Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Численные методы в информационных системах. Учебное пособие
.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Тамбовский государственный технический университет»
Ю.Ю. ГРОМОВ, О.Г. ИВАНОВА, М.А. ИВАНОВСКИЙ,
Ю.Ф. МАРТЕМЬЯНОВ, М.Ю. СЕРЕГИН
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
В ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМАХ
Рекомендовано Ученым советом университета
в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по специальностям 090105 «Комплексное обеспечение
информационной безопасности автоматизированных систем»,
090303 «Информационная безопасность автоматизированных систем»,
230201 «Информационные системы и технологии»,
230104 «Системы автоматизированного проектирования»
направлений подготовки 230200 «Информационные системы»,
230400 «Информационные системы и технологии»,
220100 «Системный анализ и управление»,
230100 «Информатика и вычислительная
СПО – 230105 «Программное обеспечение
вычислительной техники и автоматизированных систем»
техника» и
Тамбов
♦ Издательство ФГБОУ ВПО «ТГТУ» ♦
2012
1
УДК 519.6(075.8)
ББК В192.1я73
Ч-671
Рецензенты:
Доктор физико-математических наук, профессор
В.Ф. Крапивин
Доктор физико-математических наук, профессор
Ф.А. Мкртчян
Ч-671 Численные методы в информационных системах : учебное
пособие [Электронный ресурс] / Ю.Ю. Громов, О.Г. Иванова,
М.А. Ивановский, Ю.Ф. Мартемьянов, М.Ю. Серегин. – Тамбов :
Изд-во ФГБОУ ВПО «ТГТУ», 2012. – 136 с.
Содержит начальные представления о средствах, терминологии и
возможностях вычислительной математики для анализа и решения инженерных и экономических задач. Освещены следующие темы: «Методы
решения нелинейных уравнений и систем линейных и нелинейных уравнений»; «Интерполирование и аппроксимация функций»; «Численное
дифференцирование и интегрирование»; «Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений (задача Коши, краевые задачи)»;
«Численные методы решения уравнений математической физики»; «Методы решения интегральных уравнений».
Предназначено для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальностям 090105 «Комплексное обеспечение информационной безопасности автоматизированных систем», 090303 «Информационная безопасность автоматизированных систем», 230201 «Информационные системы и технологии», 230104 «Системы автоматизированного проектирования» направлений подготовки 230200 «Информационные системы», 230400 «Информационные системы и
220100 «Системный анализ и управление», 230100 «Информатика и вычислительная техника» и СПО – 230105 «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем».
технологии»,
УДК 519.6(075.8)
ББК В192.1я73
© Федеральное государственное бюджетное
образовательное учреждение высшего
профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет» (ФГБОУ ВПО «ТГТУ»), 2012
2
ВВЕДЕНИЕ
На современном этапе развития общества практически все секто-
ры реальной экономики испытывают необходимость в разработке эффективных аналитических моделей сложных технологических процессов. В большинстве случаев такие процессы формализуются системами интегральных или дифференциальных уравнений, решение которых в аналитическом виде невозможно. Поэтому в наше время без
преувеличения можно сказать, что
вой развития высокотехнологичных отраслей экономики.
Данное пособие предназначено для студентов, начинающих изу-
чение численных методов. Для того чтобы приступить к чтению данной книги необходимо ознакомиться с разделами линейной алгебры,
посвященными системам линейных уравнений и отображениям, а также с главами теории математического анализа, посвященными интегрированию, дифференцированию, интегральным и дифференциальным
уравнениям.
Важной особенностью данной книги является то, что несколько
тем посвящены решению задач вычислительной математики с помощью цепных дробей и ветвящихся цепных дробей. Освещены вопросы
использования цепных дробей для решения задач интерполяции и аппроксимации, а также для решения дифференциальных уравнений различных видов и
Данное учебное пособие построено таким образом, что каждая
тема представляет собой законченное изложение части теоретического
материала, что существенно облегчает выборочное изучение численных методов.
В конце каждой темы приведены вопросы для самоконтроля, что
делает данное пособие удобным для самостоятельного изучения.
решения некоторых задач теории устойчивости.
численные методы являются осно-
3
Тема 1. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ
Пусть задана функция f(x) и требуется найти корни уравнения
Эта задача разделяется на два этапа:
− локализация корней, т.е. нахождение таких отрезков на оси X,
на каждом из которых находится только один корень;
− вычисление корня, принадлежащего заданному отрезку с за-
данной степенью точности.
решения задачи локализации корней нет каких-либо реко-
Для
мендаций, кроме утверждения о том, что если на концах некоторого
отрезка [a, b] функция f(x) имеет разные знаки, т.е. f(a)
тонна, т.е. f '(x) не меняет знак при x∈[a, b], то на отрезке [a, b] имеется
единственный корень уравнения (1).
При решении практических задач очень часто отрезок [a, b], со-
держащий требуемый корень, известен заранее.
Далее будем рассматривать методы решения задачи о нахождении
уравнения (1), принадлежащего заданному отрезку [a, b] с за-
корня
данной степенью точности.
Метод простых итераций (последовательных приближений).
Этот метод является наиболее общим и многие другие методы можно
представить как некоторую вариацию метода простых итераций.
Представим уравнение (1) в виде
Это можно сделать, например, прибавив x к обеим частям уравне-
ния (1). Очевидно, что при подстановке искомого корня x* в уравнение
(2) оно превращается в тождество
Рассмотрим последовательность чисел x
следующим образом:
При некоторых определенных свойствах функции s(x) эта
последoвательность сходится к искомому корню, т.е. x
Метод простых итераций имеет следующую наглядную геомет-
рическую интерпретацию (рис. 1). Решением уравнения (2) будет абсцисса точки пересечения прямой y = x с кривой y = s(x). При выполнении итераций значение функции s(x) в точке x
по оси абсцисс. Это можно сделать, если провести горизонталь до пересечения с прямой y = x и из точки их пересечения опустить перпендикуляр на ось абсцисс. На рисунке 1 показаны разные ситуации:
а) сходимость к корню односторонняя; б) сходимость с разных сторон;
в) г) расходящиеся итерационные процессы.
УРАВНЕНИЙ
f(x) = 0. (1)
x = s(x). (2)
x* ≡ s(x*). (3)
x
∈ [a, b] – задано, x
0
⋅
f(b)<0 и моно-
, которая определяется
i
= s(xk).
k + 1
→x* при k→∞.
k
необходимо отложить
i
4
Рис. 1. Геометрическая интерпретация метода простых итераций:
а – сходимость к корню односторонняя; б – сходимость к корню с разных
сторон; в, г – расходящиеся итерационные процессы
Достаточные условия сходимости формулируются в теореме.
Теорема. Пусть в шаровой окрестности радиусом r некоторой
точки ε U
следовательность (3) сходится к x
(ε) = |x – ε| ≤ r функция s(x) удовлетворяет условиям:
r
1) Коши–Липшица: для любых x
) – s(x2) | ≤ q |x1 – x2|, причем q = const < 1; (4)
|s(x
1
⋅
2) |s(ε) – ε| ≤ (1 – q)
r .
Тогда уравнение (1) имеет на U
, x2 ∈ Ur(ε)
1
(ε) единственный корень x*, по-
r
*
при любом x0 ∈ Ur(ε), а для по-
грешности справедлива оценка:
– x| ≤ qk |x0 – x*|. (5)
|x
k
На практике в качестве рассматриваемой окрестности U
(ε) рас-
r
сматривают интервал [a, b], а вместо условия (4) обычно требуют выполнения менее сильного условия:
≤
|s'(x) |
Условие (5) гарантирует, что все вычисляемые итерации x
принадлежать окрестности U
(ε), но при решении практических задач
r
q <1. (6)
будут
k
доказать выполнение этого условия невозможно, тем более, что интервал поиска [a, b] не совпадает с интервалом U
(ε). В итоге можно
r
5
столкнуться с ситуацией, когда на отрезке [a, b] выполнено условие
(7), но уже x
выходит за границы интервала [a, b] и метод итераций
1
расходится. Для таких случаев можно рекомендовать каким-либо образом сузить интервал локализации, из которого выбирается начальное
приближение. Такой подход обосновывается следующим следствием.
