Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1328 вузов, 5501 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Философия математики и технических наук. Учебное пособие для вузов

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
08.09.2026
Размер:
2 Мб
Скачать
☆
Глава 4. Философские проблемы теории вероятностей
ловно правильных при любом числе испытаний нера венств»
125
. Чебышев считал, что целью теории вероят
ностей является установление вероятностей одних со бытий по заданным вероятностям других: «Наука о ве роятностях, — писал он, — известная под именем теории вероятностей, имеет предметом определение вероятности события по данной его связи с события ми, которых вероятности известны»
126
. Тем самым у Чебышева намечается отказ от включения теории ве роятностей в рамки естествознания.
Действительно, при таком понимании предмета теории вероятностей основное внимание уделяется разработке методов перехода от одних вероятностей к другим. При этом поиск этих методов никоим образом не зависит от того, как были получены значения пер вичных уже заданных вероятностей. Общность мате матического метода формально структурных черт раз личных разделов теории вероятностей вне зависимос ти от конкретной природы областей ее применения еще более подчеркивались в работах Чебышева и его по следователей едиными требованиями математической строгости, принципиально ничем не отличающимися от требований, предъявляемых к строгости математи ческого доказательства в других областях математики.
Следует отметить, что определение вероятности по Чебышеву, в сущности, ничем не отличается от класси ческого определения вероятности через равновозможно сти. При этом равновозможность у Чебышева, как и у Лапласа, определяется с использованием принципа недостаточности основания: «Если из определенного числа различных событий при известных обстоятель ствах одно необходимо должно случиться и нет особен ной причины ожидать какоголибо из этих событий преимущественно перед другими, то такие события отличаем названием случаев равновозможных»
127
. Ха рактерно, однако, что в работах Чебышева и его после дователей нет никаких попыток «моральных» примене
125
Колмогоров А.Н. Роль русской науки в развитии теории ве
роятностей// Учен. зап. МГУ. 1947. Вып. 91. С. 56.
126
Чебышев П.Л. Полн. собр. соч. Т. 5. М.; Л., 1951. С. 29.
127
Там же. С. 28.
221
Часть I. Философские проблемы математики и информатики
ний теории вероятностей, связанных (как это было у Лапласа и Пуассона) с использованием классического определения вероятности. Это заслуживает внимания уже потому, что сам Чебышев обратился к теории веро ятностей под влиянием горячих сторонников убеждения Лапласа в возможности «моральных» применений — Н.Д. Брашмана и А.Ю. Давидова
128
. Иммунитет Чебы шева к необоснованным применениям теории вероят ностей в общественной жизни обусловлен вопреки «классической» традиции его методологическими тре бованиями строгости и стремлением в процессе прило жения теории получать точные оценки отклонений от предельных теорем, что в случае «моральных» прило жений было недостижимо. Отметим также, что в отли чие от Пуассона, ошибочно применявшего свою пре дельную теорему и к зависимым событиям, Чебышев не распространяет свои выводы на зависимые события, не определяя, впрочем, самого понятия независимости. Таким образом, методологические требования Чебыше ва в определенной мере нейтрализовывали неадекват ные гносеологические основания классической теории вероятностей (вероятность — мера нашего незнания). «Устанавливая границы применимости основных тео рем теории вероятностей, — писал Л.Е. Майстров, — Чебышев давал случайным величинам ясные и отчетли вые математические характеристики, которые имели реальное содержание. Это позволяло в каждом конкрет ном случае решать вопрос о том, применимы ли к дан ным случайным величинам предельные теоремы»
129
.
Представляется вполне закономерным, что мате матики, продолжавшие традиции Петербургской шко лы теории вероятностей, и в частности С.Н. Бернштейн, Е.Е. Слуцкий, А.Я. Хинчин и А.Н. Колмогоров, стояли на методологической позиции аксиоматизации теории ве роятностей как математической дисциплины. «Значе ние работ Чебышева, Маркова и Ляпунова, — отмечал Колмогоров, — было оценено в Западной Европе лишь
М., 1967. С. 245.
222
128
См.: Шейнин О.Б. Теория вероятностей П.С. Лапласа. С. 222.
129
Майстров Л.Е. Теория вероятностей: Исторический очерк.
Глава 4. Философские проблемы теории вероятностей
с большим опозданием — в 20х и даже 30х гг. XX в. Теперь они всюду воспринимаются как исходный пункт всего дальнейшего современного развития теории ве роятностей... Медленность усвоения идей Петербург ской школы на Западе, может быть, отчасти объясня ется тем, что школа стояла очень далеко от статисти ческой науки. Мне не хотелось бы, однако, чтобы из последнего замечания получалось впечатление, будто работы Петербургской школы были лишены живого чувства связи с запросами математического естество знания. Но в силу отсталости русской физики второй половины ХIХ в. интересы математиков Петербургской школы не были направлены именно в эту, может быть наиболее интересную в смысле намечавшихся уже в их время перспектив применения теории вероятнос тей, сторону (работы Больцмана относятся к 1866– 1898 гг.)»
130
. К сказанному Колмогоровым следует до бавить, что применению математических результатов Петербургской школы препятствовала привержен ность ученых классическому определению вероятнос ти, тогда как, например, Больцман фактически опирал ся на статистическое понимание вероятности. Для даль нейшего развития теории вероятностей и ее прило жений необходимо было существенно перестроить ее основания.
Именно в работах ученых Петербургской школы, в особенности в работах А.А. Маркова, в наиболее яркой форме проявлялось противоречие между уровнем абст ракции и строгости теоретиковероятностных матема тических построений и логически шатким «естествен нонаучным» по своему типу основанием теории, все еще базировавшимся на понятии равновозможности. Это противоречие было четко зафиксировано Е.Е. Слуц ким в программной статье, опубликованной в 1922 г. В начале статьи он анализирует ставший уже к тому вре мени классическим курс «Исчисление вероятностей» А.А. Маркова. Отмечая, что в этом курсе исчисление вероятностей излагается как чисто математическая дис
130
Колмогоров А.Н. Роль русской науки в развитии теории ве
роятностей. С. 59.
223
Часть I. Философские проблемы математики и информатики
циплина, он пишет: «Таково оно и есть в своем основ ном содержании, взятом независимо от приложений. Однако уже с самого начала входит в него один эле мент, чисто математический характер которого весьма сомнителен, потому что всякое скольконибудь подроб ное истолкование его вовлекает мысль в инородную чистой математике сферу идей и проблем. Мы имеем в виду не что иное, конечно, как само понятие вероятно+
131
сти»
. А ведь речь идет о понятии, занимающем цент ральное место в теории и служащем фундаментом для дальнейших построений, подчеркивает Слуцкий.
В условиях проникновения аксиоматического ме тода в самые различные области математики подоб ное осознание возникшего методологического проти воречия необходимым образом вело к его более или менее адекватному разрешению. Проблема аксиома тического обоснования теории вероятностей как ма+ тематической дисциплины встала в повестку дня. И первое ее решение почти синхронно с Мизесом, но избравшим принципиально иной путь, предложил С.Н. Бернштейн.
При этом если Мизес аксиоматизировал теорию вероятностей как естественнонаучную дисциплину, то Бернштейн, как позднее и Колмогоров, стоял на пози ции аксиоматизации теории вероятностей как чисто математической дисциплины.
Аксиоматизация теории вероятностей
Первые работы Бернштейна по теории вероятностей относятся к 1911–1912 гг. «В этих первых работах, — замечают А.Н. Колмогоров и О.В. Сарманов в статье, написанной к 80летию со дня рождения Бернштейна, — ...преобладают интересы чистого аналитика»
В одной из этих работ Бернштейн, рассматривая теорию вероятностей в системе математической науки в целом, применяет вероятностные методы к доказатель
131
Слуцкий Е.К. К вопросу о логических основах исчисления
вероятностей // Вестн. статистики. Кн. 12. М.,1922. С. 13.
132
Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей.
М.; Л., 1936. С. 5.
224
132
.
Глава 4. Философские проблемы теории вероятностей
ству одной из фундаментальных теорем математиче ского анализа — теоремы Вейерштрасса. Когда ученый обращается к анализу оснований теории вероятностей и перед ним встает проблема ее аксиоматизации, то в соответствии с традициями Петербургской школы тео рии вероятностей он осуществляет построение ее аксиоматических основ, трактуя данную теорию как ма тематическую дисциплину. Отсюда следует требование Бернштейна строго математического определения основ ных понятий аксиоматической системы. Поэтому под ход Мизеса, основанный на полуэмпирическом опреде лении основных понятий теории вероятностей, не мог не быть совершенно чуждым ему.
Казалось бы, перед Бернштейном, а позднее и пе ред Колмогоровым стояла уже чисто техническая мате матическая проблема: выбрать (или создать) подходящий математический аппарат для искомой системы аксиом и построить на ее основе все здание теории вероятно стей. Однако это не совсем так, хотя, как отмечал Кол могоров, до создания определенных математических средств, а именно Лебеговой теории меры и интеграла, создание плодотворной аксиоматики теории вероятно стей было делом почти безнадежным
133
. Ведь не прихо дится сомневаться в том, что такой крупный математик, как Бернштейн, знал не только теорию Лебеговой меры, но и был знаком с пионерской работой Бореля, в кото рой в явном виде была показана роль Лебеговой меры и интеграла в теории случайных величин
134
. Тем не ме нее Бернштейн создает свой математический аппарат для построения аксиоматики, который, с современной точки зрения, «описывается в терминах нормированной
135
булевой алгебры предложений»
.
Методологические основы своего подхода к аксио матизации теории вероятностей Бернштейн достаточ но четко изложил в выступлении на первом Всероссий
133
См.: Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятнос
тей. С. 5.
134
См.: Полищук Е.М. Эмиль Борель. Л., 1980. С. 93.
135
Линник Ю.В. Теория вероятностей и математическая статис тика//Математика в ПетербургскомЛенинградском универси тете. Л., 1970. С. 245.
225
Часть I. Философские проблемы математики и информатики
ском съезде математиков в 1927 г. «Чисто математи ческая теория вероятностей, — говорил он, — может не интересоваться тем, имеет ли коэффициент, назы ваемый математической вероятностью, какоенибудь практическое значение, субъективное или объективное. Единственное требование, которое должно быть соблю дено, — это отсутствие противоречий, а именно: раз личные способы вычисления указанного коэффициен та при данных условиях и соблюдении принятых акси ом должны приводить к одному и тому же значению. Кроме того, если мы хотим, чтобы выводы теории ве роятностей были не простой игрой ума, а допускали эмпирическую проверку, то необходимо рассматривать только такие совокупности предложений или сужде ний, относительно которых возможно фактически ус тановить, истинны они или ложны»
136
.
Если для Колмогорова основным принципом аксио матизации теории вероятностей является, как мы ви дели, выделение тех ее элементов, которые обусловли вают ее внутреннюю логическую структуру, будучи совершенно не связанными с эмпирической интерпре тацией теории, то Бернштейн прежде всего стремился к другой цели, а именно, говоря словами Колмогорова, «по возможности к наиболее тесному смыканию мате матической теории с эмпирическим возникновением понятия вероятности»
137
. Именно в этом стремлении следует видеть основную причину исторической огра ниченности аксиоматической системы Бернштейна, в особенности после того, как у нее появился конкурент в лице теоретикомерной аксиоматики.
Первое издание фундаментального курса теории вероятностей Бернштейна с изложением аксиоматики вышло в 1927 г., еще до появления «аксиоматики Кол могорова». В 1934 и 1946 гг., уже после опубликования работы Колмогорова «Основные понятия теории веро ятностей», Бернштейн осуществляет переиздания сво ей книги с большими дополнениями. В этих работах он
136
Бернштейн С.Н. Современное состояние теории вероятнос
тей. М.; Л., 1933. С. 6.
137
226
Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. С. 10.
Глава 4. Философские проблемы теории вероятностей
продолжает отстаивать свою аксиоматику, имея в виду, повидимому, ее большую прозрачность по сравнению с аксиоматикой Колмогорова и еще не исчерпанные возможности для широких приложений теории, пост роенной на фундаменте выдвинутых им еще в 1917 г. аксиом. Говоря об исторической ограниченности аксио матики Бернштейна, необходимо отдать должное как его вкладу в решение проблемы логического обосно вания теории вероятностей, так и деятельности в обла сти приложений теоретиковероятностных методов в естествознании и технике. «На математических съез дах в Москве (1927 г.) и Цюрихе (1932 г.), — отмечали позднее А.Н. Колмогоров и О.В. Сарманов, — Сергей Натанович выступает с обзорными докладами о проб лемах теории вероятностей... Для этого времени столь широкая постановка работ по всем основным теорети ческим и прикладным вопросам теории вероятностей была еще делом совершенно новым. В некоторой мере с ней может сравниться лишь деятельность Мизеса и его сотрудников в Берлине, развивавшаяся в те
138
годы»
.
Становление нового этапа в развитии теории веро ятностей, связанного прежде всего с именем Колмого рова, было обусловлено в числе прочего выработкой принципиально новых методологических установок. Дело в том, что выбор той или иной формальной струк туры для системы аксиом теории вероятностей зависел от решения непростой методологической проблемы, ко торая, с одной стороны, является общей проблемой ме тодологии математики, а с другой — очень остро стоит именно в связи с теорией вероятностей, так как требо вания многообразных приложений имеют очень важ ное, если не сказать определяющее, значение для ее развития. Эту проблему можно сформулировать следующим образом: каков должен быть уровень мате матической абстракции аксиоматической системы, что бы построенная на ее основе теория находила как мож но более широкие области эффективных приложений? Представляется, что в самом общем случае, по отноше
138
Колмогоров А.Н., Сарманов О.В. Указ. соч. С. 216.
227
Часть I. Философские проблемы математики и информатики
нию к любой математической теории эта проблема не имеет единого, скольконибудь удовлетворительного решения. Однако для теории вероятностей в конкрет ных условиях ее развития в 20–30е гг. наиболее адек ватное решение этой проблемы было предложено Кол могоровым, который использовал достаточно абстракт ный и в кругах естествоиспытателей тогда почти неизвестный аппарат теории меры для построения ак сиоматики теории вероятностей. Этим, как показало дальнейшее развитие науки, было обеспечено не толь ко невиданное развитие математической теории веро ятностей (теория случайных процессов и т. п.), но и су щественное расширение областей ее эффективного применения.
Подход к решению указанной методологической проблемы в отношении теории вероятностей был в общих чертах (без указания на аппарат теории меры) намечен Е.Е. Слуцким в статье «К вопросу о логиче ских основах исчисления вероятностей». Говоря о не обходимости создания абстрактной аксиоматической системы для теории вероятностей, он приводит в каче стве примера абстрактную теорию групп, отмечая, что «одна из ее наиболее сильных сторон — формальная
чистота и многообразие приложений (курсив наш. — Авт.)»
139
.
Чувство соразмерности между формальной чисто той (или высотой уровня абстракции) теории и много образием ее приложений — одна из существенных черт методологических воззрений Колмогорова. Разумеется, искомая математическая система должна прежде все го математически структурировать вероятностные представления, использующиеся в математической теории вероятностей, а также в тех областях науки, где их активное использование не охватывалось теорией изза узости ее оснований. При этом в принципе воз можно построение нескольких аксиоматических сис тем, удовлетворяющих этому безусловному требованию в данный момент времени. Однако чем более абстракт на выбранная система аксиом, чем более свободна она
139
228
Слуцкий Е.К. К вопросу о логических основаниях теории
вероятностей. С. 16.
Глава 4. Философские проблемы теории вероятностей
от тех или иных особенностей конкретных задач, чем более глубокие структуры она охватывает, тем больше возможностей открывается для получения в теории далеко идущих мощных математических результатов, тем шире и разнообразнее области потенциальных приложений. В связи с этим примечательно, что по строению «аксиоматики Колмогорова» предшествова ло освобождение теории меры и интегрирования «от геометрических элементов, которые еще имелись у Ле
140
бега»
, осуществленное в работах Фреше.
Различие исходных методологических принципов построения аксиоматики у Колмогорова и Бернштейна обусловило также различный выбор ими основных (неопределяемых) понятий теории. В монографии, со держащей такую аксиоматику, Колмогоров следующим образом обосновывает свой выбор: «Аксиоматизация основ теории вероятностей может быть проведена различными способами как в отношении выбора акси ом, так и выбора основных понятий и основных соот ношений. Если преследовать цель возможной просто ты (читай — формальной чистоты. — Авт.) как самой системы аксиом, так и построения из нее дальнейшей теории, то наиболее целесообразным является аксио матизирование понятий случайного события и его ве роятности»
141
.
Действительно, наиболее удачная аксиоматизация математической теории (с точки зрения обеспечения максимального богатства внутреннего содержания независимо от возможных приложений) достигается тогда когда наиболее фундаментальные понятия тео рии становятся неопределяемыми понятиями (т. е. их свойства описываются через аксиомы). Однако стрем ление Бернштейна построить систему аксиом как мож но более непосредственно соответствующую схеме, по которой происходят вероятностные рассуждения в естествознании
142
, приводит его (как ранее Лапласа, а
позднее и Мизеса) к необходимости определять чис
140
Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. С. 5.
141
Там же. С. 9–10.
142
См.: Бернштейн С.Н. Теория вероятностей. М.; Л., 1946. С. 7.
229
Часть I. Философские проблемы математики и информатики
ленное значение вероятности внутри теории. (У Кол могорова численное значение исходных вероятностей определяется вне математической теории вероятнос тей, поскольку понятие вероятности является неопре деляемым.) Поэтому если у Колмогорова основными понятиями являются понятия случайного события и его вероятности, то у Бернштейна основным объектом ак сиоматики является лишь понятие случайного события.
Изложение своей аксиоматики, построенной «на понятии качественного сравнения событий по их боль шей или меньшей вероятности»
143
, Бернштейн пред варяет рядом общих замечаний методологического ха рактера. «Основное допущение теории вероятностей (постулат существования математической вероятности) состоит в том, — писал Бернштейн, — что существуют такие комплексы условий β, которые (теоретически, по крайней мере) могут быть реализованы неограничен ное число раз и при наличии которых в данном опыте наступление факта А имеет определенную вероятность, выражающуюся числом»
144
. Бернштейн настаивал на неправомерности априорного определения вероятно сти события, основанного лишь на принципе недоста точного основания: «Опыт имеет решающий голос в вопросе о том, возможно ли при осуществлении дан ного комплекса условий β и полной неопределенности прочих обстоятельств приписать факту А определен ную вероятность»
145
. Бернштейн, как видно из этих цитат, не проводил четкого различения между самой математической теорией вероятностей и интерпрета ционной схемой, служащей для ее различных прило жений. В приведенных высказываниях, содержащих фактически актуальные и сегодня основные условия, при которых возможно применение математической теории вероятностей, ученый использовал понятия и символы, участвующие затем в формулировках опре делений и аксиом самой теории.
роятностей. С. 8.
230
143
Колмогоров А.Н. Роль русской науки в развитии теории ве
144
Бернштейн С.Н. Теория вероятностей. С. 8.
145
Там же.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности