Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1329 вузов, 5502 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Философия математики и технических наук. Учебное пособие для вузов

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
08.09.2026
Размер:
2 Мб
Скачать
☆
Глава 4. Философские проблемы теории вероятностей
«подсчет вероятностей, который здесь рекомендует Лап лас, не соответствует классическому определению веро ятности, данному Лапласом, как отношения равновозмож ных случаев»
108
. В самом деле, здесь, как и при решении многих задач по статистике народонаселения, Лаплас рекомендует применять статистическое определение вероятности.
Таким образом, потребности тех или иных прило жений теории вероятностей обусловливали определен ную непоследовательность в реализации Лапласом своих философскометодологических принципов и установок. Однако, как уже отмечалось, прямолиней ная реализация философскометодологических прин ципов и установок порой приводила и к совершенно нелепым, неверным результатам
109
. Все это свидетель ствовало, с одной стороны, об узости философскоме тодологических оснований теории вероятностей Лап ласа, а с другой — об их принципиальной неадекват ности с точки зрения расширения возможностей приложения этой теории. Последнее стало очевидным, когда Л. Больцман, Дж. Максвелл и другие ученые на чали активно пользоваться вероятностными представ лениями при решении физических проблем (кинети ческая теория газов и т. п.). При этом большинство математиков не принимали их исследований всерьез по той причине, что понимание физиками вероятности выходило за рамки привычных представлений, задан ных Лапласом.
Что касается самого Лапласа, то он был настроен крайне оптимистично по отношению к перспективам приложения теории вероятностей, построенной на базе априорного определения вероятности. Рассказав о приложении теории вероятностей в области теории ошибок, других естественнонаучных проблем, Лаплас отмечает: «Мы только что убедились в выгоде, предо ставляемой анализом вероятностей при изыскании законов естественных явлений, причины которых не
108
Майстров Л.Е. Теория вероятностей... С. 168.
109
См. об этом также: Пойа Д. Математика и правдоподобные
рассуждения. М., 1957. С. 398.
211
Часть I. Философские проблемы математики и информатики
известны или же слишком сложны для того, чтобы действия их могли быть подчинены вычислению. То же самое относится почти ко всем объектам нравственных
110
наук»
. Таким образом, принцип недостаточности основания, на основе которого определяется априор ная вероятность, открывает, согласно Лапласу, неогра ниченные возможности приложений теории вероятно стей не только в области наук о природе, но и в обла сти обществознания.
Возможность эффективного использования теории вероятностей в области «нравственных наук» обуслов лена, согласно Лапласу, тем, что «большая часть на ших суждений основана на вероятности свидетельских показаний»
111
. Автор «Аналитической теории вероят ностей» понимает, что подчинить исчислению сложные вопросы «нравственных наук» «бывает часто невоз можно изза трудности оценить правдивость свидете лей, а также изза большого числа обстоятельств, со провождающих факты, о которых они свидетельству
112
ют»
. Тем не менее он считает, что в ряде случаев можно корректно ставить и решать с помощью теоре тиковероятностных методов задачи, связанные с вы явлением степени правдоподобия свидетельских пока заний, правильности вынесенных приговоров и т. п. При этом Лаплас моделирует рассматриваемые обще ственные явления с помощью хорошо известных веро ятностных моделей типа так называемой «урновой модели». Отождествляя (как правило, недостаточно корректно) основные структурные черты анализируе мых явлений и теоретиковероятностных моделей и разрешая затем соответствующую собственно теоре тиковероятностную проблему, Лаплас делает выводы, полезные, с его точки зрения для усовершенствования ряда общественных учреждений, в частности судов. Так, он пишет: «Вероятность ошибки или лжи свидете ля делается тем больше, чем более необычен рассмат риваемый факт. Некоторые авторы утверждают про
212
110
Лаплас П. Опыт философии... С. 105.
111
Там же. С. 106.
112
Там же.
