Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Философия математики и технических наук. Учебное пособие для вузов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 5013 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Глава 3. Проблемы обоснования математики

арифметики к логике означала для Фреге и логическое обоснование математики в целом, поскольку он был убеж ден, что вся математика может быть обоснована на базе арифметики. Исходной базой обоснования математики выступают у Фреге аксиомы логики, принятые на основе понятия логической (семантической) истины. Аксиомы арифметики должны быть представимы, по его замыслу, как истинные суждения в рамках логической системы. Фреге не ставит вопроса о формальном (синтаксическом) обосновании непротиворечивости арифметики. Он рас сматривает непротиворечивость математической теории как естественное следствие логической истинности ее принципов.

Фреге считает совершенно несостоятельной эмпи рическую концепцию числа как понятия, сформировав шегося в процессе счета. Философы, объясняющие понятие числа из опыта счета, смешивают, по его мне нию, сферу приложения арифметических истин с са мими этими истинами. Он отклоняет и кантовское понимание числа как объекта, данного в чистом созер цании. Созерцание, по мнению Фреге, как всякая чув ственность вообще, не может вывести нас за пределы очень узкого круга истин. Он убежден, что все то, что Кант стремится обосновать через восприятие в чистом созерцании, может быть строго доказано из аналити чески истинных положений логики. Фреге не согла шается также и с аксиоматическим подходом к опре делению числа, который был предложен Пеано и Гиль бертом. Задача обоснования арифметики, считал Фреге, состоит в раскрытии подлинного смысла числа, как оно используется в науке и в обыденной жизни. Аксиома тика заведомо не решает этой задачи, т. к. она указы вает лишь на неопределенную совокупность объектов, удовлетворяющих аксиомам

За основу определения числа Фреге берет теоре тикомножественное понятие эквивалентности классов, определенное, в свою очередь, на основе понятия вза имнооднозначного соответствия. Конкретное число n

См.: Frege G. On the Foundation of Geometry // The Philosophical Review. XIX. 1960. Р. 15–17.

121

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

характеризуется при таком подходе как класс эквива лентных классов, содержащих n элементов

. Собствен но математическая задача Фреге состояла в демонст рации того, что такое определение может быть адек ватно переведено на язык логики и что все интуитивно ясные отношения между числами натурального ряда могут быть воспроизведены как отношения между чисто логическими объектами и доказаны в виде логи ческих истин.

Признано, что Фреге достиг существенного успеха в реализации своей программы. Он обосновал первич ные принципы арифметики, имеющие важное значение для ее последовательного аксиоматического построения, а именно отсутствие предшествующего элемента для нуля, невозможность повторения одного и того же эле мента в последовательности чисел, а также принцип индукции, который он формулирует как необходимость передачи свойства от первого элемента к последнему в наследственных рядах элементов. Исходя из определе ния наследственного ряда, Фреге пытался доказать так же положение о бесконечности натурального ряда чи сел, т. е. об отсутствии в нем последнего элемента. По степенно, однако, было понято, что это доказательство содержит в себе круг, т. е скрытую предпосылку, рав нозначную доказываемому тезису. Эта скрытая предпо сылка была зафиксирована в дальнейшем в качестве особой аксиомы — аксиомы бесконечности.

Теория Фреге оказалась также не вполне удовле творительной и в плане логической совместности утверждений. Б. Рассел обнаружил в ней возможность противоречивого рассуждения, которое известно се годня под названием парадокса Рассела. Рассел пока зал, что если определить понятие нормального множе ства как множества, не содержащего себя в качестве своего элемента, то нельзя выяснить, является ли мно жество всех нормальных множеств нормальным или ненормальным: допущение его нормальности приводит к строгому выводу его ненормальности, и наоборот. По скольку рассуждения Рассела не выходили за сферу

122

См.: Фреге Г. Основоположения арифметики, параграф 81.

Глава 3. Проблемы обоснования математики

методов, разрешенных теорий Фреге, то эта теория была поставлена под сомнение в плане внутренней согласованности своих принципов.

Рассел продолжил исследования Фреге, поставив задачу выявить истоки парадоксов в логических исчис лениях и найти средства их устранения. В исследова ниях Рассела наиболее важными с современной точки зрения являются два момента, а именно изобретение теории типов, вскрывающей источник парадоксов, и прояснение того факта, что некоторые принципы, су щественные для построения арифметики и теории множеств, не являются истинами логики.

Суть теории типов состоит в том, что математиче ские высказывания делятся на типы (классы) в соот ветствии с областью их определения. Пусть имеется некоторая область исходных объектов а, в, с и т. д. К первому типу относятся высказывания о свойствах этих объектов: f(а), g(в) и т. д. Ко второму типу относятся вы сказывания о свойствах этих свойств, т. е. высказыва ния вида: F(f), F(g), и т. д. К третьему типу относятся высказывания о свойствах свойств свойств и т. д. Ос новное правило теории типов состоит в том, что каж дый предикат относится только к определенному типу и может быть определен только на объектах нижеле жащих уровней; он не может быть применен к объек там своего или более высокого уровня. С этой точки зрения выражения вида f(a), F(g) либо истинны, либо ложны, в то время как выражения вида f(f), f(g), f(F) не истинны и не ложны, а бессмысленны. Ошибка Фреге, по мнению Рассела, состояла в том, что он допускал неограниченную область определения для любой ло гической функции и парадоксы в его теории появились как следствие этой ошибки.

Ограничение Рассела является эффективным в том смысле, что оно позволяет устранить все известные парадоксы логики и теории множеств. Парадокс Рас села, в частности, устраняется вследствие того, что устраняется понятие нормальности всех нормальных множеств, как имеющее логическую форму f(f).

Рассел был убежден, что исправленная таким обра зом логицистская программа будет достаточна для об

123

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

основания математики, в том числе и таких ее разделов, как теория множеств. В фундаментальном труде «Principia Mathematica»(1910–1913) Рассел и Уайтхед предприня ли попытку обосновать на этих принципах арифметику и теорию множеств. Этот труд, с одной стороны, проде монстрировал значительные возможности логического анализа математики. С другой стороны, выявил его прин ципиальную ограниченность. Одним из «непреднамерен ных» результатов исследования, проведенного Расселом и Уайтхедом, явилось открытие того факта, что система тическое изложение даже арифметики нуждается в утверждениях, несводимых к логике. Было установлено, что к таким положениям относятся две важные аксиомы теории множеств, а именно аксиома бесконечности и аксиома выбора.

Этот результат оказался принципиально важным для философии математики, ибо он показал ошибоч ность мнения Лейбница и многих его последователей, что математика не содержит в себе ничего, кроме усложненных логических определений и их связей, о том, что математика сводима к логике. Оказалось, что математика в отличие от логики заключает в себе не которые нетавтологические предпосылки, некую ин формацию, которая не заключена в принципах логики. Было осознано, в частности, то обстоятельство, что введение бесконечности в формальную теорию явля ется прерогативой математического мышления.

Сам Рассел истолковал этот факт в релятивистском духе как неустранимую гипотетичность математическо го мышления. Он сделал отсюда вывод, что математи ческие теории истинны лишь в той мере, в которой истинна наша гипотеза о существовании бесконечного числа предметов во Вселенной. Поскольку никакой опыт не может дать нам ни положительного, ни отрицатель ного ответа на этот вопрос, то мы должны понимать математику как науку, всегда сохраняющую философ скогипотетический элемент в своей основе.

В «Principia Mathematica» в предисловии к разде лу «Количество» Рассел и Уайтхед пишут: «Большие трудности этого раздела порождаются теоремами су ществования и проблемой типов. Эти трудности исче

124

Глава 3. Проблемы обоснования математики

зают, если принимается аксиома бесконечности, хотя кажется неприемлемым строить теорию, которая, мо жет быть, на две трети зависит от допущения, что чис ло объектов во Вселенной не является конечным. Мы должны приучить себя не прибегать к этому допуще нию, кроме тех случаев, где оно является крайне необ ходимым. Когда аксиома бесконечности действитель но необходима, она помещается нами в класс гипотез, так что все утверждения теории будут истинными, даже в том случае, если эта аксиома ложна»

. Рассел имеет в виду здесь то, что вместо теоремы Т, которая зависит от аксиомы бесконечности, мы можем ограни читься доказательством утверждения Infin. ax ⊃ T, ко торое является истинным и доказуемым в рамках ло гических предпосылок.

Логицистская программа обоснования математи ки, таким образом, полностью опровергла себя в про цессе своего развития. Оказалось, что математика не сводится к логике и зависит от положений, надежность которых должна быть оправдана за пределами логики. Принимая этот факт, мы, однако, должны отклонить натуралистические и скептические выводы Рассела как недостаточно обоснованные. Очевидно, что Рассел исходит здесь из позитивисткой дихотомии аналитиче ского и синтетического, согласно которой утверждения, относящиеся к логике, имеют чисто аналитическую природу, а все осмысленные синтетические утвержде ния — эмпирическую основу. Это, однако, слишком сильное допущение. Математика, конечно, выходит за пределы логической истинности своих утверждений. Однако отсюда еще не следует, что она выходит за пределы аподиктической очевидности своих исходных синтетических утверждений. Вместе с тем необходимо отметить, что отрицательный результат логицистского анализа не является достаточным для отказа матема тики от претензии на строгое обоснование своих ис ходных принципов. Попытки такого обоснования были

Whitehead A., Russell B. Principia Mathematica. V. 3. Cambridge,

1929. Р. 234. См. также: Рассел Б. Введение в математическую фи лософию. М., 1998. Гл. 13.

125

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

предприняты, в частности, в рамках интуиционистской и формалистской программ обоснования математики.

Интуиционистский подход

Основные принципы интуиционистского обосно вания математики (в том виде, как они были намечены Брауэром) могут быть сформулированы в следующих трех положениях.

1. Исходные математические объекты признаются в качестве существующих только на основе непосред ственной, содержательно суперпростой («глобальной») интуиции.

2. Новые, производные объекты должны строиться только из исходных под контролем той же глобальной интуиции.

3. Расширение математического знания посред ством логики (дедукции) законно лишь в той мере, в которой оно соответствует возможностям его прямого интуиционистского контроля и обоснования.

Интуиционизм как программа обоснования матема тики также показал себя ограниченным подходом. Обна ружилось, что многие важнейшие для математики поня тия и методы не могут быть реконструированы в соот ветствии с требованиями интуиционистской программы. Это означало, что институционистская программа не согласуется с реальной практикой математики и исхо дит, возможно, из слишком умозрительных представле ний о природе математического мышления. С методоло гической точки зрения представляется, однако, важным исследовать сущность интуиционистских ограничений и возможность их разумной либерализации.

В понимании интуитивной данности исходных мате матических объектов Брауэр следует за Кантом. Однако он принимает лишь интуицию времени, полагая, что кантовская априорная интуиция пространства поколеб лена открытием неевклидовых геометрий. В основе ма тематики, по Брауэру, лежит интуиция натурального ряда, которая выражается прежде всего в представле нии о возможности его неограниченного продолжения.

126

Глава 3. Проблемы обоснования математики

Проблемы обоснования потенциальной бесконечности для Брауэра не существует: она снимается на основе непосредственной очевидности непрерывного продолже ния натурального ряда через последовательное осуще ствление интуитивно ясной операции прибавления еди ницы к каждому вновь полученному числу.

Очевидно, что требование конструктивности всех допустимых объектов существенно ограничивает логи ческие средства, приемлемые в интуиционистской математике. Если математика должна расширяться только в пределах возможного конструктивного оправ дания, то она, согласно интуиционистам, должна ис ключить из логических правил при рассуждениях о бес конечных последовательностях закон исключенного третьего и правило снятия двойного отрицания, т. к. их принятие ведет к признанию многих утверждений о существовании, не имеющих конструктивного оправ дания. Понятие отрицания получает при этом специ фический смысл, отличный от его трактовки в тради ционной логике: мы можем отрицать здесь общее суж дение только посредством построения контрпримера, а утверждение о несуществовании некоторого объекта только через сведение к противоречию допущения о его существовании. Логические константы и кванторы вследствие этого должны получить существенно дру гое значение, также определенное идеей построения: мы полагаем некоторое суждение истинным для всех значений переменной, если мы имеем возможность конструктивного обоснования его истинности для лю бого из этих значений.

Классическая логика у Брауэра не просто ограни чивается, она фактически устраняется в качестве важ ного фактора расширения системы математических утверждений, ибо доказанное на основе логических схем должно быть впоследствии обосновано посред ством математической конструкции, не предполагаю щей ряда классических принципов логики. Логика в интуиционизме, таким образом, выполняет лишь функ цию сокращения конструктивных рассуждений и не является автономным механизмом решения математи ческих задач.

127

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

Интуиционистская философия математики после довательно антиплатонистична. Математические объекты понимаются здесь лишь как мысленные кон струкции, не имеющие существования, независимого от конструктивной деятельности человеческого созна ния. Брауэр считает, что законы математики не име ют статуса законов физики, ибо если бы человечество было вдруг уничтожено, то в мире не осталось бы никакой реальности, о которой утверждается в теоре мах математики, в то время как физические законы в качестве объективных связей продолжали бы суще ствовать. С этой точки зрения, математическое твор чество по своей сущности — изобретение, но никоим образом не открытие и не отражение какойлибо ре альности. Интуиционизм Брауэра в этом смысле пря мой антипод платонизму Кантора, Вейерштрасса, Коши и др., которые настаивали на предсуществова нии математических объектов и на их тождестве в этом отношении объектам других наук (физики, хи мии, географии т. п.).

