Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Численные методы в задачах математического моделирования движения небесных тел в Солнечной системе. Монография
.pdf
22<H
Астероид считается потенциально опасным, если величина минимального расстояния с Землёй меньше
звёздная величина астероида
. Количество таких астероидов
05,0
а.е. и абсолютная
по данным сайта SmallBodies.ru на 26 июня 2015 г. составляет 1596.
Нахождение вероятности столкновения астероида с Землей существенно зависит от точности начальных данных, выбора математической модели движения небесных тел, метода численного интегрирования уравнений движения, поэтому дальнейшее изложение
будет посвящено исследованию этих вопросов.
Целью данного исследования является проведение численного
интегрирования уравнений движения методом Эверхарта [94] астероидов групп Аполлона и Атона с использованием дифференциальных уравнений, основанных на новом принципе взаимодействия
[50]и последующее проведение сравнений полученных результатов
вычислений, до момента и после момента сближений с данными
других исследований.
Численное интегрирование проводилось на интервале времени
2008–2100 гг. Для численного интегрирования уравнений движения
небесных тел был выбран модифицированный метод Эверхарта с
переменным шагом и переменным порядком [46, 47]. Для повышения эффективности численного интегрирования было предложено
использование банка данных коэффициентов полинома Эверхарта,
что позволило понизить порядок системы с 72 до 6. Данная модификация использования метода Эверхарта существенно не отразилась на точности результатов вычислений при исследовании эволюции орбит малых тел Солнечной системы.
Для сравнения методов численного интегрирования уравнений
движения, основанных на новом принципе взаимодействия, с методом, используемым при создании сайта SmallBodies.ru, были выбраны 6 астероидов групп Аполлона и Атона, из которых 3 астероида являются потенциально опасными для Земли. В число этих
астероидов вошли астероиды Апофис (99942), 1999 AN10 (137108),
2001 WN5 (153814). Первый астероид входит в группу Атона, другие два – в группу Аполлона.
В табл. 7.1 приведены данные по датам и расстояниям тесных
сближений с Землёй трех потенциально опасных астероидов.
Характерной особенностью этих астероидов являются их значительные размеры, что указывает на степень потенциальной опасности в случае столкновения их с Землей. Кроме того, моменты
181
a
=
тесных сближений этих астероидов с Землей наступят в период с
2027 по 2029 гг., т. е наступление этих событий произойдет в бли-
жайшее время.
Таблица 7.1
Данные о сближениях исследуемых
Название
астероида
1999 AN10
(137108)
2001 WN5
(153814)
99942
Apophis
потенциально опасных астероидов
Дата тес-
ного сбли-
жения
07.08.2027 0,002607 390002 700
26.06.2028 0,001670 249826 580
13.04.2029 0,000255 38147 380
Величина
сближения,
a.e.
Величина
сближения,
км.
Диаметр, м.
Начальные данные, использованные для интегрирования уравнений движения астероидов, упомянутых выше, приведены в
табл. 7.2 – 7.4. Источником начальных данных служил научноинформационный сайт SmallBodies.ru (http://smallbodies.ru), содержащий информацию об орбитальной эволюции малых тел Солнечной системы. В табл. 7.2 – 7.4 содержится информация о дате, к которой относятся элементы орбиты, и шесть элементов, задающих
положение небесного тела в пространстве: M – средняя аномалия,
– большая полуось, e – эксцентриситет, i – наклонение, ω –
аргумент перигелия, Ω – долгота восходящего узла. Описание элементов орбиты приведено в главе 1.
В табл. 7.2 – 7.4 приведены начальные данные для трех астеро-
идов, имеющих тесные сближения с Землёй.
Астероид Апофис был открыт 19 июня 2004 г. Апофис 13 апреля 2029 г в 21:46 по всемирному времени пройдет на геоцентрическом расстоянии 38 147 км. В результате сближения он перейдет из
группы астероидов Атона в группу Аполлона. Абсолютная звездная
величина
H
7,19
. Приблизительный диаметр составляет около
380 м. Апофис относится к числу потенциально опасных астерои-
дов, поэтому прогнозирование его движения следует проводить с
наибольшей тщательностью.