Глава 4. Философские проблемы теории вероятностей
тивное, основываясь на том, что так как форма необыч ного факта совершенно подобна форме обычного, то одни и те же мотивы должны нас побуждать верить свидетелю одинаково, утверждает ли он, что тот или другой из этих фактов имел место. Простой здравый смысл опровергает столь странное утверждение; но исчисление вероятностей, подтверждая указания здра вого смысла... оценивает правдоподобность свиде тельств о необычайных фактах»
113
. В другом месте Лаплас обосновывал необходимость увеличения соста ва суда присяжных для того, чтобы вероятность пра вильного решения была близка к 1. При этом он опи рался на теорему Бернулли, неявно предполагая, что решения, принимаемые судьями в отдельности, неза висимы друг от друга. В качестве примера Лаплас разбирает случай, когда в судебном разбирательстве принимает участие 1001 судья. Касаясь современного ему суда присяжных, он замечает, что для «достаточ ного ограждения невиновности следует требовать (для осуждения. — Авт.) по крайней мере большинства де вяти голосов из двенадцати»
114
.
Неудивительно, что как во времена Лапласа, так и позднее подобные применения теории вероятностей подвергались резкой критике. Так, советский матема тик С.Н. Бернштейн, касаясь «моральных приложений» теории вероятностей, подобных изложенным выше, писал: «Здесь не принимается во внимание, что все судьи судят на основании тех же самых свидетельских показаний и вещественных доказательств, так что в простом деле все они более или менее одинаково раз берутся, а если запутанные обстоятельства вводят в заблуждение одних, то и для других судей ошибка ста новится более вероятной, иначе говоря, в случае судеб ного приговора отсутствует условие независимости между суждениями отдельных судей, и это коренным образом изменяет положение вещей»
115
. Отметим, од
нако, что основная ошибка Лапласа состояла в том, что
113
Лаплас П. Опыт философии... С. 111.
114
Там же. С. 134.
115
Бернштейн С.Н. Теория вероятностей. М.; Л., 1946. С. 179.
213
Часть I. Философские проблемы математики и информатики
решение отдельного судьи о виновности или невинов ности не является случайным событием, оно в каждом данном случае опирается на различные обстоятельства дела, пристрастия судей и т. п. и поэтому не может быть объектом исследования теории вероятностей. Правда, у нас в каждом отдельном случае может не быть доста точных оснований утверждать, что судья в большей мере склонен сказать «да», чем «нет», или наоборот, однако это, разумеется не является достаточным доводом для объявления решения судьи «случайным» событием. Но если вспомнить принцип недостаточности основания, который Лаплас фактически использует в качестве «те ста» на случайность, то становится понятным, почему такие странные с современной точки зрения приложе ния теории вероятностей Лаплас считает совершенно естественными.
Примечательно тем не менее, что сам автор «Ана литической теории вероятностей», повидимому, ощу щал некоторую неуверенность, применяя теорию ве роятностей к проблемам человеческого общества. Об этом говорят частые апелляции Лапласа к здравому смыслу, который, как он считает, наравне с теоретико вероятностными рассуждениями отвечает за делаемые выводы. Так, рассматривая вопрос о вероятности су дебных приговоров, Лаплас замечает: «Я попытаюсь применить исчисление к этому предмету, будучи убеж ден, что оно всегда является лучшим руководителем, когда опирается на данные, подсказываемые нам здра вым смыслом»
116
. Более того, он пытается уверить читателя, что его «Аналитическая теория вероятностей» «есть, в сущности, не что иное, как здравый смысл, сведенный к исчислению: она заставляет оценивать с точностью то, что справедливые умы чувствуют как бы инстинктом, часто не умея отдать себе в этом отчета»
117
Однако вряд ли здравый смысл когдалибо соответство вал представлению, рассматривавшему принцип недо статочности основания как указание на случайность того или иного явления, и поэтому претензия Лапласа
.
214
116
Лаплас П. Опыт философии... С. 205.
117
Там же.
Глава 4. Философские проблемы теории вероятностей
на «точное» выражение здравого смысла и «справед ливость» в общественной жизни отвергались уже его современниками. В то же время научный авторитет Лапласа, его выдающиеся достижения в области тео рии вероятностей, часть из которых была связана и с попытками применения теории к «нравственным» проблемам, его широковещательные заявления об от крывающихся перед теорией вероятностей прекрасных перспективах не могли не привлечь внимание. И боль шинство ученых, посвятивших вслед за Лапласом свои исследования теории вероятностей, также не избежа ли увлечения «моральными» приложениями.
Это подтверждает творчество одного из наиболее выдающихся последователей Лапласа — С.Д. Пуассо на. Его основная работа «Исследования о вероятности судебных приговоров по уголовным и гражданским делам» (1837) содержала, с одной стороны, доказатель ство знаменитой «теоремы Пуассона», вошедшей за тем во все учебники по математической теории веро ятностей, а с другой стороны, была заполнена совер шенно необоснованными приложениями этой теоремы, которую ее автор ставит в основание своих исследова ний о верности решений судов, для определения веро ятности любых человеческих решений независимо от их мотивации.
Как отмечает Л.Е. Майстров, «книгу Пуассона под держали в первую очередь математики (их было срав нительно немного. — Авт.), которые считали естествен ным применять теорию вероятностей к законодатель ству, юриспруденции, политическим и экономическим наукам. Но это мнение не было единодушным. Ряд ма тематиков выступили резко против такого применения. Они обвинили Пуасоона и его последователей в комп рометировании самой математики. В споре доходили до утверждения, что положения (собственно математиче ские результаты. — Авт.) Пуассона ложны. Эта крити ка распространилась также и на Лапласа»
118
.
Здесь следует учитывать тот факт, что книга Пуас сона написана тогда, когда математический анализ и
118
Майстров Л.Е. Теория вероятностей... С. 189.
215
Часть I. Философские проблемы математики и информатики
соответственно его приложения получили прочный ло гический фундамент в работе Коши «Алгебраический анализ», вышедшей в 1821 г. В то же время работы как Лапласа, так и Пуассона далеко не были свободны от крайне нестрогих и даже небрежных математических рассуждений, не соответствовавших сложившимся к этому времени нормам математической строгости. Впро чем, есть достаточные основания полагать, что ни Лап лас, ни Пуассон не были склонны считать теорию веро ятностей областью чистой математики (даже с точки зрения достаточно широкого понимания этого термина в XIX в.). Скорее они рассматривали теорию вероятно стей как естественнонаучную (или даже шире — об щенаучную) дисциплину, широко использующую мето ды математического анализа. Об этом говорит хотя бы тот факт, что ни плотности распределения, ни характе ристические функции, бывшие особыми, специфически теоретиковероятностными математическими понятия ми (объектами), не стали у них самостоятельным пред метом исследования. Кроме того, как отмечает О.Б. Шей нин, «принятый им (Лапласом. — Авт.) уровень абст ракции оказался недостаточным для создания теории вероятностей как цельной математической дисципли
119
ны»
. И, повидимому, Лаплас (как и Пуассон) не стре мился к этому. Отношение к теории вероятностей как к части математического естествознания становится гос подствующим в Западной Европе надолго. Как отмеча ет американская исследовательница Д.Л. Бернcтейн (со ссылкой на М. Каца), «после Лапласа вероятность по чти исчезает как математическая дисциплина в запад ном мире до 1920х годов»
120
.
Состояние теории вероятностей в Западной Европе второй половины ХIХ в. очень точно охарактеризовано в следующих словах Б.В. Гнеденко: «Увлечение теорией ве роятностей в первую четверть прошлого века, связанное с именами Лапласа и Пуассона, привело к огромному числу работ, посвященных приложениям к различным
119
Шейнин О.Б. Теория вероятностей П.С. Лапласа. С. 220.
120
Bernstein D.L. The role of applications in pure mathematics//
The American Mathematical monthly. 1979. V. 86. № 4. P. 250.
