Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Численные методы в информационных системах. Учебное пособие
.pdf
≤≤=−′+ε
=
=
Рассмотрим задачу следующего вида:
,10),()()()()()(")(
xxfxuxbxuxaxuxLu
,)1(,)0(
=
BuAu
xxbxa
(13)
],1,0[0)(,0)(
∈∀≥>α≥
где ε – малый параметр.
Случай, когда a(x) ≤ α < 0 приводится к (13) заменой независи-
мой переменной х на 1 – х.
В случае b ≡ 0, схема решения задачи имеет следующий вид:
где
h
слева
справа
−
p
=
i
ε
−
()
−
2
v
=γ
i
−
eep1
+
=
r
i
1
+
q
i
+
2
ε
+
−
p
i
,
−
p
i
+
p
i
+
−−
pe
i
+
1
−γ
i
=
+
2
p
i
xaxah
))()((
−
ii
;
+
0
0 +−
c
i
+
p
=
i
−
−
;11
Ni
−≤≤
.,
BuAu
==
N
);(
γ+γ−=γ
iii
−+−
qqqq
;;
iii
xaxah
+
11
+
2
ε
+
)()()(
xfqxfqxfquuu
++=γ+γ+γ
1111
iiiciiiiiiciii
+
(14)
−
1
γ−
i
=+=
))()((
ii
;
−
2
p
i
./;
ε=
hp
Уравнения (14) связывают три соседние точки искомого решения
и решать систему (14) можно методом прогонки.
где
В случае
ε
2
h
b ≠ 0, схема решения задачи имеет следующий вид:
−
−
+
−
+−+−
qqqrrr ,,,,,
выражаются зависимостями (14).
iciiicii
−
+
−
−−
+
++=
xfqxfqxfq
,11
−≤≤
Ni
+
)()()(
11
+
iiiciii
)()()()(
=−−−γ+γ+γ
uxbquxbquxbquuu
++
iiiiiciiiiiiiciii
111111
Самосопряженные задачи в консервативной форме. В прило-
жениях часто встречаются дифференциальные уравнения, записанные
в консервативной форме. Сконструируем схемы экспоненциальной
подгонки для решения таких задач и покажем, что решения этих схем
сходятся равномерно с первым порядком к точным решениям.
Рассмотрим следующую несамосопряженную задачу в консерва-
тивном виде
61
≤<=+′′ε−≡
−≤≤=γ+
δμ+
δ
=
,10),()()())()(()(
xxfxuxqxuxpxLu
(15)
u(0) = A, u(1) = B,
где p(0), g(0), r(0) – гладкие и удовлетворяют условиям:
p(x) ≥ α > 0,
q
(x) ≥ β > 0,
p′
(x) ≥ 0.
Используя конечно–разностную схему экспоненциальной подгон-
ки для задачи (15), получим:
k
0
где
1
4
Используя технику, описанную выше, можно также показать, что
1
−
22
pshp γγ=σ
и ./),(/)( ε==γ hpxpxq
iii
2
iiiiii
N
iii
,11),()()())()((
NixfxuxqxuxpuL
−≤≤=+δδεσ−=
,,
BuAu
==
другие системы дают решения, сходящиеся равномерно с первым порядком. Приведем три примера.
Пример 1.
εp(x)u″(x) + q(x)u′(x) + γ(x)u(x) = f(x),
(0) = A, u(1) = B,
u
где функции
p, g и r гладкие и удовлетворяют условиям:
p(x) ≥ α > 0, q(x) ≥ β > 0, γ(x) ≤ 0.
Для этой задачи разностный аналог имеет следующий вид:
2
,,
0
BuAu
iiiiiiii
xpq
=σ==
iN
xp
,11),()()()(
Nixfuxuxquxp
−≤≤=γ+δμ+δεσ
)(
i
cth
)(2
i
)(
xpq
i
.
)(2
xp
i
Решение этой задачи сходится равномерно по ε с первым поряд-
ком к решению непрерывной задачи.
Пример 2.
ε(p(x)u′(x))′ + q(x)u′(x) + γ(x)u(x) = f(x), ∈ (0, 1),
u(0) = A, u(1) = B,
p(x) ≥ α > 0, p′(x) ≥ 0, q(x) ≥ β > 0, γ(x) ≤ 0.
Разностный аналог имеет следующий вид:
δεσ Nixfuxuxquxp
iiiiiiii
xpq
)(
=σ
,,
=
0
BuAu
N
i
2
i
cth
1
⎛
⎜
⎝
⎞
−
hxp
⎟
i
2
⎠
⎛
−
2
⎜
i
⎝
,11),()()())((
xpq
)(
i
.
1
hxp
2
⎞
⎟
⎠
62
−≤≤=γ+μδ+
Пример 3.
ε(p(x)u′(x))′ + (q(x)u(x))′ + γ(x)u(x) = f(x), на (0, 1)
u(0) = A, u(1) = B,
p(x) ≥ α > 0, p′(x) ≥ 0, q(x) ≥ β > 0, q′(x) ≥ 0, γ(x) ≤ 0.
Разностный аналог имеет следующий вид:
δσεδ
BuAu
0
,,
iiiiiiii
=σ==
iN
Nixfuxuxquxp
,11)()())(())((
xpq
)(
i
cth
xp
)(2
i
xpq
)(
.
i
xp
)(2
i
Задачи со смешанными граничными условиями возникают во
многих практических случаях. В качестве примера можно назвать задачи, связанные с гидродинамикой, электролизом, моделированием
полупроводниковых приборов и химическими реакциями.
Рассмотрим задачу следующего вида:
Lu(x) ≡ εu″(x) + a(x)u′(x) – b(x)u(x) = f(x),
′
0
1
β−α≡
′
δ+γ≡
,)0()0()0(
AuuuB
=
(16)
,)1()1()1(
BuuuB
=
где a, b, f – гладкие функции, причем a и b ограничены:
A*≥ a(x) ≥ a* > 0, B* ≥ b(x) ≥ b* ≥ 0,
α
, β, γ, δ ≥ 0, α + β > 0, γ + δ > 0, γ + b
*
> 0.
численный аналог задачи (14) имеет следующий вид:
k
−+
k
k
0
1000
nN
−
NNNN
−
iiiiiiii
,/)(
AhuuuuB
=−β−α≡
,/)(
BhuuuuB
=−δ+γ≡
11
;11),()()(
NixfuxbuDxauDDuL
−≤≤=−+εσ≡
где
1
=σ
2
0
1
cth)(
2
−=
1
iii
++
−=
1
iii
−−
1
2/)(
2
;)(
xpaxpa
iii
;2/)(
huuuD
;2/)(
huuuD
1
+=−=
2
.
uDuDuDDuD
iiii
−+−+
Схемы высокого порядка. В предыдущих разделах были рас-
смотрены разностные схемы, сходящиеся равномерно с первым порядком к решениям непрерывных задач.
Рассмотрим конечно-разностные схемы экспоненциальной под-
гонки, дающие более точные аппроксимации непрерывных задач.
Начнем с рассмотрения задачи
Lu(x) ≡ εu″(x) + au′(x) – bu(x) = f(x), 0 ≤ x ≤ 1, (17)
63
−
γ+β+α
=
α+α+α
=
α+α+α
=
u(0) = A, u(1) = B,
где f – гладкая функция и a, b – постоянные, удовлетворяющие условиям
b ≥ 0 и |a| + b ≠ 0.
Рассмотрим разностный аналог задачи (17):
где
k
2
⎛
−=σ
1
⎜
4
ε
⎝
−+
λ
cth1
+
+
2
cth
02
0
N
λ
⎞
21
,
⎟
2
⎠
корни характеристического уравнения
нейная комбинация значений функций
~
⎞
1
−σ
i
⎟
−=α
~
2
apxa
11
ii
α
+
a
1
~
,
~~
⎟
aap
1
−−−ii
⎠
~
⎞
)(
axa
−+
iii
11
⎟
,
2
)~(
i
i
⎟
⎠
где
i
~
⎛
a
i
i
~
a
=γ
⎜
⎜
21)(
⎝
~
⎛
1
−σ
i
i
⎜
~
⎜
)(
apxa
+
i
i
1
⎝
12
iiiiii
,,
BuAu
==
hbhhbh
⎛
=σ
⎜
2
2
a
⎝
f в узлах x
~
⎛
a
i
⎜
1
⎜
)(
xa
i
⎝
−+=
λ
cth
xaxaxaa
iiii
cth
+
2
;
i
xfxfxffQ (18)
11 +−
iiiiiii
xa
i
i
~
ap
i
)].()(8)(5[
11 −+
,11),(
NifQbuuDauDDuL
−≤≤=−σ+εσ≡
λ
hh
⎞
21
λ
, λ2 –
;
⎟
1
2
⎠
)( fQ
;02=−λ+ελ ba
ли-
i
),()()()(
⎞
)(
α−γ−=β
)(
xa
11
−+
i
⎟
i
,
~
⎟
ap
⎠
В некоторых случаях зависимость вида (18) может несколько
упрощаться. В частности, при
1
где
где
−=α
1
В случае
=α=α
31
26
ah
1
+=α
3
a = 0 зависимость (18) можно записать в виде
ε−εσ
,
,
2
ah
b = 0 получим
)(
εσ−εε+ε−εσ
,
22
ha
ε−εσ
+
26
ah
−=α
1
2
),()()()(
xfxfxffQ
13211 +−
iiii
εσ−εε
2
−=α
2
3
)(
εσ−εε
22
ha
εσ−εε
)(2
2
ah
)(2
,
22
ha
=σ
,
.
