Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Численные методы в задачах математического моделирования движения небесных тел в Солнечной системе. Монография
.pdf
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
z
∆
(
)
ченных с его помощью, с базой данных DE405, согласованной с радиолокационными наблюдениями [40]. Поэтому данный метод был
выбран для оценки эффективности метода Адамса – Мултона.
На основе численного интегрирования дифференциальных
уравнений движения Солнца, больших планет и Луны с учетом релятивистских эффектов, несферичности тел и влияния пояса астероидов, был создан банк данных координат и скоростей с 1600 по
2200 гг., описанный в работе [43], с которым и осуществлялось
сравнение.
Для исследования эффективности метода Адамса – Мултона
было проведено решение уравнений движения больших планет, Луны и Солнца с шагом интегрирования 0,25 дня и одиннадцатым порядком точности на интервале времени с 1600 по 2200 гг. [2]. При
расчете учитывались релятивистские эффекты, несферичность Земли и Луны, а также влияние пояса астероидов. Число итераций в
методе прогноза и коррекции задавалось равным единице.
Для ряда моментов времени t вычислялось расстояние между
положением планеты, которое соответствует координатам
ty
,
tz
1
положением планеты с координатами
, полученным с помощью метода Адамса – Мултона, и
1
tx
,
ty
,
tz
2
2
, взятыми из
2
tx
1
банка данных для тех же моментов времени t, то есть определялись
величины
)(
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
2
21
Отклонения в координатах ( x∆, y∆,
2
21
−+−+−= .
) и расхождения
2
tztztytytxtxtr
21
tr ,
полученные по данной формуле, приведены в табл. 6.1.
Как видно из табл. 6.1, отклонения вычисленных координат
планет, полученных методом Адамса – Мултона 11-го порядка и
модифицированным методом Эверхарта 27-го порядка, очень малы
и находятся в пределах точности оптических наблюдений.
Наибольшее расхождение отмечено в положениях Марса и Юпитера. Оно близко к пятидесяти километрам, что в астрономических
масштабах является незначительной величиной. Данные результаты
указывают на высокую эффективность метода Адамса – Мултона
11-
го порядка при исследовании движения больших планет на дли-
тельных интервалах времени.
,
141
(
)
∆
∆
z
∆
r
Таблица 6.1
Расхождения
вычисленных методами Адамса – Мултона и Эверхарта
Меркурий
Венера
Земля
Луна
Марс
Юпитер
Сатурн
Уран
Нептун
Плутон
tr
за 600 лет в координатах больших планет и Луны,
x
, а.е.
105,16
⋅
101,38
⋅
109,84
⋅
107,51
⋅
103,22
⋅
101,79
⋅
101,83
⋅
103,42
⋅
107,06
⋅
102,09
⋅
, а.е.
y
-10
7
−
-8
-6
-8
-8
-8
-8
-8
-8
-8
104,27
⋅
-7
101,48
⋅
-8
105,39
⋅
-6
103,77
⋅
-7
102,59
⋅
-7
102,31
⋅
-8
103,15
⋅
-8
105,28
⋅
-7
102,49
⋅
-8
109,53
⋅
, а.е.
108,78
⋅
101,82
⋅
107,61
⋅
108,40
⋅
102,27
⋅
102,05
⋅
109,29
⋅
108,39
⋅
108,02
⋅
101,16
⋅
-8
-7
-8
-6
-7
-7
-8
-8
-9
-7
, км.
14,5997
40,7741
20,2888
1264,38
51,6688
46,3112
14,9374
15,6899
38,6879
22,7118
Для Луны отличие в координатах более значительно, что, повидимому, является следствием применения различных алгоритмов
при вычислении правых частей дифференциальных уравнений решаемой задачи. Однако и в этом случае ошибка в положении спутника
нашей планеты за 600 лет не превосходит радиуса самой Луны.
Следует отметить, что численное интегрирование уравнений
движения Солнца, больших планет и Луны с помощью метода
Адамса 11-го порядка с шагом 0,25 дня производится приблизительно за десять минут (на компьютере с процессором Pentium IV
3000 МГц), то есть примерно в четыре раза быстрее, чем с помощью
модифицированного метода Эверхарта 27-го порядка с шагом в
один день. Однако при использовании метода Эверхата 27-го порядка с шагом три дня, преимущество в быстродействии метода
Адамса почти исчезает. При этом в точности полученного решения
метод Адамса уступает методу Эверхарта.
Аналогичным преимуществом метод Эверхарта обладает и перед методом Коуэлла в силу того, что метод Коуэлла имеет более
низкий порядок точности по сравнению с методом Эверхарта.
Следовательно, для исследования эволюции орбит больших
планет на интервале времени 600 лет (1600–2200 гг.) предпочтительнее использовать метод Эверхарта по сравнению с методами
Адамса и Коуэлла, поскольку точность решения в большинстве
случаев более важна, чем быстродействие.
142
X
ɺ
Y
ɺ
Z
ɺ
6.2. СРАВНЕНИЕ ГЕОЦЕНТРИЧЕСКИХ КООРДИНАТ
ВНУТРЕННИХ ПЛАНЕТ, ПОЛУЧЕННЫХ НА ОСНОВЕ
НОВОГО ПРИНЦИПА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
С БАНКОМ ДАННЫХ DE405
В настоящее время разработан ряд высокоточных численных
известной из них является численная теория, созданная сотрудниками НАСА Ньюхоллом, Стэндишем и Вильямсом [102, 107]. Ими
составлен банк данных координат больших планет, Луны и Солнца
– DE405 на интервале времени с 2305424,5 J.D. (1599 Jan 5) по
2525008,5 J.D. (2201 Feb 20). Координаты планет в банке данных
хранятся в форме коэффициентов полиномов Чебышева, которые
обеспечивают достаточно плотную форму записи на диске. Координаты и скорости внутренних планет, полученные с помощью банка данных DE405, согласованы с радиолокационными наблюдениями, а все планеты согласованы с оптическими наблюдениями.
С целью проверки эффективности математической модели,
описывающей движение больших планет, Луны и Солнца системой
дифференциальных уравнений (1.21), в данной главе проведены
исследования движения этих объектов на интервале времени с
1602 г. по 2193 г. и результаты вычислений сопоставлены с банком
данных DE405. Начальные данные координат – X, Y, Z и скоро-
стей
,
,
, фактических радиусов
и ускорений
ir0
приве-
ia0
дены в табл. 6.2.
Оценка точности численных и аналитических теорий движения
небесных тел проверяется путем сравнения полученных координат
объектов с наблюдениями. Погрешность в координатах планет,
найденных по оптическим наблюдениям, составляет 1000–1500 км.,
что в астрономических единицах соответствует
5
100,1−⋅
а.е. [57]. Точность радиолокационных наблюдений на два
порядка выше, что в астрономических единицах составляет
а.е. –
7
100,1−⋅
а.е. В связи с этим при сравнении координат и компо-
107,6−⋅
6
а.е. –
107,6−⋅
нент скоростей на интервале времени с 1602 г. по 2193 г. в табл.
6.3 – 6.12
удерживалось 7 знаков после запятой.
Наряду с математической моделью, представленной в форме
системы обыкновенных дифференциальных уравнений и описыва-
8
143
ющей движение небесных тел, важную роль в процессе решения
играет численный метод интегрирования данной системы.
Численное интегрирование уравнений движения (1.21) было
проведено модифицированным методом Эверхарта 27-го порядка с
шагом интегрирования 3 дня [40, 47, 50].
Отметим различия математических моделей, на основании которых строились численные теории движения больших планет, Луны и
Солнца DE405 и в данной работе. В математической модели DE405
учитывались релятивистские эффекты, при этом наряду с планетными
возмущениями учитывались возмущения на движение Марса и Юпитера от 400 самых крупных астероидов, движущихся в поясе астероидов [102]. Кроме того, движение Луны и Земли рассматривалось с учетом их фигур, отличных от тел сфероидальной формы.
В математической модели в данной главе уравнения (1.21) являются нерелятивистскими, предполагается, что Земля и Луна имеют форму сфероида. В отличие от математической модели DE405,
движение Марса и Юпитера рассматривалось без учета влияния на
их движение пояса астероидов. Следует отметить, что математическая модель для исследования движений больших планет, Луны и
Солнца, представленная в виде систем дифференциальных уравнений (1.21), значительно проще математической модели, используемой при создании банка данных DE405.
Важно знать, насколько результаты вычислений координат и
компонент скоростей больших планет и Солнца, полученные с помощью описанных здесь математических моделей, согласуются
друг с другом.
В табл. 6.3 – 6.12 на интервале времени с 1602 по 2193 гг. представлены координаты и компоненты скоростей больших планет и
Солнца. Данные координат и компонент скоростей приведены на 0
часов гринвичского времени соответствующей даты, при этом в первой строке таблицы – данные банка DE405, во второй – координаты и
компоненты скоростей, полученные путем решения уравнений (1.21).
Результаты сопоставления численного интегрирования уравнений движения (1.21) с данными банка данных DE405 приведены в
табл. 6.2 – 6.11 и 6.12 – 6.15.
В первом столбце табл. 6.3 приведены координаты и скорости
Солнца по DE405 и вычисленные по формулам (1.21), в первом
столбце приводится время в календарной и юлианской датах на
стандартные моменты. Как видно из табл. 6.3, координаты и компоненты скоростей Солнца, вычисленные двумя различными метода-
144
ми, отличаются друг от друга в шестом и седьмом знаках после запятой соответственно, что находится в пределах погрешностей
наблюдений.
В табл. 6.4 и 6.13 приведены координаты и компоненты скоростей и элементы орбит Меркурия. Как показывают результаты вычислений, координаты, компоненты скоростей и элементы орбит,
найденные путем решения уравнений (1.21) и с помощью DE405,
полностью согласуются друг с другом, при этом расхождение координат и компонент скоростей находятся в пределах как оптических,
так и радиолокационных погрешностей наблюдений.
В табл. 6.5 и 6.14 представлены координаты, компоненты скоростей и элементы орбит Венеры. Сравнение элементов орбит (см. табл.
6.14) показывает, что, кроме аргумента перигелия, элементы орбит,
полученные на основе решения уравнений (1.21) и найденные с помощью банка данных DE405 на одни и те же моменты времени, практически совпадают. Отличие в вековом смещении аргумента перигелия
(см. табл. 6.12) влечет различие координат и компонент скоростей,
приведенных в табл. 6.5, при этом координаты отличаются между собой в пятом знаке после запятой, а компоненты скоростей – в шестом
знаке. Средние аномалии, найденные двумя методами, различаются
между собой в пределах погрешности наблюдений. Вследствие того,
что средняя аномалия определяет положение небесного тела на орбите,
а величина аргумента перигелия не может быть получена непосредственно из наблюдений, из-за малого различия вековых смещений перигелия Венеры (см. табл. 6.12) не представляется возможным оценить
его истинное вековое смещения.
В табл. 6.6 и 6.15 приведены координаты, компоненты скоростей и элементы орбит барицентра «Земля + Луна». Из сравнения
элементов орбит, найденных двумя методами (см. табл. 6.15), следует, что отличия значений аргументов перигелиев для барицентра
«Земля + Луна» на одни и те же моменты времени имеет место
вследствие различия векового смещения аргумента перигелия,
найденного с помощью решения уравнений (1.21) и по DE405.
Отличие векового движения аргумента перигелия, найденного
двумя методами, характерно и для Марса (см. табл. 6.7 и 6.16). Однако вследствие несущественных различий средних аномалий на
всем интервале интегрирования установить истинную скорость
движения аргумента перигелия Марса на основании данных наблюдений не представляется возможным.
145
X Y Z
X
ɺ
Y
ɺ
Z
ɺ
r
a
⋅
X Y Z
X
ɺ
Y
ɺ
Z
ɺ
r
a
X Y Z
X
ɺ
Y
ɺ
Z
ɺ
r
a
⋅
X Y Z
X
ɺ
Y
ɺ
Z
ɺ
r
a
X Y Z
X
ɺ
Y
ɺ
Z
ɺ
r
a
Таблица 6.2
Начальные данные координат, скоростей, ускорений и радиусов
планет, Луны и Солнца
T=2440400,5 J.D. (1969 06 28.0)
Меркурий
0,361762747189347 −0,090781975617 −0,085714990648
0,00336749388398 0,0248945204468 0,0129463006886
2
3
10424,2 ⋅
−
1060,36906665
Венера
0,612751961776142 −0,348365380114149 −0,195278295490321
0,0109520687617 0,0156176843653 0,00633110555360
3
10100,6 ⋅
2
−
10899027143,0
⋅
Земля
0,120527234049341 −0,925814264680769 −0,401527019324145
0,01680396489538923 0,00175034387378575 0,00075924249915795
2
3
1020315,6 ⋅
−
1030,97983133
Луна
0,11971906285702 −0,927808896784386 −0,402614282901687
0,01740504972052833 0,00158289841317055 0,00067368035418395
3
10738,1 ⋅
2
100,163−⋅
Марс
−0,11018607599 −1,3275994767 −0,60588914201
0,0144816531544 0,000242463117760 −0,000281520734247
3
10812,4 ⋅
146
2
1030,46916977−⋅
X Y Z
X
ɺ
Y
ɺ
Z
ɺ
r
a
⋅
X Y Z
X
ɺ
Y
ɺ
Z
ɺ
r
a
⋅
X Y Z
X
ɺ
Y
ɺ
Z
ɺ
r
a
⋅
X Y Z
X
ɺ
Y
ɺ
Z
ɺ
r
a
X Y Z
X
ɺ
Y
ɺ
Z
ɺ
r
a
⋅
Продолжение табл. 6.2
Юпитер
−5,379706898836 −0,830480581460 −0,224828700228
0,00109201170001 −0,00651811656579 −0,00282078316536
2
4
10144,7 ⋅
−
1042,48412391
Сатурн
7,894392441979 4,596477801627 1,558697573530
−0,00321755525030 0,00433580985896 0,00192864656566
2
4
10044,6 ⋅
−
1081,03801714
Уран
−18,265398306822 −1,161944505518 −0,250103483937
0,000221188417418 −0,00376247593285 −0,00165101470307
2
4
10486,2 ⋅
−
1010,93901423
Нептун
−16,055042583768 −23,942181216179 −9,400156723549
0,00264277104336 −0,00149831445536 −0,000679041903018
4
10650,2 ⋅
2
−
10000508651,1
⋅
Плутон
−30,483319603999 −0,872478355496 8,911563040990
0,000322210447723 −0,00314357030215 −0,00107794882974
2
3
10900,2 ⋅
−
10150,11671831
147
X Y Z
X
ɺ
Y
ɺ
Z
ɺ
⋅
−
⋅
⋅
r
a
⋅
Окончание табл. 6.2
Солнце
0,0045025081562339 0,0007670747009324 0,0002660568051770
6
−
10960,35174820
5
109596405726,6 ⋅
5
−
109960,51776253
3
−
108273,992035
5
−
105440,22291018
В табл. 6.8 – 6.12 представлены координаты и компоненты скоростей внешних планет (Юпитер – Нептун) и Плутона на три стандартные даты: 11 августа 1602 г., 21 апреля 1898 г. и 7 июня 2193 г.
Как видно из данных, приведенных в табл. 6.8 – 6.12, значения координат и компонент скоростей, найденных двумя различными методами, практически не отличаются друг от друга.
В табл. 6.13 – 6.16 приведены элементы орбит внутренних планет,
полученные тремя различными методами. В первой строке на каждую
стандартную дату представлены элементы орбит, найденные с помощью банка данных DE405, во второй строке – на основании решения
уравнений (1.21) и в третьей строке – элементы орбит, вычисленные с
помощью решения ньютоновых уравнений. Это позволяет определить
дополнительное вековое смещение аргумента перигелия по сравнению
с ньютоновой моделью движения для каждой из планет.
Из сопоставления элементов орбит Венеры, барицентра «Земля
+ Луна» и Марса на различные моменты времени (см. табл. 6.14 –
6.16) следует, что различия элементов орбит, за исключением ар-
гумента перигелия, полученных с помощью банка данных DE405 и
на основе решения дифференциальных уравнений (1.21), на всем
интервале интегрирования практически совпадают. На основании
сопоставления аргументов перигелиев, найденных с помощью решения уравнений (1.21) и на основании решения ньютоновых уравнений, получены следующие дополнительные вековые смещения: у
Меркурия оно составляет 42,88 секунд за столетие, у Венеры – 2,16
секунды, у Земли + Луны – 1,79 секунды и у Марса – 0,27 секунд.
