Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Философия математики и технических наук. Учебное пособие для вузов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 505 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Глава 1. Природа математического познания

язык, созданный для логической обработки любых со держательных утверждений. В функциональном плане математика представляет собой как бы второй этаж в структуре научного знания, где в идеальной форме исследуются операции и модели, необходимые для чисто количественного логического анализа знания, полученного на основе опыта.

Математика должна быть понята в качестве особо го метода или инструмента научного мышления. Суть этого метода состоит в количественной обработке эм пирически обоснованных суждений и гипотез. Необ ходимость математического метода проистекает из структуры человеческого знания. Каждый фрагмент содержательного знания наряду с качественной инфор мацией содержит и другую информацию, которая мо жет быть выявлена лишь в процессе количественного анализа этого сообщения или текста, через выявление следствий, которые иногда являются глубоко скрыты ми не только для читателя, но и для самого автора. История науки показывает, что глубинная информация такого рода часто оказывается более существенной и практически более важной, чем информация каче ственная. Как известно, одним из средств выявления глубинной информации является логика. Но логика сама по себе недостаточна для этой цели. Логика — это универсальное средство, приложимое к любому типу высказываний независимо от предмета рассуж дения. Но каждая область знания, каждая научная те ория имеет специфические модели, и естественно, что выявление глубинной информации требует не только логики, но и специальных символических систем, в ко торых могут быть эксплицированы понятия и модели данной теории. Мы не сделали бы ни одного шага в теоретической механике, если бы ограничились толь ко общей логикой и не выразили бы ее принципы в дифференциальных уравнениях. Эти уравнения пока зывают нам, к примеру, что закон всемирного тяготе ния Ньютона уже содержится в кинематических урав нениях Кеплера, хотя это далеко не очевидно для здра вого смысла, и сам Кеплер, конечно, не догадывался об этом. Неудивительно, что все наиболее крупные

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

сдвиги в теоретических науках связаны с математиче ским методом, с количественным анализом принципов, который обеспечивается возможностью их представ ления в математических понятиях. Впечатляющие при меры силы математического метода показывают нам современные теории физики, такие как теория отно сительности, квантовая механика, теория поля и др.

Идея математики как чисто формальной или коли чественной науки, противостоящей содержательным, эмпирическим наукам, была с полной ясностью вы сказана уже полтора столетия назад Г. Грассманом в предисловии к «Учению о протяженности». «Верхов ное деление наук, — писал Грассман, — состоит в раз делении их на реальные и формальные науки, из кото рых первые отображают в мышлении бытие, как про тивостоящее мышлению. Наоборот, формальные науки имеют своим предметом то, что полагается самим мышлением. Их истина заключается в согласии мыш ления с самим собой»

В общем плане мы можем понять математическую деятельность как построение формальных (оператив ных) структур, предназначенных для выявления глу бинной информации в содержательных теориях. Соот ветственно предметом математики мы можем считать формальные структуры, способные выполнять функ цию экспликации и дедуктивного анализа принципов содержательных наук. Математика с этой точки зре ния — это система формальных структур, предназна ченных для количественного анализа содержательно го знания и исторически развивающаяся в направле нии максимальной эффективности в этом отношении. Давая такое определение, мы следуем пониманию предмета математики как «системы абстрактных форм» или «аксиоматических структур», которое было сфор мулировано в известной статье Н. Бурбаки «Архитек тура математики»

. Здесь важно лишь указать на при

Грассман Г. Учение о протяженности. Часть 1 // Новые идеи в

математике. Сб. 8. СПб., 1914. С. 72.

См.: Бурбаки Н. Архитектура математики // Бурбаки Н.

Очерки по истории математики. М., 1963.

Глава 1. Природа математического познания

кладной характер этих структур, на их функциональ ную значимость для опытного знания, без которой нельзя понять сути математики как метода и ее места в системе знания. Математика не может быть понята как некая абсолютно автономная сфера интеллектуаль ного творчества; мы должны понимать ее так же, как метод, как науку, направленную в конечном итоге на обслуживание содержательного знания и определяе мую этой целью в своем развитии.

Мы можем в принципе понять и позицию Р. Кар напа, разделившего все истины на фактуальные и формальные

. Позитивистская трактовка математики как совокупности формальных систем страдает, одна ко, тем недостатком, что она связана с истолкованием принципов математической теории как конвенций, как чисто условных соглашений. Идея математического конвенционализма идет от Пуанкаре, который исполь зовал ее для оправдания неевклидовых геометрий. Он считал, что принципы любой геометрии, в том числе и евклидовой, не проистекают из опыта, иначе они бы периодически уточнялись, но они и не априорны, ина че они не допускали бы никаких других геометрий. В действительности же, утверждал Пуанкаре, и те и другие не что иное, как удобные соглашения, проявив шие свою пригодность для описания окружающих нас вещей и отношений между ними.

Эта идея важна для понимания математического метода. Когда математик конструирует новую теорию, устанавливая принципы, обеспечивающие выполни мость определенной системы преобразований, то, конеч но, он понимает этот принцип не как непосредственное описание объективной реальности, но как конвенцию, удобную для решения определенных задач. Идея кон венции, однако, не может быть принята в качестве объяс нения всего множества принципов, лежащих в основе математического мышления. Хотя математическое мыш ление существенно базируется на конвенциях, нам труд но принять принципы арифметики и элементарной геометрии только лишь в качестве конвенций. Мы счи

См.: Карнап Р. Значение и необходимость. М., 1959. С. 36–44.

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

таем, что эти первичные принципы связаны также с определенным категориальным видением мира.

Арифметика, евклидова геометрия и логика в своей структуре — обычные формальные системы, но первич ные представления, которые они формализуют, — не конвенции, а определенные категориальные истины, обладающие безусловной необходимостью. Утверждение «2 + 2 = 4» — это, конечно, не эмпирическое обобще ние, но и не конвенция, а скорее — априорная истина мышления.

Мы считаем, что современная философия матема тики должна исходить, с одной стороны, из понимания чисто формальной природы математических теорий, а с другой — должна учитывать онтологическую (кате гориальную) природу исходных математических пред ставлений. Если кантовский априоризм был далек от понимания формальной природы математических тео рий, то, с другой стороны, аналитическая философия математики, в особенности в логическом позитивизме Карнапа и Витгенштейна, неправомерно абстрагиро валась от предметного (онтологического) основания математического мышления.

Конечно, не всякое математическое конструирова ние и не всякое математическое доказательство имеет абсолютно априорный характер. Уже неевклидовы геометрии показали несостоятельность этого мнения. Но мы хотели бы подчеркнуть, что математика была бы невозможна и без некоторого множества первичных априорных истин. Именно из множества таких истин могла «вырасти» вся остальная математика.

Методы математики.

Математическое доказательство

Под методом математики мы будем понимать сово купность способов получения и обоснования матема тических утверждений. Если говорить о методах полу, чения математических утверждений, о способах про движения математика к новым результатам, то здесь

мы должны, повидимому, перечислить все методы по

Глава 1. Природа математического познания

иска, используемые вообще в науке. Но в математике эти методы, конечно, приобретают свои особенности.

Л. Эйлер говорил, что почти все свои теоремы в

теории чисел он нашел из наблюдения за числами. Здесь мы обнаруживаем квазиэмпирическую сторону математического творчества, хотя наблюдение матема тика над числами вряд ли полностью тождественно наблюдению биолога над поведением животных. Од нако индуктивное начало является общим в обоих слу чаях. Различие состоит в том, что математик не может остановиться на индукции, сколь бы очевидной она ни была. Он должен доказать это утверждение, как необ ходимо вытекающее из некоторых принципов теории. Утверждение о том, что каждое четное число может быть представлено суммой двух простых (теорема Гольдбаха), с точки зрения эмпирической методологии можно было бы считать полностью обоснованным, по скольку известно, что оно справедливо для всех чисел меньше миллиона. Однако с математической точки зрения оно остается только гипотезой.

Важнейшим и, может быть, самым плодотворным для совершенствования математической теории явля ется метод интерпретации. В этой связи мы можем вспомнить алгебраическую интерпретацию геометрии, осуществленную Декартом, которая позволила вдохнуть новую жизнь в, казалось бы, законченную систему ев клидовых теорем и существенно способствовала в даль нейшем появлению и многомерных и неевклидовых геометрий. Эффект метода интерпретации основан на том замечательном факте, что теоремы, трудно доказу емые в одной теории, оказываются легко достижимы ми при переформулировке этой теории в другой сис теме понятий.

Важную роль в развитии математики играет инту иция. Интуиция как догадка, как возможность увидеть истину до ее обоснования присутствует в любой науке и в любом научном поиске. Но математика является, повидимому, одной из самых благоприятных сфер для проявления этой способности мыслящего разума. Вы деляют несколько типов интуиции. Простейший ее вид состоит в формулировке общей гипотезы на основе

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

предварительной индукции или аналогии. В математи ке, однако, выдвигаются гипотезы, для которых имеет ся мало оснований в опыте, а также и такие гипотезы, которые противоречат наличному опыту. К таким умо зрительным гипотезам можно отнести, например, не архимедову аксиому Лейбница, догадку о возможнос ти неевклидовых геометрий у Гаусса, Лобачевского и Больяи, идею завершенного натурального ряда Г. Кан тора и многие другие утверждения, оказавшиеся в конечном итоге плодотворными. Существуют также «таинственные» интуитивные прозрения, которые имеют личностную основу и мало поддаются изучению. В качестве примера здесь можно указать на результа ты индийского математика С. Рамануджана в теории чисел, которые в своем большинстве оказались истин ными, но которые он сам не смог обосновать

. В насто ящее время мы, повидимому, еще очень далеки от понимания всего множества творческих механизмов и возможностей человеческого сознания, включая дей ствия подсознания и влияние неявного знания.

При использовании множества методов наведения в математике существует только один метод обоснова ния, а именно доказательство. Относительно доказатель ства в философском плане возникает ряд вопросов: о соотношении логики и интуиции в доказательстве, об информативности доказательств, о соотношении конст руктивных и неконструктивных доказательств и т. п. Однако важнейшим вопросом философской теории математического доказательства является вопрос о его строгости. Приведем, в частности, некоторые аргумен ты, обосновывающие возможность завершенного (абсо лютно строгого) доказательства.

Если мы признаем факт существования аподикти ческих очевидностей и их абсолютную надежность, состоящую в их неуязвимости для контрпримеров, то вопрос о существовании абсолютно надежных доказа тельств сводится к вопросу о том, в какой мере исто рическая эволюция доказательства в рамках теории гарантирует его полное очищение от ассерторических

См.: Харди Г. Двенадцать лекций о Рамануджане. М., 2002.

Глава 1. Природа математического познания

очевидностей. Здесь возможны и фактически существу ют две гипотезы. Первая из них, которую можно на звать фундаменталистской, состоит в том, что процесс вызревания математического доказательства конечен и что математики, по крайней мере в развитых теори ях, имеют дело с завершенными доказательствами. Вторая (релятивистская) гипотеза состоит в том, что историческое очищение доказательства от ненадежных в абсолютном смысле элементов представляет собой бесконечный процесс, ведущий к повышению его на дежности и строгости, но никогда не достигающий предела. С этой точки зрения в математике могут су ществовать более надежные и менее надежные дока зательства, но не существует и не может существовать доказательств окончательных, завершенных и абсолют но надежных.

Рассмотрим первую позицию. Будем называть до казательство надежным, или завершенным, если оно не может быть опровергнуто посредством контрпримеров. Будем называть доказательство строгим, или герметич3 ным, если оно не содержит в себе неявных (не огово ренных в условиях) предпосылок. Надежное доказа тельство, очевидно, может быть нестрогим. Таковы почти все геометрические доказательства у самого Евклида: эти доказательства не подвержены контрпри мерам и подтверждаются как корректные во всех по следующих более строгих изложениях геометрии, но они, очевидно, не являются строгими, поскольку часто опирались на предпосылки, не содержавшиеся в ого воренных условиях. И это строго доказал Д. Гильберт.

В своем становлении доказательство проходит раз ные ступени. Первоначально оно может использовать интуитивные понятия, не являющиеся в достаточной степени определенными, а также скрытые эмпириче ские и индуктивные доводы и, таким образом, быть да леким от идеала непреложного, абсолютно надежного умозаключения. Иными словами, доказательство на первых стадиях своего становления может опираться как на аподиктические, так и на ассерторические оче видности, и, пока это так, надежность доказательства остается проблематичной. Вопрос о возможности до

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

стижения надежности математического доказательства сводится к вопросу о том, обеспечивает ли естествен ная эволюция математической теории полное очище ние своих доказательств от ассерторических элемен тов. Анализ развития отдельных логических и матема тических теорий позволяет дать утвердительный ответ на этот вопрос. Речь идет прежде всего о таких теори ях, как исчисление высказываний и предикатов пер вого порядка в логике, арифметике, геометрии и неко торых других теориях.

История математики убедительно свидетельствует, что, хотя имевшие место доказательства и могут коррек тироваться и даже опровергаться, они тем не менее никогда не корректируются до бесконечности. Для лю бого математического доказательства, как показывает опыт, наступает стадия окончательного признания, до стигнув которой оно может изменяться лишь в плане логического упрощения, обобщения или интерпретации результата, но не в плане сомнений относительно нали чия теоремы, т. е. самого факта следования определен ных выводов из определенной системы посылок. Опыт истории математики показывает, что любое математи ческое доказательство по истечении определенного времени либо устраняется критикой как ошибочное, либо достигает состояния завершенности, полной внутренней определенности, гарантирующей его надежность. Ма тематическая практика не подтверждает факта посто янной корректировки теорем и уточнения их условий, что наблюдалось бы в случае бесконечности процесса его становления как надежного. Любая математическая теорема неизбежно стабилизируется, приобретая зна чение непреложного факта в рамках соответствующей теории.

Возможность абсолютного освобождения математи ческого рассуждения от ассерторических доводов обус ловлена прежде всего особым статусом аподиктической очевидности в нашем сознании. Различение аподиктиче ского и ассерторического знания, будучи деятельностным по своей природе, является сущностным для нашего сознания и вытекает из его саморефлексии. Сколь не преложно мы воспринимаем содержание аподиктической

Глава 1. Природа математического познания

истины, столь же непреложно мы воспринимаем и сам факт ее аподиктичности. Иными словами, различие меж ду ассерторической и аподиктической очевидностью дано нашему сознанию с аподиктической очевидностью. Это обстоятельство лежит в основе нашей способности отли чать доказательство от цепочки умозаключений, имею щих только вероятностный характер, и определяет эф фективность механизма очищения математических рас суждений от допущений ассерторического порядка. Математик, конечно, может незаметно для самого себя использовать ассерторические допущения, но, как пра вило, в дальнейшем он обнаруживает свою ошибку. Субъективная убедительность доказательства, имеет с этой точки зрения вполне объективные основания: она состоит в уверенности, что каждый его шаг осуществлен в рамках аподиктической очевидности.

Несравненно более сильной и, как показывает прак

тика, абсолютной критериальной способностью облада ет сообщество математиков. Абсолютная критериаль ность математического сообщества проистекает из того обстоятельства, что всякая аподиктичность выступает для человеческого сознания как интерсубъективность, как нечто безусловно приемлемое всеми. Отдельный ма тематик, вследствие определенных субъективных осо бенностей своего мышления, может достаточно долго не замечать некоторой неявной предпосылки в своих рас суждениях. Но если ошибка субъективна, то в высшей степени маловероятно, что она не будет замечена дру гими математиками. Практически сообщество матема тиков доводит любое доказательство до полной ясности всех его шагов и либо включает его в класс признанных истин, либо отвергает его. Имея в виду это обстоятель ство мы будем говорить, что сообщество математиков обладает абсолютной критериальностью в отношении надежности математического доказательства. Суть это го положения состоит в том, что не существует доказа тельств, относительно которых математическое сообще ство не вынесло бы окончательного вердикта в исто3 рически конечное время. Известно много примеров ошибочных доказательств, которые в течение некоторо го времени признавались математиками в качестве ис

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

тинных, но все такие ошибки, если теорема приобрета ла известность и вовлекалась в практику, обычно рас крывались еще при жизни автора.

Тезис об абсолютной критериальности математи ческого сообщества, как кажется, можно поставить под сомнение, исходя из тривиального вероятностного со ображения, состоящего в том, что если отдельный ма тематик по разным причинам не гарантирован от оши бок, то не гарантировано от них и сообщество матема тиков: хотя и с очень малой вероятностью, но оно может заблуждаться относительно любой истины и как угод но длительное время. Это рассуждение, однако, оши бочно. Оно не учитывает принципиальной конечности и системности математического рассуждения.

Возможность абсолютной очистки доказательства от дефектов существенно связана с его конечностью. Математическое доказательство представляет собой конечную процедуру или, точнее говоря, деятельность в конечном поле возможностей. По содержанию своих понятий математическая теория может быть как конеч ной, так и бесконечной, т. е. как связанной с понятием бесконечности, так и не связанной с ним. Однако как процедура обоснования некоторого тезиса доказатель ство представляет собой всегда конечную цепь логи ческих переходов. Всякое доказательство распадается на конечное число шагов, относительно каждого из ко торых мы можем поставить вопрос о его законности и решить его общезначимым образом через соотнесение со сферой аподиктической очевидности. Фундамен тальным отличием математического доказательства от всех других типов рассуждения является его проверя емость через редукцию к аподиктической очевидности всех его шагов.

Математическое доказательство является не углуб лением содержания теории, не совершенствованием ее понятий, но скорее построением конструкции в про странстве готовых объектов, возможные действия с которыми однозначно заданы их определениями. Но такого рода комбинаторная деятельность в конечном пространстве возможностей либо не достигает цели, либо достигает, т. е. получает абсолютное завершение.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 505 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]