Хотя Брауэр принимает априорное представление о времени как интуитивную основу арифметики, было бы ошибочным рассматривать эту его общую философ скую установку как вариант кантовского априоризма. Дело в том, что он не только допускает зависимость логики от содержания мышления, что, конечно, проти воречит кантовскому подходу, но и рассматривает ма тематические объекты как зависимые от математиче ского субъекта. Более того, он часто обсуждает матема тическую интуицию исключительно в психологическом плане, как элемент индивидуального сознания. У Бра уэра фактически отсутствует идея априорной объек тивной формы мышления, которая выше индивидуаль ной психики и всякой субъективности. Он усматрива ет сущность математических объектов исключительно в актах свободного конструирования, но ни в коем случае не в экспликации трансцендентального содер жания мышления.

Наиболее радикальное отличие интуиционизма от логицизма состоит в понимании роли знаков и симво лического языка в математическом мышлении. Наме

128

Глава 3. Проблемы обоснования математики

рение Фреге, как мы видели, состояло в том, чтобы заменить расплывчатый язык математических рассуж дений языком однозначных символов и строгих опре делений. Брауэр, напротив, видит в символическом языке нечто чуждое природе математического мышле ния. Идеально строгое мышление, по Брауэру, проте кает на уровне мысленного конструирования, на уров не непосредственного сцепления интуитивно ясных представлений, которые лишь более или менее адек ватно могут быть отражены в рамках символов и фор мальных определений. Брауэр считает,что формальный язык математики уводит нас в сторону от математиче ской истины, как только он уходит изпод контроля не посредственного интуитивного восприятия объектов. Логицисты, по его мнению, выдают за суть математи ки лингвистическую структуру, пригодную лишь в качестве средства передачи математической мысли. Брауэр, таким образом, ищет строгость математики не в очевидности символических построений, а в очевид ности самих математических объектов, в их непосред ственной данности сознанию. Символический язык, согласно Брауэру, может использоваться в математи ке лишь в тех пределах, в которых он не становится самодовлеющим, затемняющим математику как про цесс построения и эффективного исследования конк ретных математических объектов. При таком подходе аксиоматическое определение теории полностью теря ет смысл, а за механизмом логической дедукции оста ется лишь роль схематизации и сокращенного пред ставления конструктивных выводов.

Интуиционизм как определенное видение предме та математики, состоящее в том, что математические абстракции не должны терять связи с конкретными объектами и интуитивно ясными операциями, появил ся задолго до появления парадосов в теории множеств. Эта идеология имела место уже в высказываниях Га усса и Кронекера. Оба этих математика были убежде ны в том, что актуальная (завершенная) бесконечность не может быть предметом математического рассужде ния и что математика, для того чтобы оставаться стро гой дисциплиной, не должна уходить из сферы объек

129

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

тов, относительно которых мы имеем право выносить абсолютно ясные и непосредственно проверяемые суждения. Но это были доводы, проистекающие ско рее из абстрактной философии, чем из какихлибо за труднений внутри математики. Появление парадоксов в логике и в теории множеств превратило эту старую идею в практически значимую методологическую ус тановку. Уже в первых своих работах по основаниям математики Брауэр связывает интуиционизм с пробле мой устранения парадоксов. Он высказывает убежде ние, что окончательное избавление от парадоксов воз можно лишь через принятие интуиционистского взгля да на математику и на границы применения классиче ской логики

. Интуиционизм приобретает статус про граммы обоснования математики, становится системой требований к перестройке математического знания, устраняющей некорректность обычных (классических) доказательств.

Мы должны прежде всего зафиксировать то обсто ятельство, что интуиционистски построенная теория, несомненно, надежна. Столь же очевидно, однако, и то, что интуиционистская философия математики вслед ствие свойственной ей психологичности не обосновы вает этого факта с достаточной строгостью. Брауэр ищет истоки праинтуиции в психике субъекта, в пси хологической необходимости перехода от мысленного акта как целого к разделению его на два элемента и к возможности повторения этого процесса до бесконеч

ности

. Обращение к такого рода чисто психологиче ским конструкциям ничего не доказывает: они заведо мо недостаточны для оправдания надежности представ лений арифметики.

Нетрудно видеть, что интуиционистская програм ма обоснования содержит в себе глубокое методологи ческое противоречие: претендуя на максимальную строгость обоснования математического знания, она

См.: Brouwer L. The unreliability of the logical Principles. In: Brouwer L.E.J. Collected Works. Vol. 1 // Philosophy and Foundations of Mathematics. Amsterdam; Oxford, 1975. Р. 110.

130

См.: Brouwer L. Intuitionism and Formalism, Collected Works. Vol. 1. Р. 90–92.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 5013 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]