216
Глава 4. Философские проблемы теории вероятностей
проблемам естествознания и общественной жизни. Мно гие из них были настолько мало обоснованы, что впослед ствии воспринимались в качестве «математического скандала». В результате упомянутые увлечения смени лись глубоким разочарованием и полным скептицизмом в отношении возможности использования теории веро ятностей в качестве метода научного познания. Среди ма тематиков Западной Европы приобрел господство взгляд на теорию вероятностей как на своеобразное математи ческое развлечение, едва ли заслуживающее серьезного внимания»
121
. Показательно также и то, что разочарова ние в возможностях теории вероятностей было столь чув ствительным, что способствовало усилению крайне де терминистских воззрений и полному отрицанию всякой полезности применения теории вероятностей где бы то ни было. «Даже в том случае, — писал Дж.С. Милль в 1843 г., — когда вероятности обусловливаются наблюде нием и опытом, самое небольшое усиление данных (пу тем лучших наблюдений или более полного исследования специальных обстоятельств...) имеет больше значения, чем самое детальное исчисление вероятностей, основан ных на данных в их прежнем, менее совершенном состо янии. Пренебрежение этим очевидным соображением дало начало тем неудачным приложениям исчисления ве роятностей, которые сделали это исчисление настоящим позором математики. Достаточно упомянуть о приложе нии его к установлению достоверности свидетелей и правильности приговоров, выносимых присяжными (на мек на работы Пуассона. — Авт.)»
122
.
Отсутствие общепризнанных логических основа ний теории вероятностей, надлежащей строгости ее построений, критериев обоснованности ее применений толкали ученых, не разделявших крайних взглядов Милля, к поиску путей выхода из кризиса. Наиболее плодотворным, как показало дальнейшее развитие со бытий, оказалось предложение Дж. Буля. В работе, впервые опубликованной в 1854 г., Буль отмечал, что
121
Гнеденко Б.В. Развитие теории вероятностей в России//
Труды института истории естествознания. Т. 2. М.; Л., 1948. С. 390.
122
Милль Дж.С. Система логики. СПб., 1914. С. 490.
217
Часть I. Философские проблемы математики и информатики
среди условий, на которых должны основываться пре тензии теории вероятностей на принадлежность к «чи стой науке», первое место занимает следующее: «Прин ципы, на которых основаны ее (теории вероятностей) методы, должны быть аксиоматическими по своей природе»
123
. Однако до первых попыток реализации этого по истине пророческого предложения оставалось еще более полувека.
Конец ХIХ — начало ХХ в. — переломный этап в развитии теории вероятностей. Большинство ученых, продолжавших работать в рамках классической пара дигмы теории вероятностей (среди них в Западной Европе выделялись Ж. Бертран и А. Пуанкаре), все бо лее ясно осознавали ее недостатки, вскрывали их, ука зывая на их существенность и опасность для дальней ших перспектив развития этой науки. Тем самым в научном сообществе постепенно утверждалась необ ходимость в скорейшем переходе к новой парадигме, расширяющей область обоснованных приложений прежде всего за счет включения в ее рамки вероят ностных представлений статистической физики, — к такой парадигме, которая была бы свободна от по рочного круга классического определения вероятнос ти (вероятность через равновероятность) и связанных с ним парадоксов (на них указывал, в частности, Берт ран), к парадигме, обеспеченной прочными логически ми основаниями.
Начало ХХ в. это и время крупных достижений аксиоматического метода. На его основе Д. Пеано, Д. Гильбертом и другим математиками были проанали зированы и приведены в стройную систему арифмети ка и геометрия. Постепенно он стал проникать и в дру гие области математики, и за ее пределы (механика). Становилось ясным, что с помощью аксиоматического метода возможно логическое обоснование самых раз личных математических и естественнонаучных теорий. Кроме того, укреплялось понимание того, что адекват ная аксиоматизация теории на длительное время может обеспечить ее плодотворное развитие, что аксиомати
218
123
Boole G. Studies in logic and probability. L., 1952. P. 288.
Глава 4. Философские проблемы теории вероятностей
ческий метод является методом как логического обосно вания теории так и отыскания новых фактов.
Таким образом, логика развития науки постепенно приводила ученых, работавших в области теории веро ятностей к пониманию того, что переход к новой пара дигме наиболее эффективно может быть осуществлен через построение соответствующей аксиоматической системы. Эта система должна прежде всего удовлетво рять двум требованиям: вопервых, быть логически не противоречивой и, вовторых, быть достаточно широкой, чтобы теория, построенная на ее основе, могла найти максимально широкую область обоснованных примене ний, по крайней мере в тех областях, где вероятностные представления и их количественные структуризации (как в классическом смысле, так и не укладывающиеся в классические рамки) находят плодотворное, признан ное научным сообществом применение.
Но прежде чем непосредственно переходить к построению теоретиковероятностной аксиоматики, необходимо было решить важнейшую философско методологическую проблему: какое место занимает теория вероятностей в системе наук? Является ли она естественнонаучной или математической дисципли ной? От ответа на этот вопрос существенным образом зависит выбор того или иного подхода к аксиоматиза ции теории, в частности уровня абстракции и идеали зации, выбор множества неопределяемых понятий. Во всем своем значении перед исследователями встала проблема определения предмета теории вероятностей.
Корифей в области аксиоматического метода (ни когда, впрочем, профессионально не занимавшийся проблемами теории вероятностей) Д. Гильберт выска зался следующим образом: «С исследованиями по ос нованиям геометрии близко связана задача об аксио матическом построении по этому же образцу тех фи зических дисциплин, в которых математика играет выдающуюся роль; это в первую очередь теория веро ятностей и механика»
124
. В этих словах, произнесен
124
Проблемы Гильберта / Под ред. П.С. Александрова. М.,
1969. С. 34.
219
Часть I. Философские проблемы математики и информатики
ных на Международном конгрессе математиков в Париже в 1900 г., указывается путь аксиоматизации теории вероятностей как естественнонаучной дисцип лины. Именно по этому пути и пошел немецкий уче ный Р. Мизес, впервые изложивший свои идеи в курсе лекций, прочитанных в 1914 г. в Страсбурге, и позднее в широко известной книге «Вероятность и статистика».
Надо отметить, что парадигма развития теории вероятностей, заложенная классическими работами Я. Бернулли и Лапласа, оказалась достаточно широкой и эффективной концепцией, в рамках которой удалось не только получить множество мощных математиче ских результатов (законы больших чисел в различных формулировках, центральные предельные теоремы) и применить их к некоторым проблемам естествознания (например, для создания классической теории ошибок измерений), но и добиться такого уровня строгости математических доказательств в процессе проведения теоретиковероятностных рассуждений, который в этом отношении приближал теорию вероятностей к другим математическим дисциплинам. Последнее было сделано главным образом в работах математиков Пе тербургской школы теории вероятностей — П.Л. Че бышева, А.М. Ляпунова и А.А. Маркова (старшего), творчество которых оказало несомненное влияние на формирование методологических взглядов С.Н. Берн штейна и А.Н. Колмогорова, создателей аксиоматик теории вероятностей как математической дисциплины.
«С методологической стороны основной переворот, совершенный Чебышевым, — писал позднее А.Н. Кол могоров, — заключается не только в том, что он впер вые с полной настойчивостью выдвинул требование аб солютной строгости доказательства теорем (выводы Муавра, Лапласа и Пуассона были с формальнологи ческой стороны совсем небезупречны, в отличие, впро чем, от Бернулли, который свою предельную теорему доказал с исчерпывающей арифметической точнос тью), но главным образом в том, что Чебышев всюду стремился получать точные оценки отклонений от пре дельных закономерностей, возможных хотя бы и при большом, но конечном числе испытаний в виде безус
220
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности