Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Философия математики и технических наук. Учебное пособие для вузов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 5014 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Глава 3. Проблемы обоснования математики

опирается на принципы, имеющие только психологи ческое оправдание. В идее математических объектов как мысленных конструкций заключен также реляти визм, чуждый идее абсолютно надежного обоснования.

С адекватной философской точки зрения фунда ментальность представления о натуральном ряде обус ловлена наличием идеальнопредметных представле ний как необходимой части универсальной онтологии. Всякое действование в мире связано с представлени ем об идеальном предмете, обладающем конечностью, стабильностью, изолированностью и другими качества ми, определяющими саму возможность деятельности с ним. Идея пространства определяет представление об аддитивных совокупностях таких предметов, а идея времени задает их упорядоченность в процессе счета. Натуральный ряд чисел, таким образом, это интеллек туальная конструкция, обусловленная системой уни версальных категориальных представлений и одно значно определенная на этом уровне. Фиксируя этот момент, мы освобождаемся от всякого психологизма и приходим к пониманию однозначности и непреложно сти первичных математических представлений для человеческого сознания. Натуральный ряд чисел не конструируется ни индивидуальным, ни коллективным разумом. Это идеальное видение вещей, необходимая форма видения вещей в процессе действия, навязан ная человеческому разуму в силу его деятельностной природы.

В смысле строгости обоснования программа интуи ционизма в доступной ей зоне действия находится вне критики, ибо самоочевидные конструкции разума на основе аподиктически самоочевидных предметов, ка кими являются конечные числа натурального ряда, являются предельно надежными конструкциями и не могут включать в себя противоречивых допущений. Теория онтологической истинности полностью оправ дывает интуиционистскую математику в смысле ее надежности и признает интуиционистское обоснова ние математических теорий там, где оно возможно, в качестве предельно надежного (или абсолютного) об основания.

131

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

Недостаток интуиционистской программы, как уже сказано, состоит в ограниченности ее возможностей. Охватывая арифметику и алгебру, а также и геометри ческие теории в той мере, в которой они допускают арифметическую интерпретацию, интуиционистская программа оказывается неспособной реконструиро вать основные утверждения классического анализа. Брауэр сам доказал положение о том, что важная для анализа теорема Больцано–Вейерштрасса не доказу ема в интуиционистской математике

. Причина этой ограниченности состоит прежде всего в отказе от ис пользования классической логики в полном объеме. Фактически Брауэр поставил задачу воспроизвести все содержание математики, опираясь только на собствен но математические очевидности, отказавшись от логи ки как автономного средства расширения области ис тинных математических суждений. В настоящее время следует считать хорошо обоснованным то обстоятель ство, что ни логика, ни арифметика, взятые порознь, не достаточны для того, чтобы быть основанием матема тического знания в целом.

Несмотря на это обстоятельство, было бы непра вильным полностью отказаться от круга идей, связан ных с интуиционизмом. Основная мысль Брауэра ос нована на противопоставлении содержательной и фор мальной математики, интуитивного и формального подходов к обоснованию строгости математики. Брау эр был убежден, что и принятие отдельных доказа тельств и принятие математической теории как систе мы утверждений происходит в сфере содержательных представлений и не нуждается в искусственных линг вистических приемах, к которым прибегали Фреге, Пеано, Рассел. Прояснение онтологической природы математического мышления позволяет утверждать, что по большому счету истина в этом споре находится на стороне Брауэра.

Реабилитация математического априоризма на праксеологической основе позволяет не только оправ дать интуиционистскую программу в смысле ее надеж

132

См.: Гейтинг А. Интуиционизм. М., 1965. Гл. 8.

Глава 3. Проблемы обоснования математики

ности в доступной ей области, но и наметить некото рые пути ее расширения, совместимые с надежностью обосновательного рассуждения. Мы должны отвлечь ся здесь от основной цели интуиционистской програм мы, т. е. от задачи конструктивной редукции математи ки к исходным представлениям арифметики, считая, что ее несостоятельность в этом смысле полностью дока зана, и сосредоточить свое внимание на прояснении вопроса, в какой степени интуиционистские идеи при их праксеологической интерпретации могут быть ис пользованы в деле обоснования непротиворечивости основных теорий современной математики и в какой степени программа интуиционизма может быть усиле на, исходя из более широкой трактовки непосредствен ной данности математических объектов.

Имеются основания утверждать, что праксеологи ческая трактовка самоочевидности первичных матема тических объектов и операций открывает некоторые новые возможности внутреннего обоснования матема тики, существенно родственные интуиционизму и до статочные для обоснования непротиворечивости цент ральных теорий современной математики.

Формалистская программа

обоснования математики

Теперь рассмотрим возможности формалистской программы обоснования математики, которая была предложена Д. Гильбертом. Целью обоснования мате матики является здесь не редукция математики к логи ке или к арифметике, а обоснование непротиворечи вости каждой математической теории в отдельности. Идея Гильберта состояла в том, чтобы обосновать не противоречивость одной (данной) математической тео рии на основе рассуждений другой математической теории (метатеории), которая является непротиворечи вой по самому составу своих принципов.

Мы можем понять сущность программы Гильбер та из его отношения к исследованиям Рассела и Брауэ ра. Гильберт считал, что расселовское обоснование

133

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

математики не является реализуемым, поскольку оно опирается на утверждения типа аксиомы сводимости и аксиомы бесконечности, которые не являются толь ко логическими истинами. Он был также категориче ски не согласен с подходом Брауэра, который, по его мнению, является разрушительным для математики. Вместе с тем он соглашался с Фреге и Расселом в том, что строгость математики может быть достигнута толь ко через уточнение ее языка и через прояснение логи ческой структуры теории. Гильберт, как это признано, взял у логицистов понятие строгой аксиоматизации и формализации математической теории. Он соглашал ся с Брауэром в том, что закон исключенного третьего не применим к математическим утверждениям, связан ным с актуальной бесконечностью. Как и Брауэр, он считал, что истинность математического суждения от носительно бесконечного множества не может быть проверена и вследствие этого строгая альтернатива утверждения и отрицания, выражаемая законом ис ключенного третьего, не может быть принята в каче стве безусловной нормы.

Эта установка выразилась у Гильберта в его прин ципе финитизма, согласно которому «оперирование с бесконечным может быть сделано надежным только через конечное»

. Финитизм Гильберта, однако, не столь радикален как финитизм Брауэра: если Брауэр хотел устранить актуальную бесконечность из матема тики вообще как понятие, не имеющее смысла, то Гиль берт считал возможным сохранить ее в тех пределах, в которых она допускает финитное обоснование.

Процедура обоснования математики, согласован ная с этими общими установками, предполагает фор мализацию теории, т. е. представление ее аксиом в виде формул, записанных в принятой системе логических и математических символов. Математическая теория превращается в знаковый объект, подчиненный фор мальным манипуляциям, основанным на структуре ее формул. Формализованная теория предполагает содер жательную метатеорию, которая включает в себя опи

134

См.: Гильберт Д. Избранные труды. Т. 1. М., 1998. С. 448.

Глава 3. Проблемы обоснования математики

сание структуры формализма, принципы допустимой логики и специальные правила преобразования (прин цип индукции и т. п.), допустимые в рамках данной теории. Метатеория, по замыслу Гильберта, должна быть безусловно истинной и достаточной для строгого обоснования непротиворечивости формализма. Это обоснование должно состоять в доказательстве того факта, что в рамках формальной системы в соответ ствии с правилами логики и правилами введения про изводных объектов, не может быть получено выраже ние, имеющее вид «0 = 1» или какоелибо другое про тиворечие.

Целью формалистского анализа, как и всякого другого обосновательного рассуждения, являются, ко нечно, реальные математические теории, различаю щиеся по своему содержанию и методу. Специфика формалистского подхода состоит в том, что заключе ние о непротиворечивости реальной математической теории предполагается вывести здесь доказательства из непротиворечивости ее формализованого аналога. Формалистское обоснование покоится на допущении, что непротиворечивость формализма, будучи доказан ной, гарантирует полную надежность соответствующей содержательной теории.

Успех формалистского обоснования должен обес печиваться, очевидно, надежностью метатеоретическо го доказательства. Гильберт формулирует ряд требова ний к метатеории, которые известны как принципы гильбертовского финитизма. Они могут быть сведены к следующим положениям:

1. Метатеория является синтаксической теорией в том смысле, что она имеет дело только со знаковой структурой теории и с преобразованиями, допустимы ми в этой структуре. Метатеоретическое обоснование непротиворечивости теории — это обоснование, апел лирующее только к логической форме теории и не использующее никаких допущений о содержании ее понятий и принципов.

2. Метатеория является содержательной теорией в том смысле, что она относится к формализму как к своему единственному предмету и в своих предпосыл

135

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

ках не выходит за пределы описания его самоочевид ных свойств.

3. Метатеория является финитной в том смысле, что она не имеет дела с операциями с бесконечными множествами и с математическими принципами, свя занными с допущением актуальной бесконечности.

4. Метатеория является конструктивной в том смысле, что всякое утверждение о существовании объекта в ее рамках должно быть подтверждено про цедурой его построения.

Легко видеть, что все эти требования являются необходимыми для метатеории с точки зрения понятия строгости, сформировавшегося в начале века под влия нием логицистского и интуиционистского анализа проблемы. Часто указывается, и в определенном смыс ле это верно, что Гильберт не дал полного определения метатеории, устраняющего всякие колебания относи тельно возможного ее содержания. Методологический замысел Гильберта, однако, совершенно ясен. Он со стоит в том, чтобы ограничить метатеоретическое рас суждение таким образом, чтобы оно гарантировало его максимально возможную достоверность. Метатеория должна быть способной доказывать непротиворечи вость формализованных теорий, а следовательно, и непротиворечивость соответствующих им содержа тельных теорий, независимо от их содержания.

Важно отметить, что программа Гильберта, точно так же как и программа Брауэра, опирается на идею априорности исходных представлений математики. Гильберт полагал, что ядро математики имеет внеопыт ную, априорную природу. В статье «Познание приро ды и логика» он писал: «Философы и в самом деле ут верждали, — и Кант был классическим представите лем этой точки зрения, — что помимо логики и опыта мы обладаем еще и некоторыми априорными знания ми о действительности. Я допускаю, что уже для по строения теоретических каркасов различных теорий некоторые априорные представления необходимы и что именно они всегда лежат в основе осуществления нашего знания. Я полагаю, что и математическое зна ние в конечном счете также основывается на некото

136

Глава 3. Проблемы обоснования математики

рой разновидности такого созерцательного понимания и что даже для построения арифметики нам необходи ма определенная априорная установка... По существу, она и есть та финитная установка, которую я охарак теризовал в ряде своих работ»

Для того чтобы быть безупречной, метатеория, оче видно, должна быть априорной. Гильберт, однако, счи тал, что метатеория должна иметь не философское, а внутреннее, собственно математическое содержание. Речь идет здесь о требовании, которое получило в даль нейшем название принципа отделения оснований ма тематики от ее философии. Это положение означает, что понятия и принципы метатеории должны быть строго определены на основе собственно математических кри териев. Принимая факт априорности элементарной математики, Гильберт отождествляет априорность с финитностью и формулирует требование финитности в качестве основного критерия и для метатеории. Мотив этой замены ясен: требование финитности является математическим и, несомненно, более определенным, чем понятие априорности.

В методологии формализма важное место занимает так называемая теория идеальных элементов, которая требует более детального разъяснения. Разделение иде альных и реальных элементов было введено Лейбницем для объяснения бесконечно малых величин. Лейбниц считал, что эти величины, не являясь реальными, т. е. не имея убедительной интуитивной основы, выполняют в математике роль полезных фикций, расширяющих воз можности оперирования с реальными величинами. Он относил к этим фикциям также мнимые и иррациональ ные числа. Эта идея была эффективно использована затем в методологических рассуждениях Л. Карно по обоснованию математического анализа. «В алгебре, — писал Карно, — вводят в вычисления чисто мнимые понятия, фиктивные сущности, которые не могут ни существовать, ни быть понятыми, но которые не теря ют, однако, от этого своей полезности. Их употребляют

Гильберт Д. Познание природы и логика // Гильберт Д. Изб

ранные труды. Т. 1. М., 1998. С. 461–463.

137

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

вспомогательным образом, как термины сравнения, для облегчения сопоставления истинных количеств, связь между которыми желают получить, и затем их исключа ют посредством преобразований, представляющих, так сказать, чисто механическую работу»

. Н.И. Лобачев ский, в частности, использовал эту идею для оправда ния законности «воображаемой» геометрии. Он исхо дил из того, что даже если изобретенная им новая гео метрия нигде не выполняется в реальности, она является важной для математики как средство развития матема тического анализа

Понимание идеальных элементов у Гильберта яв ляется новым в том отношении, что оно ставится здесь в зависимость от точки зрения на математический объект. Равенство «а + в = в + а» является, по Гильбер ту, реальным, если оно рассматривается в отношении бесконечного количества своих арифметических ин терпретаций, и становится идеальным, когда оно рас сматривается как лишенная смысла строчка символов в полностью формализованной теории. Такая трактов ка идеальных элементов необходима ему прежде всего для оправдания закона исключенного третьего в рас суждениях об этих элементах. Этот закон неприменим к указанной формуле в ее содержательной интерпре тации, поскольку эта интерпретация предполагает об ращения к бесконечному множеству. Но он применим к ней, когда она рассматривается как только конечная знаковая конфигурация в системе объектов того же типа. Закон исключенного третьего таким образом включается в формализованную теорию, которая пол ностью состоит из идеальных (конечных) объектов, и исключается из содержательной метатеории, обосно вывающей непротиворечивость формальной теории.

Центральное место в системе идеальных элемен тов занимает εфункция, на основе которой формули руется εаксиома, занимающая важное место в гиль бертовском подходе к обоснованию математического

М.; Л., 1933. С. 219.

138

Карно Л. Размышления о метафизике бесконечно малых.

См.: Лобачевский Н.И. Полн. собр. соч. Т. 1. М., 1946. С. 261.

Глава 3. Проблемы обоснования математики

анализа. Если мы имеем предикат А с областью опре деления {x}, то ε — функция от предиката А (обозна чим как e (А)) указывает на объект из области {x}, для которого она наверняка выполняется, если она вообще выполняется для объектов этой области. На основе этого, очевидно, неконструктивного понятия Гильберт формулирует трансфинитную аксиому имеющую вид:

А(ε(А)) → А(а),

где а — предмет, принадлежащий множеству {x}. Эта аксиома является для Гильберта важной частью метатеории, нацеленной на обоснование анализа. Оче видно, что она связана с выходом за пределы финитно сти, поскольку предполагет возможность выбора эле мента из бесконечного множества. Гильберт, однако, считает, что введение этой аксиомы не нарушает фи нитной установки, поскольку εфункция может быть исключена из окончательного доказательства непроти воречивости. Иными словами, Гильберт рассматрива ет εфункцию как идеальный метатеоретический объект, который является лишь средством достижения результата и который в конечном итоге исключается из результата и из его доказательства. Здесь мы имеем полную аналогию того процесса обоснования, о кото ром говорил Л. Карно применительно к использова нию фикций в алгебре.

Метод абсолютного обоснования непротиворечи вости формализованной теории реализуется для про стых исчислений, таких как исчисление высказываний, исчисление предикатов и абстрактная теории групп, но он оказывается неприменимым для основных тео рий, с которыми имеет дело математика. Неразреши мой оказалась уже задача обоснования непротиворе чивости формализма арифметики. Принято считать, что причины этой ограниченности полностью раскрыва ются теоремой К. Геделя о непротиворечивости (1931), которая утверждает, что если исчисление непротиво речиво и является достаточным для выражения акси ом арифметики, то его непротиворечивость не может быть доказана в финитной метатеории или в метатео рии, допускающей арифметизацию. Поскольку доста

139

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

точно очевидно, что любая финитная метатеория, на целенная исключительно на описание синтаксиса тео рии, арифметизируема, то ни арифметика, ни анализ, ни теория множеств, взятые в виде формализма, воп реки намерениям Гильберта не могут рассчитывать на обоснование непротиворечивости в финитной метатео рии. Мы должны говорить в этом случае о явном про вале программы Гильберта.

Гильберт, как известно, не соглашался с такой трактовкой результата Геделя. «...Я хотел бы подчерк нуть, — писал он, — что возникшее на определенное время мнение, будто из некоторых недавних результа тов Геделя следует неосуществимость моей теории доказательств, является заблуждением. Этот результат на самом деле лишь показывает, что для более глубо ких доказательств непротиворечивости финитная точ ка зрения должна быть использована некоторым более сильным образом, чем это оказалось необходимым при рассмотрении элементарных формализмов»

. Под усилением финитного подхода Гильберт имеет здесь в виду использование метода идеальных элементов.

Исследования Гильберта и Бернайса показывали, что метатеория, необходимая для обоснования ариф метики и анализа, должна содержать следующие акси омы.

1. Аксиомы исчисления высказываний (1–6).

2. Аксиомы равенства:

7) а = а

8) а = в → (А(а) → А(в))

3. Аксиомы числа:

9) а + 1 = 0

10) δ (а + 1) = а

4. Трансфинитная аксиома

11) А (ε(А)) →А (а)

Последняя аксиома включает в себя нефинитность, но, как уже сказано, ее предполагаемое использова ние в доказательствах обусловливается возможностью

140

Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Т. 1. М., 1982.

С. 19.

См.: Гильберт Д. Избранные труды. Т. 1. С. 419–422.

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 5014 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]