Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1329 вузов, 5502 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Философия математики и технических наук. Учебное пособие для вузов

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
08.09.2026
Размер:
2 Мб
Скачать
☆
Глава 4. Философские проблемы теории вероятностей
собственно математических предпосылок и результатов с содержательными, относящимися к различным областям общественной жизни, все более и более отделяло теорию вероятностей от других математических дисциплин. Раз личие между теорией вероятностей и другими математи ческими теориями в аспекте обоснованности результатов и применений особенно остро стало осознаваться после того, как анализ бесконечно малых получил строгое об основание (Коши, 1821 г.). Все это в конце концов привело большинство математиков (прежде всего в Западной Ев ропе) к отказу от признания за теорией вероятностей ста туса математической дисциплины. Но прежде теории ве роятностей суждено было пройти бурный период, в кото ром причудливо сочеталось получение интересных математических результатов и обоснованные их приме нения с наивными, а то и нелепыми с современной точки зрения попытками приложения теории к «моральной» проблематике. Этот период в истории теории вероятнос тей принято называть классическим, и связан он прежде всего с именами Муавра, Лапласа и Пуассона, с одной стороны, и петербургских математиков Чебышева, Ляпу нова и Маркова — с другой.
В предисловии к своему трактату Монмор, говоря о различных приложениях теории вероятностей (в частности, в азартных играх), замечает: «В этом трак тате я в первую очередь имел в виду удовольствие математиков, а не пользу игроков; по нашему мнению, те, кто теряет на игры время, вполне заслуживает (того, чтобы. — Авт.) терять в них свои деньги»
92
. Таким об разом, у Монмора, как и, впрочем, у Я. Бернулли, соб ственно математические интересы еще превалируют над желанием применить теорию вероятностей к проб лемам реальной жизни, особенно если эти приложе ния недостаточно обоснованы. Азартные игры здесь рассматриваются не для того, чтобы разработать их теорию, создать новые правила и т. п., а потому, что они являются прекрасной наглядной моделью вероятност ных проблем. При этом особенно важно подчеркнуть, что новые математические понятия вводятся в соответ
92
Цит. по: Майстров Л.Е. Теория вероятностей... С. 92.
201
Часть I. Философские проблемы математики и информатики
ствии с логикой прежде всего математического иссле дования, для успешного преодоления математических трудностей, но не потому, что введение новых понятий необходимо для, скажем, отражения некоторых аспек тов человеческой психики, имеющих значение в свете анализа процесса азартной игры.
Позже, однако, возникло теоретиковероятностное понятие, отражающее, по замыслу ряда ученых, мате матически почти неуловимые аспекты реальных ситуа ций, прежде всего в области психологии, этики, юрис пруденции. Речь идет о понятии «морального», или «нравственного», ожидания.
Понятие морального ожидания вводится по анало гии с понятием математического ожидания, которым фактически пользовались уже основатели теории ве роятностей. Однако ряд ученых высказывали мнение, что это понятие неадекватно отражает ряд жизненных ситуаций, и поэтому необходимо наряду с ним введе ние нового понятия — морального ожидания. Так, французский естествоиспытатель Ж.Л. Бюффон, рас сматривая классическую задачу из области азартных игр (игру в кости), замечал, что если два человека, иг рающие в кости на половину своего состояния, имеют вначале по 100 талеров, то, поскольку выигравший уве личивает свое состояние на 1/3, а проигравший умень шит его в два раза, игра является невыгодной для иг роков по своей сущности. Для адекватного математи ческого описания данной ситуации он и предлагает ввести понятие нравственного ожидания. В отличие от математического ожидания численное значение мо рального ожидания (в данном конкретном случае) за висит не только от суммы выигрышей и соответствую щих им вероятностей, но и от начального капитала играющих, точнее, от отношения ожидаемого прира щения капитала (выигрыша) ко всему капиталу.
Бюффон понимает, что его подход существенно отличается от принятых в теории вероятностей допуще ний, но тем не менее, желая «приблизить» выводы тео рии вероятностей к реальности, настаивает на введе нии нового понятия. Так, в работе «Опыт моральной арифметики» он пишет: «Скупой похож на математика;
202
Глава 4. Философские проблемы теории вероятностей
тот и другой ценят деньги по внутреннему их достоин ству; рассудительный же человек не разбирает, какова их условная ценность, а видит только выгоды, которые может извлечь из них. Он рассуждает основательнее скупого и чувствует лучше математика. Талер, отложен ный бедным для внесения законной повинности, и та лер, дополняющий мешки ростовщика, в глазах скупого и математика имеют одинаковую ценность: первый присвоит себе каждый из них с равным наслаждением, второй будет считать их двумя равными единицами; между тем человек рассудительный оценит в золотую монету талер бедного и в грош талер ростовщика»
93
Позднее Лаплас, обсуждая понятие нравственного ожи дания, отмечал, что человек, который лишен какоголибо имущества, обладает чемто равносильным некоторому капиталу. Если это не так, считал Лаплас, то непонятно, почему такой человек не соглашается взять некоторую небольшую сумму с условием после ее растраты полно стью отказаться от всяких средств к существованию. Однако данное разъяснение не только не проясняет сути дела, но чрезвычайно осложняет использование этого понятия. Дело в том, что величина нравственного ожи дания, по определению, зависит от фактически имею щегося капитала, поэтому пояснения Лапласа помимо его желания дискредитируют это понятие. Но несмотря на расплывчатость понятия нравственного ожидания, искусственный характер его введения, оно серьезно рассматривалось в работах таких математиков, как Д. Бернулли, Лаплас, Пуассон и многих других. Попыт ки использования понятия нравственного ожидания в работах математиков XVIII–XIX вв. как нельзя лучше характеризуют состояние логических оснований теории вероятностей, неопределенность статуса этой науки, не достаточную разработанность ее философскометодоло гических предпосылок.
Ученые, пытавшиеся найти применение понятию нравственного ожидания, как правило, были убежде ны во всеобщей приложимости теории вероятностей, в особенности к так называемым «моральным пробле
.
93
Цит. по: Майстров Л.Е. Теория вероятностей... С. 143.
203
Часть I. Философские проблемы математики и информатики
мам». Так, один из первых апологетов этого понятия, Д. Бернулли, писал: «Совершенно бесспорно, что в наше время благороднейшее учение об искусстве де лать предположения находится в пренебрежении или недооценивается. А между тем оно помогает разрешать весьма многие вопросы из области морали и политики, извлекать максимальную пользу из человеческих по ступков и предусмотрительно их направлять»
94
.
В 1760 г. Д. Бернулли пишет работу «О пользе ос попрививания», в которой на основе применения в тео рии вероятностей анализа бесконечно малых пытается ответить на вопрос, волновавший тогда широкую обще ственность. В ней Д. Бернулли утверждает, что оспо прививание полезно, ибо, согласно расчетам, основан ным на вероятностных соображениях, оно увеличивает среднюю продолжительность жизни на 3–4 года. Од нако уже в том же году, еще до выхода работы Д. Бер нулли в свет, выдающийся французский математик Даламбер, выступая в Академии наук, показал несосто ятельность выводов Бернулли. Оценивая идеи Бернул ли с точки зрения человека, который вероятную выгоду прожить на три или четыре года больше сравнивает с непосредственной опасностью смерти от прививки, Даламбер замечает, что проблема не может быть пред метом точного математического подсчета. В одной из своих работ Даламбер писал по этому поводу: «Я пола гаю, что в среднем 30летнему человеку предстоит про жить еще 36 лет, полагаясь на природу и не делая себе прививки. Затем я предполагаю, что после операции средняя продолжительность жизни будет 34 года. Не кажется ли, что для оценки преимуществ прививки следует сравнить не только среднюю продолжитель ность жизни в 30 лет и среднюю продолжительность жизни в 34 года, но и риск, равный 1 против 200 уме реть через месяц от прививки с отдаленным преимуще ством хоть на 4 года больше после 60?»
