Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Численные методы в информационных системах. Учебное пособие
.pdf
называется резольвентой уравнения (5) и при малых λ определяется
степенью ряда. Резольвенту R(x, s, λ) можно продолжить на всю комплексную плоскость параметра λ за исключением собственных значе-
, ..., λn (особые точки), которые являются корнями резольвенты.
ний λ
1
Тогда (10) дает решение интегрального уравнения (5) при любом
≠
λ
λ
1
).,1( ni =
Решение интегрального уравнения методом конечных сумм.
Метод основывается на приближенном вычислении определенного
интеграла в интегральном уравнении с помощью некоторой квадратурной формулы
b
∫
a
∑
i
=
n
+=
RxfAdxxf
.)()(
ii
1
Применяя этот подход к уравнению (2), получим
n
xfRsysxkAxy
=+λ−
).()(),()(
∑
i
1
=
iii
Эта формула справедлива для любых значений x из интервала [a,
b], в том числе и для значений x, совпадающих с узлами квадратурных
формул. Записав эти уравнения для x
= si и отбрасывая остаточный
i
член, получим систему уравнений:
n
,,1;
nifykAy
==⋅λ−
(11)
где y
= y(xi); k
i
,
∑
i
1
−
= k(xi, xj); fi = f(xi); .,1, nji =
i, j
ijiii
i
Используя символ Кронекера
≠
ji
;,0
=
ji
,,1,)(
nifykA
==λ−δ
i
jjijji
(12)
n
и учитывая, что
n
∑
j
δ=
,
1
=
∑
1
=
j
если Δ(λ) = det(δ
решение
y
, которое можно найти любым методом решения системы
i
линейных уравнений. Найдя
– λAjk
i, j
i, j
⎧
=δ
⎨
ji
,
,1
⎩
,
yy систему (11) запишем в виде
jjii
,,
) ≠ 0, то система (12) имеет единственное
y
, получаем приближенное решение (2)
i
в виде
n
λ+=
j
1∑=
yxxkAxfxy
jjj
.),()()(
81
Метод вырожденного ядра. Введем следующее определение.
Определение. Ядро k(x, s) называется вырожденным, если его
можно представить в виде конечной суммы парных произведений
n
,)()(),(
βα=
sxsxk
i
1∑=
где α
(x), βi(x) – линейно-независимые функции.
i
ii
Для таких ядер уравнение Фредгольма второго рода можно записать в виде
n
(13)
,)()()(
αλ+=
xcxfxy
ii
i
1∑=
b
где
ii
∫
a
Если (14) подставить в (13), то для определения
.,1,)()( nidssysc
=β=
c
получим сис-
i
тему линейных алгебраических уравнений
b
ii
a
b
n
).,1(,)()()()(
nidsscsdssfsc
i
∫∫
a
∑
j
jj
1
=
=αβλ+β=
Запишем ее в виде
где
n
,
i
∑
b
ii
a
,
jiji
1
=
j
b
βα=β=
dsssjdssfsf
∫∫
a
jiji
(15)
,,1,
nifjcc
==λ−
.)()(;)()(
Используя символ Кронекера представим (15) в виде
n
.,1;)(
nifcj
==λ−δ
∑
j
1
=
,,
i
jjiji
(14)
1
)det()(
j
=λ−δ=λΔ
,,
jiji
Если Δ(λ) ≠ 0, то неизвестные коэффициенты c
формулам Крамера
n
)(
f
λΔ
,
jji
)(
λΔ
82
∑
1
=
j
c
=
i
L
L
L
,,1;
ni
=
jjj
λ−λ−λ−
1,1,21,1
n
jjj
λ−λ−λ−
2,2,22,1
n
.
LLLL
jjj
λ−λ−λ−
,,2,1
nnnn
определяются по
i
и уравнение (2) имеет единственное решение:
n
n
)()(
λ+=
∑∑
1
1
==
j
i
)(
λΔ
,
ij
)(
λΔ
).(
xfxfxy
α
ij
В том случае, если Δ(λ) = 0, т.е. когда λ – собственное значение,
имеем либо множество решений либо вообще таковых не имеем.
Метод коллокаций. Рассмотрим интегральное уравнение Фред-
гольма второго рода в виде
b
(16)
.0)()(),()( =−λ−
∫
a
xfdssysxkxy
Будем искать приближенное решение уравнения (16) в виде некоторой функции определенного вида y
параметрами с
Если y
добрать параметры
, с2,.., сn. Подставляя ее в (16), получим невязку:
1
точное решение, то невязка R[y] ≡ 0. Поэтому нужно по-
n
, так чтобы невязка R[yn] в определенном
),1( nici=
= Ф(x, c1, c2,...cn) со свободными
n
b
. (17)
)()(),()(][ xfdssysxkxyyR
−λ−=
∫
a
nnn
смысле была возможно малой.
Как и в методах решения двухточечной краевой задачи, изложенных в лекции 9, минимизировать R[y
] можно различными способами.
n
Рассмотрим некоторые из них.
Пусть
n
, (18)
ϕ+ϕ=
xcxy
)()(
0
где ϕ
(x), ϕ1(x), ..., ϕn(x) – заданная система линейно независимых
0
функций (координатные функции) c
эффициенты. Заметим, что можно положить ϕ
iin
∑
i
=
1
, ),1( ni = – неопределенные ко-
i
(x) ≡ 0. Подставим (18)
0
в (16), получим невязку:
n
∑
i
iin
1
0
b
∫
a
⎡
⎢
⎢
⎣
n
ϕ+ϕλ−−ϕ+ϕ=
)()(),()()()(][
∑
i
ii
== 1
0
или
n
λψ+λψ=
xcxxyR
),(),()]([
, (19)
0
где
∑
i
=
iin
1
b
∫
ϕλ−−ϕ=λψ
a
,
dsssxkxfxx )(),()()(),(
000
⎤
dsscssxkxfxcxyR
⎥
⎥
⎦
83
∂
b
nidsssxkxx
∫
a
iii
,1,)(),()(),( =ϕλ−ϕ=λψ
Согласно методу коллокаций, потребуем, чтобы невязка R[y
обращалась в ноль в заданной системе точек x
ки коллокаций), т.е. R[y
)] = 0, nj ,1= ;
n(xj
∈ [a, b], ( nj ,1= ) (точ-
j
.
(x)]
n
< x2 < ...... < x
a ≤ x
1
n – 1
< xn ≤ b.
Отсюда, используя (19), получаем систему алгебраических уравнений для определения c
Если Δ(x) = det[ψ
коэффициенты c
,
i
:
i
n
njxxc
,1),(),(
=λψ−=λψ
0
∑
i
1
=
, λ)] ≠ 0, то из (20) однозначно определяются
i(xj
in= 1,
.
jjii
. (20)
Метод наименьших квадратов. В этом методе, как и в преды-
дущем, решение уравнения (16) представляется в виде некоторой
функции (18), зависящей от n коэффициентов c
. Потребуем, чтобы
i
интеграл квадрата невязки был минимален
b
{}
n
∫
a
b
2
⎡
⎢
0
∫
⎢
⎣
a
∑
i
n
1
=
2
⎤
λψ+λψ==
⎥
ii
⎥
⎦
min),(),()]([
→
dxxcxdxxTRI
(21)
для чего приравняем нулю частные производные
I
c
∂
j
.,1,0 nj
==
Получим
b
∂
I
1
∫
∂
c
2
j
a
⎛
⎜
0
⎜
⎝
∑
i
n
−
1
⎞
⎟
λψ+λψλψ=
iij
⎟
⎠
==
nidxxcxx
,1,0),(),(),(
. (22)
Используя скалярные произведения, систему (22) запишем в виде
b
;),(),(),(
λψλψ=ψψ
dxxx
∫
a
jiji
);,(),(...),(),(
ccc
ccc
ccc
nn
n
LLLLLLL
ψψ−=ψψ++ψψ+ψψ
011212111
);,(),(...),(),(
ψψ−=ψψ++ψψ+ψψ
0222212121
(23)
).,(),(...),(),(
ψψ−=ψψ++ψψ+ψψ
02211
nnnnnn
84
Поскольку ϕ0 = 0, то ψ0 = –f(x), и следовательно (ψi, ψ0) = (ψi, f),
ni ,1= т.е. матрица системы (23) симметричная и решить такую сис-
тему можно методом квадратного корня.
Метод моментов. В этом методе коэффициенты формы (18)
определяются из условия ортогональности невязки ко всем координатным функциям ϕ
(x), ϕ1(x), ..., ϕn(x). Это дает систему уравнений
0
b
nixyR
∫
a
in
,1,0)(][ ==ϕ
или после преобразований:
n
,,1,)(
nijac
=λ=λβ−
∑
j
,,
i
1
=
jijij
(24)
где
b
ϕϕ=α
∫
a
ϕ=
,
i
,
bab
∫∫
a
b
b
∫∫
a
a
Если определитель системы (24) Δ(λ) = det(α
;)()(
dxxx
jiji
ϕϕ=β
i
;)()(),(
dssxsxkdx
jiji
.)()(),(
dssfxsxkdxj
– λβ
i, j
) отличен от
i, j
нуля, то из этой системы можно однозначно определить коэффициенты c
, c2,..., cn. Тогда (2) дает приближенное решение (18). Из уравне-
1
ния Δ(λ) = 0 приближенно находятся λ
, λ2,..., λn, собственные значе-
1
ния ядра k(x, s).
Вопросы для самопроверки
1. Дайте характеристику методу последовательных приближений.
2. Расскажите об использовании метода конечных сумм для ре-
шения интегрального уравнения.
3. Расскажите об использовании метода вырожденного ядра, его
достоинствах и недостатках.
4. Расскажите об использовании метода коллокаций для решения
уравнения Фредгольма второго рода.
5. Дайте характеристику метода наименьших квадратов при его
использовании для решения интегральных
уравнений.
6. Расскажите о достоинствах и недостатках метода моментов.
85
Тема 12. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ
1. Определение цепной дроби
Цепной или непрерывной дробью называется выражение вида
a
+
b
0
1
+
b
1
+
b
2
(1)
a
2
...
M
a
k
где
+
– переменные; в частности, они могут быть
ji
...),0...;,11( == jba
,
+
b
...
k
числами, матрицами, операторами, элементами абстрактных пространств, в которых введены или соответствующим образом определены операции сложения и деления. Компоненты
ными числителя,
дроби вида
– частными знаменателя,
b
j
ba
называются i-ми звеньями. Далее будут рассматри-
ii
a называются част-
i
b – свободный член,
0
ваться цепные дроби, элементами которых являются действительные
или комплексные числа
P
Pb
00
Q
1
b
+
0
b
1
a
1
1
b
0
b
0
a
1
a
2
+
b
L
+
2
;;
Q
1
1
P
k
=
Q
k
a
b
+=+=
0
b
+
1
P
1
2
L
=
a
Q
2
2
b
2
(2)
M
a
k
.
b
k
Дроби вида (2) называются подходящими для цепной дроби (1).
Для вычисления
, соответственно числителя и знаменателя k-й
PQ
,
kk
подходящей дроби для (1), существуют непосредственно проверяемые
рекуррентными соотношения.
Уже более 2000 лет математики занимаются изучением цепных
дробей. Еще и теперь в каждом реферативном журнале «Математика»
появляются рефераты работ, посвященных цепным дробям и их приложениям. Понятно, что такой огромный интервал времени может выдержать только
86
теория, имеющая фундаментальное значение. С помо-
=+=
+
===
щью цепных дробей решается целый ряд важных задач теории дифференциальных уравнений, вычислительной математики, теории устойчивости и оптимального управления.
В виде цепных дробей представляются решения обыкновенных
дифференциальных уравнений и решения конечно-разностных уравнений. В частности, метод цепочки эквивалентен вычислению конечной дроби.
В настоящем учебном пособии рассмотрены возможности приме
нения цепных дробей для решения задач интерполяции и аппроксимации функций одной и нескольких действительных перемеменных, решения дифференциальных уравнений, а также уравнений в частных
производных и решения ряда задач теории устойчивости.
Кроме этого, рассматриваются основы теории цепных дробей, которыя могут быть использованы для решения задач теории графов и
принятия решения.
),2,1(;
=
kQaQbQPaPbP
2121
−−−−
kkkkkkkkkk
K
(3)
при следующих начальных условиях
;0,1,1,
=
QQPbP
10100
−
(4)
используя (3) и (4), можно получить формулы
1
+
P
P
Q
P
k
Q
1
k
k
−
Q
1
−
k
k
P
−
2
k
Q
2
k
k
k
−=−
K
aaa
21
k
=−=−
k
QQ
1
−
kk
K
+
k
21
baaa
kk
QQ
kk
k
2
−−
(5)
...);,2,1()1(
K
=
).,3,2()1(
(6)
Цепные дроби с комплексными компонентами удобно рассматривать как произведение дробно-линейных отображений. Пусть
a
00
+
zb
k
k
=+= k
zTzbzT
k
...).,2,1()(;)(
=
(7)
В этом случае
P
0
Q
0
P
1
T
0
TT
Q
1
P
k
=== (8)
Q
1010
k
).0(...,,...,),0();0(
TTT
k
В дальнейшем, для сохранения записи, дроби вида (1) будут записываться в следующем виде:
∞
a
k
b
+=++++
0
(9)
∑
b
k
1
k
=
K
a
k
b
k
a
a
2
1
b
0
b
b
2
1
или в виде
∞
K
a
k
b
b
k
0
b
b
2
1
a
a
2
1
b
a
k
(10)
∑
k
.
b
k
1
=
+=++++
0
-
87
∞
2. Цепные дроби с положительными элементами
Наиболее хорошо изучены цепные дроби с положительными компонентами. Для них характерным свойством является свойство «вилки», непосредственно следующее из формул (5), (6). Приведем без доказательства ряд теорем, условия, полученные в которых, будут использоваться ниже.
Теорема 1. Если у цепной дроби (1) все компоненты положитель-
ные, то для подходящих дробей (2) выполняются
P
P
3
1
Q
Q
3
1
P
P
0
2
Q
Q
Q
2
0
P
12
i
−
12
−
i
P
−
12
i
Q
−
12
i
P
2
k
<<<<
Q
2
k
P
2
k
Q
2
k
......
>>>>
......
==>
ki
неравенства:
(11)
...).,1,0...;,2,1(
Неравенство (11) называется свойством «вилки». Рассмотрим
важный вопрос о сходимости цепной дроби (1). Цепная дробь (1) с
произвольными компонентами называется сходящейся, если существует и конечен предел последовательности подходящих дробей
{}
QP
. Величину этого предела в случае его существования будем
nn
называть значением бесконечной дроби (1).
Пусть члены дроби (1) положительны, тогда, используя свойство
«вилки», можно сформулировать следующее предположение.
Предположение 1. Необходимыми и достаточными условиями
сходимости цепной дроби (1) с положительными компонентами является стремление к нулю разности.
P
Q
P
+
2
12
p
p
p
при .
−
Q
p
2
12
+
→p
Вопрос сходимости цепных дробей с положительными компонентами полностью решается теоремой Зейделя.
∞
1
Теорема 2.(Зейдель) Для того, чтобы цепная дробь
+
b
0
∑
i
с
b
i
1
=
положительными компонентами сходилась, необходимо, чтобы ряд
∞
расходился.
b
n
∑
=1n
3. Ряд признаков сходимости цепных дробей с комплексными
компонентами
Рассмотрим ряд достаточных признаков сходимости цепных дробей с комплексными компонентами.
88
=
{
βαβαβ
{
{
{
Теорема 3. Цепная дробь (1) с комплексными компонентами сходится, если выполняется неравенство
...).,2,1(1 =≥− iab
ii
(12)
4. Арифметические операции над цепными дробями
Хинчин А.Я., анализируя преимущества и недостатки цепных
дробей как математического аппарата, отмечал, что эффективное использование всякого аппарата требует достаточно простых формул для
выполнения арифметических операций над его элементами, без чего
аппарат не может служить средством вычислений.
Рассмотрим арифметические операции над двумя цепными дробями общего вида с неодинаковым количеством
a
a
2
′
′′
1
bS ++++=
0
b
1
c
1
dS ++++=
0
d
1
K
b
2
c
1
K
d
2
звеньев.
a
k
1
(13)
.
b
k
1
c
k
2
(14)
.
d
k
2
Предположим, что число звеньев дроби (14) больше числа звеньев дроби (13), т.е.
kk >
. Частный случай равенства
12
kk
рассмот-
21
рим ниже. Для простоты изложения переобозначим элементы цепных
дробей (13) и (14) следующим образом:
);,1(;;;
kidcba
==β=α=β=α
iiiiiiii
).,1(;;
21
kki
+=≠β≠α
(15)
),1(0,0
. Предполагается
21
Потребуем, чтобы
−−
iikiik
++
11
ii
221212
kkibc
+==β=α
следующая методика решения задачи.
1. Обозначим через
дроби (13), через
nn
),0(
knDC
= – подходящие цепные дроби дроби
nn
2
),0(
kiBA
= подходящие цепные дроби
1
(14) из элементов последовательностей подходящих дробей
{}{}
k
,
nn
k
21
DCBA образуется последовательность
nn
00
которой i-й элемент
db
α⊗ ,,,,
K
221100
QP содержит звенья
ii
исходных цепных дробей (13), (14).
ii
kk
+
21
}
QP
, у
nn
0
Эта последовательность называется последовательностью непрерывных подходящих дробей результата арифметической операции. Эле-
kk
+
менты последовательности
k
1
последовательностей
}
BA и
nn
0
21
}
QP
выражаются через элементы
nn
0
k
2
}
DC следующим образом:
nn
0
89
=
+
+
ω
C
A
где
P
n
B
Q
n
]2/[];2/)1[(
+=
nnnn
21
n
n
n
2
1
D
1
=⊗=
n
2
, (16)
)2,0(
kn
11
, квадратные скобки означают деление
нацело.
P
Q
⊗ – определяет одну из четырех арифметических операций.
где
A
C
k
nk
+
1
B
nk
+
1
n
1
D
n
k
1
(17)
),,1(
kkkn
++=⊗=
211
2. Представим подходящие цепные дроби из последовательностей
(16), (17) в виде отношения двух определителей специального вида,
составленных из элементов цепных дробей (13), (14), обладающих
следующими свойством: определитель n-й подходящей дроби получается из определителей (n + 1)-й подходящей дроби, если в последних
определителях вычеркнуть последнюю строку и последний
столбец.
3. Разложим определители числителя и знаменателя по элементам
последнего столбца (или строки). Полученные разложения с учетом
свойства (2) будут играть роль рекуррентных соотношений для числителя и знаменателя подходящих дробей последовательности (16), (17).
4. Численное значение результата арифметической операции над
цепными дробями (13), (14) будем вычислять по полученным в (3) рекурентным формулам, при соответствующих данной операции
началь-
ных условиях.
Проведем конкретные выкладки по предложенной методике. Из
элементов цепных дробей (13), (14) составим определитель
2
++
kk
21
+
21
ijmlkk
ω=Δ
,,
1
размера
2
kk
следующего вида:
21
где
– матрица размера 5×5, элементы которой будут определены
mlM,
ниже, в зависимости от рассматриваемой арифметической операции.
Остальные элементы
определителя
ij
Δ
находятся че-
mlkk ,,21+
рез элементы цепных дробей (13), (14) в обозначениях (15) соотношениями:
+=β=ω
);,4(
kki
iii
++
=α=ω
iii
+
iii
++
90
212,2
);2,4(
ki
12,
),12(
kkki
++=α=ω
;
2112,1
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]