Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Численные методы в задачах математического моделирования движения небесных тел в Солнечной системе. Монография
.pdf
µ
e
T
∆
времени нельзя использовать только одну систему оскулирующих
элементов для каждой планеты.
Для того чтобы избежать данных недостатков, Н.А. Беляевым
[10] для вычисления координат всех больших планет использовалась система оскулирующих элементов этих планет. Внутри каждого промежутка координаты планеты вычисляются по формулам невозмущенного движения, а при переходе от одного промежутка к
другому меняются системы оскулирующих элементов планеты.
В табл. 5.1 указана величина временного промежутка, в пределах которого движение планеты считается невозмущенным (момент
оскуляции приходится на середину), и максимальные абсолютные
ошибки прямоугольных координат на границах интервалов. Для
вычисления прямоугольных координат планет в процессе интегрирования Н.А. Беляевым [10] использовался массив данных, содержащий для каждой из планет три элемента и шесть проективных
коэффициентов:
M
, µ, e,
0
где
M – средняя аномалия,
0
A ,
A , zA , xB , yB ,
x
y
B ,
z
– среднесуточное движение,
– эксцентриситет,
A , yA , zA , xB , yB ,
x
Интервалы, в пределах которых движение планеты принято
невозмущенным, и величины ошибок прямоугольных координат
Планета
Юпитер 80
Сатурн 120
Земля 150
Венера 150
Марс 1200
Уран 1200
Нептун 1200
Плутон 1200
B – проективные коэффициенты [10].
z
на границах этих интервалов
(сут.)
121
Таблица 5.1
S∆
(а.е.)
max
6
105−⋅
5
105−⋅
5
104−⋅
5
104−⋅
3
102−⋅
3
102−⋅
3
102−⋅
3
104−⋅
ɺɺɺ
ɺɺɺ
,
x
,
y
z
ɺ
ɺ
ɺ
Современные теории движения больших планет и малых тел
Солнечной системы основаны на высокоточных астрономических
наблюдениях, поэтому величины ошибок, приведенные в табл. 5.1, не
являются приемлемыми. Увеличение точности координат планет по
известным оскулирующим элементам можно получить путем уменьшения интервалов, в пределах которых движение планет можно считать невозмущенным. Для повышения точности вычисления координат планет интервалы, в пределах которых движение планет считалось
невозмущенным для всех планет, нами был выбран одинаковым и равным 10 дням [41]. Кроме того, вместо трех элементов орбит и шести
проективных коэффициентов в банк данных для каждой планеты помещались шесть элементов орбит. Это M – средняя аномалия, a –
большая полуось, e – эксцентриситет, i – наклонение, Ω – долгота
восходящего узла, ω – аргумент перигелия.
5.1. МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ ОСКУЛИРУЮЩИХ
ЭЛЕМЕНТОВ БОЛЬШИХ ПЛАНЕТ ПО ИЗВЕСТНЫМ
КООРДИНАТАМ И СКОРОСТЯМ
Для нахождения элементов орбит по известным барицентрическим координатам и скоростям использовались следующие формулы:
где
*
,
xxx
−=
0
*
,
yyy
−=
0
*
,
zzz
−=
0
z – гелиоцентрические экваториальные координаты пла-
*
,
xxx
−=
0
*
ɺɺɺ
,
yyy
−=
(5.1)
0
*
,
zzz
−=
0
нет, Луны и исследуемого объекта;
*
*
x ,
*
y ,
– барицентрические экваториальные компоненты
скорости планет, Луны и исследуемого объекта;
x
,
y
,
z
0
– координаты Солнца в барицентрической экватори-
0
0
альной системе координат.
По известным координатам и скоростям по нижеследующим
формулам (5.2) – (5.7) вычислялась система оскулирующих элементов планет и Луны:
2
где
2
0
00
2
zyxr ++= ,
0
M
, a, e, ω, Ω, i, [1, 27]:
0
2
V
21
0
−= , (5.2)
f
ra
0
2
2
2
2
0
0
++= ,
0
zyxV
0
122
a
ɺ
ɺ
ɺ
′
′=′
a
e
ω
Ω
i
(
)
≤≤−
n
tg−=
υ
0
где
M – средняя аномалия,
0
sp
0
s
fa
Ee =
sin ,
′
′
,
=
utg
0
)(
rpf
0
Ee
++=
sin EeEM −=
′′
ɺ
−=Ω
′′
ɺ
ɺɺ
−=
xyyxifp
0000
cosec
0
′
+Ω
r
0
1cos −= , (5.3)
0
zzyyxxs
, (5.4)
000000
, (5.5)
000
ɺ
,sinsin
yzzyifp
0000
ɺ
−=Ω
,cossin
xzzxifp
(5.6)
0000
.cos
iz
yx
00
,
′
Ω
sincos
υω
−
u , (5.7)
00
– большая полуось,
– эксцентриситет,
– аргумент перигелия,
– долгота восходящего узла,
– наклонение.
Внутри каждого промежутка координаты планет вычисляются
по формулам невозмущенного движения, а при переходе от одного
промежутка к другому меняется система оскулирующих элементов
планет и Луны.
5.2. НАХОЖДЕНИЕ КООРДИНАТ И СКОРОСТЕЙ
БОЛЬШИХ ПЛАНЕТ И ЛУНЫ
ПО ОСКУЛИРУЮЩИМ ЭЛЕМЕНТАМ
Полагая, что
мент оскуляции
M – средняя аномалия планеты или Луны на мо-
0
t , значения их координат внутри каждого проме-
0
жутка вычисляются в следующей последовательности. Находим
величину средней аномалии планеты или Луны M на момент вре-
мени ht +0 по формуле
где
5,05,0
h
,
htnMM ++=
, (5.8)
00
– среднесуточное движение этих же тел.
123
(
)
По нижеследующим формулам (5.9) – (5.12) находим координа-
ты больших планет и Луны на момент
0
ht +
[1, 27]:
( )
=−
tg
υ
2
=
r
u
( )
=
2
x
ɺ
x
=
V
r
V
n
( )
r
y
ɺ
y
( )
r
z
ɺ
z
r
+
1
=
−
( )
−
1
ea
+
cos1
e
+=
.
ωυ
.sinsin
iurz
−=
fV
f
( )
e
p
f
( )
+=
p
⋅+=
.sincos
ViuV
nr
e
e
2
υ
12
ar
e
+−=
,
MttnM
00
,sin
MEeE
E
,
tg
(5.9)
21
,
Ω−Ω=
Ω+Ω=
,
υ
,sin
,cossinsincoscos
iuurx
,coscossinsincos
iuury
(5.10)
(5.11)
.cos1
υ
Ω−Ω−+=
,cossincoscossin
ViuuV
nr
Ω+Ω−+=
,coscoscossinsin
ViuuV
(5.12)
nr
5.3. СОЗДАНИЕ БАНКА ДАННЫХ ОСКУЛИРУЮЩИХ
ЭЛЕМЕНТОВ БОЛЬШИХ ПЛАНЕТ И ЛУНЫ ПУТЕМ
СОВМЕСТНОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ
В настоящее время одной из высокоточных теорий движения
больших планет является численная теория DE405, созданная американскими учеными Ньюхоллом, Стэндишем, Вильямсом [102,
124
106–108] на интервале времени c 2305424,5 (1599 Dec 5) до
2525008,5 (2201 Feb 20). Полученные ими эфемериды для внутрен-
них планет полностью согласованы с оптическими и радиолокационными наблюдениями, а Луны – с лазерными наблюдениями.
В качестве математической модели, описывающей движение
планет, Луны и Солнца, использованы дифференциальные уравнения (1.3) – (1.5), в которых наряду с гравитационными эффектами
учтены релятивистские эффекты, обусловленные Солнцем и планетами. Для Луны учитываются эффекты от несферичности фигур
Луны и Земли, а также приливные эффекты и либрация Луны (периодические, маятникообразные покачивания около центра). Кроме
того, в уравнениях (1.3) учитывалось возмущающее действие от 300
самых крупных астероидов в главном поясе. Для численного интегрирования уравнений движения (1.3) использовался неявный метод
Адамса 12-го порядка.
Аналогичные результаты вычисления координат планет (с
Меркурия по Плутон) Луны и Солнца получены в работе [40], где
влияние пояса астероидов, моделировалось 50 частицами, расположенными на орбите, принадлежащей главному поясу и равномерно
распределёнными по величине средней аномалии. Дифференциальные уравнения движения (1.3) – (1.5) решались модифицированным
методом Эверхарта 27-го порядка с шагом интегрирования 3 дня.
Для согласования результатов вычисления с DE405 начальные данные подвергались коррекции. При этом координаты оставались
неизменными, а значение скоростей отличается от DE405 в 11–12
знаках после запятой.
Путем решения дифференциальных уравнений движения, приведенных в работе [41], был создан банк данных оскулирующих
элементов больших планет на интервале времени с 1600 по 2200 гг.
Вместо проективных коэффициентов для вычисления прямоугольных координат планет используется массив элементов орбит.
Величина промежутка, в пределах которого движение планеты
считается невозмущенным, составляет 10 дней.
Очевидно, что максимальная погрешность в координатах планет достигается на концах интервалов.
По известным элементам орбит были найдены координаты на
концах интервалов по формулам (5.9) – (5.12). Путем сопоставления
полученных координат с координатами, вычисленными совместным
интегрированием, найдены погрешности на концах интервалов.
125
T
∆
В табл. 5.2 указана величина промежутка, в пределах которого
движение планеты считается невозмущенным, и максимальные
ошибки в прямоугольных координатах на границах интервалов.
Таблица 5.2
Интервалы, в пределах которых движение планеты принято
невозмущенным, и величины ошибок прямоугольных координат
на границах этих интервалов
Планета
Юпитер 5
Сатурн 5
Земля 5
Луна 5
Венера 5
Меркурий 5
Марс 5
Уран 5
Нептун 5
(сут.)
S∆
max
(а.е.)
103−⋅
103−⋅
105−⋅
108−⋅
105−⋅
103−⋅
105−⋅
102−⋅
102−⋅
8
8
6
4
8
7
8
8
8
Как видно из табл. 5.2, наибольшая погрешность в координатах у
Луны, но вследствие того, что Луна имеет малую массу по сравнению
с большими планетами, ее влияние на движение преобладающего количества малых тел Солнечной системы не оказывает существенного
воздействия. Сравнивая величины погрешностей в табл. 5.1 и 5.2, следует отметить, что уменьшение промежутка времени до 10 дней, в
пределах которого можно вычислять положения планет по невозмущенной орбите, уменьшает погрешность в определении координат от 2
до 6 порядков по сравнению с данными табл. 5.1.
5.4. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ УТОЧНЕННОГО БАНКА ДАННЫХ
ОСКУЛИРУЮЩИХ ЭЛЕМЕНТОВ БОЛЬШИХ ПЛАНЕТ
ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ
ДВИЖЕНИЯ МАЛЫХ ТЕЛ СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ
В предыдущем параграфе нами был рассмотрен способ хранения
положений больших планет не в виде координат и скоростей, заданных с определенным интервалом времени, а в форме оскулирующих
элементов орбит с шагом 10 дней. Однако погрешности, полученные в
координатах по оскулирующим элементам, были еще велики.
126
a, e
В данном параграфе приведено описание алгоритма и программы численного интегрирования уравнений движения небесных тел
на основе метода Эверхарта с использованием банка данных координат больших планет. Для реализации этого алгоритма необходимо было решить ряд задач: а) создать банк данных барицентрических координат и скоростей больших планет, Луны и Солнца; б)
модифицировать программу численного интегрирования для метода
Эверхарта; в) провести исследование эволюции орбит малых тел
Солнечной системы для ряда объектов.
