Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Философия математики и технических наук. Учебное пособие для вузов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 5011 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Глава 2. Закономерности развития математики

Пример механики позволяет нам определить по нятие классической или полной математизации. Мы будем называть математизацию содержательной тео рии полной, если:

1. Все ее основные понятия и принципы поддают

ся выражению в понятих математической теории.

2. Величины, используемые в теории, допускают

адекватную меру.

3. Математическая теория позволяет осуществить достаточно точные предсказания следствий этой тео рии.

Полная математизация имеет место в таких физи ческих теориях, как классическая механика, термоди намика, электродинамика, квантовая механика, теория поля и др.

Для математизации научной теории принципиаль но важным является допустимый в этой теории способ измерения величин. Мы должны прежде всего разли чать адекватные и неадекватные меры. Меру величи ны можно назвать адекватной, если мы убеждены, что б

óльшей величине соответствует бóльшая мера, равным

величинам соответствуют равные меры и при увеличе нии величины в некоторое число раз ее мера увеличи вается в то же самое число раз. Адекватная мера пред полагает наличие единиц измерения, зафиксированных в виде некоторых устойчивых эталонов. Все физические величины обладают в этом смысле адекватной мерой, поскольку они выражаются в конечном итоге через меры длины, массы и времени, которые фиксируются с полной определенностью на основе своих эталонов. Основной недостаток теорий за пределами физики состоит в том, что здесь часто отсутствуют адекватные меры, и мы должны прибегать, как правило, к услов ным мерам, которые мало пригодны для точного выра жения функциональных связей. Мы не имеем адекват ной меры, к примеру, для уровня образовнности обще ства и должны пользоваться для выражения ее такими условными характеристиками, как среднее число лет, которое затрачивается в данной стране на обучение ребенка, уровень финансирования системы образова ния и т. д. Конечно, мы имеем возможность отличить

101

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

развитую экономику от менее развитой, но не существу ет единого показателя или системы показателей, позво ляющих дать точное количественное выражение каче ства экономической системы. Условность измерения ведет к условности устанавливаемых функциональных связей и к невозможности точных предсказаний.

Существенное отличие современной математиза ции от классической состоит в том, что она не является полной. Она является фрагментарной в том смысле, что математическому моделированию поддаются лишь некоторые частные процессы, исследуемые теорией, но не теория в целом во всей системе ее принципов. Одним из первых примеров такой частичной матема тизации является математическая модель сосущество вания хищников и жертв в биоценозе, предложенная В. Вольтерра (1921). Интуитивно ясно, что увеличение числа зайцев в лесу как потенциальных жертв ведет к увеличению числа волков, как особей, потребляющих зайцев в пищу, и что слишком бурное размножение волков должно привести к уменьшению числа зайцев и, в конце концов, к уменьшению числа волков. Наме чается, таким образом, некоторое взаимодействие двух линий развития во времени. Эта ситуация может быть записана в следующих уравнениях:

= rN – aCN,

= kaCN – gC,

где N — число жертв, С — число хищников, a, r, k, g — коэффициенты, характеризующие взаимодействие хищников и жертв, устанавливаемые на основе опыта. Эти уравнения в своей исходной форме являются пре дельно абстрактными и имеющими очень приближен ное отношение к реальности, но они допускают уточне ние и в принципе могут служить для предсказания тен денций увеличения или уменьшения основных видов в

102

Глава 2. Закономерности развития математики

биоценозе7. Известно, например, что математическое моделирование процессов в биоценозе дает неплохие результаты в прогнозах вылова различных пород рыбы по сезонам в замкнутых водных бассейнах.

Этот пример показывает особенности фрагментар ной математизации. Такая математизация не захваты вает принципов науки в целом, она относится исклю чительно к некоторым выделенным, изолированным фрагментам. Важно также то, что такого рода матема тизация не опирается на адекватные меры и не обес печивает точного предсказания. Математизация знания за пределами физики является фрагментарной и не точной вследствие отсутствия адекватно измеряемых величин. Имеются серьезные доводы, показывающие, что математизация за пределами физики не имеет шансов стать полной и адекватной математизацией в определенном выше смысле. Опыт науки последних десятилетий показывает, однако, что, несмотря на ука занные недостатки фрагментарной математизации, она завоевывает все новые и новые области, демонстри руя, таким образом, свою эффективность.

В философском плане основная проблема матема тизации состоит в прояснении ее онтологической ос новы, ее обусловленности сложностью предмета науки. История науки ясно показывает, что математической обработке поддаются только те теории, в которых мо гут быть выявлены модели, пригодные для количествен ной обработки и для определения в точных понятиях. Математизация научного знания зависит, таким обра зом, в первую очередь от внутренних особенностей самого этого знания, от его способности к внутренней определенности, от наличия в нем определенных, ус тойчивых и достаточно содержательных схем. Научные теории сильно различаются по своей способности к строгому определению понятий и в разной степени способны к представлению своих законов в математи ческих понятиях. Проблема состоит в уяснении усло

Детальный анализ этих уравнений см.: Тутубалин В.Н., Барабашева Ю.М., Григорян А.А., Девяткова Г.Н., Угер Е.Г. Матема тическое моделирование в экологии. Историкометодологиче ский анализ. М., 1999.

103

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

вий, определяющих саму возможность математизации знания, в определении требований, позволяющих по нять возможную сферу эффективности математиче ского метода. В настоящее время мы не имеем здесь скольконибудь ясных представлений, и можно сказать, что наша теория математизации знания ограничивает ся пока лишь анализом его истории и сравнением типов задач и типов математического аппарата.

Современная математизация знания в методологи ческом плане представляет собой противоречивое яв ление. С одной стороны, мы ясно видим то обстоятель ство, что усложнение объекта исследования, которое происходит при переходе от физики к билогии и к гуманитарным наукам, создает почти непреодолимые затруднения для математического представления тео рии, а с другой стороны, мы видим, что спрос на ма тематику со стороны науки, в том числе и наук за пре делами физики, постоянно растет. Вопрос о перспек тивах математизации знания, таким образом, остается открытым. Для понимания этих перспектив необходи мо иметь более определенные знания об условиях применения математики к таким объектам, как объек ты биологии, психологии и социальной науки. Методо логической теории, отвечающей на эти вопросы, мы пока не имеем.

Математическое предвосхищение

и математическая гипотеза

Математическая теория вследствие чисто формаль ной и конструктивной природы своих понятий облада ет существенной автономностью в своем развитии по отношению к содержательному знанию. На базе име ющихся математических образов и операций из чисто формальных соображений могут быть построены дру гие объекты и операции, не связанные с интуитивной основой исходных объектов и с какойлибо интуитив ной основой вообще. Аналитическое выражение отно шений трехмерного евклидова пространства естествен

104

но привело к идее многомерного пространства, зако

Глава 2. Закономерности развития математики

ны которого понятны лишь формально, по аналогии с трехмерным случаем. Такого рода абстрактные объек ты математики непосредственно вводятся с целью унификации математического знания; они исследуют ся постольку, поскольку позволяют объединить разно родные математические теории, выработать общий взгляд на проблемы, упростить внутреннюю структуру математического знания. Практика, однако, показыва ет, что эти образы не остаются навсегда в своей внут риматематической роли, а, как правило, находят неко торую эмпирическую интерпретацию, т. е. постепенно переходят и в сферу образов, имеющих прикладное значение. Поскольку такие интерпретации для абст рактных объектов математики обнаруживаются обыч но в связи с новыми достижениями теоретического естествознания, с открытием новых сфер научных представлений, то можно сказать, что математика в своем внутреннем развитии обладает способностью предвосхищать представления теоретического есте ствознания в плане их общей структуры.

Такого рода предвосхищение построений абстракт ной математики будущих потребностей в математиче ском аппарате со стороны физики и других наук при влекло к себе внимание ученых в начале ХХ в. в связи с применением неевклидовых геометрий в теории от носительности. На эту особенность взаимодействия математики и физики указывал Ф. Клейн в работе, по священной применению проективных метрик в теории относительности

. А. Эйнштейн в статье о И. Кеплере высказывал восхищение загадочной гармонией, суще ствующей между природой и мышлением, благодаря которой геометрические фигуры, придуманные древни ми, а именно эллипс и гипербола, нашли в новое время реализацию в орбитах небесных тел

. «В совсем недав нее время, — пишет Ж. Дьедонне, — мы были свидете лями неоднократно повторявшейся ситуации, непости жимой для физиков и философов, когда с удивлением

См.: Клейн Ф. О геометрических основаниях лорентцовой

группы // Новые идеи в математике. Вып. 5. СПб., 1914.

См.: Эйнштейн А. Физика и реальность М., 1965. С. 109.

105

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

замечают, что математический аппарат, необходимый для развития появившихся революционных концепций, таких как теория относительности и квантовая механи ка, уже задолго до их рождения был создан и развит в связи с внутренними проблемами математики, вне ка кихлибо подозрений, что этот аппарат может когдалибо получить другое приложение»

Абстрактная (неинтерпретированная) математика, как уже говорилось, развивается не произвольно, но в интенции на определенные внутренние задачи мате матики и на совершенствование ее логической струк туры в целом. Гносеологическая проблема состоит в том, чтобы объяснить, почему, стремясь к решению сугубо внутренних задач и совершенствуясь в этом направлении, абстрактная математика вырабатывает структуры, перспективные для внешней (эмпириче ской) интерпретации.

Существуют различные подходы к пониманию это го явления. Прежде всего нужно указать на попытки натурфилософского объяснения, исходным пунктом которого является утверждение некой изначальной гармонии природы и человеческого мыслительного аппарата как части природы. В 50х гг. прошлого века эту идею развивал французский инженер и философ А. Ламуш. Согласно Ламушу, три основные сферы реальности — неживая природа, жизнь и мышление — подчинены единому ритму, который в своей основе определен принципом экономии энергии. Во всех этих сферах действует аналогичный механизм появления нового, а именно конструирование его из существую щих элементов в соответствии с правилами компози ции и подобия. Свободное конструирование математи ка с этой точки зрения, поскольку оно неизбежно ими тирует способы конструирования природы, с высокой вероятностью остается в пределах форм, реализуемых природой

Дьедонне Ж. О прогрессе математики // Историкоматема тические исследования. Вып. ХХI. М., 1976. С. 20.

См.: Lamouche A. L´Homme dans l´harmonie universelle. Paris,

1958. Сh. 2.

106

Глава 2. Закономерности развития математики

Существует другое объяснение, которое можно назвать логикогенетическим. Основная его идея со стоит в том, что каждый абстрактный образ математи ки логически производен от некоторого более конкрет ного, содержательно интерпретируемого образа. Но если это так, то он сохраняет в себе часть содержания исходного образа и благодаря этому сам получает в конечном итоге содержательную интерпретацию на более высоком уровне физических абстракций. Конк ретизируя эту идею, А. Григорян вводит понятие струк турирования. Абстрактные образы математики, по его мнению, есть не что иное, как структурирование (кон цептуально развернутое представление) некоторого аспекта конкретного образа, и вследствие этого они с самого начала являются потенциально связанными со сферой определенных эмпирических связей

Такого рода объяснение, несомненно, содержит долю истины, но в целом оно не может быть принято как до статочное. Вопервых, абстрактная (неинтерпретирован ная) математика состоит не только из обобщений и абст ракций (в этих случаях действительно можно говорить о сохранении определенных аспектов содержания), но в значительной мере из логических альтернатив конкрет ному образу, т. е. из образовконструкций, которые уже по своей логической структуре заведомо отрицают есте ственную интерпретацию исходного образа. Вовторых, даже в тех случаях, когда некоторая содержательная на следственность имеет место, она, как показывает опыт, далеко не определяет сферы приложения абстрактного образа. Многозначные логики, будучи с формальной точ ки зрения обобщением обычной двузначной логики, на ходят свое наиболее продуктивное использование не в анализе языковых форм, а в технике. Такого рода приме ры, число которых очень велико, заставляют признать, что идея генетического родства не способна адекватно объяснить явление повсеместной реализации форм аб страктной математики.

См.: Григорян А.А. Гносеологические основания эффектив ности математики: Диссертация на соискание ученой степени кандидата философских наук. М., 1985. С. 121–122.

107

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

Визгин В.П. считает, что тенденцию к «офизиче нию» абстрактных образов можно вполне объяснить историконаучным анализом каждого отдельного слу чая. По его мнению, становление сколь угодно абст рактной математической теории скрытым образом опосредовано некоторыми физическими соображени ями, и последующее использование этой теории в фи зике представляет собой не что иное, как «возвраще ние долга» физике со стороны математики. Мистиче ские стороны эффективности абстрактной математики, по мнению Визгина, немедленно исчезают при исто рическом анализе, который может выявить физические интуиции, определявшие становление данной матема тической концепции

Учет физического опосредования математических идей в их становлении, конечно, существен для пони мания их эффективности. С полным правом можно утверждать, что теория групп, используемая в совре менной физике, далеко не та абстрактная теория, кото рая возникла в алгебре в связи с проблемой разреши мости уравнений в радикалах. Она обогащена и конк ретизирована во взаимодействии с геометрическими и физическими идеями ХIХ в. В некотором смысле вер но, что мы излишне драматизируем и мистифицируем проблему отношения математики к физике, оставляя в тени явное и неявное влияние физических идей на становление математики, в том числе в самых абстракт ных ее представлениях.

Однако историконаучный анализ также не прибли жает нас существенно к решению проблемы. Для по давляющего числа абстрактных математических концеп ций он вообще не может дать какихлибо результатов, т. к. их становление было всецело детерминировано внутренними задачами математики. Введение в матема тику комплексных чисел в XVI в., конечно, не имело под собой какихлибо механических или геометрических ин туиций. И даже в тех случаях, где физические интуиции играли роль, их раскрытие в действительности мало что

См.: Визгин В.П. Проблемы взаимосвязи математики и физики.

Историкоматематические исследования. Вып. ХХ. М., 1975. С. 35.

108

Глава 2. Закономерности развития математики

объясняет. Абстрактные структуры математики облада ют способностью к содержательно различным воплоще ниям, что никоим образом не может быть объяснено из особенностей их генезиса. В историконаучном анализе мы имеем дело, по существу, с той же идеей генетиче ского обоснования эффективности математики, о кото рой уже шла речь.

В.П. Визгин, безусловно, прав в том, что тайна не постижимой эффективности математики может быть раскрыта только через анализ исторического взаимо действия математики и физики, «игры между мышле нием и опытом». Основной вопрос, однако, состоит в том, в каких моментах должна быть раскрыта эта идея, какие понятия должны быть введены для того, чтобы неясные для нас аспекты эффективности математики получили объяснение в соответствии со строгим смыс лом этого понятия.

Представляется, что адекватное обоснование эф фективности математики может быть только систем ным. Оно должно исходить из понимания математики как некоторого рода самоорганизующейся системы, ис торически приспособляющейся к содержательному знанию, как к системе более фундаментальной. Такое объяснение должно быть обоснованием общей тенден ции абстрактных образов к интерпретации, независи мой от условий их формирования.

Когда речь идет о «непостижимой эффективности математики», то имеются в виду явления трех типов, которые существенно отличаются друг от друга.

1. Поразительная способность математических образов, генетически связанных с конкретным содер жанием, получать иные интерпретации, служить для выражения другого содержания.

2. Необъяснимая тенденция абстрактных математи ческих образов, не связанных генетически с какойлибо содержательной системой представлений, получать ин терпретацию, превращаться в описание некоторых тео ретических моделей (математическое предвосхищение).

3. «Непостижимая» экстраполябельность физиче ских законов, выраженных в математической форме (законы Ньютона, уравнения Максвелла и т. п.).

109

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

Рассмотрим сначала явления первого типа.

Е. Вигнер в статье «Непостижимая эффективность математики в естественных науках» приводит разго вор двух приятелей. Один из них, будучи специалис том по статистике, использует число народонаселения, другой задает ему «наивный» воп рос: «Какое отношение имеет численность народона селения к длине окружности?» Действительно, это со вершенно различные области, и математик древности, вычисляя отношение длины окружности к диаметру, не мог, конечно, подозревать такого столь широкого при менения константы ной науке. Количество таких вопросов можно увели чивать до бесконечности. Почему алгебра Буля, создан ная для систематизации форм логического мышления, нашла приложение в электротехнике, почему афинная геометрия может быть интерпретирована как про странство цветов и стать математической основой цве товедения, почему одни и те же дифференциальные уравнения могут быть использованы для исследования как колебаний струны, так и для описания взаимодей ствия видов в биоценозах?

Здесь важно понять прежде всего то обстоятель ство, что полифункциональность некоторого образа или объекта, созданного первоначально для определенных целей, не является явлением специфическим для ма тематики. Можно вообще спросить, почему наш обыч ный язык оказывается применимым для описания до селе ненаблюдаемых явлений или почему техническую деталь, созданную для какоголибо одного типа меха низмов, оказывается возможным использовать при конструировании совершенно другого типа механиз мов, в другой сфере техники. Колесо первоначально было изобретено, скорее всего, как средство передви жения, и никто не мог предугадать столь универсаль ного его использования в технике будущего. Аналогия с числом математических образов, об их полисемантичности или полифункциональности, мы затрагиваем, таким обра зом, некоторую общесистемную закономерность: во всех этих случаях элемент системы, созданный в конк

110

π здесь очевидна. Говоря об универсальности

π, которое имеет место в современ

π в расчетах роста

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 5011 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]