Отсюда следует, что математическая модель движения Меркурия, основанная на использовании формул (1.21), полностью объясняет дополнительное вековое смещение долготы перигелия по
148
сравнению с ньютоновой моделью движения небесных тел, равное
42,88 секунд за столетие.
В отличие от Меркурия, подобного согласования в смещении
долгот перигелиев у Венеры, Земли + Луны и Марса, полученных с
помощью DE405 и уравнений (1.21), не наблюдается (см.
табл. 6.14). У Венеры оно равно 2,16 секунды вместо 8,62 секунд,
предсказанных релятивистской динамикой [13, 16]; у Земли + Луны
– 0,60 секунд вместо 3,84 и у Марса – 0,12 секунды вместо 1,35 секунды. Следует отметить, что дополнительные смещения долгот
перигелиев этих планет вычисляются с большими ошибками, значения которых по абсолютной величине составляют: для Венеры –
5,28 секунды, для Земли+Луны – 1,79 секунды и для Марса – 0,27
секунды. Вследствие этого не представляется возможным выявить
истинные вековые смещения долгот перигелиев этих планет, основываясь на оптических наблюдениях.
Таким образом, в данном параграфе проведено сопоставление
координат компонент и элементов орбит больших планет и Солнца,
найденных тремя методами: на основе банка данных DE405, путем
решения ньютоновых уравнений и с помощью решения уравнений
(1.21). На основании проведенных исследований можно сделать
следующие выводы.
Применение механики Ньютона для исследования движения не
позволяет получить дополнительное смещение аргумента перигелия
у Меркурия. Использование релятивистских уравнений больших
планет, Луны и Солнца также не позволяет с помощью одной системы дифференциальных уравнений удовлетворительно согласовать движение этих тел с наблюдениями. Для движения Луны решается дополнительная система дифференциальных уравнений,
учитывающая отклонения фигуры Земли от сфероида.
Проведенные исследования показали, что численные расчеты
координат больших планет и Солнца, основанные на решении системы дифференциальных уравнений (1.21) вполне удовлетворительно согласуется с координатами этих объектов, вычисленных с
помощью банка данных DE405. Уравнения (1.21) не содержат членов, учитывающих несферичность Земли и Луны, являясь при этом
нерелятивистскими уравнениями.
149
X
Y
Z
X
ɺ
Y
ɺ
Z
ɺ
X
Y
Z
X
ɺ
Y
ɺ
Z
ɺ
Координаты и компоненты скоростей Солнца по DE405 и вычисленные по формулам (1.21)
Таблица 6.3
Солнце
Дата
1602 08 11 0,0067618 0,0037287 0,0013669
2306400,5 0,0067612 0,0037284 0,0013668
1898 04 21 0,0063571 0,0025181 0,0009038
2414400,5 0,0063570 0,0025180 0,0009038
2193 06 07 0,0033855 0,0005216 0,0000892
150
2522400,5 0,0033858 0,0005218 0,0000892
6
1090,4−⋅−
6
1090,4−⋅−
6
1039,2−⋅−
6
1039,2−⋅−
7
102,7−⋅−
7
102,7−⋅−
6
1008,6−⋅
6
1008,6−⋅
6
1082,6−⋅
6
1082,6−⋅
6
1000,6−⋅
6
1000,6−⋅
6
1073,2−⋅
6
1073,2−⋅
6
1000,3−⋅
6
1000,3−⋅
6
1059,2−⋅
6
1059,2−⋅
Таблица
6.4
Координаты и компоненты скоростей Меркурия по DE405 и вычисленные по формулам (1.21)
Меркурий
Дата
1602 08 11 −0,0198081 0,4068445 −0,2148856 0,0224551 0,0007397 −0,0019606
2306400,5 −0,0198088 0,4068449 −0,2148857 0,0224551 0,0007397 −0,0019606
1701 03 05 0,3366723 −0,1437933 −0,1127282 0,0074835 0,0235400 0,0117803
2342400,5 0,3366719 −0,1437940 −0,1127284 0,0074835 0,0235400 0,0117803
1799 09 27 0,0472475 0,2651303 0,1373714 −0,0334593 0,0033352 0,0052703
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]