Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Философия математики и технических наук. Учебное пособие для вузов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 5030 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 > Следующая >>>

Глава 5. Философские проблемы прикладной математики

а связанные с ними другие, естественные или скон струированные, системы называют и описывают в над лежащее время.

Система человеческой деятельности фундамен тально отличается по своей природе от естественных систем. Прежде всего она являются сконструирован ной. Кроме того, они могут изменять самих себя, по скольку человек обладает самосознанием, свободой выбора своих действий, некоторой самостью. Наличие человеческого в человеке означает, что описание сис темы человеческой деятельности не может быть подобно описанию естественной системы. Как правило, в опи сание системы человеческой деятельности включает ся описание позиции лица, с позиций которого произ водится исследование. Выше мы видели, как это про исходит в исследовании операций. Еще прозрачнее это делается в системном анализе, и особенно в исследо вании мягких систем (soft System).

Наряду с исследованием операций, развиваются близкие области науки, такие как теория управления, системный анализ, теория принятия решений. Во мно гом задачи исследования операций являются задачи статики. Теория управления сразу же была ориентиро вана на задачи динамики. После работ Л.С. Понтрягина и его школы в теории управления произошла опреде ленная канонизация языка и методов. Благодаря этим работам оформилась теория управления. Управляемые системы трактуются как естественное развитие дина мических систем, свойства которых считаются извест ными из теории дифференциальных уравнений. Введем понятие управляемой системы.

Пусть рассматриваются системы, которые описы ваются обыкновенными дифференциальными уравне

ниями

x = f (x, u, t, ξ),

где x — nмерный фазовый вектор, ξ — kмерный (k J n) вектор возмущений (внешних воздействий), ко торый может быть случайным (тогда он задан своим

См.: Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. М., 1981.

291

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

статистическим описанием), либо неопределенным (ха рактеризующим недостаточность наших знаний об изучаемом явлении). В обоих случаях вектор ξ(t) зада ется своей принадлежностью к некоторому множеству

ξ (t) Î G

(t)Zt.

Векторфункция u (t) размерности m J n носит на звание управления, или управляющего вектора. Это свободная векторфункция, которая находится в нашем распоряжении. Считается, что с системой ассоцииро ван некоторый субъект (оперирующая сторона, конст руктор, который проектирует систему управления), спо собный и имеющий право принимать решения, т. е. выбирать управляющую функцию. Она может быть функцией времени u = u (t), фазового вектора u = u (x), функцией возмущения u = u (ξ) или же иметь более общий вид u = u (t, x, ξ).

Во всех тех случаях, когда вектор управления яв ляется функцией фазовых переменных и возмущений, предполагается, что эти величины известны или ста новятся известными субъекту к моменту принятия решения. Это предположение, в свою очередь, требует описания некоторого информационного процесса.

Выбор величины u обычно стеснен какимилибо ог раничениями. Их можно записать в виде u Î G

— некоторое множество произвольного вида.

где G

Zt, x, ξ,

На изменение фазовых координат также могут быть наложены ограничения (фазовые ограничения), например, такие:

x Î G

Zt.

Иногда эти два условия приходится объединять (смешанные ограничения):

(t, x, u) G

Zt.

Или:

(t, x, u, ξ) G Zt. .

Системы уравнений вида x = f (x, u, t, ξ), к кото рым добавлены ограничения (множества) G называют управляемыми системами.

292

, Gu, G

Глава 5. Философские проблемы прикладной математики

Когда говорят об управлении, имеют в виду про

цессы формирования целей, отыскание и реализацию способов их достижения. Функция u = u (t, x, ξ), после того как мы ее выбрали, является формализованным описанием способов достижения цели. В теории управ ления эта функция часто называется законом управле ния. Одной из основных задач теории управления яв ляется отыскание закона управления по заданной цели. Первым шагом проектирования системы управления является определение оптимальной программы. На следующем этапе нужно построить механизм управ ления, который реализовал бы найденную програм мную траекторию, т. е. обеспечивал бы достижение цели управления с максимальной точностью при за данном количестве ресурса управления. Проблема синтеза оператора управления (проектирование меха низмов управления) является центральной проблемой анализа и проектирования систем. Проблема оказыва ется чрезвычайно сложной. Разработан ряд численных методов синтеза систем управления, ориентированных на использование электронной вычислительной техни ки. Они носят, как правило, эвристический характер: строгих результатов и строгих оценок почти нет. По этому естественнее говорить не об оптимальном син тезе, а о возможном, допустимом синтезе. Но в то же время разработаны конструктивные способы построе ния механизмов управления. Следовательно, появляет ся возможность их экспериментальной проверки с помощью ЭВМ. Машинный эксперимент на основе ма тематических моделей открывает новую страницу в развитии методов исследования управляемых систем. В самом деле, имея в распоряжении тот или другой механизм управления (автопилот), реализованный в форме алгоритма, мы можем с помощью машинного эксперимента наблюдать результат его функциониро вания. Имея систему критериев, можем оценить его эффективность и решить вопрос о его применимости.

Таким образом, машинный эксперимент позволяет подключить к анализу систем управления неформаль ные методы. Это тем более важно, что на практике при создании технических систем управления, а особенно

293

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

при создании систем управления хозяйственными комплексами, любая классическая постановка задачи, безупречная с точки зрения математики, является до статочно условной схематизацией того реального про цесса управления, который мы исследуем.

В свете сказанного значение методов приближен ного синтеза систем управления трудно переоценить. Но, став на путь построения операторов обратной свя зи с помощью эвристических процедур, мы переносим многие трудности в сферу машинного эксперимента. Его организация превращается в большую самостоя тельную проблему.

Во многом как своеобразный синтез идей и прин ципов теории исследования операций и методов тео рии управления с возможностями вычислительной техники, сложилась другая область математических исследований — системный анализ.

В связи с активным привлечением к конкретным исследованиям математических методов с использова нием электронновычислительных машин резко возрос интерес к философским вопросам создания математи ческих моделей, их изучения, интерпретации и т. д., а также к вопросам о том, на каких базовых концепци ях, касающихся истолкования реальности, и познава тельного процесса, должен покоиться процесс мате матического исследования. Интеллектуальным ядром прикладной математики являются понятия (концепции) системы, сложности, модели, вычислительного экспе римента, информации.

Развитие прикладных исследований порождают новую онтологию — понимание реальности как слож носистемно организованной, наполненной при этом неопределенностями в своем поведении. Системные идеи позволяют размышлять над проблемами, с кото рыми редукционистский декартовский метод (каждая проблема может и должна быть разбита на возможно большее число простых частей) не может справиться. Особенно это касается проблем реальной жизни в отличие от проблем, формулируемых в лабораторных условиях. Но именно в решении реальных жизненных проблем помогает современная математика.

294

Глава 5. Философские проблемы прикладной математики

А само математическое исследование характеризу ется рядом новых особенностей, не присущих ранее научной деятельности. Оказалось, что в прикладных математических исследованиях когнитивные коммуника ции, достижение взаимопонимания специалистов разно го профиля играют важнейшую роль в обеспечении пло дотворности исследования. Основная задача специалис та в области прикладной математики заключается в том, чтобы построить математическую модель изучаемого явления и исследовать ее. Поэтому вполне оправданно прикладную математику часто называют наукой о мате матических моделях — о построении, исследовании, ин терпретации и оптимизации такого рода моделей.

Известный отечественный математик В.В. Налимов в свое время обращал внимание на то, что «переход от изучения хорошо организованных систем к изучению плохо организованных систем, естественно, оказал влияние на общеметодологические концепции науки... Мы видим прежде всего, как изменяются требования, предъявляемые к математическому описанию наблю даемых явлений. Понятие закона в науке заменяется более широким, хотя и очень расплывчатым понятием модели. Изменилась в связи с этим и сама система построения научных выводов. Стало меняться отноше ние к тому, что допустимо и что недопустимо в науке. Этот процесс еще далеко не закончился — быть мо жет, он только начался. Моделирование — это отнюдь не абстрактнонаучная деятельность»

В следующих двух параграфах мы сосредоточим внимание на выявлении и описании особенностей когнитивных процессов в прикладной математике. Речь пойдет о двух основных аспектах таких процессов: гносеологическом и коммуникативном.

Гносеологические особенности

прикладной математики

Компьютеризация математики наложила сильный отпечаток на математическую деятельность. В частно

Налимов В.В. Теория эксперимента. М., 1971.

