Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Философия математики и технических наук. Учебное пособие для вузов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 5016 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Глава 3. Проблемы обоснования математики

структур и, в частности, на предположении об эквифи нальном характере этой эволюции. Мы предлагаем рассматривать математические теории не как готовые структуры, данные в законченном виде, но как системы, усложняющие свою организацию применительно к определенным функциям. Мы строим здесь эпистемо логическое рассуждение, показывающее неизбежность зрелого состояния теории, достижение его абсолютной непротиворечивости, и попытаемся выявить общезна чимые признаки этого состояния.

Обоснование в процессе развития — общая черта

всех теоретических систем.

Особенность математических теорий состоит в том, что самообоснование достигает здесь предела, который проявляется в полной стабилизации принципов теории. Любая формальная структура на определенном этапе своего развития достигает законченности, стабильнос ти и абсолютной непротиворечивости своих принципов. Представляется удивительным, что, затратив массу уси лий на поиски подходов к логическому обоснованию математики, философы упустили из виду естественный процесс внутреннего вызревания математических тео рий, который ярко демонстрируется всей историей математики и каждой теорией в отдельности. Причина этого явления связана, повидимому, с общим недове рием к аргументам, выходящим за пределы строгого, собственно математического рассуждения.

Идея системного подхода к обоснованию матема тики в некоторой степени была намечена Э. Гуссер лем. В отличие от Карнапа и Витгенштейна он выходит из круга чисто логических и структурных понятий и говорит об эволюции математических представлений, которая благодаря процессу языковой коммуникации обеспечивает стабилизацию математических понятий, «окаменение» и «оседание» математических теорий в законченной форме. Гуссерль с достаточной ясностью ставит вопрос о необходимости системного и телеоло гического анализа математического мышления

. Он,

См.: Гуссерль Э. Начало геометрии // Гуссерль Э. Деррида. Начало геометрии. М., 1996. С. 210–246.

151

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

однако, никак не связывает это видение математики с проблемой ее обоснования.

Мы наметим здесь общий ход мысли, позволяющий понять разумность эволюционных аргументов при решении проблемы обоснования математики.

Математическая теория, как и теория эмпириче ская, появляется первоначально как некоторая систе ма интуитивно ясных утверждений и бесспорных ло гических связей, относящихся к определенной систе ме фактов. На этой начальной стадии мы, очевидно, не имеем еще ни полной системы принципов, необходи мых для описания объектов, ни целостности самой системы объектов, ни гарантии логической совместно сти утверждений, принятых в теории. Появление пер вой несовершенной аксиоматики устанавливает отно сительное единство утверждений, выявляет логиче скую последовательность их развертывания и позволяет сделать систему теорем более или менее обозримой и целостной. Анализ этой системы приво дит в конечном итоге к формулировке более полной и систематичной аксиоматики и т. д. Мы полагаем, что в математической теории в отличие от физической эта диалектика конечна, что она завершается полной ста билизацией аксиоматики, формулировкой ее в такой форме, которая исключает дальнейшее ее совершен ствование в плане заключенного в ней содержания. Диалектика фактов и принципов в математической теории неизбежно завершается достижением предела, выявлением системы аксиом, идеально соответствую щей содержанию теории.

Завершенность аксиоматики и завершенность до казательства тождественны в том смысле, что оба этих явления проистекают из принципиальной конечности математического мышления. Доказательство достигает полной стабилизации, общезначимости и абсолютной надежности вследствие того, что оно состоит из конеч ного числа переходов, приемлемость каждого из кото рых устанавливается в конечное время с абсолютной однозначностью. Выбор эффективного пути в множе стве аподиктически определенных возможностей все гда разрешается научным сообществом с полной одно

152

Глава 3. Проблемы обоснования математики

значностью. Логика становления математической тео рии обусловлена конечной определимостью математи ческих понятий, которая проистекает, в свою очередь, из их включенности в формальную систему. Конечная определимость математических понятий делает неиз бежным для любой математической теории достиже ние ею неколебимого (абсолютного) основания, кото рое недостижимо для теорий, имеющих дело с факта ми опыта.

Приближаясь к стадии завершенности, система аксиом приобретает ряд свойств, которые могут слу жить признаками этой стадии и ее более детальным определением. Среди этих свойств наиболее важными являются: полнота, минимальность и элементарность. Под полнотой аксиоматики мы будем понимать здесь достаточность ее для логического представления при знанного содержания теории. Такое понимание полно ты, конечно, не тождественно логическому или метатео ретическому определению этого понятия. В логическом определении полнота аксиоматики в большинстве слу чаев принципиально не достижима, и мы можем гово рить о полноте в этом смысле только относительно самых простых теорий. В методологическом смысле, напротив, полнота всегда достижима, ибо каждая ма тематическая теория в процессе своего вызревания до стигает такого состояния, когда ее аксиоматика при знается достаточной для воспроизведения всего зна чимого ее содержания и адекватной ей в том смысле, что само это содержание мы начинаем определять через указание на аксиоматику. Полнота в этом смыс ле не имеет точного логического определения, но тем не менее она совершенно однозначно фиксируется математическим сообществом и является важнейшим признаком завершенности аксиоматики и зрелости теории.

Методологическая полнота — не продукт произ вольного установления. Хотя аксиоматика арифмети ки логически неполна и допускает в принципе неогра ниченное пополнение, никто из математиков не идет по пути ее расширения. Причина этого факта заклю чается в требованиях внутренней детерминации мате

153

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

матических объектов, которая имеет объективный ха рактер. Мы продолжаем вводить новые аксиомы лишь до тех пор, пока очевидные свойства и связи объектов, данные с аподиктической очевидностью, не получат полного объяснения. Из конечности значимых свойств первичных объектов проистекает эпистемологическая конечность содержания аксиом и практическая замк нутость или полнота аксиоматики.

Приобретая полноту, аксиоматика вместе с тем приобретает и свойство минимальности, или необхо димости. Обе эти тенденции связаны в том плане, что они обусловлены одними и теми же факторами совер шенствования структуры математической теории: прак тическое использование аксиом в одинаковой степени стимулирует как раскрытие еще недостающих, так и устранение избыточных допущений, которые до опре деленного времени могут присутствовать в аксиома тике. Обе эти тенденции родственны в том смысле, что они в конечном итоге достигают своей полной факти ческой реализации. Мы имеем основания думать, что аксиоматика, принятая научным сообществом как до статочная, является вместе с тем и свободной от внут ренних излишеств, т. е. абсолютно необходимой, или минимальной. Система аксиом геометрии, первона чально предложенная Гильбертом, как известно, стра дала рядом недостатков: она содержала, в частности, лишнюю аксиому инцидентности и избыточные допу щения относительно конгруэнтности. В настоящее вре мя обнаружение такого рода дефектов в этой аксиома тике, конечно, исключено.

Завершенная система аксиом обладает также ка чеством, которое можно назвать элементарностью. Аксиома является элементарной, когда она формули руется исключительно в первичных понятиях и не требует для своей формулировки никаких производных определений. Аксиоматика арифметики является эле ментарной в этом смысле. При формулировке геомет рических аксиом нам приходится прибегать к поняти ям треугольника и прямого угла, которые не относятся к первичным понятиям аксиоматики. Общая логика построения математической теории требует сведения

154

Глава 3. Проблемы обоснования математики

системы аксиом к максимальной элементарности, к максимальному исключению из системы аксиом, сфор мулированных через производные понятия.

Мы будем называть аксиоматику завершенной, если она обладает свойствами полноты, минимальности и элементарности в указанном смысле этих характерис тик. Теорию, достигшую уровня завершенной аксиома тики, будем называть хорошо аксиоматизирован3 ной теорией, или зрелой теорией. Общезначимым кри терием завершенности системы аксиом является ее историческая стабильность, выражающаяся в факти ческом прекращении процесса изменений в ее соста ве, влияющих на ее дедуктивные возможности, и в принятии ее математическим сообществом как адекват ной содержанию теории. Аксиоматика арифметики, евклидовой геометрии, теории вероятностей является с этой точки зрения, конечно, полностью завершенной, а сами эти теории, несомненно, относятся к классу зре лых, или хорошо аксиоматизированных, теорий.

Это соображения должны быть поняты прежде всего как определенная теория развития математики, позволяющая нам увидеть процесс обоснования мате матических теорий с точки зрения их естественной эволюции. Эта теория позволяет нам понять, что не противоречивость математических теорий создается не их логическим анализом, а объективным процессом их самообоснования. Из системных соображений пред ставляется совершенно ясным, что абсолютная непро тиворечивость математической теории — не некий недостижимый идеал, а необходимая форма бытия всякой достаточно зрелой формальной теории и что все возникающие в математике противоречия и парадок сы — лишь проявление начального этапа ее становле ния. При таком подходе мы хорошо понимаем тот факт, что неудачи программ обоснования не имеют прямого отношения к реальной строгости математического мышления, которая создается и поддерживается не внешним логическим анализом, а внутренними меха низмами самообоснования. Системная идеология по зволяет нам, в частности, понять необоснованность утверждений, что современная математика якобы ут

155

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

рачивает идеалы строгости, присущие предшествую щим этапам ее развития

Системные соображения, будучи отнесенными к конкретной теории, могут также играть роль ее логиче ского обоснования. Общая идея системного обоснования математической теории состоит в том, чтобы факт ее системной завершенности связать со свойством ее не противоречивости, вывести из первого второе. Здесь возникает ряд проблем. Первая из них относится к одно значности признаков завершенной аксиоматики. Имеем ли мы основание считать аксиоматику теории множеств в системе аксиом ЦермелоФренкеля (ZF) завершенной и абсолютно непротиворечивой на том основании, что разработка этой теории в течение столетия не выявила никаких противоречий? Необходимость утвердительно го ответа на этот вопрос не вызывает сомнений, но этот ответ должен быть мотивирован на основе некоторых объективных признаков. Вторая трудность состоит в установлении тождества между завершенностью и не противоречивостью математической теории, правомер ности заключения от первого ко второму. Известно, что сформировавшийся кристалл может иногда содержать дефекты в своей структуре. Если сравнивать формиро вание математической теории с ростом кристалла, то мы должны показать, что дефекты в форме внутренних про тиворечий не совместимы с фактом завершенности ак сиоматики. Здесь возникает также вопрос о качестве на дежности всего рассуждения, ибо очевидно, что оно не будет строгим с точки зрения метатеоретического и во обще математического рассуждения. Метатеория здесь заменяется некоторого рода эпитеорией, которая наряду с логическими фактами, вытекающими из строгого ана лиза аксиоматических систем, будет опираться также и на чисто философские (метафизические) допущения, ка ким является, к примеру, предположение о стабильнос ти системы математических фактов или утверждение о минимальности завершенной аксиоматики. Проблема со стоит в том, чтобы показать, что такого рода эпитеорети

Эта идея последовательно проводится М. Клайном. См.:

Клайн М. Математика. Утрата определенности. М., 1994.

156

Глава 3. Проблемы обоснования математики

ческое, т. е. заведомо содержательное, рассуждение мо жет быть доказательным.

Эти трудности в принципе, видимо, устранимы. Завершенность аксиоматики является для математи ческого сообщества ничуть не менее определенным и однозначно воспринимаемым фактом, чем завершен ность некоторого признанного доказательства. Анализ логики развития математической теории показывает, что противоречия в ней будут систематически возни кать до тех пор, пока не будут устранены порождаю щие их неадекватные определения. В этом плане факт длительного отсутствия противоречий в ZF и наблюда емая стабильность этой системы аксиом говорят о достижении ею стадии завершенности и абсолютной непротиворечивости. Для оправдания доказательности системных доводов мы должны оставить предрассудок, согласно которому надежная дедукция возможна лишь на уровне формализации

Роль философии в решении проблемы

обоснования математики

Проблема обоснования математики была постав лена в начале ХХ в. в связи с появлением парадоксов в логике и теории множеств и содержала в себе две основные задачи: в узком смысле она состояла в том, чтобы найти способ избавиться от существующих па радоксов без разрушения сложившихся теорий, в бо лее широком — найти общие принципы построения математических теорий, гарантирующие их непроти воречивость. В первом плане проблему можно считать решенной, поскольку в рамках логического анализа строго доказано, что известные типы парадоксов не могут появиться в основных аксиоматических пред ставлениях теории множеств. Проблема обоснования в широком смысле еще не получила признанного раз

О проблеме надежности содержательной дедукции см.: Пер3 минов В.Я. Философия и основания математики. М., 2001. С. 283–

287.

157

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

решения, и в настоящее время становится все более ясным, что ее решение лежит за пределами чисто ло гического подхода.

Первоначальное понимание проблемы обоснования было сориентировано преимущественно на логический анализ. Предполагалось, что эта проблема должна быть решена внутри самой математики через самоочевидную редукцию ее содержания к некоторому известному и безупречному основанию. Такая установка исключала существенное вмешательство философии в практику обоснования. Первые программы обоснования матема тики были в достаточной степени антифилософичными. Там, где философских проблем нельзя было избежать, их решение заменялось некотороого рода догматиче скими допущениями типа того, что конструктивное до казательство несомнено достоверно, а геометрическая очевидность не вполне надежна и т. п. Авторы программ обоснования не прилагали особых усилий по уточнению такого рода допущений. Вся ставка была сделана на уточнение собственных оснований математики и необ ходимых логических средств.

Прямым следствием такого сугубо логического взгляда на проблему обоснования было то, что все возможности обоснования были сведены к реализации трех известных программ — логицизма, интуициониз ма и формализма, которые, как казалось, исчерпывали собой все приемлемые подходы к ее разрешению. Это ограничение естественно, если установка на внутрен нее обоснование принята как безусловно истинная. Мы можем обосновать математику либо ее редукцией к логике, либо редукцией к арифметике, либо редукцией к метатеории как несомненной части математики, ко торую Гильберт выделил в соответствии с критерием финитности. Если мы исключаем геометрию из сферы полной надежности, то все сферы аподиктической очевидности, к которым логическая редукция представ ляется вообще возможной, исчерпаны и других подхо дов не существует.

Современное состояние философии математики, как уже было сказано, существенно определено поло жением о невозможности строгого обоснования мате

158

Глава 3. Проблемы обоснования математики

матики. Для многих философов и математиков эта си туация явилась поводом для утверждения прямолиней ного эмпиризма, отождествляющего математику с опытными науками как в плане природы исходных представлений, так и в плане логики их развития. За дача абсолютного обоснования математической теории объявляется теперь иллюзией и пережитком фунда ментализма.

Здесь допускаются по крайней мере две ошибки. Во первых, из невозможности обоснования непротиворечи вости математических теорий никак не следует, что они противоречивы или тяготеют к противоречивости в сво ем развитии. Из слабости методов в определении неко торого качества, очевидно, нельзя заключать о его отсут ствии. Как это ни странно, но философы до сих пор явно склоняются к такой ошибочной логике, истолковывая поражение программ обоснования как свидетельство релятивности математики и ее родства с науками эмпи рическими и т. п. Вовторых, из невозможности строгого обоснования в рамках конкретных программ никак не следует невозможность других подходов, способных осу ществить такое обоснование.

Значительную роль в становлении этих заблужде ний сыграла, повидимому, позитивистская дихотомия опыта и логики. С позиций этой дихотомии, если мате матика не может быть обоснована логически, то она может быть обоснована только в опыте. Это, однако, заблуждение. Отказ от прямолинейных логических редукций должен вести нас не к опыту, а к онтологии, не к скептицизму, а к более глубокому фундаментализ му, основанному на идее онтологической истинности и системности.

Мы выяснили, что любая теоретическая система обосновывает сама себя в процессе своего развития и применения. Особенность математической теории со стоит в том, что она обосновывает себя абсолютно, она достигает внутренней организации, не подлежащей изменению и обладающей полной логической совмест ностью. Это значит, что математика всегда была и остается предельно обоснованной наукой. Это обстоя тельство является глубинной основой обычного дове

159

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

рия ученых к математическим методам, а также и из вестного равнодушия к обосновательным проблемам. Они исходят из того, что никакие парадоксы не спо собны разрушить сложившуюся структуру теории и не могут стать опасными для ее основных утверждений. Рассмотрение системной логики оправдывает эту сти хийную веру математиков как рациональную, проис текающую из сущности математического мышления.

В этом плане становится предельно ясной полная несостоятельность понимания парадоксов как кризи са, угрожающего самому существованию математики, которое имело место в начале века. Настроение кризи са ясно выражено в известных словах Гильберта: «Где же тогда искать надежность и истинность, если даже само математическое мышление дает осечку?»

В на стоящее время мало кто понимает ситуацию столь дра матически: сообщество математиков стихийно перешло к другому, более спокойному видению ситуации. Сис темный анализ дает теоретическое обоснование несо стоятельности первоначального страха перед парадок сами. Мы выяснили, что все противоречия зрелой математической теории относятся к ее периферии, к точкам ее роста и в принципе не могут сказаться на ее исторически оправданном фундаменте. С этой точки зрения в значительной мере теряет смысл и само по нятие кризиса в основаниях математики. Это понятие в настоящее время имеет преимущественно историчес кий и психологический смысл: оно отражает восприя тие парадоксов математическим сообществом начала XX в.

Изложенное понимание оснований математиче ского мышления устраняет все типы математического релятивизма. Мы, безусловно, отвергаем эмпирический скептицизм в отношении математики, проистекающий из отождествления математических и эмпирических понятий. Регресс в бесконечность — ложная идея, не критически перенесеная в философию математики из теории эмпирического знания. В действительности, каждая математическая теория имеет неразрушимый

160

Гильберт Д. Избранные труды. Т. 1. С. 438.

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 5016 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]