Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1329 вузов, 5502 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Философия математики и технических наук. Учебное пособие для вузов

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
08.09.2026
Размер:
2 Мб
Скачать
☆
Глава 4. Философские проблемы теории вероятностей
Бернштейн выдвигает три аксиомы для описания свойств системы основных абстрактных объектов тео рии (случайных событий): аксиому сравнения резуль татов, аксиому о несовместимых событиях и аксиому совмещения событий. Первые две аксиомы предпола гают неизменность комплекса условий β. Последняя аксиома связывает вероятности события А при разных комплексах α и β. Аксиомы определяют соотношения равнозначности, включения и алгебраические действия над событиями (объединение и совмещение). При этом особо определяются (разумеется, а рамках данной сис темы аксиом) достоверное и невозможное события. Достоверным называется такое входящее в рассматри ваемую систему событие Ω, объединение с которым любого другого события А равнозначно первому, т. е. самому событию Ω. Невозможным называется такое событие, объединение с которым для любого события А равнозначно событию А
146
.
Из первых двух аксиом Бернштейн выводит сле дующее утверждение: «Если событию х благоприят ствует m случаев из общего числа всех n единственно возможных, несовместимых и равновероятных случа ев, то вероятность события х зависит только от чисел m и n (а не от природы рассматриваемого опыта), т. е. вер. х =f(m,n), где f(m,n) есть некоторая определенная функция»
147
. Выдвинутым аксиомам, замечает далее Бернштейн, удовлетворяет не каждая функция от ар гументов m и n, но лишь монотонно возрастающая функция дроби m/n. В принципе с чисто математиче ской точки зрения любую такую функцию f (m,n) мож но принять за вероятность события х. В соответствии с общепринятым в теории вероятности соглашением Бернштейн полагает f (m,n) равной m/n.
Совершенно справедливо подчеркивая чисто ма тематический характер своей аксиоматической систе мы, Бернштейн, как уже отмечалось, при ее построе нии использует в числе прочих и внематематические соображения, игнорируя то важное обстоятельство, что
146
Бернштейн С.Н. Теория вероятностей. С. 8–13.
147
Там же. С. 13.
231
Часть I. Философские проблемы математики и информатики
наиболее плодотворная аксиоматизация в математике обеспечивается правильным выбором неопределяемых понятий. Этот выбор происходит в соответствии с оцен кой фундаментальности данных понятий в структуре теории. Для теории вероятностей среди основных (не определяемых) понятий системы аксиом, составляемых исключительно на основе соображений математиче ской эффективности (формальной простоты, говоря словами Колмогорова), необходимо должно присутство вать понятие вероятности.
Заканчивая анализ аксиоматики Бернштейна, от метим, что методологические изъяны его подхода при вели как к громоздкости его системы аксиом, так и к ограниченности возможностей ее применений. Как отмечал Л.Я. Майстров, «давать различные интерпре тации аксиомам Бернштейна очень неудобно, а в от дельных случаях и невозможно, так как эти аксиомы еще не полностью формализованы»
148
.
Основные положения теории вероятностей с аксио матикой Колмогорова выглядят следующим образом. Рассматривается вероятностное пространство Ω с σ алгеброй подмножеств F и счетноаддитивной норми рованной на единицу мерой Р на этой σ алгебре. Слу чайным событием называется любое множество из σ алгебры, а его вероятностью — его мера. На основе аксиом, описывающих случайное событие и его веро ятность, случайная величина определяется как измери мая функция на пространстве элементарных событий (пространство элементарных событий Ω — это множе ство, являющееся носителем вероятностного простран ства). «Теория вероятностей как математическая дис циплина, — писал Колмогоров, предваряя изложение своей аксиоматики, — может и должна быть аксиома тизирована в том же смысле, как геометрия или алгеб ра (ср. с Мизесом, у которого вместо слова «алгебра» стоит механика». — Авт.). Это означает, что после того как даны названия изучаемым объектам и их основным отношениям, а также аксиомы, которым эти отношения должны подчиняться, все дальнейшее развитие долж
148
232
Майстров Л.Е. Развитие понятия вероятности. С. 238.
Глава 4. Философские проблемы теории вероятностей
но основываться исключительно на этих аксиомах, не опираясь на обычное конкретное значение этих объек тов и их отношений»
149
. А так как всякая абстрактная аксиоматическая теория допускает бесконечное число интерпретаций, то и математическая теория вероятно стей должна допускать «наряду с теми интерпретация ми, из которых она возникла, также много других. Так мы приходим к приложениям теории вероятностей к таким областям науки, которые не имеют отношения к понятиям случая и вероятности в собственном смысле слова»
150
.
Возможность большого множества различных ин терпретаций аксиоматики Колмогорова связана преж де всего с высокой степенью абстрактности и формали зованности системы. При этом нельзя не отметить, что платой за высокую абстрактность теоретикомерной аксиоматики, обеспечившей получение далеко идущих математических результатов и многообразие приложе ний, являются неизбежные трудности интерпретацион ного характера, возникающие в процессе применения теории к решению конкретных проблем. Прав Д.Дж. Стрьюк, отмечавший, что «затруднения в вопросе о связи между формальной теорией, опирающейся на теорию меры, и экспериментальными результатами заставили многих математиков совсем отбросить этот подход и подойти к вопросу совершенно заново»
151
.
В свете вышеизложенного становится ясно, поче му в книге, посвященной изложению теории вероятно стей как чисто математической дисциплины, Колмого ров помещает специальный раздел под названием «Отношение к данным опыта», в котором он пытается описать интерпретационную схему применения теории вероятностей.
Казалось бы, можно считать, что вопросы приме нения теории вероятностей относятся к частным науч ным дисциплинам, изучающим явления, для которых строятся искомые вероятностные модели. Однако вы
149
Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. С. 9.
150
Там же.
151
Стрьюк Д.Дж. Указ. соч. С. 85.
233
Часть I. Философские проблемы математики и информатики
ясняется, что при применении теоретиковероятност ных методов в самых различных областях науки воз никают сходные по характеру проблемы, решение которых достигается методами, общими для разных сфер применения. Поэтому естественно, что изложе ние собственно математической теории вероятностей желательно было бы дополнить описанием методоло гических установок по применению теории.
Приступая к описанию своей интерпретационной схемы и замечая, что он сознательно оставляет в сто роне «глубокие философские изыскания о понятии вероятности в мире опыта», Колмогоров считает важ ным подчеркнуть, что «в изложении необходимых предпосылок для приложимости теории вероятностей к миру действительных событий автор в значительной мере следует выводам Мизеса...»
152
. Хочется обратить особое внимание на это замечание Колмогорова, пока зывающее, что в отличие от многих математиков — сторонников теоретикомерной аксиоматики (напри мер, Хинчина), Колмогоров уже тогда осознавал важ ность мизесовского подхода для перспективы создания прозрачной интерпретационной схемы, отвергая, разумеется, претензии этого подхода, на то, чтобы слу жить логической основой теории вероятностей. Проб лемы, возникающие при применении теоретикомер ной теории вероятностей, могут быть следующими: имеет ли место вероятностная ситуация? как выбрать вероятностное пространство? каким образом по най денным вероятностям какихто событий, т. е. по мерам некоторых множеств сделать предсказания о реальном ходе событий? Методологические установки Колмого рова по применению математической теории к реаль ным явлениям вероятностного характера направлены как раз на решение указанных проблем.
Предложенную в 1933 г. интерпретационную схе му нельзя назвать безупречной. Высокий уровень абст рагированности теории от реальных ситуаций, требую щих теоретиковероятностного анализа, в частности
С. 11 (сноска 1).
234
152
Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей.
Глава 4. Философские проблемы теории вероятностей
невозможность во многих случаях придать реальный смысл пространству элементарных событий, его элемен там, другим компонентам вероятностного пространства, понять взаимосвязь реального случайного события с измеримым подмножеством — все это существенно затуманивает взаимоотношения между случайными явлениями в природе и их теоретическими моделями. Интерпретационные трудности усугублялись при ис пользовании аксиомы непрерывности для бесконечных полей вероятностей, не допускавшей удовлетворитель ного эмпирического толкования. «Так как новая аксио ма, — писал Колмогоров, — существенна лишь для бесконечных полей вероятностей, то является почти невозможным разъяснить ее эмпирическое значение... При описании какоголибо действительно наблюдаемо го случайного процесса можно получать только конеч ные поля вероятностей. Бесконечные поля вероятнос тей появляются только как идеализированные схемы действительных случайных явлений...»
153
Другие серьезные трудности интерпретационно го характера связаны с тем, что с помощью теории Колмогорова, как, впрочем, и теории Мизеса, так как она тоже включает в себя существенные идеализации, невозможно без дополнительных допущений дать га рантированные предсказания фактического хода со бытий
154
. Само по себе это совершенно естественно, ибо математическая теория не предназначена для не посредственной выработки определенных прогнозов. Однако дело в том, что дополнительные допущения, позволяющие делать предсказания с помощью мате матических выводов, отнюдь не лежат на поверхнос ти. Например, не может быть принято допущение о том, что событие с вероятностью, меньшей, скажем, 0,00000000001, никогда не происходит. Допустим, мы имеем последовательность результатов из серии
153
Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. С. 23.
154
Для аксиоматики Колмогорова это совершенно очевидно, тогда как в случае естественнонаучной по своему характеру ак сиоматики Мизеса существует большой соблазн поверить в то, что на ее основе можно делать гарантированные предсказания, хотя это и не так.
235
Часть I. Философские проблемы математики и информатики
100 бросаний симметричной монеты. Ясно, что для любой такой последовательности вероятность ее вы падения меньше указанного числа. Следовательно, наше исходное допущение противоречит самому фак ту выпадения этой последовательности. Также не вид но никакого пути преодоления трудностей, связанных с тем, что не удается явно сформулировать в каждом данном случае конкретно научный закон, выполнение которого интерпретационная схема рассматривала бы как гарантию адекватности теоретиковероятностной модели и правильности ее предсказаний. В свете этих трудностей, связанных с высоким уровнем абстрак ции используемого математического формализма, не удивительно недоверие к возможностям вновь создан ной аксиоматики не только большей части естество испытателей, но и ряда крупных математиков, таких, например, как Э. Борель.
Отметим, что Колмогоров, а также и другие сторон ники теоретикомерной аксиоматики, среди которых были такие крупные ученые, как Леви, Хинчин, Кра мер, осознавая упомянутые интерпретационные пробле мы, не считали связанные с ними трудности соизмери мыми с возможностями аксиоматики для развития тео рии вероятностей и ее приложений. Эта точка зрения оказалась исторически оправданной, ибо наибольшие на сегодняшний день успехи приложений теории вероят ностей связаны с теми ее построениями, которые осу ществлены на теоретикомерной аксиоматической ос нове. Это не означает, разумеется, невозможности со здания новых, более совершенных аксиоматических систем, так как, говоря словами Колмогорова, ни суще ствующие сейчас «аксиомы, ни классический подход к вероятности, ни статистический подход не дают исчер пывающего определения реального содержания поня тия вероятности; они являются лишь известными при ближениями ко все более полному его раскрытию»
155
При этом следует особо подчеркнуть стремление Кол могорова создать перспективную, жизнеспособную тео
.
236
155
Колмогоров А.Н. Вероятность// БСЭ. 3е изд. Т. 4. М., 1971.
С. 544.
Глава 4. Философские проблемы теории вероятностей
рию, обеспечивающую удовлетворение потребностей новейших областей естествознания. Об этом свидетель ствуют его внимательное отношение в этот период к развитию физического познания и, в частности, его статья, написанная тогда в сотрудничестве о физиком М. Леонтовичем, и указание на то, что ряд новых идей и понятий, имеющих очень важное значение для разви тия теории на основе теоретикомерной аксиоматики, с необходимостью возникают при исследовании конкрет ных физических проблем
156
. В этой же связи следует упомянуть и вышедшую в свет в 1931 г. работу Колмо горова «Аналитические методы в теории вероятностей», в которой были заложены основы современной теории марковских случайных процессов и выявлены глубокие связи теории вероятностей с теорией дифференциаль ных уравнений (обыкновенных и в частных производ ных). Результаты, опубликованные в этой статье и полу ченные в ходе исследований по созданию математиче ски и логически обоснованной, богатой приложениями теоретиковероятностной концепции, фактически зна меновали появление новой области математики с мно гочисленными выходами в практику. «Она была подхва чена представителями физики и биологии, химии и ин женерного дела и быстро превратилась в одно из самых мощных математических орудий современного есте ствознания»
157
.
Таким образом, несмотря на существенные интер претационные трудности, теория вероятностей, воз двигнутая на прочном логическом фундаменте «аксио матики Колмогорова», с момента своего появления становится в ряд эффективно применяющихся в науке математических концепций. Однако многие современ ные математики попрежнему продолжают разрабаты вать различные интерпретации этой теории, позволя ющие максимально расширить область ее эффектив ного применения. Эти поиски приводят к постановке важных философских проблем, без удовлетворитель
156
См.: Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятнос
тей. С. 5–6.
157
Боголюбов Н.Н., Гнеденко Б.В., Соболев С.Л. Указ. соч. С. 14.
237
Часть I. Философские проблемы математики и информатики
ного решения которых теория вероятностей вряд ли может считаться хорошо обоснованной математической дисциплиной.
Гносеологический анализ «вероятности»
Одной из важных функций философии по отноше нию к науке является гносеологический анализ ее основных категорий. Целями такого исследования яв ляются:
n определение точного значения этих категорий;
n выявление основных контекстов их употребле
ния в научном языке;
n установления множества различных способов
(интерпретаций), в которых используется та или иная категория;
n рассмотрение логического соотношения различ
ных ее интерпретаций на предмет возможного сведе ния одних интерпретаций к другим или к одной из них, как к наиболее «законной» и универсальной;
n определение условий истинности высказываний,
в которых встречается данная категория.
В этом плане несомненный интерес для философии науки представляет такая фундаментальная категория математики, естествознания и социальногуманитарных наук, как «вероятность». Это связано, с одной стороны, с тем особым местом, которое занимают теория вероят ностей и математическая статистика в структуре мате матического знания, а с другой — с чрезвычайно широ ким использованием языка этих теорий во всех совре менных научных исследованиях как прикладного, так и теоретического характера (статистическая физика, кван товая механика, биология, химия, социология, медици на, экономика, юриспруденция, информатика, логика и др.) Главную гносеологическую трудность для обосно вания правомерности вероятностных суждений (выска зываний о вероятности) представляет решение вопроса о том, применимо ли к вероятностным суждениям поня тие доказуемой истины и если да, то при каких услови ях и для каких интерпретаций «вероятности»?
238
Глава 4. Философские проблемы теории вероятностей
Понятие «вероятность» всегда было объектом при стального внимания со стороны выдающихся матема тиков и философов. Большой вклад в его философский анализ внесли такие ученые, как П. Лаплас, П. Ферма, Дж. Венн, Р. Мизес, Г. Рейхенбах, А. Реньи, А.Н. Кол могоров, А.Я. Хинчин, Б.В. Гнеденко, Р. Карнап, К. Поп пер, Б. де Финетти, Л. Сэвидж, и др. Однако до сих пор не утихают дискуссии об основных определениях и интерпретациях вероятности, их законности и универ сальности.
Среди множества различных интерпретаций веро ятности можно выделить пять основных. Это:
n классическая (вероятность как отношение благо
приятных случаев наступления какоголибо события к числу всех возможных случаев);
n частотная (вероятность как частота появления
событий одного класса среди событий другого клас са);
n логическая (вероятность как степень логическо
го подтверждения некоторой гипотезы данными);
n диспозиционная (вероятность как объективная
степень возможности наступления некоторого события при определенных условиях);
n субъективная (вероятность как степень уверен
ности субъекта в истинности высказывания или в на ступлении некоторого события).
Рассмотрим содержание каждой из них, возмож ности и трудности их универсального истолкования и обоснования.
Анализ различных концепций вероятности целе сообразно начать (и с исторической, и с логической точек зрения) с рассмотрения классической концепции вероятности. Первые попытки ее систематической разработки относятся к XVIII в. и связаны с именами Б. Паскаля, П. Ферма, Х. Гюйгенса, Я. Бернулли и др. Роль первой «лаборатории» при создании классической теории вероятностей сыграла, как известно, проблема расчета шансов игроков в классических азартных иг рах (карты, игральная кость, рулетка и др.). Закончен ное выражение классическая теория вероятностей получила в работах известного французского матема
239
Часть I. Философские проблемы математики и информатики
тика и механика П.С. Лапласа
158
, в которых он попы тался обосновать ее применимость к огромному кругу научных проблем, как средства рациональной оценки истинности естественнонаучных и социальных гипо тез (например, в физике, судопроизводстве и др.). Не обходимость широкого использования вероятностных высказываний в науке и практических делах обуслов лена, по Лапласу, тем, что в подавляющем числе слу чаев люди не располагают абсолютно полной объек тивной информацией о предметах своего суждения и действия. Вероятность и есть количественная оценка степени этой информированности (степени объектив ности знания).
Согласно классическому определению, вероятность есть отношение благоприятных наступлению опреде ленного события возможностей (случаев) к числу всех возможностей (случаев). При этом все возможности являются равными (равновозможными): р = m/n, где р — вероятность интересующего нас события, m — число благоприятных возможностей для его наступле ния, n — число всех возможностей (и благоприятных, и неблагоприятных). Например, если мы имеем играль ную кость, имеющую шесть граней, помеченных соот ветствующими цифрами от 1 до 6 и выпадение кости на каждую из ее граней является равновозможным, то, согласно классическому определению вероятности, ве роятность ее выпадения на любую из граней в следую щем броске равна 1/6. Можно сказать и подругому: вероятность истинности гипотезы «В следующем брос ке кость выпадет на грань с цифрой 1» равна 1/6. Пра вила классической теории вероятностей позволяли по известным вероятностям элементарных событий (исход ным вероятностям) находить (вычислять) вероятности наступления сколь угодно сложных событий, состоящих из определенного количества элементарных (производ ные вероятности). Это же правило распространялось и на оценку степени истинности гипотез о наступлении различных сложных событий. Возможность применения
240
158
См.: Лаплас П.С. Опыт философии теории вероятностей. М.,
1908.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности