Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Философия математики и технических наук. Учебное пособие для вузов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 5017 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Глава 3. Проблемы обоснования математики

центр, обладающий абсолютной корректностью содер жащихся в нем понятий. Развитие математической теории представляет собой лишь расширение этого центра, но не бесконечное уточнение всего множества своих понятий. Являются несостоятельными, конечно, и все формы логического и психологического реляти визма. Психологическая относительность, имеющая место в наших понятиях и оценках, не противоречит абсолютности познавательных норм, определяющих мышление, и абсолютности структур, определенных на основе универсальной онтологии. Понимание связи первичных математических идеализаций с универсаль ными категориями мышления устраняет всякую воз можность их психологической релятивизации.

Если мы признаем, что каждое математическое до казательство достигает абсолютной надежности, каждая математическая теория неизбежно достигает выявления своей абсолютно надежной базы и что возможны обще значимые критерии, позволяющие утверждать эту на дежность в конкретных случаях, то проблему обоснова ния математики можно считать решенной в смысле полной реабилитации математической строгости и устранения всякого скептицизма в отношении надеж ности ее оснований. Проблема обоснования математи ки, несомненно, может быть разрешена в том смысле, что мы можем указать вполне определенные характе ристики зрелости математической теории и, следова тельно, заключить о невозможности появления в ней глубоких противоречий, разрушающих принципы тео рии. Это, конечно, не то решение, которое предполага ли получить Фреге, Брауэр и Гильберт, но оно тем не менее является достаточным как с точки зрения теоре тического понимания математики как строгой науки, так и с точки зрения математической практики.

Решение проблемы обоснования математики в XX в. было существенно затруднено отсутствием долж ного гносеологического анализа природы математичес ких идеализаций. Надо признать тот факт, что ни одно из существующих философских учений не выработало пока основы для понимания сущности математическо го мышления. Это относится прежде всего к эмпири

161

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

ческой философии математики, которая не имеет адек ватного представления о природе математического знания и о действительной основе ее первичных идеа лизаций. Эмпирическая трактовка математических понятий, рассматривающая их по аналогии с физиче скими, допускает неустранимую расплывчатость их границ, неправомерно усложняет математическое зна ние, превращая его из конечного в бесконечное, из абсолютно надежного в неопределенное и относитель но надежное. Проблема обоснования математики при этом теряет свой специфический смысл, превращаясь в систематизацию относительных истин, приемлемую для любого типа знания.

Эмпирическая философия математики догматична в том смысле, что, слепо следуя за схемами развития опытного знания, она не обращает внимания на факты истории математики, которые заведомо противоречат этим схемам. Она стремится опровергнуть или скоррек тировать эти факты в соответствии со своими схемами вместо того, чтобы взять их сами по себе как примеры, требующие объяснения из их собственных оснований. Практика математики показывает наличие очевиднос тей, не подлежащих сомнению, образующих самый остов математического рассуждения. В противоречии с этой практикой и со всей традиционной философией, кото рая на протяжении двух тысячелетий отличает аподик тическую интеллектуальную (мысленную) очевидность от очевидности опыта, современные эмпирики настаи вают на неизбежной ущербности и корректируемости всякой очевидности. Ту же самую картину мы наблюда ем и в трактовке проблемы противоречия и во многих других случаях. Задача философии в отношении отдель ной науки должна состоять прежде всего в понимании специфики этой науки. Основная слабость эмпириче ской философии математики состоит в том, что она не проясняет этой специфики и даже не приближается к решению этой задачи.

Рационалистическая философия ближе к понима нию природы математики, ибо она с самого начала подчеркивает принципиальное различие математиче ских и опытных наук. Современный рационализм, од

162

Глава 3. Проблемы обоснования математики

нако, также крайне неудовлетворителен как с точки зрения своего внутреннего обоснования, так и с точки зрения своей способности быть основанием для фило софии науки. С нашей точки зрения, основной его недостаток состоит в отсутствии идеи деятельности. Он не понимает практической детерминации универсаль ных структур сознания, не осознает в должной мере того обстоятельства, что система высших идеализаций сознания определена телеологией мышления, что мир предметов и предметных разграничений создается не опытом и не внутренней активностью сознания, а про цессом изменения реальности и что именно эта прак тическая инстанция обеспечивает восприятие мира как трансцендентного бытия и задает структуры мышле ния, имеющие безусловное значение для всякого опы та. Эта абстрактная метафизика является для нас су щественной, ибо мы не можем понять истоков матема тических идеализаций, а также их объективности и реальности без уяснения их связи с системой катего рий и универсальной нормативной основой мышления. Строгость математики покоится в конечном итоге на интуитивной ясности категориальных различений, ко торые являются последней инстанцией, определяющей надежность математического мышления.

Рационалистическая философия пока не вырабо тала такой формы априоризма, которая была бы при емлемой для понимания математики. Кант, связав ма тематические истины с категориями пространства и времени, указал в принципе верное направление мыш ления. Но философия Канта не выявляет природы категорий, а следовательно, и истинной сферы апри орного знания. Гуссерль существенно ослабил пози цию Канта, поставив априорные формы мышления в зависимость от первичных ассоциаций опыта. Мы не можем углубить теорию априоризма на основе соеди нения ее с эмпиризмом, какие бы заклинания ни дела лись при этом относительно непсихологической при роды этого соединения. Методологическое значение феноменологии снижается вследствие ее отказа от методов теоретического обоснования. Современный рационализм должен быть теорией, способной объяс

163

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

нить природу и функции априорного знания из общих целей человеческого мышления.

Рассмотренные выше программы обоснования математики были обречены на неудачу во многом вслед ствие слабости методологических и философских пред посылок, из которых они исходили. Математики нача ла века считали, что геометрическая очевидность не надежна, что классическая логика ограничена, что содержательное рассуждение, использующее слова обыденного языка, всегда неопределенно и нуждается в логической экспликации. Вместе с тем некоторые из них утверждали, что исходные математические исти ны можно понять только как конвенции, что конечная математика более достоверна, чем математика, связан ная с понятием бесконечности, и что надежное обосно вание математики возможно только как конструктив ное или финитное. Если в настоящее время мы про двинулись вперед и в достаточной степени осознали несостоятельность всех этих установок, то это означа ет, что проблема обоснования математики может быть поставлена сегодня на некоторой принципиально иной основе. Выше были намечены контуры такого понима ния проблемы.

С достаточной определенностью можно предпола гать, что существенный сдвиг в решении проблемы обоснования математики зависит сегодня не от дости жений в логике и в анализе аксиоматических систем, а прежде всего от углубления философии математики, от прояснения наших представлений о природе мате матического мышления и о допустимых подходах к обоснованию математических теорий. Необходима философия математики, проясняющая действительный статус математического мышления и истоки его надеж ности. Разумеется, здесь возможны существенно раз личные подходы. Представляется, однако, несомнен ным, что исходным пунктом этой новой философии математики должно быть понимание наличия необхо димой категориальной (философской по сути) основы всех математических идеализаций и логического опе рирования с ними.

164

Глава 4

ФИЛОСОФСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ

ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Социокультурные и философскометодологические предпосылки возникновения вероятностей до Бернштейна и Колмогорова)

Внутриматематические предпосылки возникновения теории вероятностей

В историкоматематической литературе является общепринятым связывать время возникновения теории вероятностей как науки со второй половиной XVII в.

В письмах, впервые опубликованных в Тулузе в 1697 г., выдающиеся математики XVII в. Паскаль и Ферма при создании новой теории уже неявным обра зом пользовались такими фундаментальными теорети ковероятностными представлениями, как зависимость и независимость событий, теоремами сложения и ум ножения вероятностей (не определяя еще самого по нятия «вероятность»). Было введено также и такое важное понятие будущей теории вероятностей как математическое ожидание случайного события (в дан ном случае выигрыша в игре).

Вот как историю интересующих нас событий опи сывал почти что ее современник – выдающийся фило соф и математик Нового времени Г. Лейбниц: «Совре менные математики приступили к оценке случайностей в связи с азартными играми. Кавалер де Мере, опубли ковавший «Agreements» и другие сочинения, человек острого ума, игрок и философ, явился инициатором этого, предложив ряд вопросов об азартных играх, что

развития теории

(от Паскаля и Ферма

165

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

бы узнать, как следует разделить ставки, если игра прервана в том или ином положении. Он побудил этим своего друга Паскаля заняться несколько данным во просом. Вопрос вызвал шум и подал повод Гюйгенсу составить свой трактат об игре в кости. Проблемой за интересовались другие ученые. Были установлены не которые принципы, которыми воспользовался также пансионарий де Витт в маленьком рассуждении о по жизненных рентах, вышедшем на голландском языке»

Действительно, еще до опубликования переписки Паскаля и Ферма, примерно в 1656–1657 гг., Гюйгенс, узнавший о том, что такие корифеи новой математики, как Ферма и Паскаль, серьезно заняты задачей на раз деление ставки, подключился к этим исследованиям и в 1657 г. опубликовал работу «О расчетах в азартной игре» — первое увидевшее свет сочинение по теории вероятностей. В предисловии к этому изданию можно прочитать следующие примечательные строки: «Чем более трудной является задача определения при помо щи рассуждений того, что кажется неопределенным и подчинено случаю, тем более наука, которая достигает результата, представляется удивительной. Во всяком случае, я полагаю, что при внимательном изучении предмета читатель заметит, что имеет дело не только с игрой, но что здесь закладываются основы очень инте3 ресной и глубокой теории (курсив наш. — Авт.)»

. Зна чение этой небольшой работы Гюйгенса трудно пере оценить. И не случайно, что первая часть работы Я. Бер нулли «Искусство предположений», появление которой знаменует окончательное становление новой теории, представляет собой перепечатку и тщательный коммен тарий упомянутой работы Гюйгенса. Но хотя, как и Гюйгенс, «Паскаль и Ферма понимали, что стоят на пороге новой математической дисциплины»

, следует согласиться со словами А.Н. Колмогорова о том, что их работы «можно рассматривать лишь как предысторию

Лейбниц Г. Соч.: В 4 т. Т. 2. М., 1983. С. 478.

Цит. по: Майстров Л.Е. Развитие понятия вероятности. М.,

1980. С. 56.

166

Шейнин О.Б. Комментарий I// Бернулли Я. О законе больших

чисел. М., 1985. С. 85.

Глава 4. Философские проблемы теории вероятностей

теории вероятностей, а настоящая ее история начина ется с закона больших чисел Я. Бернулли и найденного вскоре после этого Муавром нормального приближе ния к биноминальному распределению»

. Действитель но, именно у Бернулли впервые появляются классиче ское и статистическое определения вероятности, новые, специфически теоретиковероятностные рассуждения и методы, в то время как его предшественники при решении интересовавших их задач использовали ранее известные комбинаторные методы.

Таковы вкратце историконаучные факты, подтверж дающие вывод о том, что становление теории вероятно стей как науки происходило во второй половине XVII в. (основные теоретиковероятностные результаты были получены Я. Бернулли в 90х гг. XVII столетия)

Как же можно реконструировать процесс возник новения новой математической теории, о которой в 1654 г. говорил весь Париж?

Шевалье де Мере, известный игрок, а также фило соф и литератор эпохи Людовика XIV, по дороге в свое имение в Пуату встретил Блеза Паскаля и поставил перед ним две задачи, связанные с азартными играми. С первой из них связана следующая легенда

. Соглас но ей, де Мере всячески старался разбогатеть при по мощи игры в кости и придумывал для этого разные ус ложненные правила игры. В частности, «он предлагал бросить одну кость четыре раза подряд и бился об за клад, что при этом хотя бы один раз выпадет 6, если же этого не случалось – ни разу не выпадало 6 очков, — то выигрывал его противник. Де Мере предполагал, что он будет чаще выигрывать, чем проигрывать… Действи тельно, чем больше рыцарь играл, тем больше он вы игрывал. Кавалер де Мере был очень доволен и решил, что он открыл верный способ обогащения. Однако по степенно другим игрокам стало ясно, что эта игра для них невыгодна, и они перестали играть с де Мере. Надо

Колмогоров А.Н. Предисловие// Бернулли Я. О законе боль

ших чисел. С. 4.

См.: Юшкевич А.П. Биография Якоба Бернулли// Бернулли Я.

О законе больших чисел. С. 157.

См.: Рассказ о рыцаре де Мере // Знание — сила. 1960. № 2.

167

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

было придумывать какието новые правила, и де Мере придумал новую игру. Он предложил бросать две ко сти 24 раза и бился об заклад, что сверху, хотя бы один раз окажутся две пятерки. Но на этот раз рыцарь ошибся… Чем больше он играл, тем больше разорялся и в конце концов сделался нищим…» В основе этой легенды лежит следующий математический парадокс. При четырех бросаниях игральной кости вероятность выпадения шестерки по крайней мере один раз боль ше половины. В то же время при 24 бросаниях двух костей вероятность выпадения двух пятерок одновре менно хотя бы один раз меньше половины. Это не могло не вызывать удивления, поскольку шансы получить одну шестерку в шесть раз больше, чем шансы выпа дения двух пятерок, а 24 бросания как раз в 6 раз боль ше 4 бросаний. Де Мере не мог понять, почему про стые и естественные соображения пропорционально сти здесь не работают, и просил Паскаля объяснить ему этот парадокс. В ответ Паскаль рассчитал соответ ствующие вероятности. Поскольку вероятность выпа дения шестерки при одном бросании равна 1/6, веро ятность ее невыпадения равна 5/6. Поэтому вероят ность невыпадения шестерки при четырех бросаниях, т. е. вероятность проигрыша де Мере, равна 5/6 в чет вертой степени, что составляет 625/1296. Это число меньше половины, что объясняет более частые победы шевалье. В то же время вероятность выпадения двух пятерок при одном бросании двух костей равна, оче видно, 1/36, вероятность их невыпадения – 35/36. Поэтому, вероятность того, что две пятерки ни разу не выпадут при 24 бросаниях двух костей, равна 35/36 в двадцать четвертой степени. Это число оказывается больше половины, что и объясняет дальнейшие «неуда чи» легендарного шевалье. Подчеркнем еще раз, что правильное решение первой задачи де Мере, как и его второй задачи, ставшей главным предметом знамени той переписки 1654 г. между Паскалем и Ферма, дает ся на основе применения вероятностных соображений, а не с помощью, так называемого, «правила пропорцио нальности критических значений», ставшего причиной «роковой ошибки» нашего игрока.

168

Глава 4. Философские проблемы теории вероятностей

Справедливости ради отметим, что де Мере на самом деле знал решение своей первой задачи, о чем писал сам Паскаль в письме к Ферма от 29 июля 1654 г. О том, как решить вторую задачу, предложенную де Мере Паскалю — задачу о справедливом разделе став ки, — ни де Мере, ни ктолибо другой в то время не знал. Она была решена независимо друг от друга Ферма и Паскалем. Оба рассматривали ее как задачу о вероятностях, или о шансах, как было принято гово рить тогда. С трудно скрываемой радостью Паскаль писал Ферма, обнаружив, что хотя способ рассужде ния его адресата не совпадал с предложенным им решением, результат, полученный обоими, был одним и тем же: «Я вижу, что истина одинакова и в Тулузе и в Париже» (Ферма жил в Тулузе, а Паскаль в Пари же). Неудивительно поэтому, что шевалье де Мере был преисполнен гордости за то, что его беседы с Паска лем способствовали возникновению новой науки – теории вероятностей, о чем свидетельствует одно из его писем к Паскалю

Паскаль, как, впрочем, и Ферма, делил ставку про порционально вероятности выигрыша при продолже нии игры. Как отмечает Л.Е. Майстров, «метод реше ния Паскаля оригинален, но его трудно применить к более сложным случаям»9.

Метод решения Ферма проиллюстрируем на сле дующем примере. Пусть два игрока договорились иг рать до 6 побед в игру, в каждой из партий которой шансы победить у обоих одинаковы. Игра была прерва на при счете 5:3 в пользу первого игрока. Для того что бы справедливо разделить приз, полагал Ферма, «про должим игру тремя фиктивными партиями, даже если некоторые из них окажутся лишними (т. е. один из иг роков уже выиграл приз). Такое продолжение делает все 2 · 2 · 2=8 возможных исходов равновероятными. По скольку только при одном исходе второй игрок получа

См.: Майстров Л.Е. Теория вероятностей: Исторический очерк. М., 1967. С. 50.

См. там же.

Там же. С. 53.

169

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

ет приз (т. е. когда он выигрывает все три партии), а в остальных случаях побеждает первый игрок, справед ливым является отношение 7:1

. Поразительно, но ге ниальную и вместе с тем такую естественную идею Ферма о фиктивном продолжении игры, более чем че рез 300 лет, в 1977 г. С. Андерсон использовал для до казательства теоремы о том, что «игрок, который подает первым, имеет одинаковые шансы выиграть в N парти ях раньше своего соперника независимо от того, пода ют ли игроки поочередно или подает тот, кто выигрыва ет предыдущую партию»

Исходя из вышеизложенного, можно высказать гипотезу о том, что задачи, решение которых в XVII в. привело к возникновению теории вероятностей, в ус ловиях отсутствия соответствующих гносеологических предпосылок не сыграли той роли, которую им пред стояло сыграть позднее. Более того, гносеологический пласт философскометодологических представлений о случайном в Античности и в Средние века лишь пре пятствовал возникновению науки о случайном — тео рии вероятностей. Для обоснования этой гипотезы вновь обратимся к анализу философскометодологиче ских представлений о случайности.

Мыслители Ренессанса в принципе не порывают с античным представлением о дихотомии «знание — мнение». Согласно Хэйкингу, физики эпохи Возрожде ния «все еще были привержены идее знания как абсо лютно достоверного знания. Мы не найдем в их деятель ности ни малейшей потребности в серьезном использо вании вероятностных понятий»

. Однако наиболее влиятельной силой в интеллектуальной жизни эпохи Возрождения было гуманистическое движение, предста вителей которого интересовали прежде всего пробле мы этики, истории, литературы и искусства. С одной стороны, находясь еще в рамках указанной дихотомии и, с другой стороны, резко критикуя философию и ес

См.: Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и

математической статистике. М., 1990. С. 21.

Там же.

170

Hacking I. The imergence of Probability. 1975. P. 23.

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 5017 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]