Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Численные методы в информационных системах. Учебное пособие
.pdf
2.
Q
Q
2
0
P
P
2
0
3. для произвольных i, k
P
2
k
Q
2
k
.......
<<<<
P
Q
P
−
i
i
k
2
12
12
−
.
>
Q
2
k
На этом мы заканчиваем рассмотрение основ теории непрерывных дробей, во второй части показана возможность использования
теории непрерывных дробей для решения ряда задач вычислительной
математики, теории устойчивости и т.д.
Вопросы для самопроверки
1. Расскажите о свойстве вилки.
2. Приведите формулу для разности подходящих дробей.
111
=
=
[
{
=
=
(
)
Тема 15. ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ МНОГИХ
ПЕРЕМЕННЫХ ВЕТВЯЩИМИСЯ
ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ
1. Частные обратные разности. Интерполяционная формула с
линейными частными числителями
Пусть для действительной функции N переменных f(x), где
),...,,(
xxxx = , заданы ее значения в точках
21 N
n
i
=
k
n
nn
21
1
nn
+
одновременно в подпространстве
если i = n или
фиксированная точка из
точки
ii
1
R . Все точки
i
== назовем основными, а все остальное –
N
промежуточными точками.
Частными разностями первого порядка
называют соотношения вида
),1(
Nkx
=
1
k
1
1
где
1
10
),(
2
k
0
1
,,1
то частные обратные разности первого порядка
),(
функции
10
Поскольку
11
k
1
1
10
, xx .
1
Nkk =
10
xxvx
Например, для функции
вого порядка примут вид
10
=
xxxv
1
112
),(
1
{}
2
10
=
xxyv
),(
1
1
{}
2
N
′′
Nknk
N
),1(),...,(
mixxx
10
являются симметричные функции точек
)(xf
n
K
< , применим
n
i
),...,,(,
xxxxNk
21 Nm
1010
−= xxfkxxxxvx
kkk
111
10
0
10
00
01
),(),(
xxkxxfk −= при произвольном ),1(
1
= , – произвольная, но
k
n
n
i
x
разобьем на две группы:
k
n
1
][ ]
xfxvxvx
),0,,,1(),...,,,...,,(
minNkRxxxxxx
==∈
, не лежащих
)( NKR
n
xx
0
),(
xxvx
k
1
01
−−
).()()(
по аргументу
1
110
−
(1)
,)},(){(),(
01
xvxvxvxvxxfk −−−=
kkkk
0
10
1111
),( yxf частные обратные разности пер-
−
xx
10
+−−
−
yy
10
+−−
yxfyxfyxfyxf
yxfyxfyxfyxf
n
i
= ,
k
n
}
(2)
;)()()()(
11
;
),(),(),(),(
10110100
(3)
.
),(),(),(),(
00101101
n
xx
Nkk =
fxy
Полезно отметить, что
∑
k
1
n
1
=
1
10
10
).()(),(
xfxfxxfk
−≡
(4)
Частными обратными разностями второго порядка
120
по аргументам
),,(
2
kk
12
xxxVxx
ikk
12
называются
)2,1,,1(,
== iNkxx
соотношения вида:
1
−
20120
{}
−= xxxfkkxxxxxVxx
kkkk
2
12
2212
120
),,()(),,(
(5)
где
12
так как
1
120
),,(
2
+
1
12
120
120
1
102
)},,(
xxVx
kk
21
12
xxxfkkxxxfkk −= при произвольных
120
1
102
),,(),,(
102
),(),(),({
xxVxxxVxxxVxxxxfkk
+−−=
−
kkkkkk
11
212121
(6)
, kk ,
12
то частные обратные разности второго порядка удовлетворяют соотношению
2
120
Для функции двух аргументов
= . (7)
kkkk
2
1212
частные обратные разности
(,)
102
),,(),,(
xxxVxxxxxVxx
второго порядка определяются из соотношений:
1
01
1120
10
102
120
1120
11
1
11
20 1
12
11
2
1102
−
+
xyV x x x x x yVx x yVx x yVx x
+
+
2
+
20
где
1
xxxV
11
021
2
02 1 1
yV x x
(,)}
11
2
1
xxxV
1
)},(
−
120
110
−
)},(
xxyV
120
110
−
,)},(
20120
=− − − +
02
102
2(,,)( ){ (,) ( ,) (,)
02 1
);();;(
yxxyxx == .
20
120
1
11
12
1
21
102
),(),(),({2)(),,(
+−−−=
xxyVxxyVxxyVyyxxxyyV
11
12
),(),(),({2)(),,(
+−−−=
xxxVxxxVxxxVxxxxxxxV
(8)
(9)
102
+−−−=
xxxVxxxVxxxVyyxxxxxV
),(),(),({2)(),,(
Как и в случае обычных разностей первого порядка справедлива
формула
k
N
∑
2
12
=
1
120
10
−≡
1
kk
11
12
).,(),(),,(
xxVxxxVxxxxfkk
1
(10)
Такие разности n-го порядка (n ≥ 2) называются соотношениями вида
0110
nkk
1
nn
n
−= xxxxfkkxxxxxxVxx
kk
nnn
1
n
nn
1110
−−−
)},...,,,(...,,){(),...,,,(...,,
(11)
113
.
где
1
n
+
−
n
1
−
1
−
11
1
10
),...,,(...,,
2
nn
−
knkk
knkk
nn
110
110
nn
−
)}.,...,,(...,,
xxxVxx
1
−
nn
−
110
),...,,(...,,{
xxxVxxxxxfkk
knkk
nn
111
−−
1
−
−=
nn
−
110
),...,,(...,,),...,,(...,,
xxxVxxxxxVxx
knkk
11111
−−−
nnnn
+−−
(12)
Отметим также, что
110
n
1
nn
−=
n
1
nn
110
−−
).,...,,,(...),...,,,(...
xxxxfkkxxxxfkk
Приведем в качестве примеров формулы для разложения:
N
1
+=
xfxf
)()(
∑
k
1
=
1
k
1
1
N
12
+
xxVx
),(
∑
k
1
=
2
1
−
xx
kk
11
kk
2
12
2
−
xx
kk
22
123
+
xxxVxx
),,(
.
(13)
M
N
∑
k
1
=
Для функций двух переменных f(x, y) разложение имеет вид
),(),(
yxfyxf
+=
11
+
12
),(
xxyx
1
+
2
12
xxxV
1
yy
−
xx
−
2
123
xxxxyV
m
),(
+
1
−
2
+
+
2
1
m
xx
−
1
xx
2
123
xxxxxV
+
yy
−
2
123
xxxyyV
m
−
xx
kk
mm
mm
mkk
−
+
2
.
11
xxxxVxx
),...,,,(...,,
yy
−
2
123
...),,(...),,(
xxxyxV
+
.
...),,(...),,(
+
Рассмотрим пример. Пусть заданы значения функции
yxf
),(
1
в основных точках (0, 0), (2, 1), (1, 2) и в промежу-
22
5,1
−+=yx
точных (0, 1), (0, 2), (2, 0), (2, 2), (1, 0), (1, 1). Тогда промежуточная дробь
+
2
+−
105
3
88
+
x
2
−
56011672
Вместо значения функции
112) с точностью до 10
+
yxf
105
76
),(
+−
1
−
yx
+
162209
–5
по интерполяционной дроби, получаем
y
2
−
+
162209
1
в точке (112,
22
5,1
−+=yx
.
1
−
yx
56011672
–0,90368, при приближении полином Лагранжа 4-й степени (построение по тем же основным точкам и промежуточным) f(112, 112) ≈
114
−
−
−
−
≈ –0,18242. Точное значение функции
),(
yxf
1
22
−+=yx
(112, 112) равно –1.
2. Интерполяционная формула с полиномиальными компо-
нентами
Введем в рассмотрение следующие обозначения:
=ρ
yxfyx
00
xx
1101
);,(),(
−
xx
=ρ
),,(
y
1110
=ρ
yyx
),,(
11
1
−
−
yy
−
yyyxxx
kmmk
;
yxfyxf
),(),(
111
1
;
),(),(
yxfyxf
11
−+−−−=ρ
yxfyxfyxfyxfyyxxyyxx
1111111111
⎧
⎪
⎪
⎪
mm
−
−−
kmkm
111
⎪
⎪
⎪
−
⎪
⎪
=ρ
),,...,,,,...,(
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
−−
ρ−
∞==
;,0
km
mk
111
kmmk
−−−
11111
mmmm
−ρ+
),...,,,...,(
yyxx
1111
mmmm
−−−
=ρ=ρ=ρ
−−−−
1111
yyxxx
11111
.0
yyyxxxxx
kmk
1111
−
1
>ρ−
kmyyyxx
),,...,,,,...,(){(
yyyxxxyy
−−
1111
kmmkk
−
1
>ρ−
);(,)},...,,,,...,(
mkyyxxx
+ρ−
),,...,,,...,(
yyyxx
−
1
)},...,,,,...,(
mmmm
Рассмотрим пример на основе приведенных соотношений:
xx
1
),(),(
yxfyxf
+=
111
ρ
+=
),(),(
yxfyxf
111
ρ
;
),,(
yxx
1110
−
yy
1
;
),,(
yyx
1101
−−
yyxx
+−=−−
),(),(),(),(
yxfyxfyxfyxf
1111
ρ
11
yyxx
1111
Сложив равенства, получим:
xx
yxfyxf
+=
),(),(
11
ρ
1
+
yxx
1110
+ρ=ρ
yxxyxx
),,(),,(
121101110
ρ
yy
−
1
+
ρ
ρ
−
yyx
),,(),,(
1101
xx
2
;
yxxx
),,,(
12120
в точке
5,1
−
1
)},(),(),(),(){)((),,,(
−ρ−
),,...,,,,...,(){(
);(,)},,...,,,...,(
−ρ−
mmmmmm
))((
.
),,,(
yyxx
))((
11
yyxx
),,,(
1111
−ρ−−
),,...,,,...,(){)((
yyyxxyyxx
−−−−
111111
;
115
−
yy
+ρ=ρ
yyxyyx
),,(),,(
211011101
ρ
+ρ−=
yyxx
),,,(
212111
ρ
yyxxyyxx
21211121111
yyxxyyxx
21211112111
x
+
1
yxf
=
Пусть
x
0 1 2 –2 –1
1/2 3/2 3 –3 –3/2
3/2 5/2 5 –5 –5/2
2 3 6 –6 –3
),(
y
задана таблицей
y
−
1
0 1/2 3/2 2
2
;
yyyx
),,,(
21102
=ρ−ρ−ρ
yyxxyyxxyyxx
),,,(),,,(),,,(
12111211111111
−−
yyxx
))((
22
;
yyyxxx
),,,,,(
212122
−
xx
+ρ=ρ
),,,(),,,(
ρ
+ρ=ρ
),,,(),,,(
2
−
yy
2
ρ
;
yyxxx
),,,,(
212121
.
),,,,(
yyyxx
212112
Тогда интерполяционная дробь, построенная на основе приведен-
ных соотношений, имеет вид
x
+
1
−
1
x
++≈
1
y
xy
y
+
.
−
−
11
y
y
3. Разложение функции многих переменных в ветвящиеся це-
лые дроби
При определении частных обратных разностей предполагалось,
что все точки
),1( mixi= различны. Если предположить, что две или
три, а может, и больше точек совпадают, то получится последовательность частных обратных разностей с повторяющимися значениями
аргумента.
i
x
Особый интерес представляет случай, когда все точки
совпа-
дают, в таком случае для частных обратных разностей с повторяющимися значениями аргумента введем следующее определение.
