Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1329 вузов, 5502 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Численные методы в задачах математического моделирования движения небесных тел в Солнечной системе. Монография

.pdf
Скачиваний:
2
Добавлен:
08.09.2026
Размер:
2 Мб
Скачать
☆
(
)
(
)
240112
240112
2
212
Рассмотрим теперь второй случай интегрирования уравнения (3.3). В этом случае искомый интеграл
tx
задан начальными зна-
чениями
dx
 
dt
Задача заключается в нахождении координат
txx =
dx
=
dt
0 tt
,
00
.
 
=
0
x
,
x
, …. При-
1
2
меняя первую формулу (3.8), получим
dx
…−∆+∆−∆=
ω
dt
0
1 6
1
30
5
.
0
3
00
На основании формулы (3.25) мы можем написать
…+−+=∆=
0
0
00
fffx .
00
1
− 2
2
И аналогично
…+−+=∆
1
2
00
+− 2
mmmm
fff ,
00
Поэтому
1
0
1
1
240
fff
240
5
0
fff
1
3
…
fff
…
+−+−
−+−+=
0
+
 
7
+−++
0
.
……
+
 
1
0
12
1
1
−
12
3
0
240
1
5
0
dx
ω
dt
0
1
6
1
30
1
0
12
3
0
или
dx
…+−+−=
ω
dt
0
1
− 5
1
0
12
11
1
0
720
0
3
191
60480
ffff
0
. (3.26)
Принимая во внимание
1
1
−
−
−=ff
1
1
1
−
f
0
−
2
2
и
1
1
0
1
1
1
2
−+=
1
2
61
1
−−−−
 
ffffff −=
, (3.27)
10
0
2
(
)
ɺ
подставляя (3.27) в (3.26), окончательно получим
dx
1
−
=
f
ω
1
2
dt
191
60480
14797
95800320
1
 
2
0
5
0
9
0
1
12
2497
3628000
92427157
11
720
7
0
3
+−++
fff
0
+−+
11
ff
0
(3.28)
....
+−+
1
00
ff
0002615348736
Таким образом, и во втором случае можно пользоваться для численного интегрирования формулами (3.24) и (3.25), которые
удовлетворяют условию
txx =
, но вычисление исходного члена
00
в столбце первых сумм необходимо провести не по формуле (3.19), а по формуле (3.28).
Преимуществом метода численного интегрирования возмущен­ных координат перед аналитическими методами является его уни­версальность. В то время как аналитические методы небесной ме­ханики применимы только в том случае, когда возмущения малы, при численном интегрировании уравнений движения вообще не возникает вопроса о характере орбит рассматриваемых тел и о ве­личине возмущений.
3.2. ВЫЧИСЛЕНИЕ НАЧАЛА ТАБЛИЦЫ
ИНТЕГРИРОВАНИЯ С УЧЕТОМ ШЕСТЫХ РАЗНОСТЕЙ
Перед непосредственным интегрированием нам необходимо получить начальную таблицу интегрирования. Для начала интегри­рования имеем координаты
мента
t
. Начальные значения сумм
0
повышенной точностью. Это требование особенно важно для
x
и компоненты скорости
0
20−
1
f и
−
f следует вычислять с
1
−
2
x
для мо-
0
1
−
f ,
1
−
2
так как погрешность этой величины будет расти пропорционально времени. При решении поставленной задачи правые части диффе­ренциальных уравнений будем вычислять для семи моментов
ht
30−
, ht
20−
, ht
−
,
t , ht
+
, ht
20+
, ht
30+
0
0
0
.
Это позволит в формулах (3.24) и (3.28) учитывать шестые и пятые разности соответственно.
62
Предполагая в таблице интегрирования шестые разности посто­янными, принимая во внимание соотношения (3.25) и
n
j
n
( )
∑
k
=
j
0
j
−=
1
n
, (3.29)
fCf
−+
jnk
2
получим следующие формулы вычисления координат для указан­ных моментов:
9829
289
1571
91415 48384
27163
26880
,
ffff
3210
3233
34560
ffff
11
16128
ffff
3210
463
48384
,
ffff
3210
14513
241920
ffff
3210
++++−=
fffffx
−−−
123
 
,
ffff
3210
   
−++−−=
fffffx
−−−
123
     
−+−+−=
fffffx
−−−
123
 
,
3210
fffffx
 
(3.30)
+−+−+=
−−−
123
 
,
   
++−++=
fffffx
−−−
123
    
+−+−+=
fffffx
−−−
123
 
.
 
−
−
03
18937
181440
−
−
02
2873
181440
−
−
01
839
1814400
−
2
01
180601 181440
−
2
02
360007
181440
−
2
03
563257
181440
11729
604800
209
201600
289
604800
1157
645569 604800
−+−+
7297
86400
+++−
3628800
1157
−+−−
289
+−++
3628800
209
67200
−+++
3628800
11729
604800
++++
3628800
1571
3628800
9829
237671
3628800
237671
−
2
1
3
1
−
2
3628800
14513
241920
9829
−
2
1
2
1
−
2
3628800
463
48384
−
1
2
1
−
2
3628800
67200
1571
11
604800
−
1
1
−
16128
2
289
3628800
3233
201600
1571
7297
86400
9829
645569 604800
3
2
34560
−
1
1
−
2
27163
26880
−
1
1
−
2
91415 48384
3628800
3628800
Значение
x задано.
0
63
()(
)
()(
)
Для вычисления начальных значений сумм
20−
f и
1
−
f служат
1
−
2
формулы (3.24) и (3.28), которые с учетом шестых разностей можно представить в следующем виде:
211
15120
599
604800
599
604800
211
15120
+−+−
120960
−
2
0
2497
25920
−
1
1
−
2
1 2
289
3628800
ɺ
120960
7843
120960
1793
241920
191
191
1793
241920
289
−−+−
3628800 7843
120960
.
ffff
3210
−+−+=
fffxf
−−−
1230
  
,
ffff
3210
(3.31)
 
−−+−=
fffxhf
−−−
1230
   
Решение поставленной задачи по формулам (3.30) и (3.31) вы­полняется методом итераций. Сначала для момента
значению
x
вычисляем
0
f
. В первом приближении принимаем
0
t
по заданному
0
значения правых частей уравнений для всех моментов одинаковыми и равными
лам (3.31) вычисляем вычисляем последовательно для всех моментов (кроме
f
. Затем с этими значениями правых частей по форму-
0
20−
f
и
1
−
f
. Далее по формулам (3.30) и (3.4)
1
−
2
t
) значения
0
f . После этого вновь по формулам (3.31) перевычисляем величины
20−
1
f и
−
f и т. д. Указанный итерационный процесс повторяется до
1
−
2
тех пор, пока разности последующих и предыдущих значений мо­дулей
20−
f ,
1
−
f и f не будут меньше заданной относительной
1
−
2
точности ε, т. е.
2
0
2
−−
0
1
−
σσ
2
−
<− fff
ε
,
0
1
−
1
−
2
1
−
−
1
−
2
1
−
σσ
<−
σσ
−1
1
−
<
fff
ε
,
1
−
2
fff
ε
.
iii
Величина шага h выбирается заранее.
В результате описанных действий получим начальную таблицу интегрирования в виде табл. 3.3.
64
=
Таблица 3.3
Таблица интегрирования
1
20−
f
−
f
,
−
f
1
2
3−
f
,
f
,
2−
1−
f
0
f
,
1
f
2
f
,
3
Величины, стоящие в сплошной рамке табл. 3.3, являются точ­ными (термин «точная величина» как здесь, так и далее в тексте употребляется в том смысле, что процесс приближений для этой величины закончен, и она не подлежит дальнейшему уточнению).
3.3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ С УЧЕТОМ ШЕСТЫХ РАЗНОСТЕЙ
Рассмотрим методику интегрирования уравнений движения небесной механики по методу Коуэлла с учетом разностей шестого порядка. Основной формулой для интегрирования является (3.25).
Таким образом, чтобы вычислить значения знать кроме
2−
f и
k
1
−
f значения правой части уравнения для семи
1
−k
2
моментов, расположенных симметрично относительно
2−
1
f и
k
−
f вычисляем по формулам
1
−k
2
1
−
1
+
1
+
Поэтому, принимая условно 0
1
−
1
−
kk
2
2
22
−−
+=
kk
k , получаем таблицу интегри-
,
+=
fff
k
(3.32)
1
−
.
fff
1
+
k
2
x
, необходимо
k
t . Значения
k
рования в виде табл. 3.4.
Таблица 3.4
Таблица интегрирования
1
20−
f
−
f
,
f
,
,
1
−
2
f
3−
2−
f
,
f
,
f
,
1−
0
1
f
2
f
,
3
Величины, стоящие в сплошной рамке табл. 3.4, являются точ­ными, величина
ми, а значения учета
2
f , второе – для учета
0
f уточняется последовательными приближения-
0
f , 2f и 3f вычисляются приближенно: первое – для
1
4
f , а третье – для учета
0
6
f .
0
65
Таблица интегрирования получается путем смещения на одну строку значений начальной таблицы интегрирования, т.е. индексы в таблице интегрирования увеличиваются на единицу.
Таким образом, при интегрировании по формуле (3.25) требует­ся «заглядывать» вперед на три шага. Значения
x
,
x
,
x
и
x
0
1
по-
2
3
лучаем на основании (3.25) с учетом (3.29):
−+−+
289
+−++
209
−+++
3628800
11729
++++
1793
241920
289
3628800
16128
1571
3628800
9829
237671
3628800
ffffx
−−−
123
,
ffff
3210
11
,
ffff
3210
463
48384
,
ffff
3210
14513
241920
.
ffff
3210
+−+−=
      
+−+−+=
fffffx
−−−
123
  
(3.33)
 
++−++=
fffffx
−−−
123
    
+−+−+=
fffffx
−−−
123
  
−
00
2497
25920
−
2
01
180601
181440
−
02
360007 181440
−
2
03
563257 181440
2
3628800
2
2
3
289
1793
241920
−
1
1
−
2
3233
34560
−
1
1
−
2
27163 26880
−
1
1
−
2
91415 48384
289
3628800
1571
3628800
9829
3628800
599
604800
599
604800
604800
1157
201600
67200
7297
86400
604800
645569 604800
Процесс вычисления по формулам (3.33) производится следу­ющим образом. Сначала по формулам (3.32) вычисляем
20−
f и
1
−
f .
1
−
2
Затем на основании значений таблицы интегрирования и формул (3.33) вычисляется
уравнения (3.4). В результате получим более точное значение
x , которое затем подставляется в правую часть
3
f ,
3
которое засылаем в таблицу интегрирования, образуя предвари­тельно разность между полученным и предыдущим значением
После этого вновь перевычисляем правую часть уравнения. Перевычисление
x и вновь подставляем его в
3
f продолжается до тех
3
f .
3
66
()(
)
ɺ
пор, пока разность между последующим и предыдущим значениями
f
не будет меньше заданной относительной точности ε, т. е.
3
33
Далее переходим к уточнению бом, как указано выше для для уточнения
f и 0f .
1
Когда уточнены значения
f . Затем ту же процедуру повторяем
3
f , 2f , 1f и 0f , процесс последова-
3
тельных приближений вычисления
ii
fff
ε
<−
.
3
1
−
f совершенно таким же спосо-
2
f можно считать законченным,
0
и, следовательно, интегрирование продвинулось вперед на один шаг. Далее нужно таблицу интегрирования сдвинуть на одну стро­ку, т.е. индексы в таблице интегрирования увеличить на единицу, и вновь повторить описанный процесс для следующего шага и т.д.
Таким образом и осуществляется алгоритм интегрирования дифференциальных уравнений движения небесных тел методом Коуэлла шестого порядка.
3.4. ВЫЧИСЛЕНИЕ НАЧАЛА ТАБЛИЦЫ
ИНТЕГРИРОВАНИЯ С УЧЕТОМ ДЕСЯТЫХ РАЗНОСТЕЙ
Перед непосредственным интегрированием нам необходимо по­лучить начальную таблицу интегрирования. Для начала интегрирова­ния имеем координаты
x и компоненты скорости 0x
0
для момента
t .
0
При решении поставленной задачи правые части дифференциальных уравнений будем вычислять для одиннадцати моментов:
ht ht
50−
, ht
40−
, ht
30−
, ht
20−
, ht
−
,
t , ht
+
, ht
20+
0
30+
, ht
40+
, ht
0
0
50+
.
,
Это позволит в формулах (3.24) и (3.28) учитывать десятые и девятые разности соответственно.
Предполагая в таблице интегрирования десятые разности по­стоянными и принимая во внимание соотношения (3.24), (3.28) и (3.29), рабочие формулы вычисления координат для указанных мо­ментов будут следующие:
67
6803477
10377427
171689929
29543743
+−+
6635693
47937079
106049897
−+−
119609261
38229517
2490808320
−+−+=
ffffx
−−
45
002615348736
01245404160
  
+++−
fff
−−−
123
 
+−++
fff
210
02179457280
  
0002615348736
,
fff
543
−−++=
ffffx
−−
45
05230697470
01245404160
−+++
fff
210
 
++−−
fff
−−−
123
    
,
fff
543
0002615348736
002615348736
  
−+−+=
ffffx
−−
45
  
+−+−
fff
−−−
123
32203574732 02179457280
++++
fff
210
01937295360
1
1
2
01937295360
498161664
01937295360
1
1
2
05811886080 73136947637
01037836800
497008231
6803477
0002615348736
528919
4358914560
109551893
1132185600
43103107
002615348736
29543743
0002615348736
42871057
02179457280
184329877
1981324800
167692751
002615348736
106049897
0002615348736
159926447
02179457280
92462015461
01245404160
−
−
1
2
01
1
−
2
1998587
3433391539 3459456000
978321
774918144
−
02
−
2
2
−
12540301
328749529
164736000
116504251
−
03
−
2
3
−
136989533
68
≤
≤
456196373
5283532800
−
2
4
04
130075191
3459456000
−
2
5
05
1786550083
2880245237
494208000
6457651200
197906591
05230697472
1
1
2
510378643
0002615348736
−
−
753141709
01162377216 91347282938
02179457280
73876620466 01245404160
1797694357
32021112707
01937295360
4281164477
−
1
1
−
2
02377589760
0002615348736
6130492139
01937295360
02179457280
13908362395
01245404160
91060596389
092963966201 002615348736
510378643
+−+
572021497
893410123
8336345863 4358914560
4281164477
−++
4760318789
7157910869
+++
,
fff
543
0002615348736
002615348736
  
+−++=
ffffx
−−
45
  
++−+
fff
−−−
123
01245404160
  
++++
fff
210
0002615348736
002615348736
01245404160
97961406047
fff
210
02179457280
31369577909
002377589760
 
,
fff
(3.34)
543
 
++−+=
ffffx
−−
45
  
+−+−
fff
−−−
123
  
++++
  
.
fff
543
Значения x с отрицательными индексами определяются на ос­новании тех же самых соотношений (3.34) в силу симметрии табли­цы интегрирования относительно нулевой строки.
Если записать формулы (3.34) в общем виде
+
n
−
0
то соответствующая формула для
Что касается
−
x
, то оно задано.
0
Для вычисления начальных значений сумм
−
1
2
++=
1
−
2
−
2
0
∑
−
fAkffx
, при nk
+
 
0 ,
+
n
∑
−=
ni
fAffkfx
−
ikik
.
20−
f и
1
−
f служат
1
−
2
ikik
−=
ni
будет
kx−
−
1
+−=
0
1
2
формулы (3.24) и (3.28), которые с учетом десятых разностей можно записать в следующем виде:
69
ε
()(
)
()(
)
−
2
0
10438199
17893829
108799709
−
1
ɺ
1
−
2
203257
35481600
11639731
159667200
6803477
( )
002615348736
( ) ( )
05811886080
( )
01245404160
14797
191600640
( ) ( )
( )
−
0002615348736
ff
−
44
( )
++−
−++=
ffxf
−
550
36870059
02179457280
92427157
−++
−
943488000
( ) ( )
,
fff
011
230371
239500800
299093
13305600
1
−−+
.
fff
011
2
ffff
−−
ffff
−−
2233
+−−−+
2233
      
++−++
 
(3.35)
  
+−−−+=
ffffxhf
−−
44550
     
Решение поставленной задачи выполняется по формулам (3.34) и (3.35) методом последовательных приближений. Сначала для мо­мента
t
по заданному значению
0
x
вычисляем
0
f
. В первом при-
0
ближении принимаем значения правых частей уравнений для всех моментов постоянными и равными
правых частей по формулам (3.35) вычисляем
f
. Далее с этими значениями
0
20−
f и
1
−
f . Затем по
1
−
2
формулам (3.34) и (3.4) вычисляем последовательно для всех мо­ментов (кроме
по формулам (3.35) величины
t ) значения f . После этого вновь перевычисляем
0
20−
f и
1
−
f и т. д. Указанный процесс
1
−
2
последовательных приближений повторяется до тех пор, пока раз-
20−
1
, т. е.
−
f и
1
−
2
ности последующих и предыдущих значений модулей
f не будут меньше заданной относительной точности
2
0
2
−−
0
1
−
σσ
2
−
<− fff
ε
,
0
f ,
1
−
1
−
2
1
−
−
1
−
2
1
−
σσ
<−
σσ
−1
1
−
<
fff
ε
ε
,
1
−
2
fff
.
iii
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности