Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Численные методы в информационных системах. Учебное пособие
.pdf
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ=φ
=
Вычисления значений ),...,(
xx
0 kk
производятся по формуле (14)
или в силу симметричности обратных разностей по формуле
−
xx
0
),...,(
=ρ
xx
0 −−
kk
k
ρ−ρ
ρ+
),...,(),...,(
xxxx
−−−
10111
kkkk
xx
kk
В качестве примера построим несколько обратных разностей для
функции
2
)1()2(
xx ++ .
5. Значения обратных разностей для функции (2 + х)/(1 + х2)
x f(x)
1
2
3
0 2
1 3/2 –2
2 4/5 –10/7 5
3 1/2 –10/3 –1/4 –2
4 6/17 –34/5 –1/13 14 –
C помощью обратных разностей можно определить коэффициенты дроби (11):
);,(],[);()(
φ
xxxxxfx
101101000
)...;(),,(],,[
−ρ=φ
xfxxxxxx
021022102
ρ−ρ=φ
),,...,(),...,(],,[
xxxxxxx
202010
−−
nnnnnn
тогда дробь (11) имеет следующий вид:
−
xx
+
xf
)(
0
+ρ
xx
),(
10
0
−
xx
1
+−ρ
xfxxx
...)(),,(
02102
(15)
M
).,...,(
112
4
−
xx
1
−
+
Дробь (15) называется
дробью Тиле. Отметим, что для записи
n
ρ−ρ
.
),...,(),...,(
xxxx
2020
−−
nnnn
этой дроби используются обратные разности верхней диагонали таблицы, начиная с
)(
xf , кроме этого, благодаря симметрии обратных
0
разностей, эту же таблицу можно использовать для построения формул, в которых даже интерполяции введены в другом порядке. Дробь
(15) совпадает с дробью (11), но алгоритм ее построения проще. Поэтому использование обратных разностей вместо обратных раздельных
101
+ρ=
ρ
=+ρ
ρ
ω
=ω−+ωω=
−
ω=ω
=
разностей видно только в том случае, когда необходимо получить несколько формул по одним и тем же данным интерполяции. Определение обратной разности особенно полезно в предельном случае, когда
все углы интерполяции
xxx ,...,,
близки между собой.
n
10
Отметим ряд свойств обратных разностей.
1.
2
n
2.
3.
4.
5. ).()(
−
⎛
⎜
6.
ρ
2
n
⎜
⎝
1
)/1(
z
=ρ
ρ
+ρ
=ρ
22
nn
12
−
⎞
bya
+
⎟
=
⎟
dyc
+
⎠
.
)(
z
2
n
22
nn
1212
nn −−
).()(
yccy
1
ρ=ρ
12
nn −
ρ+
ρ+
.)()(
cycy
).()(
ycy
yccy
)(
yba
2
n
)(
ydc
2
n
Объединив раздельные разности и обратные раздельные разности,
что достигается рассмотрением последовательности вида
);()()()();()(
xxxxxxxf
2122220
+
xx
−
)()(
xx
+ω=ω
121212
kkk
+++
ω
12
k
+
kkkkk
12
k
+
,
)(
x
получим интерполяционную цепную дробь:
+−+=
xxbxfxf
)()()(
010
−
xxba
232
xxxx
))((
10
+−+
)(
−−
xxxx
))((
32
+−+
xxba
)(
454
(16)
M
).();(
xbxa
121212222 +++
kkkkkk
3. Обратные произведения и аппроксимация функций цеп-
ными дробями
При определении обратных разностей предполагалось, что все
значения аргумента являются узлами интерполяции и различны между
собой. Предполагалось, что два или более значения аргумента совпадают или бесконечно близки. При этом определители, через которые
выражаются обратные разности, соответственно меняются
xxfxf
)()(1
+++
hxfhxhxf
)()()(1
yyfyf
=+ρ=ρ
lim),,(lim),,(
2
2
0
yhxxyxx
0
hh
→→
)(1
)(1
)(1
)()(1
.
xxf
++
hxhxf
yyf
102
[
У обоих определителей выпишем элементы первой строки из
элементов второй строки, разделим на
устремим
h→0, получим
h числитель и знаменатель и
)(1
xxf
′
.
1)(0
xf
)(1
yyf
),,(
yxx
2
Запишем теперь
)()(1
xxfxf
=ρ
′′
...
)()()(0
xfxfxxf
+
)()(1
yyfyf
x + k вместо y, выполним остальные действия,
получим:
xxfxf
)()(1
xxx
=ρ
2
),,(
1
0
2
′′
1
)(
′′′
2
xfxfxxf
+
+
...
)()()(0
′
xfxfxxf
)()(
1
0
2
xxf
)(1
′
xf
′′
.
1)(0
xf
0)(
Аналогично можно получить обратные разности любого порядка
при одинаковых значениях аргумента, так как возникающие при этом
неопределенные выражения всегда можно раскрыть, пользуясь симметрией обратных разностей по отношению к их аргументам. Тот частый
случай обратных разностей, когда все значения аргумента одинаковы,
называют
n-го порядка функции f(x) принято обозначать )(
обратной производной. Для записи обратной производной
)(xfn
и в частности
)(
n
,...,,
xxxx
→
10
n
xf
lim)(
=
xxx
→
,
21
10
xx
−
21
−
nxxxxf
nn
=
′
)()(
21
);,1(),...,,(lim)(
∞=ρ=
1
.
xfxfxf
)(
Найдем рекуррентное соотношение между обратными производными одной и той же функции. Не проводя математических выкладок,
соотношение имеет следующий вид:
1
)(
n
[]
=
xf
)(
n
−
nn
−
−−
nnn
n
)2()(
xfxf
)()(
)1()2()(
]
nxfnxfxf
);,2(
∞=
).,2()()()(
∞=+=
Если функция
предельный переход в формулах (14) при
жение функции
′
[]
где
f(x) удовлетворяет условиям, обеспечивающим
kixx
=→
0
i
f(x) в цепную дробь в окрестности точки
−
xx
)()(
xfxf
0
xx
=
0
0
+=
)(
xf
0
)()1(
0
−
+
−=
xx
′
[]
)(2
xf
)2(
iii
−−
xfxfxfi
0
+
=
xx
0
).()()(
−
)1(
−
n
′
[]
xx
00
)(
xfn
=
xx
x имеет вид
0
),1(
, то разло-
0
(17)
,...
+
103
Можно показать, что правильная C-цепная дробь (2) и дробь Тиле
(17) совпадают, т.е. если в окрестности точки
x одновременно имеет
0
два разложения (2) и (17), то необходимо, чтобы выполнялись следующие соотношения:
1
);(
xf
=ω=ω
100
=ω
2
n
−
=ω
12
n
+
+
;...
)(
xf
0
1
)12()22(
nn
−−
[]
1
)2()12(
+
nn
[]
;
)(/))(/(2)12(
xfxfnn
.
)(/))(/()12(2
xfxfnn
4. Исследование сходимости и оценка приближения функции
цепной дробью Тиле
Рассмотрим вопрос о приближении действительной функции f(x)
в окрестности
x цепной дробью Тиле. Приведем без доказательства
0
ряд результатов, которые дают возможность оценить ошибку, возникающую при выполнении приближения.
Теорема. Пусть функция f(x) раскладывается на отрезке [0, 1] в
)1(
−
i
цепную дробь (17), причем все
[]
i
∞=≥=
ixfix
),1(3)(/
. Тогда
цепная дробь (17) равномерно сходится на отрезке [0, 1] и имеет место
оценка
xP
)(
n
xf
)( ∞=≤− n
n
n
d
=
M
где
n
5. Анализ погрешностей округления при вычислении цепных
[]
n
}1,0{ξ=∈ξ
dx
xQxf
n
x
M
xQ
.)()(max
n
)(
2!
n
),,3(
(18)
дробей.
Качественные изменения в вычислительной математике связаны с
появлением ЭВМ, что способствовало развитию многих новых и переработке старых численных методов с целью ускорения их сходимости,
численной устойчивости, а также экономии машинной памяти
Как показала практика, этим требованиям в достаточной мере
удовлетворяют цепные дроби.
Погрешность округления, имеющая место при вычислении на
ЭВМ
, оценивается на основе использования следующей теоремы.
Теорема. Если цепная дробь (18) с точно записанными в ЭВМ
элементами вычисляется в режиме с плавающей запятой, то эквивалентные возмущения, соответствующие приближенному вычисли-
104
тельному процессу, независимо от количества этажей дроби, ограничены величиной
хранения мантиссы числа.
1. Расскажите о связи цепных дробей и степенных рядов.
2. Приведите примеры построения соответствующих цепных дро-
бей для простейших функций, для которых известны разложения в ряд
Тейлора.
3. Расскажите о применении цепных дробей для решения задач
интерполяции.
4. Приведите выражение для обратной первой и второй раздель-
ных разностей.
5. Приведите пример построения интерполяционной
мощью таблицы.
6. Приведите конструкцию, которая называется дробью Тиле.
7. Расскажите о возможности использования цепных дробей для
решения задач аппроксимации.
8. Как оценивается точность приближения функции цепной дро-
бью?
9. Каким образом оцениваются погрешности округления при вы-
числении цепных дробей?
t−
2 , где t – число разрядов ЭВМ, отведенных для
Вопросы для самопроверки
дроби с по-
105
Тема 14. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕТВЯЩИХСЯ ДРОБЕЙ
1. Определение ветвящейся цепной дроби
Ветвящаяся цепная дробь является новым математическим понятием, возникшим на основе геометризации понятия обычной цепной
дроби. Так, цепную дробь
a
1
(1)
a
2
+
b
1
b
+
2
a
n
+
b
+
n
M
a
состоящую из звеньев
ческой форме, если каждому такому звену поставить в соответствие
фигуру, изображенную на рис. 1.
Число
a
делится на сумму двух чисел
i
легко получить геометрическое изображение цепной дроби (1), которая представляет собой ориентированный граф типа дерева (рис. 2).
Возникает вопрос, какой аналитический математический объект
отвечает в предлагаемой интерпретации дереву общего вида.
Рассмотрим геометрически ориентированное дерево, представленное на рис. 3.
i
rb
ii
, можно изобразить и в геометри-
),1( ∞=+i
rb + , на основе этого
ii
Рис. 8. Геометрическое
представление звена цепной дроби
106
Рис. 9. Дерево, описываемое
цепной дробью
=
=
Рис. 10. Геометрически ориентированное дерево,
описываемоле цепной дробью
Поставим в соответствие каждой концевой вершине
(Д) оператор
тор
)( k
a . В частности, можно поставить в соответствие вершинам чис-
i
)( k
, а каждой концевой вершине
b
ij
)(k
A дерева (Д) опера-
i
)( k
B дерева
ij
ла, функции, независимые переменные или другие математические
объекты. Далее ориентируем дерево (Д) при помощи стрелок, которые
выходят из каждой не концевой вершины. Вершину
корень дерева. Тогда в каждую вершину
)(k
стрелка, а из каждой вершины
которых
m
штук идут к концевым вершинам
ik
A выходит несколько стрелок, из
i
k
,
BA входит только одна
ij
j
)1(
A принимаем за
1
)()(
k
)(k
B , ikn штук к сле-
ij
дующим неконцевым вершинам дерева (Д). Поэтому каждая из вершин
n
ik
нам
образуют вершины
лении вершин
совокупности стрелок, которые из нее выходят, к вершине
тогда (если положив для простоты
)( k
A является точкой ветвления дерева (Д) с числом ветвлений
i
. Корень дерева (Д) и совокупность стрелок, подходящих к верши-
)( k
B , образуют первый этаж дерева (Д). Второй этаж дерева (Д)
ij
)2(
A и стрелки, которые выходят из них в направ-
j
)2(
B и т.д. Поставим в соответствие вершине
ij
B
ij
)(
k
a
)(
k
1
i
i
)(
k
k
2
i
++++
...
3
i
, ) дереву указанного
(2)
,
)()(
k
bbbb
imik
mmnn
ikik
A и
i
)( k
, дробь
)( k
вида соответствует ветвящаяся цепная дробь:
107
)1(
a
1
)1(12)1(
11
)1(
...
bbb
++++
1
m
11
)2(
)2(
12
)2(
a
1
bbb
1
m
)3(
)2(
1
......
++++++
...
+
)3(
aa
4
MM
(3)
)2(
a
+
41
4
a
1)1(
+−
nn
)2()2(
bb
nm
)3(
a
2
n
......
+++++
LL
с числом ветвей n.
Обратно, каждой ветвящейся цепной дроби соответствует в предлагаемой геометрической интерпретации единственное дерево.
Рассмотрим пример. Построим ветвящуюся дробь для дерева,
представленного на рис. 4.
1
3
21
++−
+
4
+−
5
11
7
6
+
+−
1
−
3
.
8
−
109
Обычная цепная дробь является частным случаем ветвящейся
цепной дроби, когда число ветвей равно единице.
Ветвящуюся цепную дробь можно определить и по-другому. Известно, что при изучении цепных дробей с комплексными компонентами очень удобно их рассматривать как композицию дробнолинейных отображений. Ветвящаяся цепная дробь с N ветками ветвления,
которая является естественным обобщением обычной цепной
дроби, может быть определена как композиция N-мерных дробнолинейных отображений в поле комплексных чисел.
abb
,, – комплексные числа,
iiiiii
...,,...,,0
kk
2121
–
iiiz,...,
k
21
комплексные переменные и
108
Рис. 11. Пример «взвешенного» дерева
;...),...,,(
zzzbzzzT
++++=
где
210210
),...,,(
zzzT
21
k
),1,,1( ∞== kNi
=
Niiii
1111
zzT
=
.........
iiiiiiiii
2112121
kNkk
– некоторая совокупность N-мерных дробно-
Nn
a
i
1
...
21
a
;
zzzb
++++
Niiii
1111
...
iiii
321
k
zzb
++
2112121
.........
,),...,(
iiiiiiiii
knkk
(4)
линейных отображений, взятых, вообще говоря, в разных точках. Тогда рассматриваемые композиции этих отображений приводят к следующей записи ветвящийся цепной дроби с N витками:
n
+
b
0
∑
=
1
i
1
+
b
i
1
∑
i
a
i
1
n
=
2
a
ii
21
+
b
ii
1
21
(5)
M
n
a
...
iii
k
∑
k
21
b
=
1
,
+−
...
iii
k
21
+
i
),1,,1(,,
∞== kNibba
где
...,,0...,,
2121
kiiiiii
kk
– переменные, в частности,
они могут быть числами, матрицами, операторами, элементами абстрактных пространств, в которых введены операции сложения и деления. Компоненты ветвящейся цепной дроби
стными делителями,
– частными знаменателями.
iiib...,,
k
21
называются ча-
iiia...,,
k
21
Если число компонентов конечно, то дробь называется конечной,
в противном случае, бесконечной. Впредь, если это не будет оговорено, будем рассматривать ветвящиеся цепные дроби, компонентами
которых является действительные или комплексные числа.
Дробь
ba
щейся цепной дроби с индексом
называется оценочным звеном k-того порядка с индексом
если все следующие части числителя
при фиксированном наборе чисел
дробь на k-м элементе на ветке с индексами
называют звеном k-го порядка ветвя-
iiiiii
...,,...,,
kk
2121
iii ...,,
. Звено
k
21
Nia
=
1...,
kiii
,21
21
+
k
iii ...,,
, т.е. ветвящаяся цепная
k
iii ...,,
обрывается.
k
21
ba
...,,...,,
2121
21
),1(
равны нулю
iiiiii
kk
iii ...,,
k
109
,
Ветвящаяся цепная дробь с N ветками ветвления можно компактно записать в виде
N
b
0
i
1
N
a
i
b
i
a
ii
1
1
21
b
ii
i
11
21
2
N
a
∑∑∑
b
i
1
===
k
iiii
...,,
k
321
...,
,321
......
+++++
iiii
k
(6)
или в виде
n
a
iii
...,
,21
k
+
b
0
∑
b
i
=
1
k
. (7)
iii
...,,
21
k
2. Формула разности подходящих дробей. Свойство вилки
При изучении вопросов сходимости и устойчивости ветвящихся
цепных дробей важное значение имеет формула разности двух подходящих дробей. В теории цепных дробей для решения аналогичных
вопросов широко используются линейные рекуррентные формулы
второго порядка для числителей и знаменателей подходящих дробей.
Однако для ветвящихся цепных дробей такие формулы, вообще говоря, не имеют
места. Простых и удобных для исследования рекуррентных формул подходящих дробей пока построить не удается. Введем
рекуррентные соотношения:
)(
p
=
ba
...,,
iii
21
p
)(
p
21
ba
...,,
iii
k
;
...,,
iii
21
p
N
a
...,,
iii
121
+
k
+=
...,,
iii
21
∑
k
p
Q
i
1
+
k
;
)(
...,,
iii
121
+
k
),,1,1,1,,1(
∞=−==
k
ppkNi
на основе которых можно получить
+
m
1
a
iii
P
P
m
n
Q
n
)(
s
Q – рациональная функция от компонент ветвящейся цепной
где
iii
...,,
21
k
−=−
Q
m
n
m
)1(
∑
iii
=
1...
+
m
121
∏
k
+
m
1
m
k
=
1
...,
k
,21
1
=
m
)(
iii
...,,
m
QQ
∏∏
k
=
1
, (8)
)(
iii
...,
kk
,2121
дроби. Свойство вилки сформулировано в виде следующей теоремы.
Теорема. Если у ветвящейся цепной дроби (7) все компоненты поло-
жительны, то для подходящих дробей (7) выполняются свойства вилки:
P
−
12
i
Q
−
i
.......
>>>>
12
110
1.
P
P
3
1
Q
Q
3
1
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]