Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Численные методы в информационных системах. Учебное пособие
.pdf
′′+
′
(
′−′
=
);2,4(1
ki
=−=ω
ii
+
ii
++
ij
21
ij
ij
1,2
jkki
);5,1,2,6(
=++=
);,12(1
kkki
++=−=ω
2111,2
kkjiji
);2,6,5,1(0;0
++==>−=ω
21
kjiji
);22,5,(1;0
+==−=ω
1
kkkjiji
).2,22,(2;0
+++==−=ω
211
Значение индекса l определяет арифметическую операцию: l = 1 –
сложения, l = 2 – вычитания, l = 3 – умножения, l = 4 – деления. Индекс m принимает значения 1, 2, в зависимости от того, где находится
определитель – в числителе (m = 1) или в знаменателе (m = 2). Обозна-
),0(
kkn
чим через
mln
+=Δ главный минор определителя
21,,
Δ
mlkk ,,
+
21
используя вышеприведенные обозначения, рассмотрим теорему.
Теорема 1. Для каждой из арифметических операций
)4,1(1=l
n-я подходящая дробь из последовательности (16), (17) представляется
в виде отношения следующих определителей:
l = 1
Δ
P
n
n
Q
n
1,1,
=
Δ
n
2,1,
)( SS
:
),0(
kkn
+=
, (18)
21
где
00001
00
αα+=db
2100
M
1,1
010
β−
0100
Δ
P
n
=
Q
Δ
n
αβ−
31
0010
2
β−
3
2
1,2,
n
2,2,
n
;
=M
2,1
′
)
SSl
(19)
),0(
kkn
+=
21
00001
00010
000
β
0100
;
αβ
31
0000
2
β−
3
00001
db
M =
=
1,2
00
αα−
2100
010
αβ−
31
0010
β
2
0100
β−
3
;
MM
2,12,2
,
91
′′′
′
M
l = 3 )( SS
Δ
P
n
n
Q
n
b
1,3,
=
Δ
n
2,3,
α
10
d
M =
=
1,3
l = 4
Δ
P
n
n
Q
n
1,4,
=
Δ
n
2,4,
00001
α
b
10
=
1,4
000
010
αβ−
31
0000
β
2
0100
β−
3
α
20
001
αβ−
β−
2
0100
β−
(: )
SS
;
=
M
2,4
);,0(
kkn
+=
(20)
21
000
000
;
MM
31
2,12,3
0010
3
′′
);,0(
kkn
+=
(21)
21
00001
d
α
000
20
.
αβ
000
β−
2
0100
31
0010
β−
3
Из теоремы 2 следует, что определители
),4,2,1)(4,1(
kknml
+===Δ при фиксированном n отличаются
mln
между собой лишь значениями элементов
21,,
, значения же
ij
)6,1,( =ω ji
остальных элементов у всех определителей одинаковые: поэтому разложение этих определителей по элементам последнего столбца (или
строки) дают единое для всех значений l, m соотношения:
mlnnmlnnnmlnnmln
−−−−−
).,12(
kkkn
++=Δα+Δβ=Δ
mlnnmlnnmln
−−
211,,2,,1,,
1,,41,,31,,1,,
(22)
),2,4()(
kn
=Δα+Δβα+Δβ=Δ
Учитывая (18), (21), из (22) можно получить единое для всех
арифметических операций рекуррентное соотношение для числителя и
знаменателя подходящих дробей последовательности (16), (17)
);(
PPPP
α+βα+β=
41311
nnnnnnnn
−−−−−
=α+βα+β=
nnnnnnnn
−−−−−
(23)
);2,4()(
knQQQQ
141311
;
α+β=
PPP
21
−−
nnnnn
α+β=
QQQ
21
−−
nnnnn
).,12(
kkkn ++=
211
с начальными условиями:
92
′′′′′
′
′′−′′+′′′′+
′
′−′
′
α+βα−β−
=
α+βα+
′′′
=
′+′′′′+
′
′′′′′
′
′−′
′
′′′
PPPP
;;;;
Δ=Δ=Δ=Δ=
1,,331,,221,,111,,00
llll
(24)
QQQQ
.;;;
Δ=Δ=Δ=Δ=
2,,332,,222,,122,,00
llll
Выполнение арифметических операций
′′′
):(),(),(),(),(),( SSSSSSSSSSSS
над исходными цепными дробями (13), (14) производится по рекуррентным формулам (23) с начальными условиями (24) при соответствующем данной операции значении индекса l. Операция SS
вы-
полняется по рекуррентным формулам:
);(
PPPP (25)
41311 −−−−−
nnnnnnnn
)(
β=
;
α−β−=
PPP
−−
21
nnnnn
α+β=
;
QQQ
−−
21
nnnnn
с начальными условиями (24) при l = 2. Операция SS
QQQQ
−−−−−
41311
nnnnnnnn
);2,4(
kn
=
1
).,12(
kkkn
++=
211
: выполняется
при l = 4 по рекуррентным формулам (23) с начальными условиями:
PPPP
QQQQ
В случае одинакового количества звеньев
цепных дробях (13), (14) включение операций
′′′′′−′
),(),( SSSS
):(),( SSSS
производится по рекурентным форму-
2,4,332,4,222,4,112,4,00
(26)
.;;;
Δ=Δ=Δ=Δ=
1,4,331,4,221,4,111,4,00
kk
в исходных
21
),(),( SSSS
;;;;
Δ=Δ=Δ=Δ=
лам (23) c начальными условиями (24) при соответствующем данной
операции значении индекса l. Операция
виями (24) при l = 2. Операция
):( SS
по формулам (23) с начальны-
)( SS
c начальными усло-
ми условиями (26) при l = 4.
Вопросы для самопроверки
1. Конструкция какого вида называется цепной дробью?
2. Для решения каких задач может быть использован данный ма-
тематический аппарат?
3. Расскажите и приведите математическую формализацию алгеб-
раических операций над цепными дробями.
93
−α+α=
Тема 13. АНАЛОГ ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА
1. Цепные дроби, соответствующие степенному ряду
Функцию можно разложить и в ряд, и в цепную дробь. Естественно, возникает вопрос о том, какое же разложение лучше? Для ответа на этот вопрос в теории цепных дробей исследуется связь цепных
дробей и степенных рядов.
Для степенного ряда
ную дробь, что разложение ее произвольной n-й подходящей дроби в
степенной ряд будет совпадать с исходным степенным рядом до числа
n
x включительно. Такую цепную дробь называют соответствующей
данному ряду и обычно ищут в одном из следующих видов:
для данного степенного ряда можно также найти цепную дробь, разложение n-й подходящей дроби которой в степенной ряд совпадает с
исходным рядом до члена
присоединенной к данному ряду. Ее ищут в виде
Построим соответствующую цепную дробь для ряда
Отметим, что все преобразования будут носить формальный характер: цепная дробь и ряд могут и не сходиться при каком-либо значении x.
Ряд (1) представим в виде
где
1
Выполним замену:
1
1
Умножив обе части этого равенства на
циенты при одинаковых степенях
В ТЕОРИИ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ
210
∞
ix
b
0
=
i
xk
1
l
+
0
+
xl
1
α
2
+=
α
1
)(
xf
+−
0
0
;
++
b
1
i
1
nx2
включительно. Такую дробь называют
2
xk
2
+
∑
∞
=
i
α
α
−
+
xl
2
−α=
xxxf
i
0
3
0
1
2
0201
xx − , получим систему уравнений:
0
2
...
+β+β+β xx
можно найти такую цеп-
∞
xcb
i
,
∑∑
i
d
i
=
1
3
xk
3
111
+
i
.)()(
0
2
.
...
−
xl
3
(1)
),()()(
xfxxxf
1010
α
n
++−
α
1
n
n
)(
xf и приравняв коэффи-
1
1
−n
xxxxxxxf .
0
n
...)()1(...)()(1
+−β−++−β−−β−=
xxxxxx
0
...)(...)()(1)(
+−
.
94
α
βαα
2
=
=
;0
β−
1
α
1
α
α
α
3
1
2
;0
β−
β+
1
2
α
1
M
α
=
α
α
1
β−
1
1
α
из которой последовательно находятся коэффициенты
n
Запишем теперь
1
1
в виде
)(
xf
α
α
1
+
n
−=β
1
)(
1
β
2
2
−=
β
1
β
3
+−
0
β
1
α
1
−+
nnn
β+
2
α
n
∑
k
1
1
−
=
0
1
+
k
1
201
2
1
1
+
n
1
n
,)1(...0
β−++
n
),1( ∞=β n
n
α
1
+
k
β−+
−
)()(1
xfxxxf−β−=
−++−
.)1()1(
kn
α
1
β
n
1
+
n
β
xxxxxxxf
1
0
n
...)()1(...)()(1)(
+−
производя замену
1
)(
xf
2
Затем умножим обе части равенства на
фициенты при одинаковых степенях
j . Отметим, что подобные операции с рядом можно продолжать не-
i
2
.
...)()(1
+−+−+= xxjxxj
0201
)(
xf
и приравняв коэф-
2
xx −
)(
, находим коэффициенты
0
ограниченно. При этом получим дробь
)(
xf
0
−α
+α=
1
Заменив коэффициенты
)(
+
)(
−β
+
1
,,, j
и т.д. через ,...,,
1110
)(
−
xxjxxxx
00101
....
+
1
www , по-
210
лучим
xxwxxwxxwxxw
)(
w
0
−
+
+
1
)(
−
+
1
)(
−
1
+
nn
+
)(
−
01200201
, (2)
...
1
+
элементы которой определяются через коэффициенты исходного степенного ряда. Дроби, соответствующие данному ряду (2), О. Перон
назвал правильными C-цепными дробями. Отметим, что между правильными С-цепными дробями и произвольными аналитическими
95
ψ=ϕ
ν≥ν
=
ϕ
функциями не существует взаимно однозначного соответствия; однако
такое соответствие можно установить между аналитическими функциями и цепными дробями вида
rr
21
α
1
+
α
xx
21
+
11
,...
+
где
i
),1( ∞=ir
– некоторые натуральные числа. Такие цепные дроби
называются обобщенными С-цепными дробями.
Теорема. Цепная дробь, соответствующая степенному ряду
2
...)()(1
+−+−+ xxcxxc
0201
, тогда и только тогда бесконечна и пра-
вильна, когда определители:
21
ν
K
32
K
ν
K
K
K
ν
ccc
132
+ν
KKKK
ccc
121
−ν+νν
ccc
ν
ccc
143
+ν
KKKK
ccc
221
−ν+νν
(3)
);,1(
∞=ν=ϕ
),2(
∞=ν=ψ
ccc
K
отличны от нуля. В этом случае коэффициенты соответствующей цепной дроби имеют следующие значения:
ψϕ
1
−=
ν+ν
ϕψ
1
ν+ν
∞=ν
(4)
),,1(;;;1
где
ϕψ
11
−=ϕ==
2110
ν
1,1
=
.
10
−ν+ν
wwww
12
ψϕ
νν
+ν
Теорема. Цепная дробь, соответствующая степенному ряду
∞
i
∑
0
i
=
значение
i
, конечна тогда и только тогда, когда существует такое
−+
)(1
xxc
0
ν
, что для всех
0
справедливо равенство
0
0
ν
В этом случае степенной ряд является рядом Тейлора для рациональной функции, представленной в виде конечной цепной дроби.
Пример: построим соответствующую цепную дробь для функ-
ции
1
=
)(
2
xxf−
1
;
)1(
2
)1(
−
x
1432
−n
,......54321
+++++++=
nxxxxx
на основе использованных формул (3), (4) имеем:
.
96
=
ϕ
ϕ
=
χ
3
,1
,
2
2
3
1
,2,
6
0,
===−=−== wwwwww
531420
Тогда цепная дробь имеет следующий вид:
3
2
1
2
)1(
x
−
x
1
1
1
2
1
3
6
−+−+=
1
Вернемся к вопросу построения присоединенной дроби.
Теорема. Степенной ряд
∞
∑
i
=
i
0
i
имеет присоединенную
−+
)(1
xxc
0
цепную дробь
2
xxk
)(
xxk
−
1
+
01
−
xxl
−+
01
тогда и только тогда, когда все определители
−
02
−
xxl
−+
02
(3) отличны от нуля.
ν
Если введены обозначения:
;
c
21
K
K
ν
K
cccc
1121
+ν−ν
cccc
232
+νν
KKKKK
cccc
2221
ν−ν+νν
, так как
xxx
2
.
1
3
xxk
−
03
xxl
−+
03
),,2(
∞=ν=χ
0
.
3
(5)
)(1)()(1)()(1
(6)
то
χ
1
−=ϕ=
111
ϕ
1
ϕϕ
2
=
ν
−νν
=
lklk
ν
2
ϕ
1
−ν
χ
χ
1
ν
−ν
−
ϕ
ϕ
1
ν
−ν
.),2(;;;
∞=ν
(7)
2. Обратные разности и интерполирование функций цепными
дробями
Идея интерполирования разрывных функций рациональными
привела к построению интерполяционных формул в виде рациональных дробей. Одна из первых работ, посвященных рациональной интерполяции функций цепными дробями, опубликована Тиле в 1909 г.
xxx ,...,,
Пусть значения функции f(x) известны в точках
10
.
n
Естественно положить, что среди этих значений аргумента нет равных
между собой. Рассмотрим последовательность функций:
−
xx
0
],[),()(
=φ=φ
xxxfx
010
],,...,,[
=φ
xxxx
110
−
kkk
φ−φ
...,,
)()(
xx
000
−
xx
1
−
k
φ−φ
(8)
.
],,...,[],,...,[
xxxxxx
1201201
−−−−−
kkkkk
97
=
φ
φ
φ
φ
Если положить
Выражение
разностью
функции f(x) для значений аргумента
xx
, то получим
k
−
xx
1
−
],,...,,[
=φ
xxxx
110
−
kkk
],[
называется обратной первой раздельной
10xxk
kk
φ−φ
, xx
,
10
xxxxxx
−−−−−
kkkkkk
.
(9)
],,...,[],,...,[
1201201
],,[
xxx
–
2102
обратной второй раздельной разностью функции f(x) для значений
],...,[
аргумента
функции f(x) для значений аргумента
стью
,, xxx ,
210
xx
0 nn
– обратной n-й раздельной разно-
xxx ,...,,
.
n
10
Из соотношения (9) следует, что обратная раздельная разность
xxx
],,...,[
симметрична по значениям аргумента
10 kkk
−
1−
xx ,
kk
и, во-
обще говоря, не симметрична всех других значений аргумента.
Учитывая первые три формулы (8) и (9), получим тождества:
xx
−
xxxf
)()()(
+φ=φ=
000
0
xx
φ
101
x
)(
+φ=
],[
00
xx
−
0
xx
],[
101
−
+φ
φ
,
xx
1
xxx
],,[
2102
их, естественно, можно продолжить. Последовательно подставляя соотношение (8), получим тождество в виде дроби.
xx
−
)()(
xxf
+φ=
00
],[
xx
+φ
101
0
xx
−
1
],,[
xxx
+φ
K
2102
(10)
M
xx
−
n
1
+
−
−
],...,,[
xxx
+φ
nnn
10
−
φ
01
+
.
xx
n
],...,,[
xxx
nn
Если один из частных числителей цепной дроби (10) равен нулю,
то это звено и все следующие за ним не влияют на значение цепной
дроби, поэтому могут быть отброшены. Следовательно, подставляя в
(10) вместо x значения
xxx ,...,,
, убеждаемся в том, что левая часть
n
10
этого соотношения, соответственно, принимает значения
)(),...,(),(),(
210 n
xfxfxfxf . Поэтому, если в правой части (10) отбро-
сим последнее звено, то получим радикальную функцию, совпадающую с f(x) в точках
98
xxx ,...,,
.
n
10
−
xx
)()(
+φ=
xxf
00
xx
],[
+φ
101
0
xx
−
1
xxx
],,[
+φ
2102
.
(11)
M
xx
−
1
n
+
φ
−
.
],,...,,[
xxxx
110
nnn
−
Эта дробь приближает функцию f(x).
Вычисление обратных раздельных разностей удобно записывать в
виде таблицы:
xfx
);(
00
φ
xxxfx
];,[)(
Например
10111
φφ
xxxxxxfx
];,,[],[)(
210220122
φφφ
xx
−
xxx
=φ
],,[
3102
13
φ−φ
.
xxxx
],[],[
101301
.
xxxxxxxxxxfx
].,,,[],,[],[)(
32103310230133
Диагональные элементы построенной таблицы дают части знаменателя дроби (11).
Проиллюстрируем построение интерполяционной дроби (11) с
помощью таблицы
x f
4. Значения обратных раздельных разностей
φ
φ2 φ
1
3
φ4
0 2
1 3/2 –2
2 4/5 –5/3 3
3 1/6 –2
∞
0
4 6/17 –17/7 –7 –1/5 –5
тогда:
1
2)(
xf
+≈
x
1
x
2
+−
−
−
x
3
+
x
0
+
2
+=
−
2
3
−
5
−
−
+
3
2
3
−
xxx
+
.
5
−
Свернув эту дробь, получим рациональную функцию
2
)1()2(
xx ++ . Уже отмечалось, что обратно раздельные разности сим-
метричны только относительно двух последних значений аргумента.
99
ρ
ϕ=ρ
−
Оказалось, что выражение
+φ+φ+φ=ρ
]...,,[]...,,[]...,,[)...,,(
xxxxxxxx
kkkkkkkk
−−−−
40420200
⎡
φ+
[] []
k
2
...,,
k
⎢
2
⎣
xx
0
k
−−
2
⎤
k
⎥
2
⎦
(12)
симметрично относительно всех k + 1 значений аргумента. Это проверяется непосредственно в частности, полагая
xxxxxxx
=ϕ+φ=ρ
][],,[),,(
0021022102
Теперь симметричность
xxx
],[),(;)()(
xxxxfxx
=φ=ρ=φ=ρ ;
10110100000
),,(
относительно
2102
ii
==
−
−
),1()( nifxf
xx
01
ff
01
, имеем:
fffxfffxfffx
−+−+−χ
)()()(
102202112100
ffxffxffx
−+−+−
)()()(
102021210
,, xxx яв-
210
.
ляется очевидной, из (12) следует, что
],...,[),...,(),...,(
ρ
−−
xxxxxx
02020 kkkkkk
(13)
выражения вида
xx
−
1
−
kk
ρ−ρ
+
),,...,(),,...,(
xxxxxx
(14)
1201201
−−−−−
kkkkkk
называется
xxx ,...,,
k
10
),,...,(
xxx
=ρ
10
−
kkk
),1,0(),...,(
∞==ρρ+
kxx
1202
−−−
kk
обратной разностью функции f(x) для значения аргумента
.
Обратную разность функции можно записать при помощи удобной схемы:
xfx
)(
00
xx
ρ
xfx
)(
11
ρ
ρ
xfx
)(
44
M
),(
101
xxx
ρ
xx
),(
211
ρ
ρ
xx
),(
431
),,(
2102
xxxxxfx
ρ
xxx
),,(
3212
ρ
xxx
),,(
4322
),,,()(
3210322
ρρ
xxxxxfx
),,,()(
4321333
xxxxxxx
432104321
),,,,(),(
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]