Элементы орбит Апофиса с учетом новых наблюдений периодически улучшаются, и обновленные элементы орбит приводятся
182
на сайте NASA DASTCOM (Database of ASTeroids and COMets,
ftp://ftp.lowell.edu/pub/elgb/astorb американской Лаборатории реак-
тивного движения (JPL)).
При вычислении элементов орбит (табл. 7.2) использовались
как данные наблюдений, так и численное интегрирование уравнений движения Апофиса, поэтому более поздние данные должны
иметь лучшую точность по сравнению с ранними данными. Важно
знать, насколько результаты численного интегрирования согласуются с начальными данными, приведенными в табл. 7.2.
В табл. 7.5 представлены расхождения в элементах орбит, полученных путем численного интегрирования уравнений движения
Апофиса, с данными табл. 7.2. Начальные данные для численного
интегрирования соответствуют эпохе 27 июня 2015.
Как видно из табл. 7.5, начальные данные элементов орбит
Апофиса отличаются от результатов численного интегрирования,
однако эти расхождения нельзя назвать существенными, так как
максимальное расхождение в средней аномалии не превышает 7
угловых секунд. Возникшие расхождения в элементах орбит связаны с тем, что орбита Апофиса в период с 14 мая 2008 г. по
27 июня 2015 г. неоднократно корректировалась. Как видно из
табл. 7.5, наибольшая коррекция произошла у орбиты Апофиса на
момент оскуляции 14 мая 2008. Для выявления, насколько эти расхождения влияют на эволюцию орбит Апофиса, путем решения
уравнений (1.21) проведено численное интегрирование уравнений
астероида для различных начальных данных.
Интегрирование проводилось с начальными данными на три различных момента времени: 14 мая 2008 г., 08 января 2013 г. и 27 июня
2015 г. Результаты численного интегрирования в табл. 7.6 представлены на моменты времени до тесного сближения астероида с Землей, а
также после тесного сближения. В данном случае результаты численного интегрирования приведены на даты: 5 марта 2029 г., 14 мая 2031
г. и 12 мая 2100 г. Данные моменты времени соответствуют стандартным датам, на которые при проведении астрономических исследований принято приводить результаты вычислений.
При проведении численного интегрирования уравнений движения астероида Апофис результаты вычислений существенно зависят
от применяемого метода. Наличие тесного сближения Апофиса с
Землей на расстояние 0,000255 а.е. 13 апреля 2029 г. затрудняет исследование движения астероида после его сближения с Землей. В
результате численных экспериментов было выявлено, что участок
183
M
ω
=
∆
=
∆
тесного сближения астероида с Землей необходимо проходить с малым шагом интегрирования. Уменьшение шага интегрирования до
0,005 дня позволило уменьшить порядок метода Эверхарта с 27-го
до 15-го. При этом при выборе шага интегрирования использовалось правило Рунге. Шаг интегрирования считался выбранным, если два варианта расчета с данным и половинным шагом совпадали с
требуемой точностью.
В табл. 7.6 представлены результаты численного интегрирования уравнений движения Апофиса.
В табл. 7.6 представлены следующие орбитальные элементы:
– средняя аномалия, a – большая полуось, e – эксцентриситет,
– аргумент перигелия, Ω – долгота восходящего узла, i –
наклонение, где M, ω, Ω, i выражены в градусах, а a – в астрономических единицах.
В табл. 7.6 представлены также результаты численного интегрирования уравнений движения Апофиса, взятых из каталога
smallbodies.ru. Следует отметить, что в методе численного интегрирования, на основе которого создавался сайт Smallbodies.ru, решались уравнения движения (1.3) и не учитывалось влияние фигуры
Земли; уравнения (1.21) фактически учитывают это влияние, поэтому полученные результаты численного интегрирования этих уравнений являются более точными по сравнению с данными, приведенными на сайте Smallbodies.ru.
