Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Философия математики и технических наук. Учебное пособие для вузов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 5012 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Глава 2. Закономерности развития математики

ретной ситуации и для определенной цели, оказывает ся затем (как правило) более универсальным, пригод ным для других целей, предвосхищающим другие тре бования. Это значит, что рассматриваемое явление не специфически математическое и должно быть объяс нено из особенностей функционирования искусствен ных систем вообще, которые создаются обществом.

Второе проявление эффективности математики, состоящее в тенденции к «офизичению» абстрактных образов, в своей основе также имеет системный харак тер, но оно требует для своего объяснения привлече ния соображений чисто логического порядка.

Математика, как уже говорилось, имеет определен ную независимость от прежних содержательных мате матических представлений при введении новых обра зов. Если в математике появляется образ М, имеющий содержательную интерпретацию, то математик может создать систему производнях образов: М

, М2,... Мn, за

полняющих некоторую логическую окрестность М. Если исходному образу М соответствует система теоретиче ских представлений Ф и если Ф в конечном итоге заме няется некоторой системой представлений Ф

, являю

щейся обобщением Ф, или более абстрактной системой связей по отношению к Ф, то в соответствии с принци пом интерпретации эта новая теория неизбежно потре бует более общих или более абстрактных математиче ских структур, чем М, но находящихся в логическом род стве с М (по принципу соответствия, в частности). Таким образом, уже элементарная логика связи математических и физических структур, которая характеризуется прин ципом соответствия и принципом интерпретации, пред определяет возможность интерпретации некоторых форм М

, М2,... Мn на базе отношений Ф1.

Эти соображения не объясняют математического предвосхищения как необходимой тенденции лишь в том отношении, что мы не можем гарантировать пол ноту образов М

, М2,... Мn и, следовательно, не можем

заведомо исключить появления как угодно длинной серии физических теорий Ф

... Фk, каждая из которых

потребует создания принципиально новой математи ческой теории для своего описания. Эта последняя

111

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

возможность, однако, исключается, если мы будем рассматривать математическое знание как систему представлений, стремящихся к динамической устойчи вости по отношению к физике. Появление серии физи ческих теорий, требующих каждый раз создания но вых математических структур означало бы предельную неустойчивость и неэкономичность математического знания в целом. Идеальная устойчивость математики по отношению к физике, видимо, недостижима, но мы имеем все основания думать, что механизмы отбора, регулирующие свободное развитие математики, на правлены на ее обеспечение и, следовательно, на при нятие и разработку именно тех абстрактных форм, которые среди прочего наиболее перспективны для содержательной интерпретации в будущем.

Математическое предвосхищение представляется, таким образом, сложным явлением, обусловленным одновременно и логической связью математических и физических структур, и отношением математики к физике как определенного рода приспособляющейся вторичной системе. Последнее обстоятельство являет ся решающим для понимания всего процесса. Само стремление математиков исследовать абстрактные образы до всякого запроса со стороны физики и даже самой математики может быть объяснено только в плане такого перспективного приспособления матема тики как системы, ибо формальная структура матема тики обеспечивает лишь принципиальную возможность такого свободного развития.

Что касается поразительной экстраполябельности математизированных физических законов, то она тре бует существенно иного подхода к своему обоснованию. Системная сущность знания, конечно, в определенной степени объясняет экстраполябельность научного за кона. Но поднимая этот вопрос, философы и математи ки говорят не об экстраполябельности вообще, а о поразительно высоком качестве этой экстраполябель ности. Известно, что закон всемирного тяготения вы полняется с идеальной точностью для объектов, нахо дящихся на расстоянии миллионов световых лет от Зем ли. Возникает вопрос: каким образом человек на основе

112

Глава 2. Закономерности развития математики

грубого опыта способен сформулировать законы, име ющие почти абсолютную значимость. Это замечатель ное качество законов физики не может быть обоснова но только из системных соображений; мы должны здесь, повидимому, привлечь некоторые соображения натурфилософского порядка, а именно принять утверждение о простоте и единообразии законов при роды на некотором их уровне.

Небольшой анализ показывает: натурфилософский аргумент присутствовал и во всех наших предшеству ющих рассуждениях. Тенденция к динамической эко номичности есть необходимое явление в системе, воз никающее просто из приспособительной активности общества. Но нетрудно понять, что реальный успех этой тенденции существенно зависит от разнообразия или сложности среды, в которой протекает эта активность. Мысленно усложняя среду, в которой живет общество, уменьшая устойчивость ее компонентов, мы придем к ситуации, в которой исчезнет всякая экстраполяция и всякое предвосхищение. Таким образом, ясно, что если в принципе разнообразные формы эффективности ма тематики вытекают из идеи системного, динамического характера, то мера этой эффективности, количествен ная степень соответствующих тенденций прямо зави сит от качества среды и, следовательно, такого рода яв ления не могут быть объяснены без определенного рода натурфилософсктх допущений о свойствах самой объек тивной действительности.

Это обстоятельство, хотя оно и не всегда хорошо осознается, лежит, на наш взгляд, в основе заявлений о «мистическом» или «непостижимом» характере эф фективности математики. Вывод от факта эффективно сти математики в физике к простоте той реальности, которую изучает физика, представляется вполне есте ственным. Эффективность математики, по крайней мере в третьем ее смысле, должна быть принята в таком случае в качестве простого эмпирического факта, не подлежащего теоретическому обоснованию.

В связи с анализом явления математического пред восхищения мы должны отметить также связанный с ним прием, который в методологической литературе

113

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

получил название математической гипотезы. Матема тическая гипотеза — это методологический прием, ос нованный на том, что чисто формальные, иногда даже непреднамеренные изменения математических урав нений, описывающих определенные стороны реально сти, приводят к закономерностям, описывающим дру гие стороны реальности или существенно расширяю щим поле использования первоначальныой теории

Впечатляющим примером такой формальной вариации является уравнение Шредингера, полученное в резуль тате модификации классического волнового уравнения. Этот путь привел в конечном итоге к прояснению принципов квантовой механики и широкого поля ее приложений. Особенностью этого пути является то, что математический аппарат теории появляется раньше его адекватной содержательной интерпретации. Неко торые исследователи методологии науки видят в этом новую форму взаимодействия между математикой и научной теорией, появившуюся в XX в., которая харак теризуется тем, что математика начинает играть веду щую и решающую роль в становлении физической (содержательной) теории.

Математическая гипотеза родственна математи ческому предвосхищению, т. к. в том и другом случае речь идет об активной и опережающей роли матема тики в развитии содержательной теории. Но тут есть и существенное различие: говоря о математическом предвосхищении мы фиксируем некоторого рода ис торически реализующуюся тенденцию, способность математики готовить форму для новых физических теорий, в то время как в случае с математической ги потезой мы говорим о сознательном использовании этой особенности развития математики, т. е. о мето дологическом приеме, основанном на этом свойстве математической теории. Можно сказать, что матема тическая гипотеза является методологической реали зацией, предвосхищающей способности математиче ского мышления.

См.: Кузнецов И. В. Математическая гипотеза // Философ

ская энциклопедия. Т. 3.

114

Глава 2. Закономерности развития математики

Мы указали здесь на основные явления, связан ные с особенностями развития математического зна ния. Ясное понимание этих особенностей важно для понимания природы математического мышления, а также и для реальной методологии науки. Реальная методология математического мышления может быть обоснована только на базе понимания объективных закономерностей развития математической теории.

115

Глава 3

ПРОБЛЕМЫ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

Каждая эпоха развития математики характеризует ся своей системой «фактов», стоящих в центре ее мето дологического и философского осмысления. Такими фактами могут быть отдельные положения (например, теорема о несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной), отдельные образы (например, мнимые чис ла, бесконечные множества), новые математические теории (например, неевклидовы геометрии и теория множеств), новые явления в прикладной математике и т. п. История показывает, что на каждом конкретном этапе развития математика и философия математики вращаются вокруг какогото определенного круга собы тий в математике, в какойто мере может быть даже абсолютизируя их и преувеличивая их значимость. Для философии математики ХХ в. таким базисом явились трудности в основаниях математики, попытки матема тиков устранить противоречия из логики и теории мно жеств, а в общем плане — найти средства, гарантирую щие надежность математических рассуждений.

Проблема обоснования математики имеет одновре менно как логическое, так и философское измерение. Мы рассмотрим здесь суть философских дискуссий, относящихся к этой проблеме.

116

Глава 3. Проблемы обоснования математики

Парадоксы теории множеств

Как известно, многие математики первой полови ны ХIХ в. считали, что О. Коши на базе понятия пре дела достиг полного обоснования интегрального и диф ференциального исчисления и тем самым разрешил кризис в основаниях математики, продолжавшийся в ней до этого около ста лет. Однако скоро обнаружи лось, что это обоснование недостаточно и даже в неко тором смысле противоречиво. При изложении теории пределов как базы математического анализа Коши опирался на понятие действительного числа. Вместе с тем он определял действительное число как предел последовательности рациональных чисел. Для выхода из этого логического круга необходимо было обосно вать свойства действительных чисел както иначе, без ссылки на понятие предела.

Далее, было обнаружено, что для строгого доказа тельства ряда теорем внутри анализа требуется поня тие множества со всеми его элементами, т. е. понятие актуальной бесконечности. Этот факт был замечен Б. Больцано при анализе им доказательства существо вания верхней грани ограниченного бесконечного мно жества. Больцано показал также, что оперирование с бесконечными множествами чревато парадоксами и требует принципиально других правил чем те, к кото рым мы привыкли в арифметике и алгебре конечных величин. Еще с большей очевидностью необходимость введения в математику бесконечных множеств была подтверждена исследованиями Дирихле и Римана по теории тригонометрических рядов.

Новые факты математики породили, таким образом, потребность в новых, более широких основаниях мате матического анализа и математики в целом. Задача со стояла в том, чтобы: а) дать обоснование теории действи тельных чисел, независимое от понятия предела; б) стро го обосновать те разделы анализа, где использовалось понятие актуальной бесконечности. Первую задачу в начале 70х гг. XX в. разрешил Р. Дедекинд своей тео рией сечений. В это же время Г. Кантор выдвинул тео

117

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

рию трансфинитных чисел, которая не только устанав ливала законы оперирования с бесконечными множе ствами, но и давала полную теорию действительных чисел. Нужно сказать, что и до настоящего времени теория множеств является наиболее глубокой основой для понимания соподчинения и связи различных число вых множеств.

Восприятие теории множеств современниками было затруднено по той же причине, что и восприятие неевк лидовых геометрий: бесконечности высших порядков были слишком оторваны от действительности и казались поэтому искусственными и праздными построениями. Идея Кантора о том, что математика свободна в конст руировании своих объектов в рамках логической непро тиворечивости, которую он выражал утверждением «сущность математики — в ее свободе», была еще чуж да подавляющему числу математиков. Позиции Канто ра противостоял интуиционистский взгляд на предмет и природу математики, согласно которому математика может обеспечить строгость своих выводов только в том случае, если ее исходные объекты даны нам в своих свойствах с полной ясностью и определенностью. В этом состояло основное положение Л. Кронекера — после довательного оппонента канторовской теории множеств. В дальнейшем эта критика была продолжена и развита Л. Брауэром в его концепции интуиционистского об основания математики.

К концу ХIХ в. появилось однако значительное число работ, использующих теорию множеств. Пуан каре, Гильберт, Фреге и многие другие математики оценили глубину новой теории. Математика стала быстро приобретать теоретикомножественный облик, а обоснование математики стало ориентироваться на понятия теории множеств как наиболее общие и фун даментальные. Но этот едва начавшийся триумф кан торовской теории множеств был прерван в начале ХХ в. открытием целого ряда противоречий (парадок сов) в ее основе. К настоящему времени математиками изобретено и сформулировано значительное число различных парадоксов, непосредственно или косвен но связанных с понятием бесконечного множества. Мы

118

Глава 3. Проблемы обоснования математики

приведем здесь лишь некоторые из них для уяснения принципиальной стороны дела.

Парадокс Кантора (был обнаружен самим Канто ром в 1895 г.). Пусть М — множество всех множеств, а РМ — множество всех подмножеств этого множе ства. Согласно одной из исходных теорем теории мно жеств, мощность любого множества всегда меньше мощности множества всех его подмножеств, что может быть записано формулой |РМ| > |M|. Но поскольку мно жество М, по определению, содержит в себе все мно жества, то РМ ⊆ М, вследствие чего, согласно другой теореме теории множеств |РМ| J |M|, что противоречит предыдущему неравенству.

Парадокс Рассела. Обозначим через М множество всех нормальных множеств, т. е. множеств, не включа ющих себя в качестве элемента. Зададим теперь вопрос: является ли множество всех нормальных множеств нормальным. Если допустить, что множество М — нор мальное, тогда оно не включает себя в качестве своего элемента и, следовательно, оно не нормальное. Если допустить, что М — не нормальное, тогда оно включает себя в качестве своего элемента и, следовательно, оно нормальное (т. к. множество М — множество нормаль ных множеств!). Мы, таким образом, не можем допус тить без противоречия ни нормальности, ни ненормаль ности множества всех нормальных множеств.

Парадокс Ришара. Пусть все определения арифме тики расположены в ряд по длине, к примеру по числу букв, содержащихся в них. Если определения, содержа щие одно и то же число букв, расположить в обычном алфавитном порядке, то тогда каждому определению можно будет поставить в соответствие натуральное число n — его порядковый номер. Назовем число риша ровым, если оно обладает свойством, зафиксированным в соответствующем определении. Но определение ри шарова числа есть также определение арифметики и ему соответствует некоторое число m в качестве его номера. Является ли число m ришаровым? Здесь нали цо противоречие, ибо число m — ришарово тогда и только тогда, когда оно не обладает свойством требуе мым в определении, т. е. тогда, когда оно не ришарово.

119

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

Обнаружение парадоксов, связанных с поняти ем множества, поставило проблему обоснования всей математики как проблему ее непротиворечивости. В узком смысле она состояла в том, чтобы найти спо соб избавиться от известных парадоксов, обнаружив источник их возникновения. В более широком — не обходимо было ответить на вопрос: можно ли, и в какой мере, полностью избавиться от противоречий в математике, может ли математическая теория на ка който стадии своего развития получить окончатель ное обоснование? В начале ХХ в. противоречия в математике рассматривались как некоторого рода курьезы, как легко исправимые отклонения от логики строгого рассуждения и была сильна вера в возмож ность полного обоснования математики. Многие вы дающиеся математики разделяли эту веру и предла гаемые ими пути устранения парадоксов они рассмат ривали одновременно и как программы решения проблемы обоснования математики вообще. Рассмот рим основные из этих программ.

Логицистское обоснование математики

Логицистский подход к обоснованию математики проистекает из идеи сводимости математики к логи ке, которая была сформулирована еще Лейбницем и получила поддержку в развитии методов математиче ской логики в XIX в. Логицизм исходит из предполо жения, что все понятия математики могут быть опре делены на основе понятий, относящихся к логике и все теоремы математики могут быть представлены в виде общезначимых логических суждений. Замысел логицизма как программы обоснования математики состоял в том, чтобы свести вопросы, относящиеся к обоснованию надежности принципов и методов мате матики к вопросу о надежности простых логических исчислений.

В своей работе «Основоположения арифметики»(1884) Г. Фреге наметил путь обоснования арифметики на осно ве логического определения понятия числа. Редукция

120

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 5012 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]