295

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

сти, с тех пор как начал развиваться диалог человека и вычислительной машины, оказалось возможным экс периментировать с математическими задачами. Ма шинный, или вычислительный, эксперимент посте пенно утвердился как метод исследования матема тической модели. На первом этапе своей истории ЭВМ казалась большим арифмометром. Она позволяла про делывать большую вычислительную работу. Зароди лась наука о том, как с помощью ЭВМ следует прово дить вычисления. Но само появление ЭВМ первона чально никак не разрушало традиционных канонов математического мышления. Только с появлением и усилением диалога между математиком и ЭВМ в ма тематику начал входить вычислительный эксперимент и исследование принципов его организации. Со вре менем открылись такие горизонты использования ма тематики, о которых раньше никто не догадывался. При этом изменилось и понимание того, что представ ляет собой математика.

Математическое моделирование с последующим машинным (вычислительным) экспериментом явилось одним из главных направлений в исследовании слож ных систем. При этом ассимилируется опыт не только физического моделирования, но и опыт технических, инженерных наук. В этих исследованиях осуществля ется синтез критериев научного познания, имеющих как истинностный, так и праксеологический характер.

В исследованиях сложных систем ключевая роль принадлежит современному математику. Математиче ская технология включает в себя следующие этапы: построение математической модели, построение ее вычислительной модели и алгоритма, проведение вы числительного эксперимента, исследование модели, интерпретация результатов. Новая область исследова ний накладывает существенный отпечаток на харак тер самой математической деятельности. В новой по знавательной ситуации важным регулятивом матема тического исследования становится нематематическое знание. Оно может иметь различный характер. Это могут быть и научные эмпирические факты, и теоре тическое знание о поведении тех или иных компонен

296

Глава 5. Философские проблемы прикладной математики

тов системы, и опыт практической деятельности с объектом, и мнения экспертов по исследуемой пробле ме и т. д. Такое знание может оказаться необходимым на самых разных этапах исследования.

Итак, математическая деятельность тесно связана прежде всего с той реальностью, которую изучает математик с помощью ЭВМ. Более того, критерий эф фективности предполагает, что поставленную пробле му нужно решать не комунибудь когданибудь в буду щем, в произвольное время, а в конкретные сроки и наличными средствами — конкретному коллективу, располагающему конкретной вычислительной маши ной. В противном случае исследование теряет смысл. Эти ограничения оказывают существенное влияние на сам характер выбираемых или разрабатываемых ме тодов исследования, которые, будучи научно состоя тельными, вместе с тем позволяли бы решить пробле му. Часто складывается такая ситуация, когда методы классической математики или вообще не применимы, или же требуют слишком много времени для решения. И тогда «вместо того, чтобы отправляться от общего аналитического решения и переходить к специфиче скому конкретному случаю, мы теперь признаем высо кую полезность, хотя и лишенную математического изящества, эмпирического подхода к поставленным задачам», — писал Н.Н. Моисеев

. Мощность матема тического анализа оказывается недостаточной для ре шения проблем, которые складываются в исследова ниях сложных систем.

В результате, в современных математических ис следованиях по сравнению с классической математи кой определенное своеобразие приобретают представ ления и о математической строгости, и о логической структуре математического построения, и о методах математического исследования. Кратко говоря, мате матическое исследование выходит за пределы чисто дедуктивного характера математических построений, как это имело место в классической («чистой») мате матике. Строгость, точность математического исследо

См.: Моисеев Н.Н. Математика ставит эксперимент. М., 1979.

297

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

вания задается не только требованием непротиворе чивости исходных утверждений, но и характером са мой познавательной задачи. Исходные постулаты ма тематической модели обычно не исследуются на вза имную независимость. По выражению В.В. Налимова, эти математические исследования характеризуются мозаичной структурой системы суждений

. Другой выдающийся ученый В.М. Глушков также обращал внимание на различия по логической структуре между классической математикой, основным методом которой является метод дедукции, и современными математи ческими исследованиями, включающими в себя по строение математической модели и исследование ее на ЭВМ. Он приводит пример решения задачи определе ния формы обводов корпуса корабля, обеспечивающей наименьшее лобовое сопротивление при движении с заданной скоростью. Решение осуществляется на ос нове перебора различных форм, исследования соответ ствующих моделей на ЭВМ и выбора в результате той, которая показала наилучший результат

При исследовании математической модели также используются рассуждения, не носящие дедуктивного характера. Ими могут быть различного рода рабочие гипотезы относительно изучаемого явления. Они дают возможность делать различного рода упрощения при выборе вычислительного метода. Проиллюстрируем характер познавательных процедур такого рода на примере построения вычислительного алгоритма

Конструирование вычислительного алгоритма означает прежде всего построение разностей схемы для математической модели, т. е. аппроксимацию ис ходной системы дифференциальных уравнений систе мой разностных сеточных алгебраических уравнений (подразумевается дискретизация задачи). Отсюда сле дует, что разностная схема близка к исходной диффе

См.: Налимов В.В. Логические основания прикладной мате

матики. М., 1971.