Сравнение элементов орбит на различные даты, взятых из каталога Smallbodies.ru и полученных с использованием уравнений
(1.21), показывает, что до момента сближения Апофиса с Землей
5 марта 2029 г. элементы орбит, полученные с различными началь-
ными данными, существенно не отличаются друг от друга. Максимальная разница в элементах орбит, найденных с использованием
уравнений (1.21), имеет место в средней аномалии, достигающей
0,0029 градуса. Однако после момента тесного сближения 13 апреля
2029 г. для Апофиса наблюдается существенное различие в элемен-
тах орбит, найденных путем численного интегрирования с различными начальными данными. Если 14 мая 2031 г. различие в элементах орбит, вычисленных с использованием начальных данных 8 ян-
варя 2013 г. и 27 июня 2015 г., составляли
0,031195
a
3406,0−=∆i
,
, то 12 мая 2100 г. это различие достигнет следующих
010273,0
e
,
0251,0−=∆Ω
20,0172−=∆M
,
ω
5433,6−=∆
,
,
184
=
∆
=
∆
=
∆
=
∆
=
∆
=
∆
значений:
228,8214=∆M
0246,0−=∆Ω
,
ω
,
6031,0−=∆
,
0,023726
a
3076,0−=∆i
,
.
008143,0
e
Полученные результаты связаны с проблемой устойчивости
движения Апофиса.
В табл. 7.7 представлены отклонения элементов орбит Апофиса, полученных с помощью решения уравнений (1.21), с данными,
представленными на сайте Smallbodies.ru
Как видно из табл. 7.7, элементы орбит, найденные на основе
численного интегрирования двумя различными методами, до момента сближения с Землей 13 апреля 2029 г. отличаются друг от
друга незначительно. Однако после сближения астероида с Землей
различие в элементах орбит становится существенным. Например,
14 мая 2031 г. оно составит:
010006,0
e
,
0246,0−=∆Ω
,
19,4877−=∆M
ω
7416,6−=∆
,
,
0,030509
a
3320,0−=∆i
. В
2100 г. 12 мая различие элементов орбит достигнет следующих
значений:
201,6720=∆M
6897,0−=∆Ω
,
ω
,
8235,5−=∆
,
0,029858
a
3349,0−=∆i
,
. Существенные разли-
010003,0
e
чия результатов численного интегрирования уравнений движения
Апофиса при использовании различных методов интегрирования
являются следствием неустойчивости движения астероида. В результате тесного сближения астероида с Землей, которое случится
13 апреля 2029 г., произойдет резкий скачок элементов орбит Апофиса, что является главной причиной, связанной с неустойчивостью
движения астероида.
Таким образом, можно сделать вывод о том, что для Апофиса,
имеющего тесное сближение с Землёй, точность начальных данных
и применяемый метод численного интегрирования уравнений движения играют большую роль в расчётах его траектории. То есть,
дать прогноз точных положений астероида, имеющего тесное сближение с Землёй, можно лишь с определённой долей вероятности.
При незначительных изменениях начальных данных траектория
астероида после тесного сближения может измениться значительно,
что может привести к столкновению с Землёй.
Величина вероятности столкновения Апофиса с Землей существенно зависит от точности начальных данных в расчётах эволюции орбит астероида. В более ранних работах [49] не исключалась
возможность столкновения Апофиса с Землей в 2036 г. или 2037 г.
Впоследствии орбита Апофиса была уточнена в 2013 году после
185
,
,
,
=
серии высокоточных наблюдений, в результате чего вероятность
столкновения астероида с Землёй в 2036 и 2037 годах была исключена. Согласно последним данным Лаборатории реактивного движения NASA, наибольшая вероятность столкновения Апофиса с
Землёй имеется 12 апреля 2068 г. и составляет
6
107,6−⋅
(согласно
расчётам по начальным данным от 8 октября 2014 и уточнениям от
2 марта 2015 http://neo.jpl.nasa.gov/risk/a99942.html).
