Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Философия математики и технических наук. Учебное пособие для вузов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 5028 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 > Следующая >>>

Глава 4. Философские проблемы теории вероятностей

литературе получает идея о возможности и правомер ности существования в науке и практике не одной, а одновременно нескольких интерпретаций вероятнос ти. Данный подход существенно опирается на формаль ноаксиоматическое построение теории вероятностей и на методологическое различие теории и ее интерпре тации. С точки зрения аксиоматического подхода ве роятность р(а,b) — это двухместная функция, неотри цательная мера на некотором пространстве, подчинен ная определенному условию нормировки (мера всего пространства равна единице). Математические свой ства вероятности задаются с помощью следующих аксиом.

1. 0Jp(a,b)I1.

2.p(a+b)=p(a)+p(b) (a и b – независимые, исклю

чающие друг друга события).

3.p(a · b)=p(a) · p(b).

4.p(a+a)=1 (вероятность необходимого события).

5.p(a · a)=0 (вероятность невозможного события).

Как известно, любая формальная теория в прин ципе может иметь сколь угодно большое число содер жательных интерпретаций. Единственным требовани ем к каждой из таких интерпретаций является то, что она должна удовлетворять аксиомам теории. Например, в начале ХХ в. Д. Гильберт, построив формальноак сиоматизированную систему эвклидовой геометрии, показал, что при таком подходе под точкой, прямой и плоскостью содержательно можно подразумевать са мые разные вещи. И все они будут законными, если будут удовлетворять аксиомам геометрии. Например, под точками можно подразумевать тройки чисел, под прямыми — линейные уравнения, под плоскостями — систему линейных уравнений. Такая аналитическая, очевидно непространственная интерпретация основ ных понятий геометрии является тем не менее столь же законной, сколь и привычная пространственная интерпретация «точки», «прямой» и «плоскости».

Мы считаем, что аналогичная ситуация имеет ме сто с аксиоматической теорией вероятностей и различ ными возможными содержательными интерпретация ми «вероятности». Все они одинаково законны, посколь

271

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

ку удовлетворяют аксиоматическому определению ве роятности. Все они одинаково реальны, поскольку имеют определенную сферу применения. Наконец, все они неуниверсальны, поскольку ни одна из них удов летворительно и полностью не «покрывает» все кон тексты употребления категории «вероятность» в науке, повседневной жизни и практической деятельности. Таким образом, в целом между рассмотренными выше интерпретациями вероятности имеет место отношение не логического исключения, а скорее — дополнитель ности.

272

Глава 5

ФИЛОСОФСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

Введение

Облик математики, неоднозначный на всем протя жении ее истории, еще более усложнился в последние полвека. В математике развиваются не только тради ционные дисциплины, но возникло и много новых об ластей исследования. Это обусловлено как дальнейшим развитием самой математики, так и развитием вычис лительной техники. При этом широко развивается проблематика, связанная с применением вычислитель ной техники к решению задач различных областей науки. Как отмечал акад. А.Н. Тихонов, «ЭВМ измени ли подход к применению математики как метода ис следования. Они вызвали переориентацию многих сло жившихся направлений математики и развитие ряда новых»

тематическая физика, вычислительные методы, авто матизация научных исследований, вычислительные технологии и моделирование, нелинейные динамиче ские системы и процессы управления, оптимальное уп равление, системный анализ, математическая статис тика, исследование операций, математические методы

Можно назвать такие области математики, как ма

Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. Рассказы о прикладной мате

матике. М., 1979. С. 10.

273

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

прогнозирования, квантовая информатика, математи ческая кибернетика, автоматизация систем вычисли тельных комплексов, алгоритмические языки, систем ное программирование, открытые информационные технологии, компьютерная графика и мультимедиа, математические проблемы компьютерной безопасно сти, актуарная математика и др.

На заре развития новой математики известный советский физик, специалист по атомной физике и физике плазмы акад. Л.А. Арцимович писал: «Одним из главных факторов, которые должны определять раз витие точных наук и их технических приложений в бли жайшее десятилетие, будет применение современной машинной математики, детища науки и техники. Воз никновение этой новой могучей методики следует счи тать самым крупным событием во всей новейшей ис тории математики, если только сами математики захо тят признать вычислительные машины своим детищем. С помощью методов классического математического анализа можно было решать только очень ограничен ный круг простейших задач из области физики, меха ники, аэродинамики, астрономии, различных областей техники. В некоторой степени именно в силу этой причины математики в течение целого столетия долж ны были пребывать в разреженной атмосфере чистого разума и логических структур, нигде не соприкасаю щихся с реальной действительностью.

Положение радикально изменилось за последние десять–пятнадцать лет, когда появились быстродей ствующие вычислительные машины. Очевидно, роль и значение машинной математики будут в дальнейшем быстро возрастать, а ее научные и технические осно вы быстро развиваться. Конечно, не следует понимать это развитие как одно лишь усовершенствование са мих вычислительных машин. Это была бы крайне упрощенная и вульгарная точка зрения. Ничуть не меньшее, а может быть, и большее, значение имеет раз витие и углубление того научного фундамента, на ко тором строятся методы современной машинной мате матики. Таким образом, и в математике, во всяком случае, с точки зрения физика или инженера, проис

274

Глава 5. Философские проблемы прикладной математики

ходят такие события, которые эквивалентны револю ции в целях и методах исследования»

Существуют различные определения цивилизации XX в., такие как космический век, атомный век, век кибернетики, и среди них не последнее место занима ет определение двадцатого века как эры всеобщей математизации. Математические расчеты проникли в самые различные области науки, техники, в экономи ку, управление и другие сферы человеческой деятель ности.

Это и традиционные области приложения матема тики, и такие области, где математика стала использо ваться совсем недавно. Математические концепции, применяемые в них, стали значительно разнообразнее, чем в недавнем прошлом. Расширение потока матема тизации во многом было связано с развитием вычис лительной техники и усилением ее возможностей. Это выразилось в бурном развитии приложений математи ки, прикладной математики и информатики.

Временами вера в большие возможности матема тики приводила к тому, что ее стремились применить и там, где это не было необходимо. Постепенно воз никло понимание того, что математизация всех видов человеческой деятельности является не только не обя зательной, но часто и не оправданной (например, в сфе ре наук о духе). Вместе с тем стало возможным и не обходимым использовать математику для решения ог ромного класса практических задач, с которыми постоянно сталкивается человек в реальной жизни. Математика вышла из идеального мира математиче ских абстракций на огромные просторы жизненного мира.

Благодаря развитию математического инструмен тария в сферу науки вовлечены исследования объек тов, обладающих целостностью сложносистемного ха рактера. Характер научных проблем, обсуждаемых в этой области науки, своеобразен как по отношению к естественнонаучным, так и к техническим дисципли

Арцимович Л.А. Избранные труды. Атомная физика и физика плазмы. М., 1978. С. 253.

275

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

нам. Проблемы и их решения ориентированы здесь на получение такого знания, которое было бы эффектив ным и с познавательной, и с практической точки зре ния. Такое требование технических наук, как практи ческая эффективность исследования, здесь выступает как одно из основных. В отличие от традиционного естествознания в этой области науки понятие цели выступает как равноправное по своему статусу с дру гими научными понятиями, такими как модель, функ ция, программа, алгоритм, скорость, масса, энергия и т. п. Как писали Р. Акофф и Ф. Эмери, «с появлением кибернетики, теории информации, инженерной теории связи, теории ЭВМ, общей теории систем, системотех ники, исследования операций и сопряженных с ними научных и инженерных направлений возросло уваже ние к таким телеологическим понятиям, как функция и

цель»

Методологические проблемы исследования

операций, методов

управления и системного анализа

Показательной в этом отношении является срав

нительно молодая область математики – исследова ние операций. Рассмотрим характерные ее черты. Современная наука уделяет все большее внимание организации и управлению. Практика приводит к не обходимости анализа сложных целенаправленных про цессов под углом зрения их структуры и организации. От науки требуются рекомендации по оптимальному управлению такими процессами. Сегодня для выработ ки такого управления требуется научный подход, ибо реальность стала слишком сложной для того, чтобы для ее понимания было достаточно одного здравого смыс ла и прежнего опыта управления простыми система ми. Потребности практики вызвали к жизни специаль ные научные методы, которые объединены под назва

276

Акофф Р., Эмери Ф. О целеустремленных системах. М., 1974.

Глава 5. Философские проблемы прикладной математики

нием «исследование операций». Под исследованием операций с этих пор стало пониматься применение математических методов для обоснования решений в различных областях целенаправленной человеческой деятельности. Под «решением» понимается выбор од ной возможности из ряда возможностей, имеющихся у организатора, управленца, лица, принимающего ре шение.

Решения, как известно, бывают плохими и хоро шими, обоснованными и произвольными. Необходи мость принятия решений так же стара, как само чело вечество; человек постоянно должен принимать реше ния и в повседневной жизни и в профессиональной деятельности. Например, каким видом транспорта вос пользоваться? Руководитель предприятия тоже должен постоянно принимать решения: как распорядиться имеющейся рабочей силой? Какие типы работ выпол нить в первую очередь? И т. д. Означает ли это, что, принимая подобные решения, человек занимается «ис следованием операций»? Нет, пока не значит

. Иссле дование операций начинается тогда, когда для обосно вания решений применяется тот или другой математи ческий аппарат. До поры до времени решения в любой области практики принимаются без специальных ма тематических расчетов, на основе опыта и здравого смысла.

Часто решения являются ответственными и глав ное — сложными. Пусть, например, организуется рабо та общественного транспорта в новом городе с сетью предприятий, жилыми массивами и т. д. Необходимо принять ряд решений: по каким маршрутам и какие транспортные средства направить? В каких пунктах сде лать остановки? Как изменять частоту следования машин в зависимости от времени суток? И т. д. Разумно будет, если решения подкреплены математическими расчета ми. Можно взять более яркий пример. Пусть речь идет об отведении части стока северных рек в засушливые зоны. Допустимо ли здесь произвольное, «волевое» ре

См.: Венцель Е.С. Исследование операций. Задачи. Принци

пы. Методология. М., 1980.

277

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

шение, или же необходима серия предварительных рас четов по математическим моделям? Очевидно, что необ ходимы тщательные, многосторонние расчеты. Научные методы позволяют заранее оценить последствия каждо го решения, заранее отбросить недопустимые варианты и рекомендовать наиболее удачные; установить, доста точна ли имеющаяся у нас информация для правильного выбора решения, и если нет — какую информацию нуж но получить дополнительно.

Специфика этой области исследований отчетливо проявляется в ряде типичных для нее задач. Рассмот рим некоторые из них. Несмотря на некоторую упро щенность постановки, они дадут представление о том, каков предмет и каковы цели исследования операций.

1.План снабжения предприятий.

Имеется ряд предприятий, потребляющих извест ные виды сырья, и есть ряд сырьевых баз, которые могут поставлять это сырье предприятиям. Базы свя заны с предприятиями какимито путями сообщения (железнодорожными, водными, автомобильными, воз душными) со своими тарифами. Требуется разработать такой план снабжения предприятии сырьем (с какой базы, в каком количестве и какое сырье доставляется), чтобы потребности в сырье были обеспечены при минимальных расходах на перевозки.

2.Постройка участка магистрали.

Сооружается участок железнодорожной магистра ли. В нашем распоряжении находится определенное количество средств: людей, строительных машин, ремонтных мастерских, грузовых автомобилей и т. д. Требуется спланировать строительство (т. е. назначить очередность работ, распределить машины и людей по участкам пути, обеспечить ремонтные работы) так, что бы оно было завершено в минимально возможный срок.

3. Продажа сезонных товаров.

Для реализации определенной массы сезонных товаров создается сеть временных торговых точек. Требуется выбрать разумным образом число точек, их размещение, товарные запасы и количество персона ла на каждой из них так, чтобы обеспечить максималь ную экономическую эффективность распродажи.

278

Глава 5. Философские проблемы прикладной математики

4.Снегозащита дорог.

В условиях Крайнего Севера метели, заносящие снегом дороги, представляют серьезную помеху дви жению. Любой перерыв движения приводит к эконо мическим потерям. Существует ряд возможных спо собов снегозащиты (профиль дороги, защитные щиты и т. д.), каждый из которых требует известных затрат на сооружение и эксплуатацию. Известны господству ющие направления ветров, есть данные о частоте и интенсивности снегопадов. Требуется разработать наи более экономически эффективные средства снегозащи ты (какую из дорог, как и чем защищать) с учетом потерь, связанных с заносами.

5.Противолодочный рейд.

Известно, что в некотором районе морского театра военных действий находится подводная лодка против ника. Группа самолетов противолодочной обороны получила задание: разыскать, обнаружить и уничтожить лодку. Требуется рационально организовать операцию (рейд): выбрать маршруты самолетов, высоту полета, способ атаки так, чтобы с максимальной уверенностью обеспечить выполнение боевого задания.

6.Выборочный контроль продукции.

Завод выпускает определенного вида изделия. Для обеспечения их высокого качества организуется сис тема выборочного контроля. Требуется разумно орга низовать контроль (т. е. выбрать размер контрольной партии, набор тестов, правила браковки и т. д.) так, чтобы обеспечить заданный уровень качества при минимальных расходах на контроль.

7.Медицинское обследование.

Известно, что в какомто районе обнаружены слу чаи опасного заболевания. С целью выявления заболев ших (или носителей инфекции) организуется медицин ское обследование жителей района. На это выделены материальные средства, оборудование, медицинский персонал. Требуется разработать такой план обследова ния (число медпунктов, их размещение, последователь ность осмотров специалистами, виды анализов и т. д.), который позволит выявить максимальный процент за болевших и носителей инфекции.

279

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

8.Библиотечное обслуживание.

Крупная библиотека обслуживает запросы, посту пающие от абонентов. В фондах библиотеки имеются книги, пользующиеся спросом, книги, на которые тре бования поступают реже, и, наконец, книги, почти ни когда не запрашиваемые. Имеется ряд возможностей распределения книг по стеллажам и хранилищам, а также по диспетчеризации запросов с обращениями в другие библиотеки. Нужно разработать такую систему библиотечного обслуживания, при которой запросы абонентов удовлетворяются в максимальной мере.

Приведенные примеры дают возможность пред ставить себе характерные особенности задач исследо вания операций. Хотя примеры относятся к самым различным областям деятельности, в них просматри ваются общие черты. В каждом из них речь идет о некотором мероприятии, преследующем определенную цель. Заданы некоторые условия, характеризующие обстановку (в частности, средства, которыми мы можем распоряжаться). В рамках этих условий требуется при нять такое решение, чтобы задуманное мероприятие было в какомто смысле наиболее выгодным. В соот ветствии с этими общими чертами вырабатываются и общие приемы решения подобных задач, в совокупно сти составляющие методологическую схему и аппарат исследования операций.

С ростом масштабов и сложности мероприятий математические методы обоснования решений приоб ретают все большую роль. Работа небольшого аэродро ма вполне может быть обеспечена силами одного опыт ного диспетчера; работа крупного аэропорта требует автоматизированной системы управления, работающей согласно четкому алгоритму. Выработка такого алгорит ма всегда основывается на предварительных расчетах, т. е. на исследовании операций.

Основным понятием науки «исследование опера ций» является понятие операции. Операцией называ ется всякое мероприятие (система действий), объеди ненное единым замыслом и направленное к достиже нию какойто цели (все мероприятия, рассмотренные выше, являются «операциями»).

280

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 5028 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]