cth
2
xfxfxffQ
iiii
2
bh
=σ
−
sh
ε
4
haha
2
εε
),()()()(
13211 +−
bh
2
.
ε
2
В этом случае имеем четвертый порядок равномерной сходимо-
сти.
Квазилинеаризация (метод Ньютона–Канторовича). Рассмот-
рим краевую задачу следующего вида:
u″ = f(u); (19)
u(0) = u(b) = 0.
64
{
′
==γ
=
}
Пусть
– некоторое начальное приближение, а
)(0xu
u
– после-
n
довательность, определяемая рекурентным соотношением:
Каждая функция
−+=
.0)()0(
buu
=
nn
)(xu
есть решения линейного уравнения, что
n
);()()("
ufuuufu
nnnnn
111
−−−
(20)
является весьма важной характерной особенностью этого алгоритма.
Алгоритм следует из метода аппроксимации Ньютона – Рафсона –
Канторовича в функциональном пространстве и от него можно ожидать квадратичную сходимость, если сходимость вообще имеет место.
Поскольку каждое решение определяется двухточечными краевыми условиями, заранее отнюдь не очевидно, что последовательность
, задаваемая (20), действительно существует. Поэтому вначале
}{nu
покажем, что упомянутая последовательность полностью определена,
если область изменения ограничена малым отрезком [a, b], а затем докажем квадратичную сходимость последовательности.
Прежде всего докажем существование и равномерную ограниченность последовательности
при достаточно малом значе-
)}({ xu
n
нии b. Изменив индексацию в (20), запишем
""
1
1
++
11
++
nn
′
−+=
==
buu
);()()("
ufuuufu
nnnnn
(21)
0)()0(
и получим линейное интегральное уравнение
b
∫
0
11
′
−+=
++
(22)
,)]()()()[,(
dyufuuufyxKu
nnnnn
где K(x, y) – функция Грина
−
)(
byx
⎧
⎪
⎪
b
=
),(
yxK
⎨
−
)(
⎪
⎪
⎩
ybx
b
≤<≤
;0,
byx
≥>≥
.0
yxb
Для того чтобы получить (22), представим (21) в виде уравнения,
0)()0(),(
buutu
n
и затем используем результат
b
,)(),,(
γ=
dttbttKu
∫
0
−
⎧
1
⎪
bttK
),,(
1
b
=
⎨
−
)(
⎪
b
⎩
111
btt
)(
tbt
1
btt
≤≤
;,
1
≤≤
tx
.0,
65
(
=
′
≤
=
−′+′−−=
−
Отметим, что
b
,
|),(|max
=
,
yx
yxK
4
где максимизация проведена по области 0 ≤ x, y ≤ b. Положим
)
,|)(||,)(|maxmax
mufuf
1||
u
≥
предполагая m < ∞, выберем
)(0xu
так, чтобы ,1|)(|
xu 0 ≤ x ≤ b,
0
возвращаясь к (22), имеем
b
∫
0
Отсюда, обозначая
b
m
4
[]
b
∫
0
+≤
1
bx ≤≤
0
Следовательно, при условии ,14/
m−≤
1
Эта верхняя граница m
условие
.3/42mb ≤ Поскольку если выбирать отрезок [0, b] достаточ-
к будет превосходить 1, если выполнено
1
но малым, чтобы выполнялось условие .3/4
′
+
получаем при n = 0
|,)(|max
xum
1
22
]2[
dymmm
11
2
2
mb
2
mb
+≤+≤
42
<mb находим границу
2/
.
4/1
2
mb ≤ Итак, доказано, что
принятое индуктивное определение последовательности
′
++
11
mbmb
.
m
1
.|)(||||)(||||)(||),(|||
dyufuufuufyxKu
nnnnnn
)}({ xu
n
имеет смысл.
