Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Философия математики и технических наук. Учебное пособие для вузов
.pdf
Глава 4. Философские проблемы теории вероятностей
Далее, однако, Бернулли пытается уточнить опре
деление нравственно достоверного. Так, он предлагает
правительству установить фиксированную границу для
нравственной достоверности: «Было бы поэтому полез
но, — пишет Бернулли, — если бы властью Правитель
ства были установлены для нравственной достоверно
сти известные пределы; — например, если бы было
определено, достаточно ли для достижения ее 99/100
или требуется 999/1000 достоверности, чтобы Судья не
оказывал какоголибо пристрастия сторонам, но имел
твердые указания, с которыми постоянно согласовал
ся бы при вынесении приговора»
69
. Разумеется, такое
дополнение вряд ли решает проблему объективизации
данного определения. От субъективности определения
нравственной достоверности можно освободиться,
лишь называя нравственно достоверным такое собы
тие, вероятность которого для любого положительного
числа a больше, чем 1a. Именно это определение ис
пользует Бернулли в одной из формулировок своего
основного результата
70
.
Дав определение вероятности через отношение
благоприятных случаев к равновозможным (классиче
ское определение вероятности), Бернулли в IV главе
четвертой части своей книги пытается выяснить гра
ницы эффективного применения этого понятия. Он
справедливо полагает, что сфера применимости дан
ного им определения ограничивается главным образом
играми, которые устроены так, что «совершенно изве
стны числа случаев, влекущих выигрыш или проигрыш,
а сами случаи могли бы встретиться одинаково легко.
В большинстве же других явлений, — продолжает Бер
нулли, — зависящих или от действий сил естествен
ных, или от свободной воли людей, не имеет места ни
то ни другое»
71
. Ретроспективно эти слова Бернулли
можно рассматривать как предостережение от некор
ректных, часто совершенно необоснованных примене
ний «классического» определения вероятности, в осо
69
Бернулли Я. О законе больших чисел. С. 31.
70
Там же. С. 24–25.
71
Там же. С. 40.
191
Часть I. Философские проблемы математики и информатики
бенности там, где явления зависят от «свободной воли
людей». На это предостережение, однако, большинство
из последователей Бернулли в области теории вероят
ностей не обратили должного внимания.
При этом, разбирая пример с игральной костью,
Бернулли следующим образом обосновывает равновоз
можность различных случаев, а следовательно, и кор
ректность применения «классического определения
вероятности»: «...Вследствие подобия (конгруэнтности
граней и равномерной плотности кости) нет никакого
основания, почему одна грань могла бы легче открыть
ся, чем другая»
72
. В этом высказывании чрезвычайно
важно, что принцип недостаточности оснований (в дан
ном случае — предпочтения той или иной грани играль
ной кости), из которого следует равновозможность, у
Бернулли, в свою очередь, обосновывается определен
ной информацией о свойствах исследуемого объекта.
В этом существенное отличие Бернулли от ряда его пос
ледователей, в частности Лапласа, которые, напротив,
обосновывали упомянутый принцип отсутствием вся3
кой информации об интересующих свойствах объекта.
Понятно, что для Лапласа и ряда других ученых сфера
применения так называемого классического определе
ния неограниченно расширяется (разумеется, большин
ство таких применений оказывается неправомерным).
Поэтому, веря в неограниченные возможности теории
вероятностей, основанной на классическом определе
нии, Лаплас и его последователи не уделяют внимания
и не дают определения другого, статистического пони
мания вероятности, хотя, как считают О.Б. Шейнин и
Л.Е. Майстров, в ХVIII и XIX вв. (уже после Бернулли)
«практически применялись оба (классическое и стати
стическое. — Авт.) определения вероятности»
нулли же, подчеркнем еще раз, был убежден в том, что,
хотя вероятностные представления применяются преж
72
Бернулли Я. О законе больших чисел. С. 40–41.
73
История математики с древнейших времен до начала
XIX столетия: В 3 т. Т. 3. Математика XVIII столетия. М., 1972.
С. 131. Статистическое определение вероятности использова
лось главным образом в тех исследованиях, которые сейчас при
нято относить к математической статистике.
192
73
. Бер
Глава 4. Философские проблемы теории вероятностей
де всего в условиях недостатка информации, исходные
вероятности могут быть вычислены исключительно на
основе исследования и осмысления интересующих нас
свойств объектов (другими словами, путем получения и
переработки определенного количества информации об
объекте). Именно эта черта гносеологических представ
лений Бернулли стимулировала его поиски другого оп
ределения вероятности, поиски, которые под влиянием
«Логики ПорРояля» и некоторых статистических иссле
дований привели его к статистическому определению
вероятности.
Показав читателю невозможность использования
данного им ранее («классического») определения ве
роятности в ряде сложных ситуаций (например, при
прогнозировании погоды), Бернулли замечает: «Но
здесь нам открывается другая дорога для достижения
искомого. И что не дано вывести а priori (исходя из
принципа равновозможности. — Авт.), то по крайней
мере можно получить a pоsteriori, т. е. из многократ
ного наблюдения результатов в подобных примерах.
Потому что можно предполагать, что некоторое явле
ние впоследствии в стольких же случаях может слу
читься или не случиться, в скольких при подобном же
положении вещей раньше оно было отмечено случив
шимся или неслучившимся»
74
. Бернулли называет та
кой способ определения вероятности опытным, заме
чая при этом, что он не нов и не необычен. Здесь,
исходя из приведенных ученым примеров, следует
отметить, что Бернулли имеет в виду не только «Логи
ку ПорРояля», на которую он непосредстветнно ссы
лается
75
, но и ряд статистических исследований, с ко
торыми ему удалось познакомиться. Известно по край
ней мере, что Бернулли был знаком с работой одного
из основателей статистики народонаселения (шире —
политической арифметики) — Дж. Граунта «Естествен
ные и политические наблюдения над бюллетенями
76
смертности», вышедшей в 1662 г. в Лондоне
. В этой
74
Бернулли Я. О законе больших чисел. С. 41.
75
См. там же. С. 42.
76
См.: Шейнин О.Б. Комментарий 1. С. 85–86.
193
Часть I. Философские проблемы математики и информатики
книге Граунта нет статистического определения ве
роятности, однако фактически он, как и автор позднее
вышедшей книги «Наблюдения над Дублинскими
записями смертности (Лондон, 1683) У. Петти, вплот
ную подходит к этому определению. Так, Граунт, ис
пользуя имеющиеся данные, устанавливает, например,
«что перевес рождений мальчиков над рождениями
девочек составляет для Лондона 14/13, что в среднем
на один брак приходится 4 ребенка... что на каждые
11 семейств ежегодно умирает 3 человека»
зуя эти числа, из которых непосредственно можно
получить статистические вероятности ряда событий,
Граунт пытается вычислить примерное количество
жителей Лондона.
Граунт обращает внимание на необходимость боль
шого объема наблюдений для получения правдоподоб
ных статистических выводов
78
. Бернулли также отме
чает это обстоятельство: «...Всякому ясно и то, что для
такого рассуждения (речь идет об “опытном” способе
определения вероятности. — Авт.) о какомлибо явле
нии недостаточно взять одно или другое наблюдение,
но требуется большой запас наблюдений»
79
понимает, что, чем больше наблюдений принимается
во внимание, тем ближе значение статистической ве
роятности, вычисляемой как отношение благоприятных
случаев к общему числу наблюдений, к истинному
значению вероятности рассматриваемого события. При
этом под истинным значением можно понимать как
объективную вероятность события, так и субъективную
вероятность, соответствующую уровню наших знаний
о явлении.
Бернулли, однако, не удовлетворяется констатаци
ей этих соображений, известных из работ первых ста
тистиков и, в сущности, вполне соответствующих обыч
ному здравому смыслу. Его как математика интересует
проблема, о которой, по его словам, «до сих пор, может
быть, никто и не подумал»
77
См.: Майстров Л.Е. Развитие понятия вероятности. С. 70.
78
См. там же. С. 71–72.
79
Бернулли Я. О законе больших чисел. С. 42.
194
80
Там же.
80
. А именно, продолжает
77
. Исполь
. Бернулли
Глава 4. Философские проблемы теории вероятностей
Бернулли, «остается исследовать, будет ли при таком
увеличении числа наблюдений вероятность достичь
действительного отношения между числами случаев,
при которых какоелибо событие может случиться или
не случиться, постоянно возрастать так, чтобы нако
нец превзойти всякую степень достоверности, или же
задача, так сказать, имеет свою асимптоту, т. е. имеет
ся такая степень достоверности, которую никогда
нельзя превзойти, как бы ни умножались наблюдения;
так что, например, никогда нельзя иметь уверенности
более половины, или 2/3, или 3/4 достоверности в том,
что мы нашли истинное отношение случаев (т. е. ис
тинную вероятность события. — Авт.)»
81
. Другими
словами, основная проблема, которую ставит и решает
Бернулли, состоит в следующем: является ли нравствен
но достоверным (в смысле сколь угодно близкого при
ближения вероятности к 1) то, что при увеличении
числа наблюдений статистически вычисленная веро
ятность события становится сколь угодно близкой к
истинной вероятности события.
О.Б. Шейнин считает, что под «истинной вероятно
стью» Бернулли имеет в виду ранее определенную им
«классическую» вероятность
82
, пытаясь установить со
отношение между статистическим и «классическим»
определениями. Действительно, хотя, формулируя проб
лему, Бернулли не поясняет, что он понимает под «ис
тинным отношением случаев», можно с достаточным
основанием предположить, что речь идет о классиче
ской вероятности, так как Бернулли ничего не говорит
о других возможных определениях вероятности. Одна
ко в ряде приводимых Бернулли примеров (прогноз по
годы или бросание неправильной кости) вычисление
«классической» вероятности в принципе невозможно
уже по той причине, что отсутствует система равновоз
можных событий. Таким образом, можно полагать, что
Бернулли ставит свою проблему несколько шире: вне
зависимости от того, возможно ли в принципе вычисле
ние a priori «истинной вероятности события» (в частно
81
Бернулли Я. О законе больших чисел. С. 42–43.
82
См.: Шейнин О.Б. Комментарий 1. С. 100.
195
Часть I. Философские проблемы математики и информатики
сти, через систему равновозможных случаев, т. е. в клас
сическом смысле), необходимо выяснить, способна ли
статистически вычисленная вероятность (другими сло
вами, частота) со сколь угодно высокой (наперед задан
ной) точностью аппроксимировать это «истинное» зна
чение.
Бернулли справедливо считает, что «если бы этого
не случилось, то, признаюсь, следовало бы усомниться
в нашей попытке определять число случаев из опыта.
Но если это достигается, и таким путем наконец полу
чается нравственная достоверность (а что это на са
мом деле так, я покажу в следующей главе), то находим
числа случаев a posteriori почти с той же точностью,
как если бы они были нам известны a priori, что в
общественной жизни, где нравственно достоверное
принимается за вполне достоверное... без сомнения,
вполне достаточно, дабы направить наши предположе
ния в каком угодно предмете случайном не менее на
учно, чем в играх»
83
. Бернулли понимает, что решение
поставленной им проблемы может дать ответ на вопрос
о принципиальных возможностях новой науки в опи
сании реальных «случайных» явлений, ибо, по его
мнению, в большинстве исследуемых ситуаций един
ственным способом получения исходных вероятностей
является статистический. Именно этим можно объяс
нить, почему Бернулли придавал огромное значение
своему открытию, сравнивая его с решением пробле
мы квадратуры круга
84
. Новизна решенной им задачи,
указывает Бернулли, «и величайшая польза, сопряжен
ная с такою же трудностью, может придать вес и цену
всем другим главам этого учения»
85
.
Наконец, в пятой, заключительной главе четвертой
части Бернулли дает математическую формулировку и,
как уже отмечалось, исчерпывающе строгое доказатель
ство своей теоремы, решая тем самым поставленную
принципиально важную проблему. Из доказанной Бер
нулли теоремы вытекает, что при большом числе наблю
196
83
Бернулли Я. О законе больших чисел. С. 43.
84
См.: Шейнин О.Б. Комментарий 1. С. 92 (сноска).
85
Бернулли Я. О законе больших чисел. С. 44.
Глава 4. Философские проблемы теории вероятностей
дений статистическая вероятность с вероятностью,
сколь угодно близкой к единице, с любой наперед за
данной степенью точности служит оценкой истинной
вероятности исследуемого события. Осмысливая полу
ченный результат, Бернулли считает, что из него «выте
кает то удивительное, повидимому, следствие, что если
бы наблюдения над всеми событиями продолжать всю
вечность (причем вероятность наконец перешла бы в
полную достоверность), то было бы замечено, что все в
мире управляется точными отношениями и постоянным
законом изменений, так что даже в вещах в высшей
степени случайных мы принуждены были бы признать
как бы некоторую необходимость и, скажу я, рок»
86
.
Таким образом, уже на этапе становления новой
теории можно зафиксировать не только стимулирующее
влияние философских (прежде всего гносеологических)
представлений на ее развитие, но и тот примечатель
ный факт, что собственно математические результаты
способствовали выдвижению философской гипотезы о
наличии определенного типа закономерностей («как бы
некоторая необходимость» которая имеется «даже в
вещах в высшей степени случайных»), управляющих
случаем. Заметим, что законы теории вероятностей
фактически призваны отражать эти «закономерности
случайного», и теорема Бернулли является одним из
первых примеров подобного рода. С другой стороны,
нельзя не отметить и то, что само существование зако
нов теории вероятностей ставит под сомнение убежде
ние здравого смысла, гласящее, что «случайность есть
отсутствие закономерности». И только в 60е гг. ХХ в.
алгоритмический подход к проблеме случайного позво
лил в некотором смысле восстановить в правах это
естественное представление здравого смысла.
Классическая теория вероятностей:
надежды, успехи, разочарования
В письме к Лейбницу (3.10.1703) Я. Бернулли пи
сал, что, несмотря на плохое здоровье, он близок к за
86
Бернулли Я. О законе больших чисел. С. 59.
197
Часть I. Философские проблемы математики и информатики
вершению работы над «Искусством предположений».
Недостает лишь, отмечал Бернулли, важного раздела,
в котором он хотел показать применение «Искусства
предположений» к гражданским, моральным и хозяй
ственным вопросам. В другом письме (20.04.1704) Бер
нулли сообщал Лейбницу, что его теория вероятностей
может применяться в исследованиях о страховании, о
пожизненных рентах, о разделе имуществ. Некоторые
примеры приложений теории вероятностей к указан
ным вопросам содержатся в дневниках автора «Искус
ства предположений»
87
.
Приложения теории вероятностей в области стати
стики народонаселения и основанном на ней страхова
нии жизни, а также к проблеме исчисления пожизнен
ных рент появились до Бернулли в работах Дж. Граунта,
Я. де Витта, Э. Галлея и других ученых. В частности,
Я. де Витт «был первым, применившим теоретиковеро
ятностные рассуждения к страхованию жизни. Приняв
определенный вероятностный закон для смертности на
селения, он подсчитал стоимость пожизненной ренты»
88
И, повидимому, говоря о новых приложениях теории ве
роятностей, Бернулли имел в виду существенное расши
рение ее возможностей. Кроме писем об этом свидетель
ствует и Н. Бернулли, племянник Я. Бернулли, написав
ший предисловие к первому изданию (1713 г.)
«Искусства предположений». «Четвертая часть сочине
ния, — писал Н. Бернулли, — в которой автор намере
вался рассказать об использовании всего изложенного
выше в гражданских, моральных и экономических во
просах, он изза продолжительной болезни и безвремен
но наступившей смерти оставил незавершенной»
89
. Од
нако после смерти Я. Бернулли не удалось обнаружить
даже набросков предполагаемого продолжения четвер
той части. С другой стороны, Бернулли, повидимому не
задолго до смерти, аккуратно переписал все четыре ча
сти работы. Трудно удержаться от предположения, что
.
87
См.: Юшкевич А.П. Николай Бернулли и издание... С. 335.
88
Шейнин О.Б. [Комментарий I]. С. 86.
89
Бернулли Н. Предисловие к «Искусству предположений»//
Бернулли Я. О законе больших чисел. С. 162.
198
Глава 4. Философские проблемы теории вероятностей
Бернулли, следуя в первых четырех частях работы об
щепринятым тогда критериям математической строгос
ти, уничтожил наброски, касающиеся применения сво
его учения в «моральных», «политических» и «хозяй
ственных» вопросах, ибо результаты, полученные им,
или не поддавались строгому математическому обосно
ванию, или не выходили за рамки уже известных. В уже
упомянутом предисловии Н. Бернулли писал о том, что
издатели просили его завершить работу согласно пер
воначальным намерениям автора, имея в виду его дис
сертацию, в которой он попытался применить «Искус
ство предположений» в вопросах права. Н. Бернулли,
ссылаясь на свою занятость и недостаток опыта, откло
нил это предложение, заметив при этом следующее: «Но
чтобы полезнейшее дело, а именно приложение исчис
ления вероятностей к политике и экономике, не оста
лось в полном небрежении, мы просили бы почтенней
шего г. автора французской книги «Опыта анализа азарт
ных игр», а также достопочтимого г. Муавра, которые
недавно опубликовали прекрасные образцы этого искус
ства, чтобы они взяли на себя эту задачу и сообщили
публике свои выдающиеся открытия»
90
.
Книга «Анализ азартных игр» была издана в 1708 г.
анонимно. Ее автором был крупный французский мате
матик, серьезно изучавший также философию, П.Р. Мон
мор (1678–1719). Во втором издании своей книги, вышед
шем в 1714 г., Монмор, как бы отвечая на предложение
Н. Бернулли (хотя он и не знал о нем), отмечает: «Если
бы я предполагал во всем следовать Бернулли (имеется
в виду Якоб. — Авт.), то я должен был бы добавить часть,
где я применил бы методы, изложенные в первых час
тях, к политическим, нравственным и экономическим
вопросам. Мне помешало выполнить это то затруднение,
которое я встретил, когда попытался сделать предполо
жения, основанные на известных фактах, которые мог
ли бы руководить мной и поддерживать меня в моих ис
следованиях. Не будучи в состоянии удовлетворить это
требование полностью, я решил, что лучше отложить эту
90
Бернулли Н. Предисловие к «Искусству предположений»//
Бернулли Я. О законе больших чисел. С. 163.
199
Часть I. Философские проблемы математики и информатики
работу до другого времени или предоставить славу ее
свершения другому, более, чем я, искусному лицу, чем
говорить вещи или слишком общеизвестные, или недо3
статочно точные, которые совершенно не отвечали бы
ожиданиям читателя и великолепию вопроса (курсив
наш. — Авт.)»
91
.
Таким образом, можно, повидимому, зафиксировать
два важных тезиса. Вопервых, и Я. Бернулли, и Мон
мор считали исчисление вероятностей («Искусство
предположений») полноправной частью математики,
подобно арифметике или анализу бесконечно малых. Во
вторых, надеясь на применение исчисления вероятно
стей в политических, правовых и нравственных вопро
сах, они тем не менее не видя возможности математи
чески строго обосновать эти применения, воздержались
от реализации своих, казалось бы, многообещающих
намерений. Здесь следует отметить, что соблазн приме
нить теорию вероятностей к самым различным пробле
мам человеческого общества, особенно имея в виду
недостаточный уровень развития самих общественных
наук, был очень велик. Действительно, вероятностные
рассуждения на каждом шагу применяются нами при
анализе тех или иных общественных явлений. И если
возможно доводить эти рассуждения, так сказать, до
числа, обосновывая их с математической точностью, то
перед исследованием общественных явлений открыва
ются небывалые перспективы. Более того, на основе этих
исследований, как считали многие ученые, можно будет
с малой вероятностью ошибки принимать квалифици
рованные решения в самых сложных ситуациях — ска
жем, при вынесении приговоров в судах.
Большинство ученых XVIII и XIX вв. в отличие от
Я. Бернулли и Монмора не смогли удержаться от искуше
ния применить теорию вероятностей к исследованию по
литических, правовых и нравственных проблем, часто
просто не обращая внимания на нарушение критериев
строгости, которых придерживались основатели теории
вероятностей — Паскаль, Ферма, Гюйгенс и Я. Бернулли.
В свою очередь, ослабление строгости, частое смешение
200
91
Цит. по: Майстров Л.Е. Теория вероятностей... С. 91.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]