Частной обратной производной m-го порядка функции f(x) назы-
вается выражение вида
1)(
m
),...,,(...,,{lim)(,...,
+=
mkk
−
m
xxxVxxxfxx
11
xxVxx
...},),...,(...,,
++
116
k
m
k
m
1
m
i
→
xx
−
m
1
2
−
mkk
12
где
0
12
−
m
),()(,,1;,1
xfxVxmiNk
===
0
ki
m
2
−
mkk
11
−
Частные обратные производные первого порядка в окрестности
точки x, получим:
k
1
)(/
xfx
k
1
=
k
1
1
xx
1
′
x
k
1
=
1
)(
xf
1
→→
).,1(
Nk
1
lim),(lim)(/
==
xxVxxfx
1
1
xx
1
xxfk
1
−
xx
0
k
1
1
=
′
)(
),(
xf
x
k
1
В случае функции двух переменных можно записать:
1;0),...,(...
==
mxxVxx
.
;
=
yxfx
lim),(/
→
xx
1
→
yy
1
0
xfxf
)()(
−
−
xx
1
N
+=
∑
1
=
k
1
k
1
2
yxfyxf
1
+
N
0
+
xfx
)(
∑
1
=
k
2
−
−
−
xx
Для функции двух переменных в окрестности точки
ложение имеет вид
−
xx
),(),(
+=
yxfyxf
00
),(\
+
yxxf
00
−
yy
+
),(\
+
yxyf
00
−
0
xx
+
yxyfx
=
xx
0
=
yy
0
−
+
0
xx
+
yxxfx
=
xx
0
=
yy
0
−
yy
00
yxfxy
Рассмотрим пример разложения функции
точки (1, 3) в ветвящуюся цепную дробь:
−
1
2
+=+
2
yx
+
2
4
3
−
x
−
1
+−
+
...6
x
1
+
108
19
+
−
3
yx
+
+
8
...
1
=
yxfyxf
),(),(),(),(
′
111
x
xx
1
0
kk
11
0
−
xx
kk
22
xfxx
+
...)],(\[\2...)],([\\2
+
=
xx
0
=
yy
0
+
)](/[/2
=
xxkk
012
−
yy
00
yxfxy
;
yxf
),(
.
...
),(
yx
раз-
00
+
...)],(\[\2...)],([\\2
+
=
xx
0
=
yy
0
yx +2 в окрестности
+
−
3
y
−
1
yx
+
2
7
12
+
...
5
−
3
+
...
117
=
(
)
3
−
+
4
+
x
−
2
+
+−
y
1
−
1
+
...3
+
3
−
yx
4
+
...5
+
3
−
y
1
−
+
...2
+
.
3
−
yx
...4
+
4. Аппроксимация Паде
Пусть задан следующий ряд:
∞
=0)(
i
zczf
, (14)
i
∑
i
=
представляющий функцию f(z). Разложение (14) является исходным
пунктом любого анализа, использующего аппроксимацию Паде. Всю-
ду в дальнейшем через
∞= ,0,ic
i
определяются коэффициенты ряда, а
через f(z) соответствующая функция. Аппроксимация Паде – это рациональная функция вида
ML
=
]/[
10
10
L
, (15)
m
zbzbb
+++
...
m
L
zazaa
+++
...
разложения которой в ряд Тейлора в узле совпадает с разложением
(14) до тех пор, пока это возможно. Отметим, что функция (15) имеет
L + 1 коэффициентов в числителе и M + 1 – в знаменателе. Весь выбор
коэффициентов определяется с точностью до общего множителя, для
определенности можно предположить, что
1
b , таким образом, мы
0
имеем L + 1 свободных параметров в числителе и М – в знаменателе
формулы (15) вместо L + M + 1 свободных параметров. Это означает,
что в общем случае коэффициенты Тейлоровского разложения функ-
ML
ции [L/M] при системах
2
+
zzz
...,,,,1
должны совпадать с соответ-
ствующими коэффициентами ряда (14), другими словами.:
∞
∑
=
i
i
=
zc
i
0
...
10
...
10
L
+++
zazaa
L
0
+
M
+++
zbzbb
M
1
++
ML
()
z
. (16)
Рассмотрим примеры:
n
1
1
1)(
2
1
]1/0[
=
1
1
z
+
2
...
zzzf
3
)1(
−
+++−=
zzf
n
1
n
+
1
+
]1/1[);(0)(
=+=
1
+
1
1]0/1[;
2
1
z
6
2
z
3
+=
22
);(0)(
zzfzz
+=−=
32
).(0)(
zzf
Умножим (16) на знаменатель дроби, находим, что
1
++
m
m
101010
L
MLL
0......))(...(
++++=+++++
zzazaazcczbzbb . (17)
118
=
Сравнивая коэффициенты при
21
,...,,
, получим ра-
zzz
MLLL
+++
венства:
;0...
=+++
cbcbcb
10211
LMLMMLM
++−−++
;0...
=+++
cbcbcb
20312
LMLMMLM
M
Для полноты предположим 0
ния
10=b , равенства (18) можно представить в виде системы М ли-
cbcbcb
011
++−
c при j < 0. С учетом соотноше-
j
++−−++
(18)
.0...
=+++
MLLMLM
нейных уравнений с М неизвестными коэффициентами знаменателя.
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
+−+−++
⎪
⎪
⎪
⎩
Отсюда могут быть найдены
aaa ,...,,
, находим теперь из (17) сравнением коэффициентов при
L
10
L
2
zzz ,...,,,1
L
321
CCCC
L
L
LMLMLML
CCCC
LMLMLML
LLLLL
L
CCCC
b коэффициенты числителя
;
=
ca
00
;
+=
cbca
0111
++=
b
⎧
⎫
LMLMLML
++−+−+−
++−+−+−
MLLLL
i
M
⎪
⎪
b
1432
2543
131
−+++
cbcbca
1
−
M
⎪
⎪
⎪
⎪
b
⎨
⎬
2
−
M
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
b
1
⎩
⎭
(20)
;
021122
C
⎧
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
−=
⎨
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎭
⎫
+
L
1
⎪
C
+
L
2
⎪
⎪
(19)
C
⎬
+
L
3
⎪
MM
⎪
⎪
C
+
ML
⎭
CCCC
M
),min(
ML
+=
∑
=
i
.
cbca
−
iLiLL
1
Уравнения (19) и (20) называются аппроксимациями Паде: в случае,
когда система (19) разрешилась, они определяют коэффициенты числителя и знаменателя аппроксимации Паде [L/M]. Коэффициенты числителя
Тейлоровского разложения этой функции при
2
ML
zzz+...,,,,1
совпадают
с соответствующими коэффициентами ряда (14).
Поскольку искомой точкой разделения являются коэффициенты
∞
ряда
i
, то нет необходимости заранее считать эти коэффициенты
zc
i
∑
=0i
коэффициентами ряда Тейлора какой-либо функции. Чтобы продемонстрировать, насколько хорошо срабатывает аппроксимация Паде, рассмотрим следующий пример:
119
=
=
=
=∞=
∞
1
1
+
z
)(
zf
2
= zz
21
+
z
1
39
3
4
32
2
....
−+−=
Выпишем аппроксимацию Паде [1/1]. Используя уравнения (19),
(20), получим:
== aabb
8/7,1,8/13,1
1010
.
Правильность вычислений можно проверить выполнением равенства
32
).(08/71)32/394/31)(8/131(
zzzzz ++=+−+
7
1
z++
Таким образом, мы получаем, что
8
13
.
z
8
]1/1[
=
1
На рисунке 1 приведены для сравнения графики функций f(z) и
[1/1](z) при z ≥ 0.
В частности, имеем
f , значения в
54,0137)](11[;5,0)(
бесконечности аппроксимация Паде дается с точностью 80%. Этот
пример показывает замечательную точность, достигаемую аппроксимацией Паде, которая использует всего три числа ряда.
Рис. 12. Пример аппроксимации рядом Тейлора и Паде
Однако необходимо отметить одну особенность, связанную с приближенными вычислениями аппроксимации Паде, эти вычисления требуют большей точности, чем можно было бы заранее предположить.
Аппроксимация Паде экстраполирует всю последовательность коэффициентов по их конечному числу, поэтому исходные коэффициенты
должны быть вычислены достаточно точно. Приведем ниже таблицу
120
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]