Доказательство сходимости будет проведено стандартным путем
единственное отличие будет состоять в том, что сходимость окажется
квадратичной.
Обращаясь к рекуррентному соотношению (21), вычтем n-е уравнение из (n – 1)-го
(23)
).)(()()()()"(
uuufufuuufuu
1111 nnnnnnnnn
+−−+
Рассматривая (22) как уравнение относительно
+1
и преоб-
uu −
nn
разуя его в интегральное уравнение, как это уже делалось, получаем
b
′
)()()())[(,()(
ufuuufuyxKuu
∫
0
′
+
−
1
+
.)])((
dyuuuf
nnn
−−−=−
+
nnnnnnn
1111
−−−+
66
′
=
=′=
′
=′′
Из теоремы о среднем следует
2
)(
uu
−
1
−
nn
′
),(
θ
f
где θ лежит между u
−−−
и un. Тогда, полагая
n – 1
1||
u
≤
′
)()()()(
ufuuufuf
=
111
−−−
nnnnn
|)(|max
ufk
2
имеем
b
kb
uu
⎢
∫
24
⎣
0
⎡
||
2
11
+−+
⎤
−+−≤−
1
.||)(
dyuumuu
nnnnnn
⎥
⎦
Отсюда, проводя рассуждения, аналогичные тем, которые использовались при доказательстве предыдущего метода, получаем
)2/1(
−
где с – корень уравнения
⎡
+−=
cxu
⎢
⎣
xc
secln22ln)(
)4/sec(2 cc=
, лежащий между 0 и π/2, а
⎤
(24)
,
⎥
2
⎦
именно с = 1,3360557.
Напомним, как получено решение уравнения (24). Умножая на u′
обе части уравнения и интегрируя, мы получаем u′ как функцию от u.
Дальнейшее интегрирование приводит к искомому явному решению
уравнения (24).
Используя методы, изложенные выше, получаем аппроксимирующую последовательность
uu
n
nn
)0(),("
==−+=
buuuueeu
.0)(
1111
++++
nnnn
Выбирая наиболее естественное начальное приближение
0)(0=xu , вычислим функции
)(1xu
и
)(2xu
, используя метод интег-
рирования Рунге–Кутта, табл. 2.1 иллюстрирует скорость сходимости.
Значащие цифры величины
совпадающие со знаками u(x), выде-
),( xu
n
лены подчеркиванием.
Приближение
n
к u(x).
)( xu
Нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка
общего вида.
Нетрудно применить тот же метод для исследования
уравнения
u″ = f(u′, u, x) (25)
с нелинейными краевыми условиями вида
bubuguug
0))(),((,0))0(),0((
21
(26)
или даже более общего вида
.0))(),(),0(),0((
1
bubuuug
67
=′′
−′+′−′′
+
′+′
=
1. Значения коэффициентов u0, u1, u2, u
x
0,0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000
0,1 0,000000 –0,041285 –0,041436 –0,041436
0,2 0,000000 –0,072974 –0,0732683 –0,0732686
0,3 0,000000 –0,095386 –0,095800 –0,095800
0,4 0,000000 –0,108743 –0,109238 –0,109238
0,5 0,000000 –0,113181 –0,113704 –0,113704
0,6 0,000000 –0,108743 –0,109238 –0,109238
0,7 0,000000 –0,095386 –0,095800 –0,095800
0,8 0,000000 –0,072974 –0,0732683 –0,0732686
0,9 0,000000 –0,041285 –0,041436 –0,041436
1,0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000
ux0()
ux1()
2
ux2()
bubuuug
u(x)
.0))(),(),0(),0((
Теперь мы применим квазилинеаризацию как к уравнению, так и
к граничным условиям. Тогда в случае уравнения (25) и условий (26)
мы получаем последовательность
′
=
+
′
{()}ux
при помощи уравнения
n
))(,,())(,,(),,("
uuxuufuuxuufxuufu
111 nnnnunnnnunnn
++
с линеаризованными краевыми условиями
+
+
′
′′
+
′
−
uuuug
1
nnnnu
Аналогично соотношение выписываются для
nnnnunn
.0))0()0())(0(),0((
=
g
в точке x = b.
2
))0()0())(0(),0(())0(),0((
+−
uuuuguug
111
Легко доказать существование, единственность и квадратичную
сходимость при достаточно малом b и очевидных ограничениях на
величины
ggff
uiiuuu
,,,,
i = 1, 2.
′′
В качестве примера рассмотрим уравнение
22
′
+=− buuuau
0)()0(,)(1"
==
возникающее при изучении конечных деформаций упругой струны
под действием поперечной нагрузки. Точное аналитическое решение
2
при 49,0
=a и 1
b имеет вид
⎡
1
ln
)(
=
xu
2
a
xa
⎢
⎣
a
⎤
)2/1(cos
−
.
⎥
)2/cos(
⎦
Используя рекуррентное соотношение
2
′
−=−
1
68
⋅+
buu
11
++
nn
′′
,49,0249,01"
uuuu
1
++
nnnn
0)()0(
==
=
,0)(
с начальным приближением
xu
0
получим результаты, которые
приведены в табл. 2.2.
Приближение
n
к u(x).
)( xu
2. Значения коэффициентов u0, u1, u2, u
x
0,0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000
0,1 0,000000 0,045000 0,046570 0,046571
0,2 0,000000 0,080000 0,082302 0,082304
0,3 0,000000 0,105000 0,107571 0,107573
0,4 0,000000 0,120000 0,122632 0,122635
0,5 0,000000 0,125000 0,127636 0,127639
0,6 0,000000 0,120000 0,122632 0,122635
0,7 0,000000 0,105000 0,107571 0,107573
0,8 0,000000 0,080000 0,082302 0,082304
0,9 0,000000 0,045000 0,046570 0,046571
1,0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000
ux0()
ux1()
ux2()
u(x)
Вопросы для самопроверки
1. Какая краевая задача называется линейной?
2. К необходимости решения какой задачи приводит использова-
ния метода конечных разностей и в чем ее особенность?
3. Что является характерной особенностью метода прогонки?
4. Что является теоретической основой метода Галеркина?
5. К необходимости решения какой системы уравнений приводит
использование метода Галеркина?
6. В чем заключается сущность метода
коллокаций?
7. Расскажите о методе экспоненциальной прогонки и дайте ха-
рактеристику задачам, для решения которых он применяется.
8. Приведите математическую постановку краевой самосопря-
женной задачи в консервативной форме.
9. Приведите математическую постановку задачи со смешанными
граничными условиями.
10. Расскажите о схемах высокого порядка.
11. В чем заключается основная идея метода Ньютона–Канторо-
вича
(квазилинеаризации).
12. Расскажите о достоинства и недостатках данного метода при
решении нелинейных задач.
69
−+−
−
+
Тема 10. РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
ных производных используется метод сеток, который заключается в
следующем. На область решения накладывается некоторая сетка и путем замены производных в дифференциальном уравнении и в краевых
условиях конечными разностями различного вида получают соотношения. связывающие значения искомой функции в узлах сетки. Полученная
ленным методом. Рассмотрим этот подход подробнее применительно к
некоторым уравнениям математической физики.
описывает некоторое установившееся стационарное состояние в пространстве (x, y) в некоторой области G
задается значение искомой функции
то такая задача называется задачей Дирихле.
G сетку из прямых, параллельных осям координат
ки пересечения этих прямых будут образовывать узлы
шими соседями будут принадлежать области G, называются внутренними узлами. Граничные узлы – это совокупность точек, у которых
хотя бы одна из ближайших точек лежит вне области G.
ласть G
центральными конечными разностями:
70
УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
При решении задач с дифференциальными уравнениями в част-
таким образом система уравнений решается каким-либо чис-
Уравнение Лапласа (эллиптическое уравнение). Это уравнение
2
2
∂
∂
∂
Если область G является замкнутой и на границе этой области Γ
U(x, y) = ϕ(x, y), (x, y) ∈Γ, (2)
Для замены этой задачи разностной задачей наложим на область
),1;,1 mjni == . Узлы, которые вместе со своими четырьмя ближай-
Внутренние узлы будут образовывать некоторую сеточную об-
, а граничные некоторую сеточную область Гс.
c
Для замены дифференциального уравнения заменим производные
2
yxU −+−+
∂
2
∂
y
∂
≈
x
∂
yxU −+−+
≈
Тогда вместо уравнения (1) будем иметь
−+
h
U
U
+
2
∂
y
x
(x, y)∈G. (1)
0
=
2
с шагом h > 0. Точ-
==
ii
),(),(2),(),(
yhxUyxUyhxU
,
22
h
22
h
yhxUyxUyhxU
+
+
h
),(),(2),(),(
hyxUyxUhyxU
hyxUyxUhyxU
),(),(2),(),(),(2),(
,0
22
=
,;( jhyihx
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]