Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Философия математики и технических наук. Учебное пособие для вузов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 5031 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 > Следующая >>>

Глава 5. Философские проблемы прикладной математики

были очень грубые, а улучшить их я не мог — возмож ности моей ЭВМ были крайне ограничены. Но не толь ко это. Уж очень сомнительными мне казались и ме тод, и отсутствие привычных доказательств. Я стеснялся рассказать о своих машинных экспериментах. Свою гипотезу в те годы я рассказывал только один раз... В гипотезу не поверили...»

Но даже в том случае, когда все теоремы есть, за дача поставлена корректно, выбран хороший численный метод, известна заранее точность, устойчивость алгорит ма, то и тогда остается неконтролируемая погрешность, так называемая вычислительная погрешность, которая может исказить решение до неузнаваемости. Ясно, что в таком случае решению доверять нельзя.

Трудность заключается еще и в том, что для полу чения наилучшего приближения к точному решению задачи с помощью численного алгоритма, как правило, нужно выбирать достаточно маленький шаг интегри рования. Таким образом, для достижения высокой точ ности формально нужно проделать больше вычисле ний, а на каждом шаге накапливается вычислительная погрешность, которая может свести на нет все усилия. Эта погрешность, возникшая изза шумов, случайных помех и т. д., зависит, конечно, от конкретной ЭВМ, но, так или иначе, возрастает с увеличением числа шагов.

Математики, выводя теоремы о сходимости тех или иных численных алгоритмов, оперируют модельным описанием процесса вычислений, которое не может учесть многие особенности реальности. Свойства этих погрешностей изучаются с различных сторон, их пы таются учитывать при построении численных алгорит мов конкретных задач. Математики (вычислители) изо бретают различные обходные пути для преодоления этой сложности, опираясь на опыт, интуицию, пони мание конкретного содержания задачи. Надо сказать, что проблема вычислительной сложности является одной из активно обсуждаемых.

Можно привести и другие примеры, иллюстриру ющие непривычный для классической математики ха

Моисеев Н.Н. Математика ставит эксперимент. М., 1979.

301

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

рактер математического исследования, заключающий ся в «выходе за пределы математики» к другим формам понимания объекта. Так, пусть интегрируется система дифференциальных уравнений, в частности система магнитной гидродинамики в линейном приближении

При этом можно получить два типа решений: устойчи вые, т. е. имеющие колебательный характер, и неустой чивые, развивающиеся по экспоненте. Именно эти неустойчивые решения и представляют интерес при решении такой задачи. Необходимо изучить, при каких параметрах они возникают, насколько быстро развива ются. Выбрав численный метод, обеспечивают его устойчивость как алгоритма. Неустойчивым методом по лучить достоверное решение, как правило, нельзя.

Поскольку система уравнений сложна, то доста точное условие устойчивости получить трудно. По этому, выбрав некоторое условие, близкое к априор ной теоретической оценке, исследователь пишет про грамму для ЭВМ, обрабатывает результат машинного счета — и... не может отличить решение, неустойчивое физически, от решения, неустойчивого численно. Ко нечно, постепенно накапливаемый опыт, серии тестов позволяют отделить одно от другого и в итоге с уверен ностью сказать: вот решения, имеющие физический смысл, а вот решения недостоверные, побочный про дукт алгоритма. Но это делается больше не формали зованным способом, а с помощью накопленного опыта работы с такого рода моделями, с помощью интуиции.

В современной математике происходят такие со бытия, которые эквивалентны революции в целях и методах исследования. Характер многих математиче ских исследований порождает вопросы, к ответу на которые классическая математика вообще не была подготовлена. Сам способ преодоления математикой возникших трудностей находится в определенном про тиворечии с установившимися взглядами на содержа ние математического анализа. И чем дальше идут ис следования, чем шире спектр проблем, требующих использования ЭВМ, тем яснее становилась необходи

302

динамики. М., 1975.

См.: Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные схемы газовой

Глава 5. Философские проблемы прикладной математики

мость формирования новых взглядов, новых оценок и критериев, привыкания к ним.

Обсуждая проблемы ведения оптимизационных расчетов, Н.Н. Моисеев пришел к следующему выво ду, подтверждаемому всей практикой работы современ ного математика: «Прежде всего успех, как правило, сопутствует тому специалисту, тому машинному мате матику, который стремится вести содержательный анализ. Решая гидродинамическую задачу, он становит ся гидродинамиком; рассчитывая траектории кос мического аппарата, он становится специалистом — ракетчиком; отыскивая параметры гидротехнического сооружения, он становится и инженеромгидротехни ком и т. д. И это проникновение в суть изучаемого яв ления, повидимому, необходимо для успеха. Это неко торый принцип, отклонение от которого влечет печаль ные следствия»

Успех опытного математика в конечном счете обус ловлен привлечением неформальных соображений. В частности, алгоритм как инструмент вычислений дол жен быть разумным сочетанием формальных и нефор мальных процедур.

Перед математиками стоит целый ряд задач, дале ких от классической математики, которые связаны с развитием и использованием компьютерной техники. Стали тесно взаимосвязанными, взаимообусловленны ми все звенья математического исследования: по нимание объекта, математическая модель, алгоритм, программа, ЭВМ. Это влечет за собой зарождение новой науки — математической технологии, главной за дачей которой является анализ структуры и связей между различными звеньями математического исследо вания; исследование, пронизанное содержательным единством, требует единства и в своей организации

Математическое описание сложных процессов, протекающих в природе, технических конструкциях, в обществе, являясь в некотором отношении дальнейшим развитием математического моделирования, имевшего

Моисеев Н.Н. Математика ставит эксперимент. М., 1979.

См.: Яненко Н.Н. Методологические проблемы современной

математики // Вопросы философии. 1981. № 8.

303

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

место в классической математике, вносит в него и совершенно новые черты. В классической математике математическое моделирование имело в основном сле дующие разновидности

n построение операционных систем (векторные

пространства, группы, кольца, поля, функциональные пространства);

n алгоритмы (алгоритм Евклида, алгоритм решения

алгебраических, полиномиальных, уравнений в ради калах, алгоритм Картана);

n исчисления — дифференциальные, интеграль

ные, вариационные;

n решение сложных систем уравнений – интег

ральных, дифференциальных, интегродифференциаль ных и т. д.

Математическое моделирование в классической математике во многом опиралось на понятие бесконеч ного и понятие идеальных математических объектов, образующих некоторую операционную систему. В со временном же математическом моделировании боль шую роль играет поток внешних по отношению к мате матике факторов: прежде всего, данные эксперимента, «фактор реального времени, экономические ограниче ния, предопределенные сроки исследования. Поэтому наряду с идеальными объектами классической матема тики современная вычислительная математика интен сивно использует такие реальные конечные математи ческие объекты, как машинное число, программа и ко нечный автомат»

Анализ современных прикладных исследований показывает, что характер математической деятельнос ти в этой области часто существенно отличается от ха рактера математической деятельности, присущего классической математике. Кратко охарактеризуем эти отличия

См.: Яненко Н.Н. Методологические проблемы современной

математики // Вопросы философии. 1981. № 8.

Там же.

См.: Блехман И.И., Мышкис А.Д., Пановко Я.Г. Прикладная

математика: предмет, логика, особенности подходов. Киев,

1976.

304

Глава 5. Философские проблемы прикладной математики

1) Прежде всего обратим внимание на тот факт, что здесь математик выходит за пределы действия принципа работы в области классической математики, согласно которому явно или неявно предполагается, что если задача сформулирована на математическом язы ке, то она полностью переходит в сферу математики. В прикладных исследованиях дело обстоит иначе. В са мой постановке математической задачи в прикладных исследованиях часто сочетаются классическая и не классическая постановка вопроса.

2) Даже если задача поставлена классическим об разом, то в процессе ее решения могут встречаться переходы типа логических скачков, что, конечно, недо пустимо в классической (чистой) математике. В клас сической математике не существует понятий «не впол не доказанное утверждение» или «не совсем строгое доказательство» и т. п. В ней все не вполне доказанное является недоказанным, все не вполне строгое являет ся нестрогим. Поэтому появление в цепи рассуждений хотя бы одного логического скачка делает всю цепочку лишенной доказательной силы, хотя остальные звенья цепочки и характеризуются как строгие.

3) Складывается следующая ситуация: исследова ние математической модели осуществляется в рамках математики; но оно проводится средствами, которые классической математикой не допускаются. В резуль тате проявляется противоречивость требований к стро гости и доказательности в классической математике и в прикладных исследованиях. Уровень строгости в прикладной математике представляет собой уровень строгости, отличный от уровня строгости в классиче ской математике. Он является более близким к уровню строгости в физических исследованиях.

4) Прикладная математика не может ограничи ваться, как это делает классическая математика, од ними дедуктивными рассуждениями. В ней выработал ся свой стиль рассуждений. Он состоит в сочетании дедуктивных рассуждений и недедуктивных, но рациональных рассуждений. Рациональными рассуж дениями называют рассуждения, неприемлемые с точки зрения классической математики, но способные приводить к правильным результатам.

305

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

Логические особенности прикладной математики

Теперь перейдем к подробному рассмотрению ха рактерных черт логики прикладной математики и осо бенностей прикладной математики, связанных с выбо ром математической модели и метода ее изучения.

Рассмотрим вопрос о постановке задачи. Очень важно иметь в виду, что эти проблемы являются жиз неннопрактическими, а не исключительно абстрактны ми, идеальными. Этот жизненный мир непосредствен но врывается в деятельность математика. Например, часто возникает следующая проблема: для решения некоторого класса задач предлагается некоторый метод; требуется выяснить, является ли этот метод приемле мым. Понятие приемлемости является и не классиче ским, и не формальным. Оно может включать в себя соображения о возможности вычислительной системы, на которой будут производиться вычисления, о разум ной точности, которой мы хотим достичь, об удовлетво рении временных или экономических ограничений и т. п. При этом сам класс задач может быть не вполне определен и в процессе самого исследования прихо дится уточнять даже саму постановку задачи.

Примером могут служить задачи в области систем ного анализа, применяемого для поддержки принятия решения, когда итерационным образом происходит уточнение целей, критериев, границ проблемы.

К решению прикладных задач предъявляются тре бования, которые в чисто математических исследова ниях считаются второстепенными: задача должна быть решена не только правильно, но и своевременно, эко номно с финансовой стороны, решение должно быть доступным для существующих вычислительных средств, пригодным для использования, точность ре шения должна соответствовать задаче и т. д. Очень часто задача считается решенной только в том случае, если имеется эффективный метод, дающий требуемый результат с достаточной точностью за приемлемый отрезок времени. Как писал Бахвалов Н.С., «лучше

306

найти удовлетворительное решение задачи, но в срок,

Глава 5. Философские проблемы прикладной математики

чем получить полное решение задачи к тому времени, когда оно станет бесполезным»

Специфика метода рассуждений в прикладной математике проявляется в использовании и формаль ных, и неформальных понятий, в апелляции к интуи тивной убедительности как к форме доказательности рассуждений, часто именно интуитивная убедитель ность является важным критерием правильности.

Одним из основных принципов классической ма тематики является то, что все свойства любого изучае мого понятия должны вытекать только из его формаль ного определения. Все утверждения должны включать только формально определенные понятия. При этом логические соотношения между ними определяют ис тинность или ложность утверждения.

В классической математике все свойства решений задачи потенциально полностью предопределяются ее формулировкой. Любое изменение формулировки означает переход к новой задаче, поэтому исследова ние задачи не должно привлекать добавочных пред положений и других уточнений, которых не было в ее формулировке.

В прикладной же математике понятия и утверж дения часто имеют такой же характер, как в нематема тических дисциплинах и даже в обыденной жизни. Так, могут применяться понятия, вообще не имеющие фор мального определения или имеющие определение, не обладающее полной логической четкостью.

Но даже если применяется чисто математическое понятие, то за ним все время скрывается неформаль ный нематематический объект, и поэтому это понятие включает в себя больше, чем то, что содержится в его формальном определении.

При сравнении методов рассуждения в классиче ской и прикладной математике встает вопрос о поня тии математической строгости. Из общей концепции строгости в математике следует, что не существует ни абсолютной строгости, ни абсолютной точности. Уро вень строгости различен в различных областях знания;

Бахвалов Н.С. Основы вычислительной математики. М., 1970.

307

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

он меняется с развитием этих областей, складываясь в связи с их задачами и методами. Изменяется характер научного познания, а вместе с этим и трактовка того, что признается познанным, какие средства рассужде ния при этом считаются допустимыми. Причем в одно и то же время в разных разделах математики могут быть разные понятия строгости в соответствии с традиция ми и целями этих разделов. Так было в период Возрож дения с геометрией и математическим анализом, поз же свои требования строгости были в теории вероят ностей; совсем другие уровни строгости имеют место в математической логике и в основной части чистой математики.

В прикладной математике сложились свои требо вания строгости. Уровень строгости и весь образ мыш ления классической математики хотя и применяются в прикладной математике, но не могут ее полностью удовлетворить. Даже когда задача полностью сформу лирована на чисто математическом языке, проведение ее исследования на чисто дедуктивном уровне в подав ляющем большинстве случаев оказывается невозмож ным. Здесь математик обязан выбирать уровень стро гости и образ мышления, адекватный решаемым им задачам. Они определяются, как уже отмечалось, соче танием дедуктивных и рациональных рассуждений.

Математик учитывает как математическую, так и нематематическую (жизненную: физическую, экономи ческую, техническую и т. п.) сторону задачи, связывая одну с другой. Каждая возникающая математическая трудность ведет к дополнительному исследованию, на правленному на выяснение источника трудности: вы звана она нематематическим аспектом задачи, ошиб кой при формулировании и выборе метода или являет ся просто математическим затруднением, которое можно преодолеть. Прикладная математика изучает методы привлечения неформальных соображений к решению формализованных задач, конкретной областью прило жения определяются классы этих задач и этих сообра жений.

Важность этой стороны прикладной математики оттеняется существованием предложения разделять

308

Глава 5. Философские проблемы прикладной математики

классическую математику и прикладную математику как области математики следующим образом: матема тики, ведущие исследования в классической области, имеют дело с символами, их комбинациями и свойства ми в формализованном виде. Математики же, работа ющие в прикладной области, интересуются значением символов, т. е. смысловым содержанием теории, свя занной с реальным миром. При этом очевидно, что проблема единства математики становится одной из важных в философии математики.

Водораздел между классической и прикладной ма тематикой лежит и в характере применяемой логики. Логика прикладной математики имеет некоторые сти хийно установившиеся черты: способы доказательств, критерии достоверности и т. д.; при этом аналогичные способы и критерии, известные в классической (теоре тической) математике, в приложениях часто оказывают ся лишними или не работают. Здесь можно говорить о рациональных определениях, утверждениях, доказатель ствах и т. п. По отношению к этим утверждениям в ли тературе на равных правах со словом «рациональное» употребляется термин «правдоподобное», что идет от работ Д. Пойа

. Близкий смысл имеет также термин

«эвристическое рассуждение».

Одна из важнейших особенностей рациональных рассуждений, отличающих их от чисто дедуктивных, состоит в том, что они могут включать понятия, кото рые с точки зрения классической математики не явля ются точно, однозначно определенными. Содержание рационального понятия может уточняться в ходе ис следования. Они могут для разных людей и в разное время несколько отличаться.

Вот хорошо известный исторический пример. Пос ле одного из докладов в МГУ Р. Беллман на вопрос: «Может ли машина мыслить?» — написал это предло жение на доске, а затем сказал, что в нем вполне оп ределенным и понятным является только знак вопроса «?». Это типично рациональная постановка проблемы,

См.: Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения.

М., 1975.

309

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

решение которой существенно зависит от уточнения участвующих в ней понятий.

Рациональным является подавляющее большин ство рассуждений в естественных и социальных нау ках, в технике, житейской практике (за исключением отдельных дедуктивных вкраплений). Рациональные рассуждения, свойственные прикладной математике, характеризуются понятием степени достоверности (правдоподобия, уверенности, надежности) правдопо добного утверждения. Оно выражает степень уверен ности в его справедливости. Эта характеристика име ет сложную природу и трактуется неоднозначно. Так,

n Д. Пойа считает, что эта характеристика опреде

ляется только самим утверждением.

n И.И. Блехман и его соавторы полагают, что она

является в значительной мере субъективной характе ристикой психологического состояния, вызванного комплексом объективных причин; что эта характерис тика определяется не только самим утверждением, но и оценивающим субъектом, а также формально момен том времени, т. е. фактически характером имеющейся у субъекта информации, связанной с данным утверж дением, и психологическим состоянием субъекта. Но поскольку эта характеристика основана на объектив ных факторах, то в определенных обстоятельствах она может стать общезначимой; именно тогда она и пред ставляет наибольший интерес. Они отмечают, что сте пень достоверности в некоторых отношениях аналогич на понятию субъективной вероятности.

Приведем, следуя И.И. Блехману и его соавторам, примеры некоторых типов рациональных рассужде ний, распространенных в прикладной математике.

а) Применение формулировок, включающих неточ но определенные понятия.

б) Применение утверждений, справедливых в реальных случаях, хотя и допускающих построение ис кусственных противоречащих примеров, единственная цель которых состоит в показе дедуктивной неполно ценности соответствующего утверждения. Прикладной математик видит за каждым понятием не просто логи

310

<<< < Предыдущая 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 5031 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]