Как показано ранее, оскулирующие элементы планет с шагом
10 дней были получены нами на основе численного интегрирования
уравнений движения на интервале времени с 1800 по 2204 гг. Важно сопоставить результаты вычислений, полученных с использованием оскулирующих элементов, с результатами, полученными на
основе координат и скоростей численной теории DE405. Банк данных DE405 представляет собой данные на внешнем носителе последовательности групп коэффициентов разложений координат и скоростей больших планет в ряды по полиномам Чебышева. Создание
банка данных координат и скоростей, а также оскулирующих элементов больших планет, проводилось на основе численной теории
движения планет DЕ405 [102].
С использованием банка данных DE405 на основе разложений
по полиномам Чебышева был создан банк данных барицентрических координат и скоростей больших планет, Луны и Солнца с шагом 1 день на интервале времени с 1600 по 2200 гг. Получение
оскулирующих элементов больших планет и Луны происходит следующим образом. По барицентрическим координатам вычислены
гелиоцентрические координаты планет с шагом 1 день на вышеуказанном интервале времени. По формулам (5.1) получены гелиоцентрические экваториальные координаты планет, Луны и исследуемого объекта.
По известным координатам и скоростям на интервале времени с
1600 по 2200 гг. с шагом один день по формулам (5.2) – (5.7) вы-
числялась система оскулирующих элементов планет и Луны:
M
0
, ω, Ω, i.
Полагая, что
мент оскуляции
M – средняя аномалия планеты или Луны на мо-
0
t , значения их координат внутри каждого проме-
0
жутка вычисляются в следующей последовательности. Находим
,
127
(
)
≤≤−
n
∆
z
∆
ɺ
∆
ɺ
∆
z
ɺ
∆
T
∆
∆
величину средней аномалии планеты или Луны M на момент времени
где
ht +
по формуле
0
h
htnMM ++=
, (5.13)
00
5,05,0
,
– среднесуточное движение этих же тел.
По известным элементам орбит были найдены координаты на
концах интервалов по формулам (5.8) – (5.12). Путем сопоставления
полученных координат с данными, полученными путем совместного интегрирования, найдены максимальные погрешности в координатах и скоростях на концах интервалов.
В табл. 5.3 и 5.4 указаны величина промежутка, в пределах которого движение планеты считается невозмущенным, и максимальные ошибки в прямоугольных координатах и скоростях на концах
интервалов, где
x
, y∆,
max
– погрешности в координатах,
x
, y
,
– погрешности в компонентах скоростей.
222
zyxr ∆+∆+∆=∆ ,
max
ɺɺ
222
ɺ
zyxV
∆+∆+∆=∆ , (5.14)
Как видно из табл. 5.2 и 5.3, способ хранения оскулирующих
элементов с шагом 1 день вместо 10 дней уменьшает погрешность в
координатах планет и Луны более чем на порядок.
Таблица 5.3
Интервалы, в пределах которых движение планеты принято
невозмущенным, и величины ошибок в прямоугольных координатах
на концах этих интервалов
Планета
Меркурий 0,5
Венера 0,5
Земля 0,5
Луна 0,5
Марс 0,5
Юпитер 0,5
Сатурн 0,5
Уран 0,5
Нептун 0,5
Плутон 0,5
(сут.)
S
max
(а.е.)
9
108,2−⋅
10
107,2−⋅
7
102,2−⋅
5
108,1−⋅
9
107,7−⋅
10
102,1−⋅
9
104,2−⋅
9
103,1−⋅
9
105,1−⋅
9
104,1−⋅
128
T
∆
Таблица 5.4
Интервалы, в пределах которых движение планеты принято
невозмущенным, и величины ошибок в компонентах скоростей
на концах этих интервалов
Планета
Меркурий 0,5
Венера 0,5
Земля 0,5
Луна 0,5
Марс 0,5
Юпитер 0,5
Сатурн 0,5
Уран 0,5
Нептун 0,5
Плутон 0,5
(сут.)
V∆
(а.е./сут.)
max
10
101,8−⋅
10
103,8−⋅
7
106,8−⋅
5
100,7−⋅
9
100,3−⋅
9
109,4−⋅
9
107,9−⋅
9
105,5−⋅
9
109,5−⋅
9
107,5−⋅
5.5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ БАНКА ДАННЫХ КООРДИНАТ
БОЛЬШИХ ПЛАНЕТ В ФОРМЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ
ПОЛИНОМА ЭВЕРХАРТА ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО
ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
НЕБЕСНЫХ ТЕЛ
Ранее нами был рассмотрен способ хранения положений больших планет не в виде координат и скоростей, заданных с определенным интервалом времени, а в форме оскулирующих элементов
орбит с шагом один и десять дней. Внутри каждого промежутка координаты и скорости для каждой планеты (Меркурий – Плутон) вычислялись по формулам невозмущенного движения с помощью
оскулирующих эллипсов.
Целью данного параграфа является упрощение алгоритма интерполяции и ускорение процесса интегрирования уравнений движения небесных тел.
Для нахождения координат и скоростей больших планет, Луны и
Солнца, нами был предложен другой способ интерполяции, основанный также на использовании банка данных DE405. С помощью метода
Эверхарта 11-го порядка были найдены коэффициенты
129
A
,
A
,
A
,
A
1
2
3
4
1
3
2
+
n
z
ɺ
∆
для планет, Луны и Солнца с шагом 10 дней путем совместного решения систем дифференциальных уравнений (1.3) – (1.5).
Выражения для определения координаты x и компоненты
скорости xɺ методом Эверхарта вычисляются по следующим формулам:
2
ɺ
ɺɺ
t
Ftxxx
111
t
...
+++++=
A
1
62
2
t
AtFxx
A
111
A
n
t
...
2
+++++=
23
+
n
t
( )( )
A
n
21
++
nn
13
+
n
t
. (5.16)
, (5.15)
Аналогичным способом вычислялись y, z и yɺ,
.
Полиномы (5.15) и (5.16) не являются рядами Тейлора, а коэффициенты
вычисляются из условия наилучшего приближения x
A
i
и xɺ с помощью конечных разложений (5.15) и (5.16).
Непосредственное использование банка данных DE405 в программе численного интегрирования уравнений движения небесных
тел затруднительно, поскольку координаты и скорости для Меркурия, Луны и больших планет вычисляются не по единому алгоритму. Кроме того, коэффициенты полинома Чебышева в DE405 приведены для барицентра «Земля + Луна», а не для каждого объекта в
отдельности. При исследовании движения объектов, проходящих
через сферу действия Земли, необходимо учитывать влияние возмущений и находить сближение объекта с Землей и Луной в отдельности.
Банк данных наряду с координатами, скоростями, ускорениями
для планет, Луны и Солнца содержал также коэффициенты
A , 4A в начале каждого десятидневного интервала. Интерполяция
3
A , 2A ,
1
для получения координат и скоростей внутри десятидневного интервала проводилась с помощью формул (5.15) и (5.16). Благодаря
увеличению длины интервалов, на которые был разбит весь промежуток интегрирования (1600–2200 гг.), объем банка данных составил 44,1 МБ.
Путем сопоставления полученных координат с данными численной теории DE405 найдены максимальные погрешности в координатах и скоростях внутри интервалов для планет, Луны и Солнца.
В табл. 5.5 и 5.6 указаны величины максимальных ошибок в
прямоугольных координатах и скоростях на концах 10-дневных ин-
тервалов,
max
222
zyxr ∆+∆+∆=∆ ,
max
ɺɺ
222
ɺ
zyxV
∆+∆+∆=∆ , x
,
130
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]