Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Философия математики и технических наук. Учебное пособие для вузов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 508 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Глава 2. Закономерности развития математики

ных отношений, одним словом, обеспечения математи зации научного знания. Математизация научного зна ния — основная линия совершенствования и самой ма тематики, и многие закономерности ее развития опре делены во многом реализацией именно этой задачи.

Основные этапы развития математики

В истории математики можно вычленить этапы в соответствии с общей историей человечества и его культуры, выделяя в ней соответственно период Древ него Египта, Древней Греции, Средних веков и т. д. В работах по истории математики такие чисто внешние социокультурные периодизации до сих пор преобла дают. Однако можно попытаться разделить историю математики на периоды, ориентируясь на качествен ные изменения в ее собственном содержании. Такая периодизация истории математики была дана А.Н. Кол могоровым в его статье «Математика» в Большой со ветской энциклопедии. А.Н. Колмогоров выделяет че тыре основных этапа в развитии математики, связан ных с качественными изменениями в ее предмете: период зарождения математики, математика постоян ных величин, математика переменных величин, совре менная математика, или математика абстрактных структур и закономерностей ее развития такого рода периоди зация более предпочтительна.

ным выделить в истории математики пять основных периодов: первичная математика, абстрактная додедук тивная математика (Египет и Вавилон), теоретическая, дедуктивная математика постоянных величин (Древняя Греция, Средние века), математика перемененных ве личин (XVII–XIX вв.) и современная математика, или математика абстрактных структур, начавшаяся с появ ления неевклидовых геометрий, которая продолжает ся и в настоящее время.

. Для философского понимания математики

С нашей точи зрения, представляется целесообраз

См.: Колмогоров А.Н. Математика. БСЭ. Т. 26. С. 464–475.

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

Первая стадия развития математики относится к математическим представлениям первобытных наро дов. Исследование мышления первобытных народов позволяет с полной определенностью утверждать, что на этой стадии развития человеческой организации уже существовали представления о простейших гео метрических фигурах, таких как треугольник, квадрат, прямоугольник, а также круг и эллипс. Эти фигуры усматриваются в орнаментах и украшениях всех древ них народов. Математические представления такого типа — это, конечно, только некий элемент эстетиче ского и практического восприятия мира и ни в какой мере не объект специального теоретического анализа. Понятия числа и счета здесь также уже присутствуют, хотя и с определенными ограничениями. Известно, что первобытный человек мог производить операции сче та только с опорой на некоторые эталонные множества типа пальцев рук или частей тела. Он еще не мыслил число абстрактно как элемент ряда натуральных чи сел, и одно и то же число предметов, относящееся к различным их типам, обозначалось обычно различны ми словами, часто без терминологического выделения их собственно количественной составляющей. Можно сказать, что древний человек оперировал только име нованными числами, а не абстрактными числами нату рального ряда. У него не было также идеи бесконечно сти ряда чисел. Все описания процедуры счета у пер вобытного человека фиксируют то обстоятельство, что за пределами некоторого числа, он произносил слово, указывающее на невозможность дальнейшего счета. В этом состоял важнейший недостаток первичной ма тематики, т. к. остутствие идеи бесконечного ряда чи сел исключало введение регулярных операций над чис лами, что, в свою очередь, закрывало путь к собствен но теоретической математике, оперирующей числами вообще, независимо от их предметного содержания и их величины

Для более детального знакомства с особенностями древней математики см.: Кольман Э. История математики в древности. М., 1961, а также: История математики с древнейших времен до нача

ла ХIХ столетия / Под ред. А.П. Юшкевича. М., 1970. Т. 1.

Глава 2. Закономерности развития математики

Математика Древнего Египта и Древнего Вавило на находились уже на принципиально другом уровне. В египетских папирусах мы имеем задачи на арифме тические и геометрические прогресии, на вычисление площади круга, поверхности шара и объема усеченной пирамиды. Одна из задач папируса Раинда (датирует ся примерно 27–25 вв. до н. э.) заключается в том, что бы разделить 60 мер зерна между десятью братьями, так чтобы каждый получил на 1/8 меры меньше, чем его старший брат, ближайший к нему по возрасту. Ясно, что египетский математик дает эти задачи не как прак тическое руководство при делении урожая между чле нами большой семьи, а для выяснения связи величин, образующих арифметическую прогрессию. Интерес здесь не практический, а чисто математический. Еги петская математика (это еще в большей степени отно сится к математике Вавилона) по типу своих задач была несомненно математикой абстрактной, существенно нацеленной на решение проблем, которые можно было поставить в рамках выработанных математических понятий. Хотя египетская математика еще не была дедуктивной, но она была уже абстрактной, явно выхо дящей в своих вопросах и решениях за пределы прак тических потребностей. Выдающиеся достижения ва вилонской математики, связанные с решением квад ратных и биквадратных уравнений, с открытием способов извлечения квадратных и кубических корней, с методами вычисления пифагорейских и вавилонских троек чисел и т. п., никак не могут быть объяснены запросами практики. Это уже чисто абстрактное, ин теллектуальное развертывание системы математиче ских представлений. Математика Древней Греции пе решла на принципиально новый уровнь математиче ской культуры, сделав доказательство осознанной и фиксируемой в математических текстах основой мате матического метода. Здесь была задана содержатель ная и методологическая парадигма, остававшаяся неиз менной вплоть до XVII столетия. Математика этого пе риода была теоретической и одновременно дедуктивной наукой, что определило прогресс в решении конкрет ных задач и в решении обосновательных проблем. Она

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

была, однако, теорией постоянных величин, т. е. мате матикой, которая ограничивалась арифметикой, эле ментарной геометрией и началами алгебры. Новая революция в математике произошла лишь в конце XVII в. с открытием других типов задач и принципи ально иных методов их решения.

Мы не будем здесь вдаваться в рассмотрение бо лее поздних этапов истории математики и в анализ их качественного отличия от предшествующих этапов. Это сделано в большом количестве обстоятельных иссле дований. Мы отметим здесь лишь то положение, что с момента своего зарождения в глубокой древности и до настоящего времени математическое знание находит ся в процессе постоянного совершенствования и каче ственных изменений, позволяющих говорить о суще ствовании принципиально различных периодов его развития. Ниже мы сосредоточим внимание на особен ностях развития математики, т. е. на ее внутренних закономерностях, отличающих ее развитие от разви тия эмпирических наук.

Свобода и детерминация в становлении

математических понятий

Важной особенностью развития математики явля ется относительная свобода ее производных понятий, заключающаяся в том, что они часто вводятся здесь из чисто логических соображений, без апелляции к пред ставлениям, выработанным в опыте. Математик может вводить любые понятия независимо от наличия эмпи рической интерпретации, наглядности или соответ ствия здравому смыслу.

Здесь уместно обратиться к классической характе ристике сущности математики и внутренней логике ее развития, данной Г. Кантором в «Основах общего уче ния о многообразиях». «Математика в своем развитии совершенно свободна и связана лишь с тем само собой разумеющимся условием, что ее понятия должны быть непротиворечивы, а также должны находиться в неиз

меннных, установленных определениями отношениях к

Глава 2. Закономерности развития математики

образованным ранее и уже имеющимся налицо испы танным понятиям... Нет нужды, как я думаю, видеть в этих принципах опасность для науки, как этого боятся многие. Вопервых, указанные условия, при которых только и может иметь место свобода образования новых чисел такого рода, что они представляют лишь ничтож ный простор произволу, а вовторых, каждое математи ческое понятие носит в себе необходимый корректив. Если оно неплодотворно и нецелесообразно, то это весь ма скоро обнаруживается благодаря его полной непри годности, и тогда оно за отсутствием успеха отбрасыва ется. Мне же представляется, что гораздо большая опас ность заключается во всяком излишнем ограничении математического стремления к творчеству, опасность тем большая, что в пользу этих ограничений нельзя в действительности привести никаких доводов из сущно сти науки. Ведь сущность математики заключается

именно в ее свободе. ...Если бы Гаусс, Коши, Абель,

Якоби, Вейерштрасс, Эрмит и Риман были обязаны всег да подвергать свои новые идеи метафизическому конт ролю, то мы бы, право, не смогли наслаждаться гранди озной системой современной теории функций, которая, хотя и была задумана и создана совершенно свободно, без всяких посторонних целей, уже и теперь в приме нениях к механике, астрономии и математической фи зике обнаруживает, как этого и следовало ожидать, свое транзиентное значение»

. Кантор разделяет имманент ную, логическую истинность математических теорий и их транзиентную истинность, состоящую в их прило жимости к реальности, описываемой опытными наука ми. Процесс развития математики, по его мнению, определяется прежде всего стремлением к имманент ной истинности, но именно выполнение этого условия обеспечивает перспективность математических постро ений для науки, их транзиентное значение. Справедли вость этих положений Г. Кантора не подлежит сомне нию: она постоянно подтверждается развитием и прак тикой приложения математических теорий.

Кантор Г. К учению о трансфинитном // Кантор Георг. Тру

ды по теории множеств. М., 1985. С. 80.

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

Свобода в образовании математических понятий относится не только к современной математике; она проявлялась и на более ранних стадиях ее развития. Комплексные числа сами по себе не соответствовали никакому опыту. Они были введены из чисто логических соображений как инструмент для решения кубических уравнений. То же самое относится к иррациональным числам, к несобственным элементам в геометрии, к не евклидовым геометриям и к иерархии бесконечностей, которая обосновывается в теории множеств. Математи ка является более свободной от опыта, чем другие науки, в том смысле, что ее понятия и принципы не имеют никаких ограничений, кроме ограничений логических, определенных требованием непротиворечивости.

Свободное развитие математики проявляется в по стоянном усложнении ее общей структуры, в появлении теорий качественно нового вида, хотя, разумеется, и свя занных с исходными теориями. Развитие математиче ского знания, как известно, началось с установления не которых математических «фактов» и связей, относящих ся к арифметике и элементарной геометрии. Следующий уровень математического знания образуют обобщения и абстракции, основанные на идеях, заключенных в тео риях первого уровня. Обычная арифметика обобщается до теории рациональных и иррациональных чисел и, на конец, до теории комплексных чисел и кватернионов. Ясно, что ни иррациональные, ни комплексные числа в отличие от чисел натуральных не являются непосред ственно данными для здравого смысла и представляют собой продукт логического конструирования и обобще ния исходных математических представлений. Наряду с обобщающими структурами в математике имеют место также структуры,абстракции, которые выделяют лишь отдельные аспекты исходной теории и исследуют зало женные в них внутренние возможности. Такова теория групп, которая появилась на основе алгебры действи тельных чисел, афинная и проективная геометрии, абстрагирующиеся от метрических отношений евклидо вой геометрии. Наряду с обобщениями и структурами абстракциями в современной математике постоянно по являются структуры,модификации, которые строятся

Глава 2. Закономерности развития математики

на основе исходных структур через сознательное изме нение одной или нескольких аксиом. Первым примером таких структур явились неевклидовы геометрии. Д. Гиль берт добавил к ним недезарговы, непаскалевы и неар химедовы геометрии. Аналогичные и весьма многобраз ные модификации возможны и в отношении арифмети ки. Возможно построение арифметики с отрицанием аксиомы индукции и иные нестандартные арифметики. Тенденция к обоснованию математики порождает осо бые структуры, которые можно назвать структурами обоснования. Сюда относится в первую очередь матема тическая логика, теория множеств и теория доказательств.

Историческое развитие математики выглядит как постоянное усложнение иерархии структур, различа ющихся степенью общности, степенью абстрактности, степенью удаленности от ее исторического центра и, в частности, степенью своей свободы или внешней де терминации. С другой стороны, появление некоторых математических теорий в очень сильной степени было определено запросами науки и практики. Это, несом ненно, относится к таким теориям, как дифференци альное исчисление, теория вероятностей, теория поля. Другие теории более свободны в том смысле, что они были мотивированы только запросами самой матема тики. К таким теориям относится, к примеру, теория групп. Появление неевклидовых геометрий было еще более свободным в том смысле, что они в отличие от теории групп не были мотивированы какимилибо содержательными задачами; их появление было обус ловлено лишь некоторым общим интересом к основа ниям геометрии, т. е. скорее математическим мировоз зрением, чем математической практикой. Наконец, можно указать значительное число теорий, которые по явились вне всяких мотивов, как структуры, построен ные по аналогии или как интересные конструкции, случайно обнаруженные при решении других задач. Таковы непаскалевы и недезарговы геометрии, введен ные Гильбертом, многозначные логики, построенные Васильевым и Лукасевичем, нестандартный анализ Ро бинсона и др. Можно утверждать, что, чем дальше раз вивается математика, тем большее место занимают в

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

ней свободные структуры, не мотивированные ни внеш ними, ни даже внутренними запросами. В этом смысле математика, несомненно, более свободна, чем опытные науки, в которых все теоретические конструкции при нимаются на основе их эффективности для опыта.

Свобода математического творчества, однако, не должна абсолютизироваться. Нужно проводить разли чие между принципиальной свободой, о которой гово рит Кантор, и реальной свободой, которая реализуется на практике. Свобода построения новых математиче ских понятияй и теорий, казалось бы, должна обеспе чивать одинаковое развитие математики по всем ее ин теллектуально интересным направлениям, независимо от их содержания. Действительная картина, однако, совсем другая. Еще в начале прошлого века А. Пуанка ре высказывал удивление по поводу того, что из тысяч трудных проблем, поставленных математиками, все они в действительности сосредоточены на решении нескольких десятков из них. Чем обусловлено такое столь радикальное сужение свободы? Ответ достаточ но очевиден. Основную роль здесь играет включен ность математики в жизнь общества и, как следствие, наличие скрытых ценностных регулятивов, которые заставляют математиков считать одни исследования важными, другие только интересными, а третьи неглу бокими или малосущественными. Это значит, что те зис об абсолютной свободе математического творчества является явно преувеличенным. Математика, как и всякая другая наука, существенно детерминирована в своем развитии задачами практики. Свобода от эмпи рического содержания в образовании математических понятий не означает независимости математики от практики и от регулятивов, соединяющих человеческое мышление с интересами практики.

Замыкание математики на потребностях практики может быть наиболее ярко доказано явлением так на зываемого математического предвосхищения, или опе режающего развития математики, которое заключает ся в том, что абстрактные математические структуры, построенные для решения сугубо внутренних матема тических проблем или даже появившиеся без всяких

Глава 2. Закономерности развития математики

запросов как некоторого рода интересные логические возможности, как правило, находят впоследствии пря мое приложение к проблемам физики и других теоре тических наук. Кантор также указывает на это обстоя тельство, говоря о применении свободно созданной теории функций в механике и астрономии. Очевидно, что эта исторически реализующаяся гармония чистой и прикладной математики както должна быть объяс нена. Мы рассмотрим эту проблему ниже в связи с анализом процесса математизации знания.

Стабилизация и кумулятивность в развитии математики

Понимание логики развития математической теории невозможно без опоры на понятие математического факта. Под «математическим фактом» следует понимать прежде всего первичные (сингулярные) высказывания о математических объектах и их связях типа «2+2=4». Такого рода истины не доказываются и не выводятся из принципов, но подобно первоначальным фактологиче ским истинам эмпирических наук должны быть приня ты как нечто совершенно первичное и безусловное. Ис тины этого типа непосредственно и с абсолютной необ ходимостью навязаны нашему сознанию системой онтологических предствлений, и они не могут быть изме нены в рамках рационального познания, имеющего дан ную категориальную структуру. В качестве математиче ских фактов следует также принять и интуитивно ясные обобщения типа «а+в=в+а». Здесь мы имеем дело уже с некоторыми абстракциями от непосредственных содержательных очевидностей, но эти абстракции тако го рода, что они не нарушают идеальной истинности абстрактных принципов. Общее суждение «а+в =в+а» не менее очевидно и не менее надежно, чем сингулярное утверждение типа «2 + 3 = 5».

К системе математических фактов относятся так же все суждения, фиксирующие результаты внутри математических процедур проверки, основанных на аподиктической очевидности. Если некто говорит, что

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

число 2 является корнем уравнения х2–5х+6=0, то он утверждает безусловно истинный факт, посколь ку истинность этого высказывания гарантируется проверкой в сфере аподиктически очевидных про цедур.

Наконец, к фактологическому основанию матема тики следует отнести все признанные математические доказательства. Если некоторое доказательство приня то как окончательное, то оно неустранимо как опреде ленная связь между суждениями в математической тео рии вне зависимости от того, являются ли посылки это го доказательства интуитивно ясными, онтологически или эмпирически значимыми. Мы переходим в матема тической теории от одних ее утверждений к другим на основе аксиом, точно так же как в эмпирической тео рии мы переходим от одних фактов к другим на основе законов (принципов). Если говорить в общем плане, то к фактологической основе математической теории мы должны отнести все утверждения, которые обоснованы в сфере аподиктической очевидности. Это и естествен но. Аподиктическая очевидность — это генетическая основа и логический фундамент любой математической теории. Вся система утверждений, будь это сингуляр ные высказвания, непосредственные их обобщения или сложные теоремы, которая строго сводится к этому фундаменту, выступает в дальнейшем развитии теории в качестве абсолютной фактологической основы, с ко торой должны быть согласованы все другие утвержде ния теории.

Математическая теория, как и всякая другая, на чинается с элементарных фактов, а именно с очевид ных высказываний относительно объектов и с установ ления простейших связей между ними, и лишь посте пенно продвигается к своим теоретическим основа ниям, к выявлению системы принципов, которая обес печивает систематическое развертывание теории в пределах известных ее результатов. Двигаясь по этому пути, мы в конечном итоге выявляем систему аксиом, адекватную содержанию теории.

Разделение принципов и фактов как различных уровней математической теории дает возможность го

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 508 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]