 910 882 661
10 −202 322 913 738 370 4 063 327 863 170 −1 393 306 307 155 755 25 620 259 777 835
11 55 060 974 662 412 −1 092 096 992 268 505 586 141 196 430 −9 181 635 605 134
12 −9 160 551 085 734 179 842 822 566 −126 174 972 681 906 2 268 078 814 386
13 703 604 254 357 −13 695 779 093 19 382 853 593 787 −345 457 086 395
14 −1 382 741 929 621 24 466 579 093
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]