В табл. 7.8 представлены расхождения в элементах орбит, полученных путем численного интегрирования уравнений движения
астероида 1999 AN10, с данными табл. 7.3, которые получены на
основе наблюдений. Начальные данные для численного интегрирования соответствуют эпохе 2015.06.27.
Из табл. 7.8 следует, что различия элементов орбит астероида 1999
AN10, найденных различными методами, находятся в пределах погрешности как оптических, так и радиолокационных наблюдений.
Рассмотрим, насколько применение различных методов и
начальных данных влияет на результаты численного интегрирования уравнений движения астероида 1999 AN10.
В табл. 7.9 представлены результаты численного интегрирования уравнений движения астероида 1999 AN10 с начальными данными на различные моменты оскуляции.
Астероид 1999 AN10 (137108) входит в группу Аполлона.
Астероид 1999 AN10 седьмого августа 2027 г пройдет на геоцентрическом расстоянии 390002 км. Абсолютная звездная величина
H
9,17
. Приблизительный диаметр составляет около 700 м. В свя-
зи с предстоящим сближением астероида 1999 AN10 с Землей и его
значительным размером он относится к числу потенциально опасных астероидов.
Численное интегрирование уравнений движения астероида
1999 AN10 проводилось методом Эверхарта 27 порядка с начальными данными, заданными на три различных момента времени:
14 мая 2008 г., 08 января 2013 г. и 27 июня 2015 г. Результаты численного интегрирования представлены в табл. 7.9 до момента и после момента тесного сближения астероида с Землей. В данном случае результаты численного интегрирования приведены на даты
5
апреля 2027 г. и 12 мая 2100 г.
Сравнение элементов орбит на различные даты, взятых из каталога smallbodies.ru и полученных с использованием уравнений
(1.21), показывает, что до момента сближения с Землей астероида
186
=
∆
−=∆
−=∆
−=∆
=
1999 AN10 7 августа 2027 г. элементы орбит, полученные с различными начальными данными, отличаются друг от друга незначительно. Из результатов, представленных в табл. 7.8, следует, что
начальные данные элементов орбит на различные моменты времени
в результате наблюдений не подверглись значительной коррекции.
Кроме того, совпадение численных расчетов указывает на то, что
для объектов, не имеющих тесных сближений с большими планетами, использование дифференциальных уравнений (1.3) и (1.21) приводит к результатам, отличающимся друг от друга незначительно.
После момента тесного сближения 7 августа 2027 г. различия в элементах орбит, найденные путем численного интегрирования с
начальными данными на различные моменты оскуляции, у астероида 1999 AN10 более значительные, чем до момента сближения. Различия элементов орбит астероида 1999 AN10 на дату 12 мая 2100 г.,
с использованием начальных данных 8 января 2013 г. и 27 июня
2015 г. составляют:
0005,0−=∆Ω
,
ω
0260,0−=∆
8353,0−=∆M
,
,
000237,0
a
0001,0=∆i
.
,
000018,0
e
,
В табл. 7.10 представлены разности значений элементов орбит
астероида 1999 AN10, полученных с помощью решения уравнений
(1.21), и данных сайта Smallbodies.ru.
Максимальные расхождения в элементах орбит между двумя
методами на конечный момент интегрирования – 12 мая 2100 г. (см.
табл. 7.10), составляют:
000017,0
e
,
0=∆Ω ,
ω
0269,0=∆
,
8387,0−=∆M
0=∆i .
,
000239,0
a
,
Из сравнения результатов вычислений, полученных путем решения уравнений движения астероида 1999 AN10 с использованием
формул (1.21) и (1.3), можно заключить, что погрешность начального смещения в начальных данных и использование метода интегрирования без учета фигуры Земли приводит почти к одинаковым
погрешностям.
Таким образом, на основании проведенных исследований можно заключить, что точность результатов вычислений для астероида
1999AN10 существенным образом зависит как от точности начальных данных, так и от применяемого численного метода интегрирования уравнений движения.
Астероид 2001 WN5 26 июня 2028 г. пройдет на геоцентрическом расстоянии 249826 км. Абсолютная звездная величина
H . Приблизительный диаметр составляет около 580 м. Он
3,18
относится к числу потенциально опасных астероидов.
187
−=∆
−=∆
=
∆
=
∆
−=∆
=
∆
В табл. 7.11 приведены расхождения элементов орбит, полученные путем численного интегрирования уравнений движения
астероида 2001 WN5, с данными табл. 7.4, которые получены на
основе наблюдений. Начальные данные для численного интегрирования соответствуют эпохе 2015.06.27.
Из табл. 7.11 следует, что элементы орбит астероида 2001 WN5,
найденные различными методами, отличаются друг от друга незначительно и находятся в пределах погрешности как оптических, так
и радиолокационных наблюдений.
В табл. 7.12 приведены результаты численного интегрирования
уравнений движения астероида 2001 WN5, который принадлежит к
группе Аполлона.
Численное интегрирование уравнений движения астероида 2001
WN5 проводилось методом Эверхарта 27 порядка с начальными данными на три различных момента времени: 14 мая 2008 г., 08 января
2013 г. и 27 июня 2015 г. Результаты численного интегрирования
представлены в табл. 7.12 на моменты времени после сближения астероида с Землей. В данном случае результаты численного интегрирования приведены на даты 25 ноября 2028 г. и 12 мая 2100 г.
После момента тесного сближения 26 июня 2028 г. для астероида 2001 WN5 наблюдается скачок в изменении элементов орбит.
Различие элементов орбит астероида 2001 WN5 на дату 25 ноября
2028 г. с использованием начальных данных 8 января 2013 г. и
27 июня 2015 г. составляет:
e
000054,0
,
0094,0=∆Ω
,
0034,0=∆
ω
,00790=∆M
,
a
,
000251,0
00045,0−=∆i
,
, в то
время как 27 июня 2100 г. различие элементов орбит примет следующие значения:
0719,0=∆Ω
,
ω
0569,0−=∆
0519,0−=∆M
,
,
000194,0
a
0076,0−=∆i
.
,
000050,0
e
,
В табл. 7.13 представлены разности значений элементов орбит
астероида 2001 WN5, полученных с помощью решения уравнений
(1.21), и данных, представленных на сайте Smallbodies.ru.
Максимальные расхождения в элементах орбит между двумя
методами на момент 12 мая 2100 г. (см. табл. 7.13). составляют:
2541,0−=∆M
,
a
ω
1759,0−=∆
,
000389,0
0135,0−=∆i
,
.
000127,0
e
,
1939,0=∆Ω
,
Из сравнения результатов вычисления, полученных путем решения уравнений движения астероида 2001 WN5 с использованием
формул (1.21) и (1.3), можно заключить, что использование метода
188
интегрирования без учета фигуры Земли приводит к более значительным погрешностям в результатах вычислений, чем погрешность начального смещения в начальных данных.
На основании проведенных исследований можно утверждать,
что, как и в случае астероида 1999AN10, при исследовании эволюции орбит астероида 2001 WN5 на интервале времени порядка 100
лет на точность полученных результатов существенное влияние
оказывают как численный метод, так и точность начальных данных.
Аналогичные исследования эволюции орбит этих же астероидов путем решения уравнений (1.21) проведены с использованием
метода Коуэлла с учетом десятых разностей.
В табл. 7.14 представлены результаты численного интегрирования
движения астероида Апофис методами Коуэлла и Эверхарта на 5 марта 2029 г. и 12 мая 2100 г. Начальные данные брались на момент оскуляции 27 июня 2015 г. При использовании метода Эверхарта интегрирование проводилось с шагом 0,005 дня с порядком 15, в методе
Коуэлла шаг интегрирования составлял 0,05 дня с порядком 10.
Как видно из таблицы, до момента сближения с Землей элементы орбит Апофиса, найденные с использованием методов Эверхарта
и Коуэлла на дату 05 марта 2029, практически совпадают. После
сближения 14 мая 2031 г. и 12 марта 2100 г. элементы орбит друг
от друга существенно отличаются. Причина этого отличия связана с
проблемой устойчивости движения.
Проблеме сходимости и устойчивости применяемых методов для
исследования движения Апофиса следует уделять особое внимание.
Для исследования сходимости методов Коуэлла и Эверхарта
были проведены решения уравнений (1.21) данными методами на
момент после сближения Апофиса с Землей при различных шагах
интегрирования. Проведенные исследования показали, что при
уменьшении шага интегрирования в методе Эверхарта наблюдается
сходимость результатов вычисления элементов орбиты астероида
Апофис на момент 14 мая 2031 г. Подобной сходимости для метода
Коуэлла не было обнаружено.
Устойчивость метода Эверхарта для данной задачи проверялась
посредством изменения начальных данных Апофиса и сопоставления результатов вычисления исходных с измененными начальными
данными.
В табл. 7.15 представлены элементы орбит астероида Апофис
на момент 14 мая 2031 г., найденных путем решения уравнений
(1.21) с возмущенными начальными данными. Возмущениям под-
189
=
∆
.
.
e
a
=
∆
вергались следующие элементы орбит Апофиса: M – средняя аномалия, a – большая полуось, e – эксцентриситет. При этом
00001,0=∆M
,
0000001,0
a
, 0000001,0
e
.
Как видно из табл. 7.15, малые возмущения элементов орбит
Апофиса приводят к значительным изменениям результатов численного интегрирования даже на коротком интервале времени с
2015 по 2031 гг. Возмущение средней аномалии составляет 0,0036
секунд, возмущение большой полуоси – около 15 км. Эти значения
лежат за пределами точности определения элементов орбиты Апофиса по оптическим и радиолокационным наблюдениям. Отсюда
следует вывод, что задача Коши, связанная с прогнозированием
движения Апофиса, не относится к классу устойчивых задач, поэтому нет возможности получить ее точное решение после сближения астероида с Землей каким-либо численным методом.
В табл. 7.16 приведены элементы орбит астероида 1999 AN10 на 5
апреля 2027 г. и 12 мая 2100 г., найденные путем численного интегрирования уравнений движения (1.21) методами Эверхарта и Коуэлла.
Как следует из табл. 7.16, результаты численного интегрирования методами Эверхарта и Коуэлла отличаются друг от друга несущественно. Несмотря на то, что астероид 1999 AN10 имеет сближение с Землей 7 августа 2027 г. на расстояние 0,00261 а.е., это сближение не вызвало значительного изменения элементов орбит. Причиной тому является большой наклон орбиты астероида к плоскости эклиптики: более 39 градусов. Вследствие высокого наклонения
орбиты астероида 1999 AN10 к плоскости эклиптики время, в течение которого астероид и Земля находятся в состоянии сближения,
не является продолжительным.
В табл. 7.17 представлены результаты численного интегрирования движения астероида 2001 WN5 на 25 ноября 2028 г. и 12 мая
2100 г. Обе даты соответствуют дате после сближения астероида
2001 WN5 с Землей.
Астероид 2001 WN5 сблизится с Землей 26 июня 2028 г. на расстояние 0,00167 а.е. Величина этого сближения вдвое меньше, чем у
астероида 1999 AN10, кроме того наклонение астероида к плоскости эклиптики мало, поэтому планетные возмущения оказывают
значительное влияние на движение астероида. Тем не менее, элементы орбит астероида 2001 WN5, полученные с использованием
методов Эверхарта и Коуэлла, различаются менее значительно по
сравнению с элементами, полученными путем решения уравнений
(1.21) методом Эверхарта при различных начальных данных.
190
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]