Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Численные методы в информационных системах. Учебное пособие
.pdf
=
а с другой стороны, обязательно выполнение условия m = n, где n –
степень полинома
)(ˆSf
. Приведем еще два утверждения, также без
доказательства.
Утверждение 2. Пусть
2
210
n
0...)(
≠++++= aSaSaSaaSf
0
n
вещественный полином степени n и пусть
aaa
531
,
aaa
420
aa
31
0
при m > n и
DaD ===
211
D суть (k×k) – определитель,
где
k
2
1;1;1 aDaDD ===
−−
02010
aa
31
;;
D
3
aa
20
0
a
m
. Тогда f является устойчивым полино-
мом в том и только в том случае, когда определители удовлетворяют
условиям:
;2,1,0
=>
2
k
nkD
[]
+
012
nk
nkD
.2)1(,0signsign
−==
Отметим, что с вычислительной точки зрения значительно проще
установить устойчивость полинома f(S) методом деления (Утверждение 1) или путем вычисления определителей. Утверждение 2 носит
название теоремы Гурвица.
Вопросы для самопроверки
1. Расскажите о подходе, основанном на использовании дроби
Тиле, для построения нелинейных разностных схем решения задачи
Коши.
2. Расскажите о двухпараметрическом семействе нелинейных методов типа Рунге–Кутта.
3. Расскажите о возможности использования подхода, основанного на применении ветвящихся цепных дробей, для решения дифференциальных уравнений в частных производных.
4. Оцените достоинства и
недостатки данного подхода.
131
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Численный анализ столь бурно развивается и стал столь обширной теорией, а точнее совокупностью теорий, что невозможно в одной
книге охватить все eгo аспекты. Тем не менее, имеется одна eгo область, которая практически не отражена в пособии. Эта область программирования вычислительных алгоритмов.
В настоящее время специалист по информационным системам
должен четко знать обе стороны вычислительного алгоритма – eгo математическую семантику и eгo машинное представление.
Прикладная сторона – решение задач на ЭВМ – часто становится
самодовлеющим при занятиях численным анализом, а теоретическая
сторона численного анализа – получение оценок погрешностей, вопросы сходимости численных методов, исследование алгоритмов и т.п.
в значительной мере игнорируется.
Исследователю необходимо знать
и глубоко понимать coдepжательную сторону задач, т.е. их механическую или физическую природу, если это задачи из области механики
или физики; если же это задачи из области химии (например, квантовой), биологии, экономики, то и в этих областях нужно быть хорошо
ориентированным. Это тpeбуется прежде
вceгo для тoгo, чтобы разобраться в основной проблеме, которая встает перед исследователем,
проблеме интерпретации полученных результатов. Всегда возникают
извечные вопросы: верны ли результаты, полученные на ЭВМ, или
имеется ошибка; обеспечивает ли выбранная дискретизация верность
результата с заданной погрешностью? Последующее теоретическое
осмысливание полученных результатов и приводит к содержательному
развитию теории численных методов и правильным постановкам задач.
132
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бахвалов, Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жид-
ков, Г.М. Кобельков. – М. : Бином. Лаборатория знаний, 2008.
Волков, Е.А. Численные методы / Е.А. Волков. – М. : Лань,
2.
2008.
Фаддеев, М.А. Основные методы вычислительной матема-
3.
тики / М.А. Фаддеев, К.А. Марков. – М. : Лань, 2008.
Бахвалов, Н.С. Численные методы в задачах и упражнениях /
4.
Н.С. Бахвалов, А.В. Лапин, Е.В. Чижонков. – М. : Высш. шк., 2000.
Вержбицкий, В.М. Основы численных методов / В.М. Вер-
5.
жбицкий. – М. : Высш. шк., 2005.
Вержбицкий, В.М. Численные методы (линейная алгебра и не-
6.
линейные уравнения) / В.М. Вержбицкий. – М. : Высш. шк., 2000.
Вержбицкий, В.М. Численные методы (математический ана-
7.
лиз и обыкновенные дифференциальные уравнения) / В.М. Вержбицкий. – М. : Высш. шк., 2001.
Пирумов, У.Г. Численные методы / У.Г. Пирумов. – М. : Дро-
8.
фа, 2007.
Киреев, В.И. Численные методы в примерах и задачах /
9.
В.И. Киреев, А.В. Пантелев. – М. : Высш. шк., 2006.
Формалев, В.Ф. Численные методы / В.Ф. Формалев, Д.Л. Ре-
10.
визников. – М. : Физматлит, 2006.
Костомаров, Д.П. Вводные лекции по численным методам /
11.
Д.П. Костомаров, А.П. Фаворский. – М. : Логос-М, 2006.
Измаилов, А.Ф. Численные методы оптимизации /А.Ф. Измаи-
12.
лов, М.В. Солодов. – М. : Физматлит, 2005.
Хинчин, А.Я. Цепные дроби /А.Я. Хинчин. – М. : URSS, 2004.
13.
133
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ……………………………………………………….. 3
Тема 1. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ …………………………………………………….. 4
Тема 2. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ …………………………… 11
Тема 3. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ …………………………………………………….. 22
Тема 4. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫМИ ПОЛИНОМАМИ ………………………………………... 27
Тема 5. АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ ………………………………………. 34
Тема 6. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ 37
Тема 7. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ …………………………………………….. 41
Тема 8. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ……………… 48
Тема 9. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ……………………… 54
Тема 10. РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ………………………………… 70
Тема 11. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ …………………………………………………….. 79
Тема 12. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ …………….. 86
Тема 13. АНАЛОГ ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА В ТЕОРИИ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ ……………………………………………………. 94
Тема 14. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕТВЯЩИХСЯ ДРОБЕЙ 106
Тема 15. ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ ВЕТВЯЩИМИСЯ ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ …………….. 112
Тема 16. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТЕОРИИ ВЕТВЯЩИХСЯ
ДРОБЕЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ …………………………………………………….. 122
ЗАКЛЮЧЕНИЕ …………………………………………………... 132
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ……………………………………….. 133
134
Учебное электронное издание
ГРОМОВ Юрий Юрьевич,
ИВАНОВА Ольга Геннадьевна,
ИВАНОВСКИЙ Михаил Андреевич,
МАРТЕМЬЯНОВ Юрий Федорович,
СЕРЕГИН Михаил Юрьевич
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
В ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМАХ
Учебное пособие
Редактор И.В. Калистратова
Компьютерное макетирование М.А. Филатовой
Подписано в печать 21.05.2012
Формат 60 × 84 / 16. 7,91 усл. печ. л. Заказ № 274
Издательско-полиграфический центр ФГБОУ ВПО «ТГТУ»
392000, г. Тамбов, ул. Советская, д. 106, к. 14
136
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]