См.: Глушков В.М. Математизация научного знания и теория

принятия решений // Вопросы философии. 1978. № 1.

См.: Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные схемы газовой

динамики. М., 1975.

298

Глава 5. Философские проблемы прикладной математики

ренциальной задаче лишь асимптотически, при неогра ниченном измельчании шагов сетки. Но поскольку шаги сетки всегда представляют собой конечные ве личины, возможно появление фиктивных источников (стоков) энергии, невыполнение некоторых важнейших законов сохранения.

В таких случаях принимают специальные меры. В численных методах и теории разностных схем сфор мулирован ряд принципов, которые следует соблюдать при построении разностных схем. Так, условием пра вильного отражения дискретной моделью основных свойств сплошной среды является принцип консерва тивности разностной схемы как требование выполне ния основных законов сохранения массы, энергии, импульса. Практика научных исследований продемон стрировала высокую эффективность разностных схем, с помощью которых решен ряд сложных, практически важных задач магнитной гидродинамики, радиацион ной газовой динамики и др.

В процессе оперирования абстрактным теоретиче ским объектом, когда используется достаточно богатый математический формализм, осуществляются разные типы математических исследований, в ходе которых может теряться и искажаться информация. Ученый может получить и, как правило, получает такие мате матические выражения, отношение которых к реаль ности выяснить не всегда просто. Эти проблемы вста ют не только на этапе интерпретации теории, но и на таком, казалось бы, чисто математическом этапе иссле дования, как проведение математического эксперимен та с исследуемой моделью, которая заведомо может быть реализована только на ЭВМ определенного типа. Данный этап исследования тоже выводит исследова теля из области абстракции. Ему приходится присталь но следить за тем, что стоит за математическими сим волами.

Так, в процессе исследования математической модели математику могут понадобиться какиелибо упрощения или ограничения относительно поведения величины, реконструируемой в модели, причем такое изменение задачи не должно приводить к искажению

299

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

важных свойств реального объекта. Велика роль и эмпирических данных как регуляторов исследования. Если какието варианты исследуемого явления удает ся изучить экспериментально (посредством натураль ного эксперимента), то расчет таких вариантов по ал горитмической программе на ЭВМ приобретает осо бую ценность. Сравнивая результаты вычислений с данными эксперимента, исследователь судит о возмож ностях построенной математической модели, оценива ет границы ее применимости. Может оказаться, что мо дель недостаточно точна или неполна. Тогда ее надо уточнять, дополнять, отражая в ней факторы, поначалу оставленные в стороне. Может оказаться и так, что модель слишком сложна, и те же результаты можно получить с помощью более простой модели.

Но если принят некоторый вариант математиче ской модели, то, изменяя различные параметры задачи (коэффициенты уравнений, граничные, начальные условия и т. д.), можно провести детальное исследова ние изучаемого процесса в рамках принятой модели. Можно выявить какието закономерности, оценить влияние различных факторов и т. д., т. е. получить цен ную информацию об объекте. Это особенно важно в тех случаях, когда с этим объектом вообще нельзя проводить эксперимент, или же когда нужно знать основные особенности будущей конструкции (экосис темы, климата, космического корабля и т. п.).

Применимость результатов расчета модели ограни чена ее рамками. Вместе с тем в пределах этих рамок встает вопрос о недоверии (с точки зрения классической математики) результатам, полученным средствами совре менной математики на базе ЭВМ. Повод к недоверию дают некоторые особенности этого исследования, такие, как отсутствие теоремы существования, теоремы сходи мости, приближенного решения не обычным «математи ческим», а какимто другим, «машинным» путем и проч.

Так, Н.Н. Моисеев писал о проведенном им машин ном математическом эксперименте в области изучения турбулентных течений жидкости следующее: «Эти исследования я проводил в 1959–1960 гг. и не рискнул их публиковать. Прежде всего мои аппроксимации

300

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 5030 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]