Следствие. Пусть в окрестности некоторой точки U
s(x) удовлетворяет условию Коши–Липшица (4) и известно, что
*
∈Ur(ε), тогда существует такая окрестность U∈Ur(ε), содержащая
x
искомый корень x
(3) сходится к корню x
*
∈U, что если выбрать x0∈U, то последовательность
*
и имеет место оценка (6).
(ε) функция
r
Скорость сходимости последовательности (3) такова, что на каж-
дом шаге погрешность убывает в q раз
– x*| ≤ q |xk – x*| (7)
|x
k+1
такая сходимость называется линейной. Используя это неравенство,
можно получить оценку числа итераций, необходимых для достижения
заданной точности
Мажорируя неизвестную величину |x
n
q
|x0 – x*| ≤ ε. (8)
– x*| размером интервала
0
[a, b], получим
ε
⎞
⎛
lg
n
≥
⎟
⎜
ab
−
⎠
⎝
.
q
lg
При переходе от уравнения (1) к уравнению (2) можно использо-
вать различные приемы, необходимо только, чтобы все корни уравнений (1) и (2) совпадали, а итерирующая функция s(x) удовлетворяла
условиям теоремы о сходимости. Собственно методом простых итераций называется метод, при котором итерирующая функция задается в
виде
s(x) = f(x) + x.
Рассмотрим
другие варианты получения итерирующей функции.
Метод релаксаций. Умножим уравнение (1) на некоторое число
τ = const
≠
0 и применим к нему метод простых итераций
τ⋅f(x) = 0;
x = τ⋅f(x)+x = s(x),
получим последовательность
∈[a, b] задано, x
x
0
= τf(xk) + xk.
k+1
Подберем параметр τ так, чтобы выполнялось условие сходимо-
сти
|s'(x)| = |τ f '(x)+1| ≤ 1,
6
откуда получаем
τ f '(x) < 0, τ > –2/f '(x).
Метод Ньютона (касательных). Зададим некоторое начальное
приближение x
∈[a, b] и линеаризуем функцию f(x) в окрестности x0 с
0
помощью отрезка ряда Тейлора
f(x) = f(x
) + f '(x0) (x – x0).
0
Вместо уравнения (1) решим линеаризованное уравнение
f(x
) + f '(x0)(x – x0) = 0, (9)
0
трактуя его решение x как первое приближение к корню
x
= x0 – f(x0)/f '(x0).
1
Продолжая этот процесс, приходим к формуле Ньютона
x
= xk – f(xk)/f '(xk),
k+1
которую можно считать итерационным процессом с итерирующей
функцией s(x) = x – f(x)/f '(x).
Геометрическая интерпретация этого процесса показана на рис. 2.
Уравнение (9) является уравнением линии касательной к кривой f(x) в
точке x
, поэтому этот метод называют методом касательных.
0
Сходимость метода Ньютона оценивается неравенством
– x*|≤ |xk – x*|2 M2/m1,
|x
k+1
= max |f "(x)|, m1 = 2 min |f '(x)|, x∈[a, b].
где M
2
Такая сходимость называется квадратичной, так как на каждом
шаге погрешность пропорциональна квадрату предыдущей.
Следует отметить, что улучшение сходимости этого метода по
сравнению с предыдущими, достигается увеличением затрат на выполнение каждого шага, так как в каждом шаге требуется вычислять не
только значение
функции f(x), но и ее производной f '(x).
Рис. 2. Поиск решения методом Ньютона
7
Чтобы избавиться от необходимости вычислять производную на
каждом шаге используют модифицированный метод Ньютона, в котором производная вычисляется только однажды
x
= xk – f(xk)/f '(x0).
k+1
Этот метод также можно считать методом релаксаций с парамет-
ром
τ = –1/f '(x
).
0
Сходимость этого метода, как и метода релаксаций линейная.
Метод секущих. Этот метод можно получить из метода Ньютона,
заменив производную f '(x) отношением разности функции к разности
аргумента в окрестности рассматриваемой точки
f '(x) ≈ ( f(x + h) – f(x))/h. (10)
Подставляя это выражение в (10), получим
x
= xi – f(xi)h / (f(xi + h) – f(xi)). (11)
i+1
Геометрически это означает, что приближенным значением корня
считается точка пересечения секущей, проходящей через две точки
функции f(x
) и f(xi + h), с осью абсцисс.
i
При использовании этого метода следует уменьшать величину h
по мере приближения к корню.
Вариацией этого метода является метод ложных положений.
В нем для проведения секущей используются текущая и предыдущая
точки. Первое приближение вычисляется по формуле (11), а остальные
по формуле
x
= xi – f(xi)(x
i+1
– xi) /(f(x
i – 1
) – f(xi)). (12)
i – 1
Рис. 3. Поиск решения методом секущих
8
Метод хорд. Идея метода состоит в том, что на отрезке [a, b]
строится хорда, стягивающая концы дуги графика функции y = f(x), а
точка c пересечения хорды с осью абсцисс считается приближенным
значением корня:
c = a – (f(a) (a – b)) / (f(a) – f(b)),
c = b – (f(b) (a – b)) / (f
(a) – f(b)).
Следующее приближение ищется на интервале [a, c] или [c, b] в
зависимости от знаков значений функции в точках a, b, c
x* ∈ [c, b], если f(с)f(а) > 0;
x* ∈ [a, c], если f(c)f(b) < 0.
Если f '(x) не меняет знак на [
a, b], то обозначая c = x1 и считая
начальным приближением a или b, получим итерационные формулы
метода хорд с закрепленной правой или левой точкой:
x
= a, x
0
x
= b, x
0
= xi – f(xi)(b – xi) / (f(b) – f(xi), при f '(x)f "(x) > 0;
i+1
= xi – f(xi)(xi – a) / (f(xi) – f(a), при f '(x)f "(x) < 0.
i+1
Сходимость метода хорд линейная.
Метод половинного деления. Это самый простой метод вычис-
ления корня уравнения. Разделим исходный отрезок [a, b] пополам:
c = (a + b)/2.
Проверяя знаки f(a), f(b), f(c), выясним, в каком из отрезков [a, c]
или [c, b] содержится
корень:
x* ∈ [a, c], если f(a)f(c) < 0;
x* ∈ [c, b], если f(c)f(b) < 0.
Рис. 4. Поиск решения методом хорд
9
Выбранный отрезок принимаем за [a, b] и повторяем это до тех
пор, пока получаемый отрезок не сожмется до заданной степени точности. При n итерациях получим соотношение
n
(b – a)/2
≤ ε,
из которого можно вычислить число итераций, необходимое для достижения заданной степени точности
n ≥ ln
(b – a)/ε.
2
Ввиду медленной сходимости этот метод редко используется для
нахождения значения корня, обычно его применяют для локализации
корня с дальнейшим уточнением значения корня каким-либо другим
методом.
Вопросы для самопроверки
1. Приведите формулу метода простых итераций и расскажите о
процессе ее построения.
2. Сформулируйте условие сходимости итерационного процесса.
3. Приведите формулу метода релаксаций и расскажите о
процессе ее построения.
4. Сформулируйте условие сходимости метода релаксаций.
5. Приведите формулу метода секущих и расскажите о процессе
ее построения.
6. Приведите геометрическую интерпретацию метода
секущих.
7. Приведите формулу метода хорд и расскажите о процессе ее
построения.
8. Приведите геометрическую интерпретацию метода хорд.
9. Приведите геометрическую интерпретацию метода половин-
ного деления
10. Дайте сравнительный анализ методам, рассмотренным в
данной теме.
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]