95
При этом Даламбер упрекает Д. Бернулли в том, что тот рассмат ривает вопрос оспопрививания с точки зрения интере
204
94
Цит. по: Майстров Л.Е. Теория вероятностей... С. 134.
95
Там же. С. 149.
Глава 4. Философские проблемы теории вероятностей
сов государства, игнорируя интересы отдельного чело века. Даламбер отмечает также, что оценку продолжи тельности жизни для лиц данного возраста можно про водить двумя способами, а именно, с одной стороны, вычисляя среднюю продолжительность жизни, которая имеет равные шансы как не быть достигнутой, так и быть превзойденной. Французский ученыйэнциклопе дист считает, что поскольку каждое из этих определе ний продолжительности жизни имеет право на суще ствование, теория вероятностей не является наукой, на основании которой можно делать вполне однозначные, математически обоснованные выводы.
Даламбер был первым ученым, подвергшим сомне нию основания и применения теории вероятностей. В работе «Сомнения и вопросы относительно теории вероятностей» он писал: «Я первый осмелился выска зать сомнения относительно некоторых принципов, которые служат основанием для этой теории»
96
. Из проблем, определивших его критическое отношение к возможностям теории вероятностей, Даламбер выделя ет следующие: 1) каким образом можно определить вероятность события в отсутствии равновозможных случаев? 2) какой смысл мы должны вкладывать в вы ражения типа: «Вероятность события настолько мала, что ею можно пренебречь»? Сам Даламбер склонялся к тому, что вероятность события необходимо определять на основании опыта.
Однако наряду с методологически обоснованными возражениями против чисто априорного определения исходных вероятностей работы Даламбера содержали досадные ошибки при решении элементарных теорети ковероятностных задач в условиях наличия равновоз можных случаев.
Разумеется, лишь ошибками, содержащимися в рабо тах Даламбера, невозможно объяснить причины невос приимчивости большинства ученых XVIII–XIX вв., зани мавшихся проблемами теории вероятностей, к возраже ниям одного из авторов «Энциклопедии» против, с одной стороны, необоснованных применений теории вероятно
96
Цит. по: Майстров Л.Е. Теория вероятностей... С. 149.
205
Часть I. Философские проблемы математики и информатики
стей и, с другой стороны, априорного определения поня тия вероятности через понятие равновозможности. Дей ствительно, ведь у Я. Бернулли, на работе которого были основаны последующие исследования, содержатся как априорное, «классическое» определение вероятности, так и апостериорное, статистическое. Почему же последова телями Я. Бернулли применялось, как правило, априорное определение? Речь идет о ситуациях, в которых определе ние вероятности через равновозможность применялось в условиях абсолютной неопределенности. Очень характер ным является здесь высказывание Р. Прайса, издателя ра бот Г. Байеса, касающееся известных правил Байеса. От мечая, что правила Байеса применимы при изучении различных природных явлений, Прайс подчеркивает: «Нужно всегда помнить, что эти выводы предполагают пол ное предшествующее незнание природы»
97
. Таким обра зом, следуя Прайсу, с которым были согласны многие его современники, применение правил Байеса, как и всей тео рии вероятностей, обусловлено не чем иным, как абсолют ной гносеологической неопределенностью. Соответствен но использование априорного определения вероятности через равновозможность связывалось с принципом недо статочного основания. Фактически, однако, в тех случаях, когда классическое определение вероятности приводило к верным результатам, его применение может быть, пусть ретроспективно, обосновано ссылкой на вполне опреде ленную информацию об исследуемых событиях. В то же время неверные философскометодологические представ ления часто приводили к ошибкам собственно математи ческого характера.
Это было характерно для применения формулы Бай еса, которая, хотя и не содержалась в его работах, но была названа так Лапласом изза ее сходства с одним из пра вил Байеса. Формула Байеса позволяла находить апосте риорный закон распределения случайной величины с известным априорным законом распределения. Очень часто при использовании этой формулы априорное рав
97
Bayes J. Studies in the history of probability and statistics. IX.
Thomas Bayes’s essay towards solving a problem in the doctrine of chances //Biametrica, 45. 1958. № 3–4. P. 313.
206
Глава 4. Философские проблемы теории вероятностей
номерное распределение подразумевалось на основе все того же принципа недостаточного основания в условиях абсолютной гносеологической неопределенности, что приводило к ошибочным, иногда совершенно нелепым результатам, например тогда, когда отыскивалось значе ние неизвестной константы, которая, разумеется, не яв ляется случайной величиной. Строго говоря, до середи ны XIX в. не существовало понятия случайной величины, и его введение, в числе прочих причин, тормозилось некорректным использованием формулы Байеса
98
.
Однако теоретиковероятностные рассуждения, основанные на априорном (классическом) определении вероятности, использовались для обоснования различ ных естественнонаучных гипотез. Так, Бюффон пыта ется использовать теорию вероятностей для обоснова ния своей гипотезы о том, что все шесть известных к тому времени планет (Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн) образовались в результате столкно вения Солнца с кометой.
Как подчеркивает Майстров, «в своих работах Бюффон применяет следующее рассуждение. Подсчи тывается вероятность какогонибудь объективно суще ствующего явления (например, вероятность движения всех планет в одном направлении), если эта вероят ность мала, то утверждается, что это явление не слу чайно, а закономерно; необходимо искать эту законо мерность»
99
. Подобный метод рассуждения не был открытием Бюффона. Уже Муавр в своей работе «Уче ние о случаях», посвященной Ньютону и основанной на философских позициях создателя классической механики, «хотел установить вероятностный критерий для отличия необходимого (предначертанного прови дением) и случайного, особенно если результаты опы та (статистическая частота осуществления ряда собы тий) значительно отличается от ожидаемого (по апри орной вероятности) результата»
100
. Как видим, Муавр
98
См.: История математики с древнейших времен до начала
XIX столетия. Т. 3. С. 138, 151.
99
Майстров Л.Е. Теория вероятностей... С. 144.
100
История математики с древнейших времен... Т. 3. С. 130.
207
Часть I. Философские проблемы математики и информатики
наряду с необходимым допускал объективное суще ствование случайного. Однако использование теорети ковероятностных соображений для обоснования есте ственнонаучных гипотез, как это ни парадоксально, объективно способствовало формированию концепции так называемого лапласовского детерминизма, класси ческая версия которого, разработанная самим Лапла сом, абсолютно исключала случайные события в реаль
101
ности
. Более того, сам Лаплас «систематически применял теоретиковероятностные методы и рассуж дения для выявления детерминированных законов небесной механики»
102
.
Ведущим мотивом гносеологических воззрений Лапласа является его убеждение в том, что подавляю щее большинство наших знаний о реальности носит вероятностный характер. Эту мысль он предельно ясно зафиксировал в самом начале своего «Опыта филосо фии теории вероятностей», помещенного в качестве введения к фундаментальной работе «Аналитическая теория вероятностей». «Я хочу изложить здесь без по мощи анализа, — пишет Лаплас, — принципы и общие результаты теории вероятностей, изложенной в этой книге («Аналитической теории вероятностей». — Авт.), применяя их к важнейшим вопросам жизни, большин ство из которых не что иное, как задачи теории вероят ностей. Можно даже сказать, если говорить точно, что почти все наши знания только вероятны; и в небольшом кругу предметов, где мы можем познавать с достовер ностью, в самой математике главные средства достиг нуть истины — индукция и аналогия — основываются на вероятностях; таким образом, вся система человече ских знаний связана с теорией, изложенной в этом тру
103
де»
. При этом Лаплас «по крайней мере на раннем этапе своего творчества связывал появление теории вероятностей с невозможностью вынесения уверенно го мнения о подавляющем большинстве явлений...; це
208
101
См.: Купцов В.И. Детерминизм и вероятность. М., 1976.
С. 21–46.
102
История математики с древнейших времен... Т. 3. С. 130.
103
Лаплас П. Опыт философии теории вероятностей. М., 1908. С. 7.
Глава 4. Философские проблемы теории вероятностей
лью теории вероятностей он полагал определение раз личных степеней правдоподобия таких явлений»
104
.
Такое понимание теории вероятностей в полной мере следовало гносеологической традиции в фило софии Нового времени, в рамках которой стало воз можно и само появление этой науки. Поэтому есте ственно, что определение основного понятия теории — понятия вероятности носит у Лапласа существенно гносеологический характер. Этому способствовала также концепция так называемого лапласовского де терминизма, разработанная ее автором в тесной свя зи с занятиями небесной механикой, которой Лаплас посвятил большую часть своей научной деятельнос ти. «Правильность, которую обнаруживает нам аст рономия, — писал Лаплас, — без всякого сомнения, имеет место во всех явлениях. Кривая, описанная простой молекулою воздуха или пара, определена так же точно, как и орбиты планет: разницу меж ними делает только наше незнание»
105
. И далее Лаплас дает определение вероятности через равновозмож ность, сразу подчеркивая, в отличие от Бернулли, его субъективный характер: «Вероятность обусловливает ся отчасти нашим незнанием, а отчасти нашим знани ем. Пусть нам известно, что из трех или более собы тий должно произойти одно: но ничто не дает нам повода думать, что одно из них имеет преимущество перед другими. При такой неуверенности мы не мо жем предсказать достоверно, какое событие произой дет. Теория случайностей состоит в том, чтобы свести все однородные явления к известному числу равно возможных случаев, т. е. таких, существование кото рых для нас было бы одинаково неопределенно, и оп ределить число случаев, благоприятствующих явле нию, вероятность которого отыскивается. Отношение этого числа к числу всех возможных случаев и есть мера этой вероятности (курсив наш. — Авт.)»
106
.
104
Шейнин О.Б. Теория вероятностей П.С. Лапласа//Истори
коматематические исследования. Вып. XXII. М., 1977. С. 215.
105
Лаплас П. Опыт философии... С. 11.
106
Там же. С. 11–12.
209
Часть I. Философские проблемы математики и информатики
Таким образом, определение вероятности напрямую связывается в этом высказывании Лапласа с отрицани ем объективности случая и абсолютной неопределенно стью ситуации, в которой событию приписывается чис ленное значение вероятности. Такой подход оказывается вполне достаточным для построения классической тео рии ошибок измерения, в которой нуждалось картогра фирование европейских государств, уточнение размеров и формы Земли по астрономогеодезическим и маятни ковым измерениям, введение метрической системы мер. Действительно, результат измерения является случайным событием в том смысле, что его «случайность» определя ется исключительно нашими познавательными возмож ностями (измерительными приборами и органами чувств), и поэтому чисто гносеологическое определение понятия вероятности, данное Лапласом, в этом случае адекватно исследуемой ситуации. При этом теория ошибок призва на давать оценку степени правдоподобия тех или иных утверждений, основанных на измерении, а также веро ятностям тех или иных отклонений результатов измере ний от истинных размеров изучаемых объектов. Вслед ствие этого неудивительно, что теория ошибок измере ний является наиболее значительным с прикладной точки зрения достижением классической теории вероятностей. При этом нельзя не отметить, что попытки применения теории вероятностей за рамками теории ошибок толкали Лапласа к выходу за пределы философскометодологи ческих оснований теории вероятностей, которые вклю чали в себя отрицание объективности случая и принцип недостаточного основания (неопределенности ситуации), связанный с данным им «классическим» определением вероятности через равновозможность. Так, в том же са мом «Опыте философии теории вероятностей», рассмат ривая принципы построения таблиц смертности, Лаплас пишет: «Таблица смертности представляет из себя ... таблицу вероятностей человеческой жизни. Отношение лиц, записанных рядом с каждым годом, к числу рожде ний есть вероятность, что новорожденное дитя доживет
107
. Как справедливо отмечает Майстров,
210
107
Лаплас П. Опыт философии... С. 136.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности